100.09.22 範圍條件機率獨立事件貝氏定理班級三年 - 明誠

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：100.09.22 範

圍

條件機率獨立事件 貝氏定理

班級 三年 班 姓 座號 名

一、單選題: 每題5分

( ) 1. 某校橋藝社由甲、乙、丙三班同學組成，各占40%、30%、30%。社員中甲班人數的 、

乙班人數的 及丙班人數的 也是籃球校隊的隊員。某次橋藝社推選新社長，每人當 選的機會均等，則籃球隊員當選的機率為

(A) (B) (C) (D) (E) 。

解答：C 解析：

( ) 2. 一袋中有60個燈泡，其中有8個是壞的，現在逐個檢查不再放回，則第三次取到不

良品的機率為 (A) (B) (C) (D) (E) 。 解答：A

解析：第三次取到不良品的機率 (好好壞) (好壞壞) (壞好壞) (壞壞壞)

第一次取到不良品的機率(抽獎原理)

( ) 3. 設 、 為兩事件， ， ，則下列各式何者錯誤？

(A) (B)

(C) (D)

(E) 。

解答：D

解析：當 、 為獨立事件，則 二、多選題: 每題10分

( ) 1. 設 、 為獨立事件，且 ， ，則下列何者正確？

(A) (B) (C) (D)

1 4 1

5

1 3

11 50

12 50

13 50

14 50

15 50

2 1 3 1 3 1 5 4⋅ +10 5⋅ +10 3⋅ 13

=50

2 15

4 15

13 15

104 885

52 885

= + + +

52 51 8 60 59 58

= ⋅ ⋅ 52 8 7

60 59 58

+ ⋅ ⋅ 8 52 7

60 59 58

+ ⋅ ⋅ 8 7 6

60 59 56 + ⋅ ⋅ 2

=15=

A B P A( )>0 P B( )>0 ( | )

P B A ( )

( ) P B A

= P A∩

( | )

P B' A = −1 P B A( | )

( ) ( )

P B = P A ⋅^{P B A( | )+P A'( )⋅P B A'( | ) P B A( | )> P B( )} ( | )

P A B ( )

( ) ( | ) ( ) ( | ) P B A

P A P B A P A' P B A'

= ⋅ + ⋅



A B P B A( | ) ( )

( ) P B A

= P A∩ ( ) ( ) ( ) P B P A

P A

= ⋅ =P B( )

A B 1

( ) 3

P A = 2

( )

P AB =3 ( ) 1

P B =3 1

( | )

P A B =3 1

( )

P A′B =3 2 ( | ) P A B′ =3

(E) 。 解答：BCD

解析： ∵

， (B) （∵ 、 獨立）

(C) 、 獨立， 、 獨立，

(D) （∵ 、 獨立） (E) （∵ 、 獨立）

( ) 2. 袋中有4紅球，3白球，甲乙輪流每次取一球，甲先取，先得紅球者勝，下列敘述何

者正確？

(A)若取後不放回，則甲獲勝的機率比乙大 (B)若取後不放回，則乙獲勝的機率比甲大 (C)若取後放回，則甲獲勝的機率比乙大 (D)若取後放回，則乙獲勝的機率比甲大

(E)對這兩種方式而言，取後放回則甲獲勝的機率比取後不放回的機率大。

解答：ACE 解析：(A) (甲勝)

(乙勝)

∴ (甲勝) (乙勝)

(C) (甲勝)

2

4 7 1 ( )3

7

=

−

(乙勝) 7

1 10

= −

∴取後放回時，甲勝的機率較大 (E)取後放回，甲勝機率

∴取後放回甲勝機率大於取後不放回之甲勝機率 三、填充題: 每題10分

1. 設 、 為兩事件， ， ， ，則：

(1) __________。(2) __________。

( | ) 2 P B A′ = 3

( )

P AB =P A( )⋅P B( ) 1 3 P B( )

= ⋅ P A( B) =P A( )+P B( )−P A( B)

2 1 1

( ) ( ) 3 3 P B 3P B

⇒ = + − 2 1 2

3 3 3P B( )

⇒ = + 1

( ) 2 P B = ( | ) ( ) 1

P A B =P A =3 A B

A B A′ B P A( ′B) =P A( ′)⋅P B( ) 2 1 1 3 2 3

= ⋅ = ( ) 2

P A′ = 3 A′ B 1

( | ) ( )

P B A′ =P B′ = 2 A B′

P 4 3 2 4

7 7 6 5

= + ⋅ ⋅ 24 35 0.6

= = 

P 24 11

1 35 35

= − = P >P

P 4 3 3 4

7 7 7 7

= + ⋅ ⋅ 3 3 3 3 4 7 7 7 7 7

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⁷

=10

P 3

=10

7 3

10 >10

7 24 10 35

= >

A B 3

( ) 4

P A = 1

( ) 3

P B = 2

( )

P AB = 9 ( | )

P A B′ = P A B( ′ ′ =| )

解答：(1) (2)

解析：(1)

，∴ (2)

∴

2. 投擲三顆均勻的骰子，則在至少出現一顆4點的條件下，其點數和為偶數的機率為________。

解答：

解析： 表示出現一顆4點的事件， 表示三顆均勻的骰子其點數和為偶數的事件，則 可能情形有(4,4,4)：有1種

(4,4,2)或(4,4,6)： 種 (4,奇,奇)： 種 (4,2或6)： 種 共有

3. 設甲袋中有三銅幣一銀幣，乙袋中有三銅幣，由甲袋任取一個放入乙袋後，又由乙袋任取一 個放入甲袋，則銀幣在甲袋之機率為__________。

解答：

解析： (銀幣一直都在甲袋+銀幣從甲袋至乙袋再由乙袋至甲袋)⇒

4. 某次月考，有25%的同學數學不及格，有15%的同學英文不及格，而有10%的同學兩科不及 格，今任選一位同學，試問：

(1)若他英文不及格，則他數學不及格的機率為__________。

(2)若他數學及格，則他英文不及格的機率為__________。

解答：(1) (2) 解析：(1)

(2)

5. 袋中有4紅球、3白球，甲先乙後輪流取球，每次只取一球，先取到紅球者得勝，則：

(1)若取後不放回，甲得勝的機率為__________。(2)若取後放回，甲得勝的機率為_________。

解答：(1) (2) 1

3

5 24

( | )

P A B′ =P B( )−P A( B) 1 2 1 3 9 9

= − = P A B( ′| ) ( ) ( ) P A B

P B

= ′ 1

9 1 1 3 3

= =

( )

P AB =P A( )+P B( )−P A( B) 3 1 2 31 4 3 9 36

= + − =

( | )

P A B′ ′ ( ) ( ) P A B

P B

′ ′

= ′ 1 ( )

1 ( ) P A B

P B

= −

−

 5

36 5 2 24 3

= =

46 91

A B

3 3

( ) 6 5 91 n A = − = AB

3 2⋅ =6 3 3 3⋅ ⋅ =27

3 2 2⋅ ⋅ =12 1 6 27 12+ + + =46 ( | ) ⁴⁶

P B A 91

⇒ =

13 16

3 1 1 13 4⋅ + ⋅ =1 4 4 16

2 3

1 15 10% 2

15%= 3 5% 1

75% =15

24 35

7 10

解析：(1)取後不放回，甲得勝的機率 (2)取後放回，甲得勝的機率

6. 10支籤中有3支是有獎的，今有甲、乙、丙三人按甲、乙、丙的順序各抽出一支籤，抽出後

不再放回，則三人中至少有一人抽中有獎籤之機率為__________。

解答：

解析： 全不中

7.10支籤中，有獎籤3支，今依甲、乙之順序抽籤，試求：

(1)甲乙均抽中有獎籤的機率為__________。

(2)甲沒抽中有獎籤，乙抽中有獎籤的機率為__________。

(3)在甲沒抽中有獎籤的條件下，乙抽中有獎籤的機率為__________。

(4)乙抽中有獎籤之機率為__________。

解答：(1) (2) (3) (4)

解析：(1)

(2)

(3)

(4)甲乙均抽中 甲沒抽中，乙抽中

8.設 、 、 為樣本空間 的三獨立事件，且 ， ， ，則

__________。

解答：

解析：因 、 、 為獨立事件，由已知

， ，

P B( C)=P B( )+P C( )−P B( C)，又 ∴ ¹

2 ∴

又

9.連續擲一公正硬幣10次，如果已經知道前面4次中出現了偶次（包括零次）正面，那麼全部

10次中出現6次正面之條件機率為__________。

4 3 2 4 24 7 7 6 5 35

= + ⋅ ⋅ =

4 3 3 4 3 3 3 3 4 7 7 7 7 7 7 7 7 7

= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

2

4 1 7

7 1 ( )3 10 7

= ⋅ =

−

17 24

1− 7 6 5 17

1 10 9 8 24

= − ⋅ ⋅ =

1 15

7 30

1 3

3 10 3 2 1

10 9⋅ =15 7 3 7 10 9⋅ =30

7 3 10 9 1

7 3

10

⋅ =

+ ^{1 7 9 3}

15 30 30 10

= + = =

A B C S ( ) ³

P A =4 1

( | )

P C B =3 1

( )

P BC =2

( ( ))

P A BC = 37

48

A B C ( | ) ¹

P C B =3 1

( ) ( | ) P C =P C B =3 ( ) 1

P BC =2 ( ) ( ) ( ) ( )

P B P C P B P C

= + − ⋅ 1 1

( ) ( )

3 3

P B P B

= + − 1

( ) 4 P B =

[( ( )]

P A BC =P A( )+P B( C)−P[(A(BC)]

( ) ( ) ( ) ( )

P A P B P C P A B C

= + ⋅ −  

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P B P C P A P B P C

= + ⋅ − ⋅ ⋅ 3 1 1 3 1 1

4 4 3 4 4 3

= + ⋅ − ⋅ ⋅ 37

=48

解答：

解析：設 表4次中出現偶數次正面，則 設 表10次中出現6次正面，則

(前四0正後六6正)+(前四2正後六4正)+(前四4正後六2正)

10.根據過去紀錄得知：某電腦工廠檢驗其產品的過程中，將良品檢驗為不良品的機率為0.20，

將不良品檢驗為良品的機率為0.16。又知該產品中，不良品占5%，良品占95%。若一件產 品被檢驗為不良品，但該產品實際上為良品的機率為__________。

解答：

解析：所求

11.某校高一學生占全體50%、高二學生占全體30%、高三學生占全體的20%。若高一學生中有

3% 戴眼鏡、高二學生中有4% 戴眼鏡、高三學生中有5% 戴眼鏡。今由全校學生中任選一人，

(1)此人為戴眼鏡的高一學生之機率為__________。

(2)若已知此人戴眼鏡，則該生為高一學生的機率為__________。

解答：0.015；

解析：(1) (2)所求

18.投擲一公正骰子三次，則在三次點數和為10的條件下，前兩次其點數和為4的機率為_____。

解答：

解析：所求

12.某一螺釘製造工廠有三部機器 、 、 ，其產量依次占總產量的 、 、 ，而其產

品的不良率依次為2%、3%、6%。今由全部產品中任意抽出一件產品，發現其為不良品的機 率是__________，此不良品產自 機器的機率是__________。

53 256

A P A( ) ₀⁴ 1 ⁴ ₂⁴ 1 ⁴ ₄⁴ 1 ⁴

( ) ( ) ( )

2 2 2

C C C

= + + 1

= 2 B

( )

P AB 0^{4 4 6}

1 1

( ) ( )

2 2

=C ⋅ ₂⁴ 1 ⁴ ₄⁶ 1 ⁶ ( ) ( )

2 2

C C

+ ⋅ ₄⁴ 1 ⁴ ₂⁶ 1 ⁶ ( ) ( )

2 2

C C

+ ⋅ 53

=512

( | ) P B A

53 512 53

1 256

2

= =

95 116

0.95 0.2 0.05 0.84 0.95 0.2

= ×

× + ×

95

= 116

15 37

50 3

100 × 100 =0.015

50 3

100 100

50 3 30 4 20 5

100 100 100 100 100 100

×

=

× + × + ×

15

= 37

1 9

3 216

27 216

= ¹

= 9

A B C ¹

2 1 3

1 6

A

解答： ；

解析：發現其為不良品的機率是

此不良品產自 機器的機率是

13.有某種診斷方法，依過去的經驗知道：患癌症的人經過檢驗後發現有癌症的可能性為0.90，

不患有癌症的人經過同樣的檢驗發現有癌症的可能性為0.05。假設一群人中有6% 的人患有 癌症，現從此群人中任選一人而加以檢驗，求：

(1)檢驗出有癌症的機率為____________

(2)設某人檢驗出有癌症，求此人的確患有癌症的機率為__________。

解答：(1)0.101 (2) ⁵⁴ 101 解析：(1)P(檢驗有癌症)

(2) 3 100

1 3

1 2 1 3 1 6

2 × 100 + 3 × 100 + 6 × 100 3

= 100

A

1 2

2 100 3 100

× 1

= 3

0.06 0.9 0.94

= × + ×0.05=0.101 (

P 實際有癌症 檢驗有癌症) ( )

( )

P

= 實際有癌症P 驗有癌症檢 檢驗有癌症

0.06 0.9 0.101

= × 54

=101