＝80 平方公分
梯形形面積等於兩底和與高之乘積的一半 ＆ 已知梯形 ABCD 中， 、 為兩底， 為高，
且 ＝6 公分， ＝14 公分， ＝8 公分
習題 習題 習題
習題 9.1-41：：：：
如圖 9.1-121，梯形 ABCD 中， 、 為兩底， 為高，且 ＝8 公分，
＝10 公分，若梯形 ABCD 面積為 140 平方公分，則 ＝？
圖 圖圖
圖 9.1-121 想法
想法 想法
想法：：：：梯形形面積等於兩底和與高之乘積的一半 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) 梯形 ABCD 面積＝( ) 2
AB CD + × BE
(2) 140 平方公分＝(8 + CD) 10 2
×
公分 公分
(3) (8 公分＋ )×(10 公分)＝(140 平方公分)×2 (4) (8 公分＋ )＝(140 平方公分)×2÷(10 公分) (5) ＝(140 平方公分)×2÷(10 公分)－(8 公分)
＝20 公分
梯形形面積等於兩底和與高之乘積的 一半 ＆ 已知梯形 ABCD 中， 、 為兩底， 為高
由(1) ＆ 已知 ＝8 公分， ＝10 公 分，梯形 ABCD 面積為 140 平方公分 由(2) 等量乘法公理
由(3) 等量除法公理 由(4) 等量減法公理
如圖 9.1-122，等腰梯形 ABCD 中， 、 為兩底，且 ＝6 公分，
＝18 公分，若 ＝10 公分，則梯形 ABCD 面積為何？
圖 圖圖
圖 9.1-122 想法
想法 想法
想法：：：：(1) 利用畢氏定理求出梯形的高
(2) 梯形形面積等於兩底和與高之乘積的一半
圖圖圖圖 9.1-122(a) 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) 過 A 點作 ⊥ ， 過 B 點作 ⊥ ， 如圖 9.1-122(a) (2) ∥
(3) ∥
(4) 四邊形 ABFE 為平行四邊形
(5) ＝ ＆
＝ ＝6 公分 (6) 在△ADE 與△BCF 中
＝
＝
∠
AED＝∠
BFC＝90°
(7) △ADE △BCF作圖
由(1) ⊥ ＆ ⊥
＆ 垂直於同一直線之兩線互相平行
已知 ABCD 為梯形 ＆ 梯形一組對邊平行 由(2) ＆ (3) 兩組對邊平行的四邊形為平行 四邊形
由(4) ＆ 平行四邊形對邊等長 ＆ 已知 ＝6 公分
如圖 9.1-122(a)所示
已知 ABCD 為等腰梯形 ＆ 兩腰等長 由(5) ＝ 已證
由(1) ⊥ ＆ ⊥
由(6) ＆ 根據三角形 R.S.H.全等定理
(8) ＝
(9) ＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＝2 ＋ (10) 2 ＝ －
(11) ＝( － )÷2
＝(18 公分－6 公分)÷2 ＝6 公分
(12) 直角三角形 BCF 中
2＋ 2＝ 2
(13) 2＝ 2－ 2
＝(10 公分)2－(6 公分)2
＝64 平方公分
(14) ＝8 公分 或 ＝－8 公分 (15) ＝8 公分
(16) 梯形 ABCD 面積
＝( ) 2
AB CD + × BF
＝(6 +18 ) 8 2
×
公分 公分 公分＝96 平方公分
由(7) ＆ 兩全等三角形之對應邊相等 如圖 9.1-122(a)，全量等於分量之和 將(8) ＝ 代入
加法交換律 ＆ 結合律 由(9) 等量減法公理 由(10) 等量除法公理
將已知 ＝18 公分 ＆ (5) ＝6 公分代入
由(1) ⊥ 畢氏定理
由(12) 等量減法公理
將已知 ＝10 公分 ＆ (10) ＝6 公分代入
由(13) 求平方根
由(14) ＆ 為線段長度必大於 0
梯形形面積等於兩底和與高之乘積的一半
＆ 已知等腰梯形 ABCD 中， 、 為兩 底，且 ＝6 公分， ＝18 公分 ＆ (1) ⊥ ＆ (15) ＝8 公分
如圖 9.1-123，等腰梯形 ABCD 中，
∥
，若 ＝7 公分， ＝25 公分，＝15 公分，求梯形 ABCD 的面積。
圖 圖圖
圖 9.1-123 想法
想法 想法
想法：：：：(1) 利用畢氏定理求出梯形的高
(2) 梯形形面積等於兩底和與高之乘積的一半
圖圖圖圖 9.1-123(a) 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) 過 A 點作 ⊥ ， 過 D 點作 ⊥ ， 如圖 9.1-123(a) (2) ∥
(3) ∥
(4) 四邊形 ADFE 為平行四邊形
(5) ＝ ＆
＝ ＝7 公分 (6) 在△ABE 與△DCF 中
＝
＝
∠AEB＝∠DFC＝90°
作圖
由(1) ⊥ ＆ ⊥
＆ 垂直於同一直線之兩線互相平行
已知 ABCD 為梯形 ＆ 梯形一組對邊平行 由(2) ＆ (3) 兩組對邊平行的四邊形為平行 四邊形
由(4) ＆ 平行四邊形對邊等長 ＆ 已知 ＝7 公分
如圖 9.1-123(a)所示
已知 ABCD 為等腰梯形 ＆ 兩腰等長 由(5) ＝ 已證
由(1) ⊥ ＆ ⊥
(7) △ABE △DCF (8) ＝
(9) ＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＝2 ＋ (10) 2 ＝ －
(11) ＝( － )÷2
＝(25 公分－7 公分)÷2 ＝9 公分
(12) 直角三角形 ABE 中
2＋ 2＝ 2
(13) 2＝ 2－ 2
＝(15 公分)2－(9 公分)2
＝144 平方公分
(14) ＝12 公分 或
＝－12 公分 (15) ＝12 公分 (16) 梯形 ABCD 面積
＝( ) 2
AD + BC × AE
＝(7 + 25 ) 12 2
×
公分 公分 公分
＝192 平方公分
由(6) ＆ 根據三角形 R.S.H.全等定理 由(7) ＆ 兩全等三角形之對應邊相等 如圖 9.1-123(a)，全量等於分量之和 將(8) ＝ 代入
加法交換律 ＆ 結合律 由(9) 等量減法公理 由(10) 等量除法公理
將已知 ＝25 公分 ＆ (5) ＝7 公分代入
由(1) ⊥ 畢氏定理
由(12) 等量減法公理
將已知 ＝15 公分 ＆ (10) ＝9 公分代入
由(13) 求平方根
由(14) ＆ 為線段長度必大於 0
梯形形面積等於兩底和與高之乘積的一半
＆ 已知等腰梯形 ABCD 中， ∥ ，
＝7 公分， ＝25 公分 ＆ (1) ⊥
＆ (15) ＝12 公分
如圖 9.1-124，梯形 ABCD 中， ∥ ， 為梯形中線， 為梯形的高，
已知 ＝22 公分， ＝＝＝＝16 公分，求梯形 ABCD 的面積。
圖 圖圖
圖 9.1-124 想法
想法 想法
想法：：：：梯形面積等於中線長與高的乘積 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) 梯形 ABCD 的面積＝ ×
(2) 梯形 ABCD 的面積
＝(22 公分)×(16 公分)
＝352 平方公分
梯形面積等於中線長與高的乘積 ＆ 已知梯形 ABCD 中， ∥ ， 為梯形 中線， 為梯形的高
由(1) ＆ 已知 ＝22 公分， ＝16 公分
習題 習題 習題
習題 9.1-45：：：：
如圖 9.1-125，
已知
梯形 ABCD 中， ∥ ， 為梯形中線， 為梯形的 高，若 ＝2 公分，且梯形 ABCD 的面積為 8 平方公分，求 ＝＝＝＝？圖 圖圖
圖 9.1-125 想法
想法 想法
想法：：：：梯形面積等於中線長與高的乘積 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) 梯形 ABCD 的面積＝ ×
(2) 8 平方公分＝ ×(2 公分)
(3) ＝(8 平方公分)÷(2 公分) ＝4 公分
梯形面積等於中線長與高的乘積 ＆ 已知梯形 ABCD 中， ∥ ， 為梯形 中線， 為梯形的高
由(1) ＆ 已知 ＝2 公分，且梯形 ABCD 的面積為 8 平方公分
由(2) 等量除法公理
如圖 9.1-126，△ABC～△A'B'C'， 與 分別為 與 上的高，若
＝4 公分， ＝3 公分，則 ∆ABC
∆A'B'C' 面積
面積為何？
圖圖圖
圖 9.1-126 想法
想法 想法
想法：：：：相似三角形面積比等於對應邊的平方比或對應高的平方比 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) ∆ABC
∆A'B'C' 面積
面積
＝
2
2
AD A'D'
＝
2
2
(4 )
(3 )
公分 公分
＝16平方公分 9平方公分
＝16 9
已知△ABC～△A'B'C'， 與 分別為 與 上的高， ＝4 公分， ＝3 公分 ＆ 相似三角形面積比等於對應邊的平方比或對應 高的平方比
習題 習題 習題
習題 9.1-47：：：：
如圖 9.1-127，六邊形 ABCDEF 與六邊形 A1B1C1D1E1F1相似，已知 ＝3 公 分、 ＝2 公分，若六邊形 ABCDEF 面積為 21 平方公分，則六邊形 A1B1C1D1E1 F1面積為何？
圖 圖圖
圖 9.1-127 想法
想法 想法
想法：：：：相似多邊形面積比等於對應邊的平方比 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1)
1 1 1 1 1 1
ABCDEF A B C D E F
六邊形 面積
六邊形 面積＝
2
2 1 1
AB A B
(2)
1 1 1 1 1 1
21
A B C D E F 平方公分
六邊形 面積＝
2
2
(3 )
(2 )
公分 公分 (3) 六邊形 A1B1C1D1E1 F1面積×(3 公分)2
＝(21 平方公分)×(2 公分)2 (4) 六邊形 A1B1C1D1E1 F1面積
＝(21 平方公分)×(2 公分)2÷(3 公分)2
＝28
3 平方公分
已知六邊形 ABCDEF 與六邊形 A1B1C1D1E1F1
相似 ＆ 相似多邊形面積比等於對應邊的平 方比
由(1) ＆ 已知 ＝3 公分、 ＝2 公分，
六邊形 ABCDEF 面積為 21 平方公分 由(2) 交叉相乘
由(3) 等量除法公理
習題 習題 習題
習題 9.2-1
如圖 9.2-78，ABCDEF 為邊長為 4 公分的正六邊形，O 點為其中心，已知 此正六邊形內切圓半徑為 2 3 公分，求正六邊形 ABCDEF 面積為何？
圖圖
圖圖 9.2-78 想法
想法 想法
想法：：：：正多邊形的面積等於周長與邊心距乘積的一半
圖 圖圖
圖 9.2-78(a) 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) 以 O 點為圓心，作正六邊形 ABCDEF 的內切圓，
圓 O 與 相切於 G 點，
連接 ，如圖 9.2-78(a)所示，
則 為正六邊形之邊心距 (2) ＝2 3 公分
正多邊形內切圓的圓心為此正多邊形的中心
＆ 正多邊形內切圓的半徑，叫做此正多邊形 的邊心距
由(1) 為正六邊形之邊心距 ＆ 已知此正六邊形內切圓半徑為 2 3 公分
(3) 正六邊形 ABCDEF 周長
＝6× ＝6×(4 公分)＝24 公分 (4) 正六邊形 ABCDEF 面積
＝(24 ) (2 3 ) 2
×
公分 公分
＝24 3 平方公分
正多邊形各邊長相等 ＆ 已知 ABCDEF 為 邊長為 4 公分的正六邊形
正多邊形的面積等於周長與邊心距乘積的一 半 ＆ (3) 正六邊形 ABCDEF 周長＝24 公分
＆ (2) 邊心距 ＝2 3 公分
習題 習題 習題 習題 9.2-2
若 ABCDEFGH 為一邊長為 4 公分、面積為 96 平方公分的正八邊形，求此正 八邊形內切圓半徑為何？
想法 想法 想法
想法：：：：(1) 正多邊形的面積等於周長與邊心距乘積的一半 (2) 正多邊形內切圓的半徑，叫做此正多邊形的邊心距 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) 正八邊形 ABCDEFGH 周長
＝8×(4 公分)＝32 公分 (2) 96 平方公分
＝(32 ) 2
×
公分 正八邊形邊心距
(3) (32 平方公)×正八邊形邊心距
＝(96 平方公分)×2 (4) 正八邊形邊心距
＝(96 平方公分)×2÷(32 平方公)
＝6 公分
(5) 正八邊形內切圓半徑＝6 公分
正多邊形各邊長相等 ＆ 已知
ABCDEFGH 為邊長為 4 公分的正八邊形 正多邊形的面積等於周長與邊心距乘積 的一半 ＆ 已知 ABCDEFGH 為面積為 96 平方公分的正八邊形 ＆
(1) 正八邊形 ABCDEFGH 周長＝32 公分 由(2) 等量乘法公理
由(3) 等量除法公理
正多邊形內切圓的半徑，叫做此正多邊 形的邊心距 ＆
(3) 正八邊形邊心距＝6 公分 已證
如圖 9.2-79，ABCDEF 與 A1B1C1D1E1F1分別為邊長為 6 公分及 4 公分的 正六邊形，O 點與 O1點分別為其中心， ⊥ 、 ⊥ ，則：
(1)
1 1
OA
O A ＝？ (2)
1 1
OG O G ＝？
圖圖
圖圖 9.2-79 想法
想法 想法
想法：：：：兩個邊數相等的正多邊形的周長比，等於邊長比或半徑比或邊心距比
圖圖圖 9.2-79(a) 圖 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) 以 O 點為圓心，分別以 、 為半徑作 正六邊形 ABCDEF 的外接圓與內切圓；
以 O1點為圓心，分別以 、 為半 徑作正六邊形 A1B1C1D1E1F1的內切圓；
如圖 9.2-79(a)所示；
其中 為正六邊形 ABCDEF 的半徑
已知 O 點與 O1 點分別為正六邊形 ABCDEF 與正六邊形 A1B1C1D1E1F1
的中心 ＆ 正多邊形的中心為此正 多邊形外接圓與內切圓圓心 ＆ 正多邊形外接圓半徑為此正多邊形 的半徑 ＆
為正六邊形 A1B1C1D1E1F1的半徑 為正六邊形 ABCDEF 的邊心距
為正六邊形 A1B1C1D1E1F1的邊心距
(2)
1 1
OA O A ＝
1 1
AB A B ＝6
4 公分 公分＝
2 3
(3)
1 1
OG O G ＝
1 1
AB A B ＝6
4 公分 公分＝
2 3
已知 ⊥ 、 ⊥ ＆
正多邊形內切圓半徑為此正多邊形 的邊心距
由(1) ＆ 兩邊數相等的正多邊形的 半徑比等於邊長比 ＆ 已知正六邊 形 ABCDEF 與 A1B1C1D1E1F1的邊長 分別為 6 公分及 4 公分
由(1) ＆ 兩邊數相等的正多邊形的 邊心距比等於邊長比 ＆ 已知正六 邊形 ABCDEF 與 A1B1C1D1E1F1的邊 長分別為 6 公分及 4 公分
如圖 9.2-80，ABCDEF 與 A1B1C1D1E1F1皆為正六邊形，已知正六邊形 ABCDEF 邊長為 8 公分、面積為 96 3 平方公分，正六邊形 A1B1C1D1E1F1面積為 24 3 平方公分，且 、 分別為正六邊形 ABCDEF 與正六邊形 A1B1C1D1E1F1 的半徑， 、 分別為正六邊形 ABCDEF 與正六邊形 A1B1C1D1E1F1的邊 心距，則：
(1) ＝？ (2)
1 1
OA
O A ＝？ (3)
1 1
OG O G ＝？
圖圖
圖圖 9.2-80 想法
想法 想法
想法：：：：兩個邊數相等的正多邊形的面積比，等於邊長的平方比或半徑的平方比或 邊心距的平方比
解 解 解 解：：：：
敘述 理由
(1)
1 1 1 1 1 1
ABCDEF A B C D E F
正六邊形 面積
正六邊形 面積
＝
2
2 1 1
AB A B
＝
2
2 1 1
OA O A
＝
2
2 1 1
OG O G
(2) 96 3 24 3
平方公分 平方公分＝
2
2 1 1
(8 ) A B
公分
＝
2
2 1 1
OA O A
＝
2
2 1 1
OG O G
已知 ABCDEF 與 A1B1C1D1E1F1皆為正六邊 形， 、 分別為正六邊形 ABCDEF 與 正六邊形 A1B1C1D1E1F1的半徑， 、 分 別 為 正 六 邊 形 ABCDEF 與 正 六 邊 形 A1B1C1D1E1F1 的邊心距 ＆ 兩個邊數相等 的正多邊形的面積比，等於邊長的平方比或 半徑的平方比或邊心距的平方比
由(1) ＆ 已知正六邊形 ABCDEF 邊長為 8 公分、面積為 96 3 平方公分，正六邊形 A1B1C1D1E1F1面積為 24 3 平方公分
(3) A B ×(96 3 平方公分) 1 12
＝(24 3 平方公分)×(8 公分)2
(4) A B ＝1 12
(24 3 ) (8 )2
96 3
×
平方公分 公分 平方公分 ＝16 平方公分
(5) ＝－4 公分 或 ＝4 公分 (6) ＝4 公分
(7) 96 3 24 3
平方公分 平方公分＝
2
2 1 1
OA O A
＝
2
2 1 1
OG O G
(8)
2
2 1 1
OA O A
＝
2
2 1 1
OG O G
＝4
(9)
1 1
OA O A ＝
1 1
OG
O G ＝－2 或
1 1
OA O A ＝
1 1
OG O G ＝2
(10)
1 1
OA O A ＝
1 1
OG O G ＝2
由(2) 交叉相乘
由(3) 等量除法公理
由(4) 求平方根
由(5) ＆ 為長度必大於 0
由(2) 96 3 24 3
平方公分 平方公分＝
2
2 1 1
OA O A
＝
2
2 1 1
OG O G 由(7) ＆ 倍比定理
由(8) 求平方根
由(9) ＆ 、 、 、 皆為長度，
其比值必大於 0
習題 習題 習題 習題 9.2-5
已知圓 O 半徑為 6 公分、圓 O1半徑為 4 公分，求圓 O 與圓 O1周長之比。
想法 想法 想法
想法：：：：兩圓的圓周比等於兩圓的半徑比 解解
解解：：：：
敘述 理由
(1) 圓 O 周長：圓 O1周長
＝(6 公分)：(4 公分)
＝3：2
兩圓的圓周比等於兩圓的半徑比 ＆
已知圓 O 半徑為 6 公分、圓 O1半徑為 4 公分
＆ 倍比定理
如圖 9.2-81，已知圓 O 半徑 ＝5 公分，則圓 O 周長為何？
圖 圖 圖
圖 9.2-81 想法
想法 想法
想法：：：：圓周長等於直徑乘以圓周率 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) 圓 O 直徑 ＝2
＝2×(5 公分)＝10 公分 (2) 圓 O 周長＝(10 公分)×π＝10π 公分
直徑為半徑的 2 倍 ＆ 已知圓 O 半徑 ＝5 公分 圓周長等於直徑乘以圓周率 ＆ (1) 圓 O 直徑＝10 公分
習題 習題 習題 習題 9.2-7
圖 9.2-82 中，圓 O1與圓 O2內切，且圓 O1半徑 為圓 O2直徑，已知
＝4 公分，求圓 O1的周長為何？
圖 圖 圖
圖 9.2-82 想法
想法 想法
想法：：：：圓周長等於直徑乘以圓周率 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) ＝2
＝2×(4 公分) ＝8 公分 (2) 圓 O1直徑＝2
＝2×(8 公分) ＝16 公分
(3) 圓 O1的周長＝圓 O1直徑×π ＝(16 公分) ×π ＝16π 公分
直徑為半徑的 2 倍 ＆
已知圓 O1半徑 為圓 O2直徑，
且 ＝4 公分
直徑為半徑的 2 倍 ＆ 由(1) ＝8 公分 已證
圓周長等於直徑乘以圓周率 ＆ 由(2) 圓 O1直徑＝16 公分 已證
圖 9.2-83 中，3 個小圓 O1、圓 O2、圓 O3為等圓且 O1、O2、O3三點均在 上，
已知圓 O1、圓 O2外切於 B 點，圓 O1、圓 O3外切於 C 點，且圓 O2、圓 O3
分別與大圓 O1內切於 A、D 兩點，若大圓 O1半徑 ＝15 公分，求圓 O3
的周長為何？
圖 圖 圖
圖 9.2-83 想法想法
想法想法：：：：圓周長等於直徑乘以圓周率 解解
解解：：：：
敘述 理由
(1) 大圓 O1直徑 ＝2
＝2×(15 公分) ＝30 公分 (2) 小圓 O1直徑
＝小圓 O2直徑
＝小圓 O3直徑
(3) ＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＝3 (4) ＝ ÷3
＝(30 公分)÷3＝10 公分 (5) 圓 O3的周長＝圓 O3直徑 ×
π
＝(10 公分)×π ＝10π 公分
圓直徑為圓半徑的 2 倍 ＆ 已知大圓 O1半徑 ＝15 公分
已知小圓 O1、圓 O2、圓 O3為等圓 ＆ 等圓直徑相等
如圖 9.2-83，全量等於分量之和 ＆ 由(2) ＝ ＝
由(3) 等量除法公理 ＆ 由(1) ＝30 公分
圓周長等於直徑乘以圓周率 ＆ 由(4) 圓 O3直徑 ＝10 公分