100.04.27 範圍2-2,3 乘法、加法原理、排列(1) 班級二 - 明誠

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：100.04.27 範

圍

2-2,3乘法、加法 原理、排列(1)

班級 二年____班 姓 座號 名

一、填充題(每題10分)

1、 x y z, , ∈,且x+ + =y z 10,則方程式有______組解.

答案：36

解析：(1,1,8) ^3!

⇒ 2!=3種,同理(2, 2, 6) 3種,(2, 3, 5)⇒ 3! 6= 種,(2, 4, 4) 3種，

(1, 2, 7) 6種,(1, 3, 6) 6種,(1, 4, 5) 6種,(3, 3, 4) 3種，共36種.

2、 下圖中，自A沿路線走到B,前進方向可向右，不可向左，可以向上，也可以向下，但 經過之點不可重複經過，則

(1)經過Q的走法有______種.

(2)經過P且經過Q的走法有______種.

答案：(1)60, (2)40

解析：(1)全−不過Q⇒ × × − × × + × =4 5 5 4 (2 2 2 3) 100 40− =60. (2)全−不過P −不過Q+(不過P且不過Q)

⇒^{100 (2 2}− × + × × − × × + × + × × + × × =2 2) 5 4 (2 2 2 3) (2 2 2 2 2 3) 40. 3、 以紅、綠、黃三色，塗在下圖的五個區域，每區域一色，則

(1)同色不相鄰，其方法有______種.

(2)三色全用且同色不相鄰，其方法有______種.

答案：(1)48, (2)42

解析：(1)依A→ → → →B C D E之順序，3 2 2 2 2× × × × =48.

(2)利用(全部塗色法−只用兩色者即可求)，

三色選兩色有(紅綠)、(紅黃)、(綠黃)3種

兩色塗入法且保持同色不相鄰有ACE、BD各用一色有2種 只用兩色者方法數有3× 2 =6, ∴所求=48 6− =42(種).

4、 有甲、乙、丙……等身高皆不相等的10人排成一橫列，欲使任一較矮者不夾排在二較 高者之間的排法有______種.

答案：512 解析：

(1)最矮者先選最外端的①⑩二位置之一，有2種情形.

(2)次矮者再選其餘外端的二位置之一，有2種情形.



最後，最高者只有1種選位，故共有2 2 2 2 2 2 2 2 2 1× × × × × × × × × =2⁹ =512. 5、 不同顏色的帽子2頂，襯衫5件，皮帶4條，褲子3件，皮鞋2雙，今某人外出必穿

戴整齊，則其搭配的方法有______種.

答案：240

A B C D E

① ② .. .. .. .. .. .. ⑨ ⑩

解析：2 5 4 3 2× × × × =240.

6、 有8支棒球隊舉行比賽，每場均要有勝負，則 (1)採循環賽共有多少場賽程？______

(2)採單淘汰賽，直到冠軍隊產生，共有______場比賽.

(3)採雙敗淘汰賽(敗二場就被淘汰)，直到冠軍隊產生，至多有多少場比賽？______

答案：(1)28, (2)7, (3)15 解析：(1) ₂⁸ 8 7

7 6 5 4 3 2 1 28 C 2 1×

= = + + + + + + =

× .

(2)每比賽一次有一隊被淘汰，共有7隊被淘汰.故比賽7場。

(3)有7隊各失敗2場，而冠軍隊至多失敗1場.故至多7 2 1 15× + = .

7、 一隻青蛙在a, b, c, d, e, f等六相異點上跳動，每次跳動落點異於跳點.若此青蛙從a點 開始起跳，跳四次後，仍回到a點，則跳法數為______.

答案：105

解析： a ①②③ a

①③相同：5 1 5× × =25 ①③相異：5 4 4× × =80 共25 80 105+ =

8、 設A=

{

} {

}

1 2 3 4 5

(a −1)(a −2)(a −3)(a −4)(a − ≠5) 0的排法有______種.

答案：44

解析：(a₁−1)(a₂−2)(a₃−3)(a₄−4)(a₅− ≠5) 0⇔a₁≠1且a₂ ≠2且a₃ ≠3且a₄ ≠4且a₅ ≠5, 亦即5個位置規定a₁、a₂、a₃、a₄、a₅分別不排1、2、3、4、5的錯排方法有

5! 5 4! 10 3! 10 2! 5 1! 0! 44− × + × − × + × − = .

9、 兩隻兔子進出四個洞窟，規定每隻兔子不得由同一洞窟進出，且兩隻兔子不得由相同 的洞窟進入與出來，那麼兩隻兔子進出一次的方式有______種.

答案：84

解析： 進入：4 3 12× =

出來：全− 兩隻兔子同一門出來3 3 2× − =7 兩隻兔子進出一次的方式：12 7× =84

10、770的正因數個數有______,其總合______.

答案：16,1728

解析：770= × × ×2 5 7 11,

正因數個數(1 1)(1 1)(1 1)(1 1)+ + + + =16.

正因數總合為(2⁰+2 )(5^{1 0}+5 )(7^{1 0}+7 )(11^{1 0}+11 )¹ =1728.

11、 將排成一列的十個坐位中，甲乙丙丁4人入座相連的四個坐位，則共有____種。.

答案：168 解析：

(1.2.3.4), (2.3.4.5),...(7.8.9.10)共7組相連的四個坐位，4人再入座4!，7 4!=168× 12、將(a+ +b c p)( + + +q r s x)( + +y z)展開，共有_______項.

答案：36

解析：3 4 3× × =36項

13、甲乙二校比賽排球，每場必分出勝負，若規定甲校先勝3場，則甲校獲勝，乙校先勝

2場，則乙校獲勝，則比賽之所有可能情形有_______種，其中甲校勝之情形有_______

種.

答案：10, 4 解析：樹狀圖

比賽情形共10種，甲校勝之情形共4種

14、如圖由A到B只能向右或向上之走法共有(1)_______種，(2)_______種.

答案：(1)4 (2)10 解析：加法原理

(1)

(2)

15、用1, 2, 3, 4, 5作成數字不重覆的三位數，共有____個，若數字可重覆的三位數有__個.

答案：60；125

解析：(1)數字不重覆：P₃⁵ = × × =5 4 3 60(個). (2)數字可重覆：5³= × × =5 5 5 125(個).

16、甲、乙兩地之間，共有8條道路，其中有2條是由西往東的單行道，有3條是由東往

西的單行道，另3條是雙向道，小童開車往返於甲、乙兩地，則他共有______種不同 走法，如果他往返不願走同一條路，則有______種走法.

答案：30；27

解析：(1)由甲→乙有6條，乙→甲有5條，∴往返方法有6 5× =30（種）.

(2)由甲→乙有6條(c, d, e一類，f, g, h一類)，乙→甲有3 5 3 4× + × =27(種).

17、以五種不同顏色塗下圖，顏色可重覆使用，但相鄰必須異色，則塗法有__種.

答案：720

解析：塗法有5 4 3 3 4× × × × =720(種).

18、以五種不同顏色塗下圖，顏色可重覆使用，但相鄰必須異色，則塗法有__種.

答案：260

解析：若A, C同色，則塗法有5 1 4 4× × × =80(種) 若A, C異色，則塗法有5 4 3 3 180× × × = (種)，

∴塗法共有80 180+ =260(種).

19、5元硬幣1個，10元硬幣3個，50元硬幣2個，則在不找零的情況下，共可付______

種不同的款額.

答案：23

解析：(1 1)(3 1)(2 1) 1+ + + − =23(種).

20、下圖中，自A至B前進，方向可以向右、向上或向下，但不可向左，且經過的點不可

重覆，則共有______種走法；若規定要經過C，則走法有______種.

答案：128；96

解析：由A至B任意的走法有2 2 2 2 2 2 2 128× × × × × × = (種) 不經過C的走法有2 2 2 2 1 2× × × × × =32(種)，

∴必須經過C的走法有128 32− =96(種).

∴總共4 9 6 6+ + + =25種.

21、甲、乙、丙、丁4人坐在排成一列的7個位置上，若

(1)規定此4人必須連坐，則有______種坐法.

(2)規定4人不得相鄰而坐，則有______種坐法.

答案：(1)96, (2)24

解析：(1) 甲乙丙丁選擇相連的4個座位，4人再排列一次入座 4 4! 96× = 種.

(2)先排3個空位，再插入4空隙排4人,^3! ₄⁴ 24.

3!×P =

22、攝影師將5男4女排成兩列拍照，女子在前排，男子在後排，則有______種不同的排 法.

答案：2880

解析：5男一列4女一列的排列 5! 4! 2880× = 種.

23、有4個男生及3個女生排成一列，若要求男生須排在一起，女生亦須排在一起，則其 排法有______種，若只要求男生排在一起，則排列法有______種.

答案：288, 576

解析：(1) 4個男生視為一人，3個女生亦視為一人 2! 4! 3! 288.× × = (2) 4個男生視為一人與其他3個女生排成一列 4! 4! 576.× = 24、若P₃²ⁿ =28P₂ⁿ，則n=_______.

答案：4

解析：2 (2n n−1)(2n−2)=28×n n( −1) ∵n≠0，n≠1 ∴2n− =1 7，n=4 25、設甲、乙、丙、丁、戊、己、庚等七人排成一列：

(1)甲、乙、丙三人相連有______種排法.

(2)甲、乙、丙三人完全不相鄰有______種排法.

答案：720；1440 解析：

(1) 甲乙丙視為一人與其他4個人排成一列 5! 3! 720.× =

(2) 丁、戊、己、庚4個人先排，甲、乙、丙3個人再於4個空隙排列， 4! 3! 1440.× =

26、某地共有9 個電視頻道，將其分配給3 個新聞台、4 個綜藝台及2 個體育台共三種

類型.若同類型電視台頻道要相鄰，而且前兩個頻道保留給體育台，則頻道分配方式 共

答案：576 種.

解析：

所以共有2! 2! 3! 4! 576× × × = 種

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