數
學 A
110-E3
數學
A 考科參考答案暨詳解
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99362314-30
新竹區高級中等學校
110 學年度學科能力測驗聯合模擬考試
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－ 2 －
數學 A 考科詳解
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
( 2 ) ( 1 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 5 ) ( 2 ) ( 1)( 2) 8. 9. 10.
( 3)( 4)( 5 ) ( 3)( 5 ) ( 1)( 3)( 4)( 5 )
第壹部分、選擇（填）題 一、單選題
1. ( 2 )
出處：第三冊〈平面向量〉
目標：了解向量內積的性質，垂直的向量特性 解析：因為兩向量垂直，
故(
AB＋
AC) ． (
AB－
AC )＝0，展開得 |
AB|＝|
AC | 故選 ( 2)。2. ( 1 )
出處：第三冊〈三角函數〉、第三冊〈指數與對數函數〉
目標：能找到關鍵分界，清楚三角比、指對數及根式，比較 大小
解析：易知 a＝－27、
0＜b＜1、
c＞1、
d＝0、
－1＜e＜0 所以 a＜e＜d＜b＜c 故選 ( 1)。
3. ( 4 )
出處：第一冊〈直線與圓〉
目標：能透過二元一次不等式分析可行解區域 解析：如下圖，
可知只有選項 ( 4)的可行解區域無圖形 故選 ( 4)。
4. ( 3 )
出處：第一冊〈多項式函數〉
目標：能了解三次函數的局部特徵及對稱性 解析：因為對稱中心為 (1 , 8)，
可假設 y＝f (x)＝a(x－1)3＋p(x－1)＋8 展開得 y＝ax3－3ax2＋( p＋3a)x－a－p＋8 再由此圖形在 x＝0 一次近似為 y＝x＋5，
可得聯立方程式：
5 8 1 3
＝
＋
－
－
＝
＋ p a
a p
解得 4
1
＝
－
＝ p a 故選 ( 3)。
5. ( 5 )
出處：第三冊〈三角函數〉
目標：能透過倍角公式或半角公式解決問題 解析：如下圖，
可知 tan 2 θ ＝
150 30 ＝
5 1
所以 tan θ＝
25 1 1
5 2
－
＝12 5
故選 ( 5)。 6. ( 2)
出處：第一冊〈多項式函數〉
目標：能應用除法原理及因數分析、因式定理 解析：x13＋x＋90＝(x2－x＋a) Q(x)
因為 Q(x) 為整係數多項式
代 x＝0：90＝a．Q(0) a 是 90 的因數 代 x＝1：92＝a．Q(1) a 是 92 的因數 因此 a 可能為 ± 1 或 ± 2
當 x＝k＞0 代入，得 k13＋k＋90＞0 故 x13＋x＋90＝0 沒有正根
∴x2－x＋a＝0 沒有正根
a≠－1，－2，－3 故答案為 2
故選 ( 2)。 二、多選題 7. ( 1)( 2)
出處：第二冊〈數據分析〉
目標：透過閱讀文字及圖表了解情境並解讀 解析：如題圖
( 3)╳：當頻率過低聽不到
( 4)╳：題目並無標示不舒服的範圍，無法判斷 ( 5)╳：在 0Hz 到 500Hz 之間，聽閾與痛閾兩曲線的間
距比 500Hz 到 1000Hz 小，
故所占面積不到一半 故選 ( 1)( 2)。
8. ( 3)( 4)( 5)
出處：第二冊〈排列組合與機率〉
目標：能分析骰子的機率及期望值問題
解析： ( 1)╳：∵x＞y 的機率等於 x＜y 的機率，而且 x＝y 的 機率不為 0
∴x≥y 的機率不為 2 1
( 2)╳：相乘為奇數的機率為 6 6
3 3
×
× ＝
4 1，
故相乘為偶數的機率為 4 3
－ 3 － ( 3)○：由算幾不等式可知：
2 y
x＋ ＞ xy即為 x≠y 的意思
因此所求＝1－
6 6
6
× ＝
6 5
( 4)○：
36
12 11 11 4
4 4 3 3
2＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋＋ ＋ ＋ ＝7
(分子為 36 種情形的總和) ( 5)○：
36
) 6 5 4 3 2 1 )(
6 5 4 3 2 1
(＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＝ 4
49 (分子為 36 種情形的總和)
故選 ( 3)( 4)( 5)。 9. ( 3)( 5)
出處：第二冊〈數據分析〉
目標：透過時事分析圖表，並理解標準差與相關係數指標 解析：
( 1)╳：2020 年中，五月雨量比八月雨量多，與選項敘 述不合
( 2)╳：2018 年中，五月平均雨量為 天 ≈
31 mm
59 1.9 mm /天，
而 2018 年全年每日平均雨量為
天 ≈ 65 3
mm
1164 3.2 mm /天
故與選項敘述不合
( 3)○：由數據加總為 746 mm＜800 mm
( 4)╳：標準差是集中分散的指標，由題表知五月及六 月皆高過八月
( 5)○：繪製散布圖可看出正相關 故選 ( 3)( 5)。
10.( 1)( 3)( 4)( 5)
出處：第二冊〈排列組合與機率〉
目標：能透過排列組合，有系統的分析情境的問題 解析： ( 1)○：C25＝10 種
( 2)╳：C53－3＝7 種
3 天連續的情況
(一二三、二三四、三四五)
( 3)○：令兩位組長為 A、B
則居家辦公的情況為 AAABB 或 AABBB 任意排，
但是要扣除 3 天連續的情況 故所求為 2×
3
! 3
! 2
!
5 － ＝2×(10－3)＝14 種
( 4)○：依題意，必有一天兩人同時在學校辦公，用 X 表示
故安排方法為 AABBX 任意排 即2!2!
!
5 ＝30 種
( 5)○：依題意，令組長為 A、B，主任為 C
而每天至少 2 人到校辦公，即每天最多 1 人居 家辦公(可 1 人或 0 人)
故每天居家辦公的情況，可用 A、B、C、O 去 選擇(O 表示 0 人申請居家)
任意排的情況為 45＝1024 種 扣掉某一人申請 5 天：C13＝3 種 再扣掉某一人申請 4 天：
3
C1 × C45 × C13＝3×5×3＝45 種
哪 1 人(不含 O) 哪 4 天 剩下 1 天是誰(含 O)
最後再扣連續 3 天申請：
3
C1 × 3 × C31×C31＝81 種
哪 1 人(不含 O) 連續哪 3 天 剩下 2 天分別是誰(含 O)
故所求為 1024－3－45－81＝895 種 故選 ( 1)( 3)( 4)( 5)。
三、選填題 11.－4
出處：第一冊〈多項式函數〉
目標：了解二次函數的對稱性
解析：∵ 2
) 1 ( ) 3 (x＋ ＋ －x
＝2
∴頂點在 x＝2 上 故 a＝－4。
12. 84.1
出處：第一冊〈數與式〉
目標：利用相似形對應邊成比例，透過根式運算解決問題 解析：令 A1 長邊為 x 公分，A0 長邊為 y 公分
由 ( 2)( 3)： x y＝
2 y
x ，解得 y2＝2x2，即 y＝ 2 x
再由 ( 1)：xy＝ 2x2＝(100)2＝10000，
因此 x＝
2
100 ≈1100.189≈84.1。
13. 01001
出處：第二冊〈數列與級數〉
目標：清楚題目定義，並找到數列規律 解析：只考慮末五位數字，
從 a4＝01101001、a5＝0110100110010110 開始觀察規 律，
會發現後面的數列末五位數字為 01001、10110 輪流出 現，
故 a100的最後五位數為 01001。
14. 25 6
出處：第二冊〈三角比〉
目標：透過特殊角三角比及正弦定理，解決長度問題
－ 4 － 解析：
105
sin
BD ＝2R＝10
BD＝10．sin 105°＝10．
4
2 6＋
所求為AC．BD＝25( 6＋ 2)
＝25 2＋25 6。 15. 19
出處：第三冊〈三角函數〉
目標：透過和角公式及正餘弦函數疊合解決問題 解析：f (θ)＝2 cos θ＋3 cos
π－θ 3
＝2 cos θ＋3
21cosθ＋ 23sinθ
＝2 7cos θ＋
2 3 3 sin θ
疊合後 f (θ)＝
2 7cos θ＋
2 3 3 sin θ
＝ 4
27 4
49＋ sin (θ＋α)
α 是一個銳角，必可找到銳角 θ 使得 θ＋α 為 90 度
可取得最大值為 19。 16. 729
出處：第二冊〈排列組合與機率〉
目標：閱讀理解問題情境，透過排列組合有系統的計數 解析：將圓片由大到小依序放入任意三個圓杆的其中一個，
則任意地擺放都是「合理的情況」，
反之「合理的情況」也可由上述手續達到 因此方法數為 36＝729 種。
17. 5 2
出處：第三冊〈平面向量〉
目標：清楚向量的線性組合，透過特殊角三角比找出 P 的所 有可能
解析：
□OACB＝ |
3 1
1
| 2 ＝5
2 1
－ ≤sin α≤ 2 1，
2 2
－ ≤cos β≤ 2
2
P 所在區域面積＝ 5
2 2 2
2 2
1 2
1 － ．
－ －
－
＝5 2。 第貳部分、混合題或非選擇題 18.( 5)
出處：第一冊〈指數﹑對數〉
目標：清楚情境定義，透過指數解決感染人數增加情境問題 解析： 5
30 ＝6 次，變為 46＝4,096 倍
故選 ( 5)。
19.第 6 天的 Rt值為 4，第 12 天的 Rt值為 3.79，第 18 天的 Rt值 為 3.53，說明略
出處：第三冊〈指數與對數函數〉
目標：清楚情境定義，透過對數的運算估計與解讀問題 解析： ( 1)第 6 天：log2
2
16＝(Rt－1)．
6 6
Rt＝1＋3＝4 ( 2)第 12 天：log2
2
96 ＝(Rt－1)．
6 12
Rt＝1＋
2 ) 3 2 ( log2 4．
≈3＋20．.47710.301
≈3.79 ( 3)第 18 天：log2
2
384＝(Rt－1)．
6 18
Rt＝1＋
3 ) 3 2 ( log2 6．
≈3＋30.47710.301
．
≈3.53 因為 Rt有遞減趨勢，表三級警戒有效果。
◎評分原則 ( 1)第 6 天：log2
2
16＝(Rt－1)．
6 6
Rt＝1＋3＝4 (3 分) ( 2)第 12 天：log2
2
96＝(Rt－1)．
6 12
Rt＝1＋
2 ) 3 2 ( log2 4．
≈3＋
301 . 0 2
4771 . 0
．
≈3.79 (3 分) ( 3)第 18 天：log2
2
384＝(Rt－1)．
6 18
Rt＝1＋
3 ) 3 2 ( log2 6．
≈3＋30．.47710.301
≈3.53 (3 分) 因為 Rt有遞減趨勢，表三級警戒有效果。 (1 分)
