臺北市立建國高級中學第 139 期通訊解題題目解答與評析
13901
在黑板上寫下正整數1, 2, ..., 2017，進行一次操作：選擇兩個數a, b，用5a3b, 7a9b替換a, b，則請問是否可能經過有限次的操作使黑板上的數變為4, 8, ..., 8068？如果可能，請說明操作過程；如果不可能，請說明理由。
【簡答】不可能達到
【詳解】因為經過每次操作後，黑板上所有數之和增加
( )
(5a3 )b 7a9b a b 11(a b )0 (mod 11) 即經過每次操作後，黑板上所有數之和模11相同。
原本黑板上所有數之和為
1 2 3 2017 2017 1009 10 (mod 11) 想使得操作後黑板上所有數之和為
4 8 12 8068 4 10 7 (mod 11)
操作前後黑板上所有數之和模不同，因此不可能。
【評析】
1. 先說明此題所應用的數學原理與解題想法：
如果經過多次操作之後可以達到題意要求，則必須保持操作的不變性，不 變性中很常加以檢驗的是”同餘” (mod k)相等。
本題利用操作前後黑板上所有數之和(mod 11)不同，說明不可能。
2. 以下列出一些基本的同餘性質給同學參考：
(1) ab(modn)abknn|ab。 (2) 反身性：a a(modn)。
(3) 對稱性：ab(modn)ba(modn)。
(4) 遞移性：a b(modn),bc(modn)a c(modn)。 (5) ab(modn),cd(modn)acbd(modn)。 (6) ab(modn),cd(modn)acbd(modn)。 3. 本題參與徵答者均作答正確，值得嘉許!
4. 本題參與徵答者有4人，皆拿到滿分7分：
臺北市仁愛國中鐘景翰同學、新北市永和國中柯志恩同學、
臺中市大墩國中張修展同學、新竹市實驗高中國中部鄭百里同學。
13902
求所有正整數a b c, , ，使得a b c, , 滿足( !)( !)a b a!b!c!。
（定義n! 1 2 3 (n 1) n，其中n為正整數）。
【簡答】( , , ) (3,3, 4)a b c
【詳解】記( )n 為n的質因數分解式中2的指數。
若a b ，不妨設a b 。顯然，b1且b2。 故c! ( !)( !) a b a! b! ( !)( ! 2)a b a! c a。 若a b 1，則(b1)! ! (b b 1)!b!c!。
因為c a ，在同除以b!後，可得 !
( 1)! 2
! b b c
b ， 即(b1)! b 2 (b 1)(b2)c。
上式左邊是b1的倍數，而右邊不是b1的倍數，矛盾，故有 2
a b 。
再由( !a b! c!)( !)b (( !)( !))a b ，矛盾。不可能。因此，a b 。 從而，( !)( ! 2)a a c!。
顯然，a3，則3 | !a ，
可得 !
3 | ( ! 2) ( 1)( 2)
!
a c a a c
a
。
由於連續三整數的乘積為3的倍數，因此，c a 1或c a 2。 檢驗可知，只有c a 1時有解( , , ) (3,3, 4)a b c ，這是唯一的解。
【評析】
本題共6人參與徵答，有2人獲得滿分7分，平均得分4分。成績如下：
7分：台中市大墩國中 張修展同學、新竹市實驗高中鄭百里同學；
4分：台中市明德國中 廖桓毅同學、台中市明德國中劉宖芠同學；
2分：台北市仁愛國中 鐘景翰同學。
本題是難題，故作答同學較少，題型是屬於數論。作法是將a b, 分成a b 與 a b 討論。其中a b ，要先掌握原題目a b, 是對稱的，因此不妨假設a b ，進 而得出c a ，即可將原式同除以b!後，由兩側因倍數的關係得出矛盾，因此
a b 。a b 代入原式後，必須先觀察出a3，進而得出c a 1或c a 2， 即可得出唯一解( , , ) (3,3, 4)a b c 。
本題得2分與4分的同學都有做出正確解，但在說明上並不是十分完整，
所以各扣部分分數。本題得滿分7分的同學，都努力呈現完整的說明與論證，特 此嘉許。
13903
△ABC為銳角三角形，以AB為直徑的圓交AC於點D，交AB上的高CH所在 直線於點E、F，以AC為直徑的半圓交BD的延長線於點G，GF交以AB為直 徑的圓於點P，證明：
(1) B、C、D、H四點共圓。
(2) PE＝PG。
【證明】
(1) 因為CH 為AB上的高，所以∠CHB＝90， 因為AB為直徑，所以∠BDA＝∠BDC＝90， 因此∠BDC＝∠CHB，故B、C、D、H四點共圓。
(2) 作AE、AF 、AG、EG，
由母子性質，得 AF2＝AH AB ……(1) AG2＝AD AC ……(2)
又B、C、D、H四點共圓，則AH AB AD AC ……(3) 由(1)(2)(3)，AF ＝AG，∠AFG＝∠AGF，
又AE＝AF ＝AG，則∠AGE＝∠AEG，
又∠PEA＝∠AFP，則∠PEA＝∠PGA，
因此∠PEG＝∠AEG－∠PEA＝∠AGE－∠PGA＝∠PGE，
故PE＝PG。
【評析】
1. 先說明此題所應用的數學原理與解題想法：
國中幾何題巧設輔助線是很重要的關鍵，如上證明，作AG、AE、AF ， 就適當的構造三角形，就有三角形的全等性質，因此得出PE＝PG。
2. 數學性質：
(1) 四點共圓的充要條件。
(2) 母子相似性質。
(3) 圓冪性質。
(4) 對同弧的圓周角相等。
(5) 等腰三角形底角相等。
(6) 三角形底角相等則為等腰三角形。
(7) 三角形一外角等於不相鄰兩內角和。
3. 新北市文山國中沈執中、新北市文山國中陳彥睿的作答清晰有條理，值得嘉 許。
4. 本題參與徵答者有3人，
其中得7分者有2人：
新北市文山國中沈執中同學、新北市文山國中陳彥睿同學。
其中得6分者有1人：
臺北市仁愛國中鐘景翰同學。
13904
從1,2,3...,10共10個正整數中任意選出若干個相異的數字，使得這些數字之和
為奇數，共有幾種選法？
【簡答】512
【詳解】偶數不論有幾個其和必為偶數，奇數則必須要有奇數個其和才能為奇數 偶數：2,4,6,8,10 每個有選或不選2種可能，故共有25 32種選法 奇數：1,3,5,7,9 當奇數選1個時有5種選法，當奇數選3個時有10種
選法，當奇數選5個時有1種選法，故共有16種選法。
綜合以上共有32 16 512 種選法
【評析】
由於此題難度不高，徵答情形十分踴躍，在31位應答同學中一共有11位 獲得滿分7分，分別為台中市大墩國中張修展同學、台中市明德國中廖桓毅同學 台北市延平高中郭杰穎同學、台北市東山高中林威辰同學、台北市興雅國中洪佑 全、莊子萱、蔡承諺、盧柏元四位同學、新北市文山國中沈執中同學、新北市永和 國中柯志恩同學、新竹市實驗高中鄭百里同學。
大部份的同學皆針對1,2,3...,10當中所取的數字個數採取討論，將每種情形 都一一列出，其中有些同學順利解出正確答案512種，但有些可能因為過程中 有所遺漏，導致最後答案較512種少。其中台中市大墩國中張修展同學的解法如 下：
若從1,2,3...,10共10個數當中任意選出若干個相異的數字使其和為奇
數，可以分成有取到1和沒取到1兩種情形，其中有取到1的情形，
代表2,3...,10中所取的若干個數其和為偶數，假設有X種；其中沒取
到1的情形，代表2,3...,10中所取的若干個數其和為奇數，假設有Y 種，所求即為X、Y之和，然而X、Y之和恰為2,3...,10中9個數字中任 意取若干個數的所有可能，即為2的九次方512種。
13905
已知小建從數字1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意選（也可不選）幾個數字 收集起來（不管順序），則他的選法中，沒有收集到兩個連續整數的方法共有 幾種？
註：即求集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集合的個數，且子集合中不含 連續兩個整數。
【簡答】55
【詳解】令an表示1~n個正整數中任意選（也可不選）幾個數字收集起來（不管 順序），且沒有收集到兩個連續整數的方法，
若某一收集有含n，則一定不含n1，即含n的方法數為an2， 若某一收集有不含n，則可以含n1，即不含n的方法數為an1，
即an an1an2，又a12,a2 3，可推得a9 89。
【評析】
1. 本題徵答人數為15人，全部答對得7分者有6人，特別值得嘉許，分別是 台中市大墩國中張修展、台北市仁愛國中鐘景翰、台北市興雅國中黃翊哲、
台北市興雅國中黃翊庭、台北市興雅國中蔡承諺、新竹市實驗高中鄭百里同 學。
2. 大部份的同學皆由列舉法求得答案，有少算的同學，會依其討論的方式是 否有條理酌予扣分；用遞迴方法算出答案的有：張修展及鄭百里同學。
