Dr. Huang

(1)

INTEGRALS

ELEMENTARY FORMS

1.

Z

a dx¼ax

2.

Z

afðxÞdx¼a Z

fðxÞdx

3.

Z

ðyÞdx¼

Z ðyÞ

y⁰ dy, wherey⁰¼dy dx

4.

Z

ðuþvÞdx¼ Z

u dxþ Z

v dx, whereuandvare any functions ofx

5.

Z u dv¼u

Z dv

Z

v du¼uv Z

v du

6.

Z udv

dxdx¼uv Z

vdu dxdx

7.

Z

xⁿdx¼x^nþ1

nþ1, exceptn¼ 1 8.

Z f⁰ðxÞdx

fðxÞ ¼logfðxÞ, ðdfðxÞ ¼f⁰ðxÞdxÞ 9.

Z dx

x ¼logx 10.

Z f⁰ðxÞdx 2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffi fðxÞ

p ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffi

fðxÞ

p , ðdfðxÞ ¼f⁰ðxÞdxÞ

11.

Z

e^xdx¼e^x

12.

Z

e^axdx¼e^ax=a

13.

Z

b^axdx¼ b^ax

alogb, ðb>0Þ 14.

Z

logx dx¼xlogxx

15.

Z

a^xloga dx¼a^x, ða>0Þ

16.

Z dx

a²þx²¼1 atan¹x

a

17.

Z dx

a²x²¼ 1 atanh¹x

a or 1

2alogaþx

ax, ða²>x²Þ 8>

>>

<

>>

>:

18.

Z dx

x²a²¼ 1

acoth¹x a or 1 2alogxa

xþa, ðx²>a²Þ 8>

>>

><

>>

:

(2)

19.

Z dx

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x²

p ¼

sin¹x jaj or cos¹ x

jaj, ða²>x²Þ 8>

>>

<

>>

>:

20.

Z dx

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a²

p ¼logðxþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x²a² p

Þ

21.

Z dx

x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a²

p ¼ 1

jajsec¹x a

22.

Z dx

x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p ¼ 1

alog aþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

x

!

FORMS CONTAINING (aþbx)

For forms containingaþbx, but not listed in the table, the substitutionu¼aþbx may prove helpful. x

23.

Z

ðaþbxÞⁿdx¼ðaþbxÞ^nþ1

ðnþ1Þb , ðn6¼ 1Þ 24.

Z

xðaþbxÞⁿdx¼ 1

b²ðnþ2ÞðaþbxÞ^nþ2 a

b²ðnþ1ÞðaþbxÞ^nþ1, ðn6¼ 1,2Þ

25.

Z

x²ðaþbxÞⁿdx¼ 1 b³

ðaþbxÞ^nþ3

nþ3 2aðaþbxÞ^nþ2

nþ2 þa²ðaþbxÞ^nþ1 nþ1

26.

Z

x^mðaþbxÞⁿdx¼

x^mþ1ðaþbxÞⁿ mþnþ1 þ an

mþnþ1 Z

x^mðaþbxÞⁿ¹dx or

1

aðnþ1Þ x^mþ1ðaþbxÞ^nþ1þ ðmþnþ2Þ Z

x^mðaþbxÞ^nþ1dx

or 1

bðmþnþ1Þ x^mðaþbxÞ^nþ1ma Z

x^m1ðaþbxÞⁿdx 8>

>>

><

>>

:

27.

Z dx

aþbx¼1

blogðaþbxÞ 28.

Z dx

ðaþbxÞ²¼ 1 bðaþbxÞ

29.

Z dx

ðaþbxÞ³¼ 1 2bðaþbxÞ²

30.

Z x dx

aþbx¼ 1

b²½aþbxalogðaþbxÞ or

x ba

b²logðaþbxÞ 8>

>>

<

>>

>:

(3)

INTEGRALS (Continued)

31.

Z x dx

ðaþbxÞ²¼ 1

b² logðaþbxÞ þ a aþbx

32.

Z x dx

ðaþbxÞⁿ¼ 1 b²

1

ðn2Þ ðaþbxÞⁿ²þ a ðn1ÞðaþbxÞⁿ¹

, n6¼1, 2

33.

Z x²dx

aþbx¼ 1 b³

1

2ðaþbxÞ²2aðaþbxÞ þa²logðaþbxÞ

34.

Z x²dx

ðaþbxÞ²¼ 1

b³ aþbx2alogðaþbxÞ a² aþbx

35.

Z x²dx

ðaþbxÞ³¼ 1

b³ logðaþbxÞ þ 2a

aþbx a² 2ðaþbxÞ²

36.

Z x²dx

ðaþbxÞⁿ¼ 1 b³

1

ðn3Þ ðaþbxÞⁿ³þ 2a

ðn2Þ ðaþbxÞⁿ² a² ðn1Þ ðaþbxÞⁿ¹

, n6¼1, 2, 3

37.

Z dx

xðaþbxÞ¼ 1

alogaþbx x

38.

Z dx

xðaþbxÞ²¼ 1 aðaþbxÞ 1

a²logaþbx x

39.

Z dx

xðaþbxÞ³¼ 1 a³

1 2

2aþbx aþbx

2

þlog x aþbx

" #

40.

Z dx

x²ðaþbxÞ¼ 1 axþb

a²logaþbx x

41.

Z dx

x³ðaþbxÞ¼2bxa 2a²x² þb²

a³log x aþbx 42.

Z dx

x²ðaþbxÞ²¼ aþ2bx a²xðaþbxÞþ2b

a³logaþbx x

FORMS CONTAININGc²x²,x²c²

43.

Z dx

c²þx²¼1 ctan¹x

c

44.

Z dx

c²x²¼ 1 2clogcþx

cx, ðc²>x²Þ 45.

Z dx

x²c²¼ 1 2clogxc

xþc, ðx²>c²Þ 46.

Z x dx

c²x²¼ 1

2logðc²x²Þ 47.

Z x dx

ðc²x²Þ^nþ1¼ 1 2nðc²x²Þⁿ 48.

Z dx

ðc²x²Þⁿ¼ 1 2c²ðn1Þ

x

ðc²x²Þⁿ¹þ ð2n3Þ

Z dx

ðc²x²Þⁿ¹

49.

Z dx

ðx²c²Þⁿ¼ 1

2c²ðn1Þ x

ðx²c²Þⁿ¹ ð2n3Þ

Z dx

ðx²c²Þⁿ¹

50.

Z x dx

x²c²¼1

2logðx²c²Þ

(4)

51.

Z x dx

ðx²c²Þ^nþ1¼ 1 2nðx²c²Þⁿ

FORMS CONTAININGaþbxandcþdx u¼aþbx, v¼cþdx, k¼adbc Ifk¼0, thenv¼c

au 52.

Z dx

uv¼1 klog v

u

53.

Z x dx

uv¼1 k

a

blogðuÞ c dlogðvÞ

h i

54.

Z dx

u²v¼1 k

1 uþd

klogv u

55.

Z x dx

u²v ¼a bku c

k²logv u

56.

Z x²dx

u²v¼ a² b²kuþ 1

k² c²

dlogðvÞ þaðkbcÞ b² logðuÞ

57.

Z dx

uⁿv^m¼ 1 kðm1Þ

1

uⁿ¹v^m1 ðmþn2Þb

Z dx

uⁿv^m1

58.

Z u

vdx¼bx d þ k

d²logðvÞ

59.

Z u^mdx

vⁿ ¼ 1 kðn1Þ

u^mþ1

vⁿ¹þbðnm2Þ

Z u^m

vⁿ¹dx or

1 dðnm1Þ

u^m vⁿ¹þmk

Z u^m1

vⁿ dx

or 1 dðn1Þ

u^m vⁿ¹mb

Z u^m1

vⁿ¹ dx 8>

>>

><

>>

:

FORMS CONTAINING (aþbxⁿ)

60.

Z dx

aþbx²¼ 1 ffiffiffiffiffi

pabtan¹x ffiffiffiffiffi pab

a , ðab>0Þ

61.

Z dx

aþbx²¼ 1 2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffi

ab

p logaþx ffiffiffiffiffiffiffiffiffi

ab p ax ffiffiffiffiffiffiffiffiffi

ab

p , ðab<0Þ or

ffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 ab

p tanh¹x ffiffiffiffiffiffiffiffiffi

pab

a , ðab<0Þ 8>

>>

><

>>

: 62.

Z dx

a²þb²x²¼ 1 abtan¹bx

a

63.

Z x dx

aþbx²¼ 1

2blogðaþbx²Þ 64.

Z x²dx

aþbx²¼x ba

b

Z dx

aþbx² 65.

Z dx

ðaþbx²Þ²¼ x 2aðaþbx²Þþ 1

2a

Z dx

aþbx²

(5)

66.

Z dx

a²b²x²¼ 1

2ablogaþbx abx

67.

Z dx

ðaþbx²Þ^mþ1¼ 1 2ma

x

ðaþbx²Þ^mþ2m1 2ma

Z dx

ðaþbx²Þ^m or

ð2mÞ!

ðm!Þ² x 2a

X^m

r¼1

r!ðr1Þ!

ð4aÞ^mrð2rÞ!ðaþbx²Þ^rþ 1 ð4aÞ^m

Z dx

aþbx²

" #

8>

>>

><

>>

:

68.

Z x dx

ðaþbx²Þ^mþ1¼ 1 2bmðaþbx²Þ^m

69.

Z x²dx

ðaþbx²Þ^mþ1¼ x

2mbðaþbx²Þ^mþ 1 2mb

Z dx

ðaþbx²Þ^m

70.

Z dx

xðaþbx²Þ¼ 1 2alog x²

aþbx² 71.

Z dx

x²ðaþbx²Þ¼ 1 axb

a

Z dx

aþbx²

72.

Z dx

xðaþbx²Þ^mþ1¼

1

2amðaþbx²Þ^mþ1 a

Z dx

xðaþbx²Þ^m or

1 2a^mþ1

X^m

r¼1

a^r

rðaþbx²Þ^rþlog x² aþbx²

" #

8>

>>

><

>>

:

73.

Z dx

x²ðaþbx²Þ^mþ1¼1 a

Z dx

x²ðaþbx²Þ^mb a

Z dx

ðaþbx²Þ^mþ1

74.

Z dx

aþbx³¼ k 3a

1

2logðkþxÞ³ aþbx³þ ffiffiffi

3 p

tan¹2xk k ffiffiffi

p3

, k¼

ffiffiffia b

3

r

75.

Z x dx

aþbx³¼ 1 3bk

1

2logaþbx³ ðkþxÞ³þ ffiffiffi

3 p

tan¹2xk k ffiffiffi

p3

, k¼

ffiffiffia b

3

r

76.

Z x²dx

aþbx³¼ 1

3blogðaþbx³Þ

77.

Z dx

aþbx⁴¼ k 2a

1

2logx²þ2kxþ2k²

x²2kxþ2k²þtan¹ 2kx 2k²x²

, ab>0,k¼ ffiffiffiffiffi

a 4b

4

r

78.

Z dx

aþbx⁴¼ k 2a

1 2logxþk

xkþtan¹x k

, ab<0,k¼ ffiffiffiffiffiffiffi a b

4

r

79.

Z x dx

aþbx⁴¼ 1 2bktan¹x²

k, ab>0,k¼ ffiffiffia b

r

80.

Z x dx

aþbx⁴¼ 1

4bklogx²k

x²þk, ab<0,k¼ ffiffiffiffiffiffiffi a b

r

81.

Z x²dx

aþbx⁴¼ 1 4bk

1

2logx²2kxþ2k²

x²þ2kxþ2k²þtan¹ 2kx 2k²x²

, ab>0,k¼ ffiffiffiffiffi

a 4b

4

r

(6)

82.

Z x²dx

aþbx⁴¼ 1

4bk logxk

xþkþ2 tan¹x k

, ab<0,k¼ ffiffiffiffiffiffiffi a b

4

r

83.

Z x³dx

aþbx⁴¼ 1

4blogðaþbx⁴Þ

84.

Z dx

xðaþbxⁿÞ¼ 1 anlog xⁿ

aþbxⁿ

85.

Z dx

ðaþbxⁿÞ^mþ1¼1 a

Z dx

ðaþbxⁿÞ^mb a

Z xⁿdx

ðaþbxⁿÞ^mþ1

86.

Z x^mdx

ðaþbxⁿÞ^pþ1¼1 b

Z x^mndx

ðaþbxⁿÞ^pa b

Z x^mndx

ðaþbxⁿÞ^pþ1

87.

Z dx

x^mðaþbxⁿÞ^pþ1¼1 a

Z dx

x^mðaþbxⁿÞ^pb a

Z dx

x^mnðaþbxⁿÞ^pþ1

88.

Z

x^mðaþbxⁿÞ^pdx¼

1

bðnpþmþ1Þ x^mnþ1ðaþbxⁿÞ^pþ1aðmnþ1Þ Z

x^mnðaþbxⁿÞ^pdx

or 1

npþmþ1 x^mþ1ðaþbxⁿÞ^pþanp Z

x^mðaþbxⁿÞ^p1dx

or 1

aðmþ1Þ x^mþ1ðaþbxⁿÞ^pþ1 ðmþ1þnpþnÞb Z

x^mþnðaþbxⁿÞ^pdx

or 1

anðpþ1Þ x^mþ1ðaþbxⁿÞ^pþ1þ ðmþ1þnpþnÞ Z

x^mðaþbxⁿÞ^pþ1dx 8>

>>

<

>>

>:

FORMS CONTAININGc³x³

89.

Z dx

c³x³¼ 1

6c²logðcxÞ³ c³x³þ 1

c² ffiffiffi 3

p tan¹2xc c ffiffiffi

3 p

90.

Z dx

ðc³x³Þ²¼ x

3c³ðc³x³Þþ 2 3c³

Z dx

c³x³

91.

Z dx

ðc³x³Þ^nþ1¼ 1 3nc³

x

ðc³x³Þⁿþ ð3n1Þ

Z dx

ðc³x³Þⁿ

92.

Z x dx

c³x³¼ 1

6clogc³x³ ðcxÞ³ 1

c ffiffiffi

p3tan¹2xc c ffiffiffi

p3

93.

Z x dx

ðc³x³Þ²¼ x²

3c³ðc³x³Þþ 1 3c³

Z x dx

c³x³

(7)

94.

Z x dx

ðc³x³Þ^nþ1¼ 1 3nc³

x²

ðc³x³Þⁿþ ð3n2Þ

Z x dx

ðc³x³Þⁿ

95.

Z x²dx

c³x³¼ 1

3logðc³x³Þ 96.

Z x²dx

ðc³x³Þ^nþ1¼ 1 3nðc³x³Þⁿ 97.

Z dx

xðc³x³Þ¼ 1 3c³log x³

c³x³ 98.

Z dx

xðc³x³Þ²¼ 1

3c³ðc³x³Þþ 1 3c⁶log x³

c³x³ 99.

Z dx

xðc³x³Þ^nþ1¼ 1

3nc³ðc³x³Þⁿþ1 c³

Z dx

xðc³x³Þⁿ 100.

Z dx

x²ðc³x³Þ¼ 1 c³x1

c³

Z x dx

c³x³ 101.

Z dx

x²ðc³x³Þ^nþ1¼1 c³

Z dx

x²ðc³x³Þⁿ1 c³

Z x dx

ðc³x³Þ^nþ1 FORMS CONTAININGc⁴x⁴

102.

Z dx

c⁴þx⁴¼ 1 2c³ ffiffiffi

2 p 1

2logx²þcx ffiffiffi 2 p

þc² x²cx ffiffiffi

2 p

þc²þtan¹ cx ffiffiffi 2 p c²x²

" #

103.

Z dx

c⁴x⁴¼ 1 2c³

1 2logcþx

cxþtan¹x c

104.

Z x dx

c⁴þx⁴¼ 1 2c²tan¹x²

c²

105.

Z x dx

c⁴x⁴¼ 1

4c²logc²þx² c²x² 106.

Z x²dx

c⁴þx⁴¼ 1 2c ffiffiffi

2 p 1

2logx²cx ffiffiffi 2 p

þc² x²þcx ffiffiffi

2 p

þc²þtan¹ cx ffiffiffi 2 p c²x²

" #

107.

Z x²dx

c⁴x⁴¼ 1 2c

1 2logcþx

cxtan¹x c

108.

Z x³dx

c⁴x⁴¼ 1

4logðc⁴x⁴Þ

FORMS CONTAINING (aþbxþcx²) X¼aþbxþcx²andq¼4acb²

Ifq¼0, thenX¼c xþ b 2c

2

, and formulas starting with 23 should be used in place of these.

109.

Z dx

X¼ 2 ffiffiffiq

p tan¹2cxþb ffiffiffiq

p , ðq>0Þ

110.

Z dx

X¼ 2ffiffiffiffiffiffiffiq

p tanh¹2cxþb ffiffiffiffiffiffiffi pq or 1ffiffiffiffiffiffiffi

pqlog2cxþbpffiffiffiffiffiffiffiq

2cxþbþpffiffiffiffiffiffiffiq, ðq<0Þ 8>

>>

><

>>

: 111.

Z dx

X²¼2cxþb qX þ2c

q

Z dx

X

(8)

112.

Z dx

X³¼2cxþb q

1 2X²þ3c

qX

þ6c² q²

Z dx

X

113.

Z dx

X^nþ1¼

2cxþb

nqXⁿ þ2ð2n1Þc qn

Z dx

Xⁿ or

ð2nÞ!

ðn!Þ² c q

n 2cxþb q

Xⁿ

r¼1

q cX

r ðr1Þ!r!

ð2rÞ!

þ

Z dx

X

" #

8>

>>

><

>>

: 114.

Z x dx

X ¼ 1

2clogXb 2c

Z dx

X

115.

Z x dx

X² ¼bxþ2a qX b

q

Z dx

X

116.

Z x dx

X^nþ1¼ 2aþbx

nqXⁿ bð2n1Þ nq

Z dx

Xⁿ

117.

Z x² Xdx¼x

c b

2c²logXþb²2ac 2c²

Z dx

X

118.

Z x²

X²dx¼ðb²2acÞxþab cqX þ2a

q

Z dx

X

119.

Z x^mdx

X^nþ1¼ x^m1

ð2nmþ1ÞcXⁿ nmþ1 2nmþ1b

c

Z x^m1dx

X^nþ1 þ m1

2nmþ1a c

Z x^m2dx

X^nþ1

120.

Z dx

xX¼ 1 2alogx²

Xb 2a

Z dx

X

121.

Z dx

x²X¼ b 2a²logX

x² 1 axþ b²

2a²c a

Z dx

X

122.

Z dx

xXⁿ¼ 1

2aðn1ÞXⁿ¹ b 2a

Z dx

Xⁿþ1 a

Z dx

xXⁿ¹

123.

Z dx

x^mX^nþ1¼ 1

ðm1Þax^m1Xⁿnþm1 m1 b

a

Z dx

x^m1X^nþ1 2nþm1

m1 c a

Z dx

x^m2X^nþ1

FORMS CONTAINING ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx p

124.

Z ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx p

dx¼ 2 3b

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðaþbxÞ³ q

125.

Z

x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx p

dx¼ 2ð2a3bxÞ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðaþbxÞ³ q 15b²

126.

Z

x² ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx

p dx¼2ð8a²12abxþ15b²x²Þ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðaþbxÞ³ q 105b³

127.

Z

x^m ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx p

dx¼ 2 bð2mþ3Þ x^m

ma Z

x^m1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx p

dx

or 2 b^mþ1

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx p X^m

r¼0

m!ðaÞ^mr

r!ðmrÞ!ð2rþ3ÞðaþbxÞ^rþ1 8>

>>

><

>>

:

(9)

128.

Z ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx p

x dx¼2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx p

þa

Z dx

x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx p

129.

x² dx¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx p

x þb 2

Z dx

130.

x^m dx¼ 1 ðm1Þa

x^m1 þð2m5Þb 2

x^m1 dx 2

4

3 5

131.

Z dx

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx

p ¼2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

aþbx p

b

132.

Z x dx

p ¼ 2ð2abxÞ 3b²

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx p

133.

Z x²dx

p ¼2ð8a²4abx3b²x²Þ 15b³

134.

Z x^mdx

p ¼

2

ð2mþ1Þb x^m ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx p

ma

Z x^m1dx

or 2ðaÞ^m ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

aþbx p b^mþ1

X^m

r¼0

ð1Þ^rm!ðaþbxÞ^r ð2rþ1Þr!ðmrÞ!a^r 8>

>>

<

>>

>:

135.

Z dx

x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx

p ¼ 1

ffiffiffia p log

pffiffiffia ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx p

þpffiffiffia

, ða>0Þ

136.

Z dx

x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx

p ¼ 2

ffiffiffiffiffiffiffi patan¹

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx a r

, ða<0Þ

137.

Z dx

x² ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx

p ¼

ax b

2a

Z dx

138.

Z dx

xⁿ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx

p ¼

ðn1Þaxⁿ¹ð2n3Þb ð2n2Þa

Z dx

xⁿ¹ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx p

ð2n2Þ!

½ðn1Þ!²

"

a X

n1

r¼1

r!ðr1Þ!

x^r2ðrÞ! b 4a

nr1

þ b 4a

n1Z dx

# 8>

>>

><

>>

:

139.

Z

ðaþbxÞⁿ²dx¼2ðaþbxÞ²ⁿ² bð2nÞ

140.

Z

xðaþbxÞⁿ²dx¼ 2 b²

ðaþbxÞ⁴ⁿ²

4n aðaþbxÞ²ⁿ² 2n

" #

141.

Z dx

xðaþbxÞ^m² ¼1 a

Z dx

xðaþbxÞ^m2² b

a

Z dx

ðaþbxÞ^m²

(10)

142.

Z ðaþbxÞⁿ⁼²dx

x ¼b

Z

ðaþbxÞ^ðn2Þ=2dxþa

Z ðaþbxÞ^ðn2Þ⁼²

x dx

143.

Z

fðx, ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx p

Þdx¼2 b Z

f z²a b ,z

z dz, ðz¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx p

Þ

FORMS CONTAINING ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþbx p

and ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cþdx p u¼aþbx v¼cþdx k¼adbc Ifk¼0, then,v¼c

au, and formulas starting with 124 should be used in place of these.

144.

Z dx

ffiffiffiffiffi puv¼

2ffiffiffiffiffiffi pbdtanh¹

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pbduv

bv , bd>0,k<0 or

2ffiffiffiffiffiffi bd p tanh¹

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi bduv p

du , bd>0,k>0:

or 1ffiffiffiffiffiffi

bd

p logðbvþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

bduv p

Þ²

v , ðbd>0Þ 8>

>>

><

>>

:

145.

Z dx

ffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 bd p tan¹

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi bduv p

bv or

1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffi bd

p sin¹ 2bdxþadþbc jkj

, ðbd<0Þ 8>

>>

<

>>

>:

146.

Z ffiffiffiffiffi

puv

dx¼kþ2bv 4bd

ffiffiffiffiffi puv

k² 8bd

Z dx

ffiffiffiffiffi puv

147.

Z dx

vp ¼ffiffiffiu 1ffiffiffiffiffiffi pkdlogd ffiffiffi

pu

ffiffiffiffiffiffi

kd p dpffiffiffiu

þ ffiffiffiffiffiffi pkd or

1ffiffiffiffiffiffi kd p logðd ffiffiffi

pu

ffiffiffiffiffiffi

kd p

Þ²

v , ðkd>0Þ 8>

>>

<

>>

>:

148.

Z dx

vp ¼ffiffiffiu 2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffi kd

p tan¹ dpffiffiffiu ffiffiffiffiffiffiffiffiffi kd

p , ðkd<0Þ

149.

Z x dx

ffiffiffiffiffi puv

bd adþbc 2bd

Z dx

ffiffiffiffiffi puv

150.

Z dx

v ffiffiffiffiffi

puv¼2pffiffiffiffiffiuv kv

151.

Z v dx

ffiffiffiffiffi puv

b k 2b

Z dx

ffiffiffiffiffi puv

152.

Z ffiffiffi

v u r

dx¼ v jvj

Z v dx

ffiffiffiffiffi puv

153.

Z v^m ffiffiffi

pu

dx¼ 1

ð2mþ3Þd 2v^mþ1 ffiffiffi pu

þk Z v^mdx

ffiffiffiu p

(11)

154.

Z dx

v^mp ¼ ffiffiffiu 1 ðm1Þk

ffiffiffiu p

v^m1þ m3 2

b

Z dx

v^m1pffiffiffiu

155.

Z v^mdx ffiffiffiu p ¼

2

bð2mþ1Þ v^mpffiffiffiu mk

Z v^m1

ffiffiffiu p dx

or 2ðm!Þ²pffiffiffiu bð2mþ1Þ!

X^m

r¼0

4k b mrð2rÞ!

ðr!Þ²v^r 8>

>>

<

>>

>:

FORMS CONTAINING ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

156.

Z ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

dx¼¹₂½x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

a²logðxþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

Þ

157.

Z dx

p ¼logðxþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x²a² p

Þ

158.

Z dx

x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a²

p ¼ 1

jajsec¹x a

159.

Z dx

x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²þa² p ¼ 1

alog aþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²þa² p

x

!

160.

Z ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²þa² p

x dx¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x²þa²

p alog aþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x²þa² p

x

!

161.

x²a² p

jajsec¹x a

162.

Z x dx

p ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x²a² p

163.

Z

x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

dx¼¹₃

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx²a²Þ³ q

164.

Z ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx²a²Þ³ q

dx¼1 4 x

3a²x 2

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

þ3a⁴

2 logðxþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

Þ

165.

Z dx

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx²a²Þ³

q ¼ x

a² ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

166.

Z x dx

q ¼ 1

167.

Z x

dx¼¹₅

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx²a²Þ⁵ q

168.

Z

x² ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

dx¼x 4

a²

8x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

a⁴

8logðxþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

Þ

169.

Z

x³ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²þa²

p dx¼ ð¹₅x²₁₅²a²Þ

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða²þx²Þ³ q

170.

Z

x³ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

dx¼1 5

þa² 3

171.

Z x²dx

p ¼x

2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

a²

Þ

(12)

172.

Z x³dx

p ¼1

3

173.

Z dx

x² ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a²

p ¼

a²x

174.

Z dx

x³ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²þa²

p ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²þa² p

2a²x² þ 1

2a³logaþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²þa² p

x

175.

Z dx

x³ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a²

p ¼

2a²x² þ 1 2ja³jsec¹x

a

176.

Z x²

dx¼x 6

a²x 24

a⁴x 16

a⁶

Þ

177.

Z x³

dx¼1 7

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx²a²Þ⁷ q

a² 5

178.

dx x² ¼

x þlogðxþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x²a² p

Þ

179.

Z ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²þa² p

x³ dx¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²þa² p

2x² 1

2alogaþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²þa² p

x

180.

x³ dx¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

2x² þ 1 2jajsec¹x

a

181.

x⁴ dx¼

3a²x³ 182.

Z x²dx

q ¼ x

p þlogðxþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x²a² p

Þ

183.

Z x³dx

q ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x²a² p

184.

Z dx

x

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx²þa²Þ³

q ¼ 1

a² ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²þa²

p 1

a³logaþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²þa² p

x

185.

Z dx

x

q ¼ 1

a² ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a²

p 1

ja³jsec¹x a

186.

Z dx

x²

q ¼ 1

a⁴

x þ x

" #

187.

Z dx

x³

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx²þa²Þ³

q ¼ 1

2a²x² ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²þa²

p 3

2a⁴ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²þa²

p þ 3

2a⁵logaþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²þa² p

x

188.

Z dx

x³

q ¼ 1

2a²x² ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a²

p 3

2a⁴ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a²

p 3

2ja⁵jsec¹x a

189.

Z x^m

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p dx¼1

mx^m1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

m1 m a²

Z x^m2

p dx

(13)

190.

Z x^2m

p dx¼ ð2mÞ!

2^2mðm!Þ²

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p X^m

r¼1

r!ðr1Þ!

ð2rÞ! ða²Þ^mrð2xÞ^2r1

"

þ ða²Þ^mlogðxþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

Þ

#

191.

Z x^2mþ1

p dx¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

x²a² p X^m

r¼0

ð2rÞ!ðm!Þ²

ð2mþ1Þ!ðr!Þ²ð4a²Þ^mrx^2r

192.

Z dx

x^m ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a²

p ¼

ðm1Þa²x^m1 ðm2Þ ðm1Þa²

Z dx

x^m2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

193.

Z dx

x^2m ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a²

x²a² p X^m1

r¼0

ðm1Þ!m!ð2rÞ!2^2m2r1 ðr!Þ²ð2mÞ!ða²Þ^mrx^2rþ1

194.

Z dx

x^2mþ1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²þa² p ¼ð2mÞ!

ðm!Þ²

a²

X^m

r¼1

ð1Þ^mrþ1 r!ðr1Þ!

2ð2rÞ!ð4a²Þ^mrx^2r

"

þð1Þ^mþ1 2^2ma^2mþ1log

þa x

#

195.

Z dx

x^2mþ1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p ¼ð2mÞ!

ðm!Þ²

a²

X^m

r¼1

r!ðr1Þ!

2ð2rÞ!ð4a²Þ^mrx^2rþ 1

2^2mjaj^2mþ1sec¹x a

" #

196.

Z dx

ðxaÞ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a²

p ¼

aðxaÞ

197.

Z dx

ðxþaÞ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a²

p ¼

aðxþaÞ 198.

Z

fðx, ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²þa²

p Þdx¼a

Z

fðatanu,asecuÞsec²u du, u¼tan¹x a,a>0

199.

Z

fðx, ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x²a² p

Þdx¼a Z

fðasecu,atanuÞsecutanu du, u¼sec¹x a,a>0

FORMS CONTAINING ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

200.

Z ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

dx¼1

2 x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

þa²sin¹ x jaj

201.

Z dx

p ¼

sin¹ x jaj or cos¹ x

jaj 8>

>>

<

>>

>:

202.

Z dx

x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p ¼ 1

x

!

203.

a²x² p

x

!

204.

Z x dx

a²x² p

205.

Z

x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

dx¼ ¹₃

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða²x²Þ³ q

(14)

206.

Z ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða²x²Þ³ q

dx¼1 4 x

þ3a²x 2

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

þ3a⁴ 2 sin¹ x

jaj

207.

Z dx

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða²x²Þ³

q ¼ x

a² ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

208.

Z x dx

q ¼ 1

209.

Z x

dx¼ ¹₅

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða²x²Þ⁵ q

210.

Z

x² ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

dx¼ x 4

þa²

8 x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

þa²sin¹ x jaj

211.

Z

x³ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

dx¼ ð¹₅x²₁₅²a²Þ

212.

Z x²

dx¼ 1 6x

þa²x 24

þa⁴x 16

þa⁶ 16sin¹ x

jaj 213.

Z x³

dx¼1 7

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða²x²Þ⁷ q

a² 5

214.

Z x²dx

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p ¼ x

2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

þa² 2sin¹ x

jaj 215.

Z dx

x² ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x²

p ¼

a²x

216.

x² dx¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

x sin¹ x jaj 217.

x³ dx¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

2x² þ1

2alogaþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

x

218.

x⁴ dx¼

3a²x³ 219.

Z x²dx

q ¼ x

p sin¹ x jaj

220.

Z x³dx

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p ¼ 2

3ða²x²Þ³⁼²x²ða²x²Þ¹⁼²¼ 1 3

ðx²þ2a²Þ

221.

Z x³dx

q ¼2ða²x²Þ¹⁼²þ x²

ða²x²Þ¹⁼²¼ a² ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x²

p þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

a²x² p

222.

Z dx

x³ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x²

p ¼

2a²x² 1

2a³logaþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

x

223.

Z dx

x

q ¼ 1

a² ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x²

p 1

a³logaþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

x

224.

Z dx

x²

q ¼ 1

a⁴ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

x þ x

" #

225.

Z dx

x³

q ¼ 1

2a²x² ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x²

p þ 3

2a⁴ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x²

p 3

2a⁵logaþ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a²x² p

x