習題習題習題習題 9.1

習題 習題 習題 習題 9.1

習 習 習

習題題題題 9.1-1：：：：

如圖 9.1-84，ABCD 為矩形， ＝6 公分， ＝8 公分，則矩形 ABCD 的面 積為何？

圖圖

圖圖 9.1-84 想法

想法 想法

想法：：：：矩形面積等於長與寬的乘積 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 矩形 ABCD 的面積

＝ ×

＝( 6 公分)×( 8 公分)

＝48 平方公分

已知 ABCD 為矩形， ＝6 公分，

＝8 公分 ＆ 矩形面積等於長與寬的乘積

如圖 9.1-85，已知正方形 ABCD 面積為 25 平方公分，則 ＝？

圖 圖 圖

圖 9.1-85 想法

想法 想法

想法：：：：正方形面積等於邊長的平方 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 正方形 ABCD 面積＝ ²

(2) 25 平方公分＝ ²

(3) ＝－5 公分 或 ＝5 公分 (4) 所以 ＝5 公分

已知 ABCD 為正方形 ＆ 正方形面積等於邊長的平方

由(1) ＆ 已知正方形 ABCD 面積為 25 平方公分

由(2) 求平方根

由(3) ＆ 為邊長必為正數

習題 習題 習題

習題 9.1-3：：：：

如圖 9.1-86，已知四邊形 ABCD 為平行四邊形， ⊥ ，且 ＝10 公分，

＝6 公分，則平行四邊形 ABCD 面積為？

圖圖

圖圖 9.1-86 想法想法

想法想法：：：：平行四邊形面積等於底與高之乘積 解解

解解：：：：

敘述 理由

(1) 平行四邊形 ABCD 面積

＝ ×

＝(10 公分)×(6 公分)

＝60 平方公分

已知 ABCD 為平行四邊形， ⊥ 且 ＝10 公分， ＝6 公分

＆ 平行四邊形面積等於底與高之乘積

如圖 9.1-87，已知四邊形 ABCD 為平行四邊形， ⊥ ，且平行四邊形

ABCD 面積＝80 平方公分， ＝10 公分，則 ＝？

圖圖

圖圖 9.1-87 想法

想法 想法

想法：：：：平行四邊形面積等於底與高之乘積 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 平行四邊形 ABCD 面積＝ ×

(2) 80 平方公分＝10 公分×

(3) ＝(80 平方公分)÷(10 公分) ＝8 公分

已知已知四邊形 ABCD 為平行四邊形，

⊥ ＆ 平行四邊形面積等於底與

高之乘積

由(1) ＆ 已知平行四邊形 ABCD 面積

＝80 平方公分， ＝10 公分 由(2) 等量除法公理

習題 習題 習題

習題 9.1-5：：：：

如圖 9.1-88，平行四邊形 ABCD 的周長為 20 公分，

⊥ ， ， ， ，

分， ＝3 公分，求平行四邊形 ABCD 的面積。

圖 圖 圖

圖 9.1-88 想法

想法 想法

想法：：：：平行四邊形面積等於底與高之乘積 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) ＝ 且 ＝

(2) ＋ ＋ ＋ ＝20 公分 (3) ＋ ＋ ＋ ＝20 公分 (4) 2( ＋ )＝20 公分

(5) ＋ ＝(20 公分)÷2＝10 公分 (6) ＝10 公分－

＝10 公分－4 公分＝6 公分 (7) 平行四邊形 ABCD 面積

＝ ×

＝(6 公分)×(3 公分)

＝18 平方公分

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 平行四邊形對邊相等

已知平行四邊形 ABCD 周長為 20 公分 由(1) ＆ (2) 代換

由(3) 式子整理 由(4) 等量除法公理 由(5) 等量減法公理 ＆ 已知 ＝4 公分

已知已知四邊形 ABCD 為平行四邊形，

⊥ ＆ 平行四邊形面積等於底與

高之乘積 ＆ (6) ＝6 公分 已證

＆ 已知 ＝3 公分

有一長方形與一平行四邊形等面積，已知長方形之長為 9 公尺，寛為 8 公尺，

平形四邊形之底長為 12 公尺，試求此平行四邊形之高為多少？

想法想法

想法想法：：：：(1) 長方形面積等於長與寬之乘積 (2) 平行四邊形面積為底與高之乘積 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 長方形面積

＝(9 公尺)×(8 公尺)

＝72 平方公尺 (2) 平行四邊形面積

＝(12 公尺)×平行四邊形之高

(3) 72 平方公尺＝(12 公尺)×平行四邊形之高

(4) 平行四邊形之高＝72 平方公尺÷(12 公尺) ＝6 公尺

長方形面積等於長與寬之乘積 ＆ 已知長方形之長為 9 公尺，

寛為 8 公尺

平行四邊形面積為底與高之乘積 ＆ 已知平形四邊形之底長為 12 公尺 由(1) ＆ (2) ＆

已知長方形與平行四邊形等面積 由(3) 等量除法公理

習題 習題 習題

習題 9.1-7：：：：

如圖 9.1-89，△ABC 中， ⊥ ，若 ＝＝＝＝14 公分， ＝＝8 公分，則△ABC ＝＝ 面積為何？

圖 圖 圖

圖 9.1-89 想法

想法 想法

想法：：：：三角形面積等於底與高之乘積的一半 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) △ABC 面積＝

2

BC × AD

＝(14 ) (8 ) 2

×

公分 公分 ＝56 平方公分

已知△ABC 中， ⊥ ， ＝＝＝＝14 公分，

＝＝

＝＝8 公分 ＆

三角形面積等於底與高之乘積的一半

如圖 9.1-90，△ABC 中， ⊥ ，若 ＝＝＝＝6 公分， ＝＝8 公分，＝＝ ＝＝＝＝10 公分，則△ABC 面積為何？

圖圖

圖圖 9.1-90 想法想法

想法想法：：：：三角形面積等於底與高之乘積的一半 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) △ABC 面積＝

2

BC × AD

＝(6 ) (10 ) 2

×

公分 公分

＝30 平方公分

已知△ABC 中， ⊥ ， ＝＝＝＝6 公分，

＝10 公分 ＆

三角形面積等於底與高之乘積的一半

習題 習題 習題

習題 9.1-9：：：：

如圖 9.1-91，△ABC 中， ⊥ ，若 ＝＝＝＝12 公分，△ABC 面積為 48 平方 公分，則 ＝＝＝＝？

圖 圖 圖

圖 9.1-91 想法想法

想法想法：：：：三角形面積等於底與高之乘積的一半 解解

解解：：：：

敘述 理由

(1) △ABC 面積＝

2

BC × AD

(2) 48 平方公分＝(12 ) AD 2

×

(3) (12 公分)× ＝(48 平方公分)×2 (4) ＝＝(48 平方公分)×2÷(12 公分) ＝＝

＝8 公分

已知△ABC 中， ⊥ ＆

三角形面積等於底與高之乘積的一半 由(1) ＆ 已知 ＝＝＝＝12 公分，△ABC 面積 為 48 平方公分

由(2) 等量乘法公理 由(3) 等量除法公理

如圖 9.1-92，已知△ABC 為直角三角形，若∠B＝30°，

∠A＝60°，∠C＝90°，

且 ＝12 公分，則△ABC 面積為何？

圖圖

圖圖 9.1-92 想法

想法 想法

想法：：：：(1) 利用 30°-90°-60°的直角三角形，其邊長比為 1：2： 3 ，求出直角 三角形的兩股長度

(2) 三角形面積等於底與高之乘積的一半 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) ： ： ＝1：2： 3

(2) ：(12 公分)＝1：2 (3) 2× ＝1× (12 公分) (4) ＝(12 公分)÷2＝6 公分 (5) (12 公分)： ＝2： 3 (6) 2× ＝ 3 ×(12 公分) (7) ＝ 3 ×(12 公分)÷ 2

＝6 3 公分 (8) △ABC 面積

＝AC BC 2

×

＝(6 ) (6 3 ) 2

×

公分 公分

＝18 3 平方公分

已知△ABC 為直角三角形，若∠B＝30°，

∠A＝60°，∠C＝90° ＆ 30°-90°-60°的直角

由(1) ： ＝1：2 ＆ 已知 ＝12 公分 由(2) ＆ 外項乘積等於內項乘積

由(3) 等量除法公理

由(1) ： ＝2： 3 ＆ 已知 ＝12 公分 由(5) ＆ 內項乘積等於外項乘積

由(6) 等量除法公理

三角形面積等於底與高之乘積的一半 ＆ (4) ＝6 公分 ＆ (7) ＝6 3 公分 已證

習題 習題 習題

習題 9.1-11：：：：

如圖 9.1-93，已知△ABC 為直角三角形，若∠B＝30°，∠C＝60°，

∠CAB＝90°，且

圖 圖 圖

圖 9.1-93 想法

想法 想法

想法：：：：(1) 利用 30°-90°-60°的直角三角形，其邊長比為 1：2： 3 ，求出 與 (2) 三角形面積等於底與高之乘積的一半

解解 解解：：：：

敘述 理由

(1) △BAM 中，

∠MAB＋∠B＋∠AMB＝180°

(2)

∠MAB＝180°－∠B－∠AMB

(3) △BAM 為 30°-90°-60°的直角 三角形

(4) ： ： ＝1：2： 3

(5) (6 公分) ： ＝1：2 (6) ＝2×6 公分＝12 公分 (7) △ACM 中，

∠CAM＋∠C＋∠AMC＝180°

(8)

∠CAM＝180°－∠C－∠AMC

(9) △ACM 為 30°-90°-60°的直角 三角形

(10) ： ： ＝1：2： 3

如圖 9.1-93 所示 三角形內角和 180°

由(1) 等量減法公理 ＆

已知

∠B＝30° ＆

已知∠B＝30° ＆ (2) ∠MAB＝60° 已證

＆ 已知 ⊥ ，∠AMB＝90

°

由(3) ＆ 30°-90°-60°的直角三角形，其邊長 比為 1：2： 3

由(4) ： ＝1：2 ＆ 已知 ＝6 公分 由(5) ＆ 內項乘積等於外項乘積

如圖 9.1-93 所示 三角形內角和 180°

由(7) 等量減法公理 ＆

已知∠C＝60° ＆ ⊥ ，∠AMC＝90°

由(8)

∠CAM＝30° 已證 ＆

已知 ⊥ ，∠AMC＝90° ＆

∠C＝60°

由(9) ＆ 30

°

°

°

(12) 3 × ＝2×(6 公分) (13) ＝2 (6 )

3

×

＝4 3 公分 (14) △ABC 面積

＝AB AC 2

×

＝(12 ) (4 3 ) 2

×

公分 公分

＝24 3 平方公分

已知 ＝6 公分

由(11) ＆ 外項乘積等於內項乘積 由(12) 等量除法公理

三角形面積等於底與高之乘積的一半 ＆ (6) ＝12 公分 ＆ (13) ＝4 3 公分 已證

習題 習題 習題

習題 9.1-12：：：：

如圖 9.1-94，已知△ABC 為等腰直角三角形，若 ＝12 公分，則△ABC 面 積為何？

圖圖

圖圖 9.1-94 想法

想法 想法

想法：：：：(1) 利用 45°-45°-90°的等腰直角三角形，其邊長比為 1：1：

2

(2) 三角形面積等於底與高之乘積的一半 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) ： ： ＝1：1：

2

(2) ：(12 公分)＝1：

2

2

= 6 2 2

公分 公分

(5) ＝ ＝ 6 2公分 (6) △ABC 面積

＝AC BC 2

×

＝(6 2 ) (6 2 ) 2

×

公分 公分

＝36 平方公分

已知△ABC 為等腰直角三角形 ＆

45°-45°-90°的等腰直角三角形，其邊長比為 1：1：

2

由(1) ： ＝1：

2

由(3) 等量除法公理

由(1) ： ＝1：1 ＆ (4) ＝ 6 2公分 三角形面積等於底與高之乘積的一半 ＆ (5) ＝ ＝ 6 2公分 已證

如圖 9.1-95，已知△ABC 為等腰直角三角形，

∠C＝90°，若△ABC 面積為

圖 圖 圖

圖 9.1-95 想法想法

想法想法：：：：(1) 利用三角形面積等於底與高之乘積的一半，求出

(2) 利用 45°-45°-90°的等腰直角三角形，其邊長比為 1：1：

2

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) △ABC 面積＝AC BC 2

×

(2) 32 平方公分＝BC BC 2

×

(3) ²＝(32 平方公分)×2 ＝64 平方公分 (4) ＝8 公分 或

＝－8 公分 (5) ＝8 公分

(6) ： ： ＝1：1：

2

(7) (8 公分)： ＝1：

2

(8) ＝

2

2

已知△ABC 為等腰直角三角形，

∠

°

＆ 三角形面積等於底與高之乘積的一半 由(1) ＆ 已知△ABC 面積為 32 平方公分

＆ △ABC 為等腰直角三角形， ＝ 由(2) 等量乘法公理

由(3) 求平方根

由(4) ＆ 為線段長度必大於 0 已知△ABC 為等腰直角三角形 ＆

45

°

°

°

2

由(6) ： ＝1：

2

由(7) ＆ 內項乘積等於外項乘積

習題 習題 習題

習題 9.1-14：：：：

有一個正三角形的邊長為 4 公分，則此正三角形的面積為 。

想法 想法 想法

想法：：：：邊長為 a 單位的正三角形面積為 3 ²

4

a 平方單位

解解：：：：

敘述 理由

(1) 此正三角形的面積

＝ 3 ²

(4 ) 4 公分

＝

＝

＝＝4 3 平方公分

邊長為 a 單位的正三角形面積為 3 ²

4

a 平方單位

＆ 已知此正三角形邊長為 4 公分

習題習題

習題習題 9.1-15：：：：

若一正三角形的面積為 25 3 平方公分，則此正三角形的邊長為 。

想法 想法 想法

想法：：：：邊長為 a 單位的正三角形面積為 3 ²

4

a 平方單位

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 假設此正三角形邊長為 a 公分

(2) 25 3 平方公分＝ 3 ² 4

a

(3) 3 ×a²＝(25 3 平方公分)×4 (4) a²＝(25 3 平方公分)×4÷ 3

＝100 平方公分

(5) a＝10 公分 或 a＝－10 公分 (6) a＝10 公分

(7) 所以此正三角形邊長為 10 公分

假設

邊長為 a 單位的正三角形面積為 3 ² 4

a

由(2) 等量乘法公理 由(3) 等量除法公理

由(4) 求平方根

由(5) ＆ a 為長度必大於 0

由(1) 假設 ＆ (6) a＝10 公分 已證

如圖 9.1-96，已知△ABC 為直角三角形，∠ACB＝90°，若 ＝6 公分，

＝8 公分，且 ⊥ ，則 ＝？

圖 圖 圖

圖 9.1-96 想法

想法 想法

想法：：：：(1) 利用畢氏定理求出斜邊 的長度

(2) 直角三角形斜邊上的高等於兩股的乘積除以斜邊 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) △ABC 中

2＝ ²＋ ²

(2) ²＝(6 公分)²＋(8 公分)²

＝100 平方公分

(3) ＝10 公分 或 ＝－10 公分 (4) ＝10 公分

(5) ＝AC BC AB

×

＝(6公分) (8

×

已知△ABC 為直角三角形，

∠ACB＝90°

＆ 畢氏定理

由(1) ＆ 已知 ＝6 公分， ＝8 公分

由(2) 求平方根

由(3) ＆ 為線段長度必為正

已知△ABC 為直角三角形，

∠ACB＝90°

⊥ ＆ 直角三角形斜邊上的高等

於兩股的乘積除以斜邊 ＆

已知 ＝6 公分， ＝8 公分 ＆ (4) ＝10 公分 已證

習題 習題 習題

習題 9.1-17：：：：

如圖 9.1-97，已知△ABC 為直角三角形，

∠B＝30°

∠ACB＝90°

∠A＝60°，

若 ＝5 公分，且 ⊥ ，則 ＝？

圖 圖 圖

圖 9.1-97 想法想法

想法想法：：：：(1) 利用 30

°

°

°的直角三角形，其邊長比為 1：2： 3 ，求出直角

(2) 直角三角形斜邊上的高等於兩股的乘積除以斜邊 解解

解解：：：：

敘述 理由

(1) ： ： ＝1：2： 3

(2) (5 公分)： ＝1：2 (3) ＝2×(5 公分)＝10 公分 (4) (5 公分)： ＝1： 3

(5) ＝ 3 ×(5 公分)＝5 3 公分

(6) ＝AC BC AB

×

＝

(5

) (5 3 ×

)

2 公分

已 知 △ABC 為直 角三 角 形，

∠B ＝ 30°

∠

°

∠

°

°

°

°

由(1) ： ＝1：2 ＆ 已知 ＝5 公分 由(2) ＆ 內項乘積等於外項乘積

由(1) ： ＝1： 3 ＆ 已知 ＝5 公分 由(4) ＆ 內項乘積等於外項乘積

已知△ABC 為直角三角形，∠ACB＝90°，

且 ⊥ ＆ 直角三角形斜邊上的高等於

兩股的乘積除以斜邊 ＆ 已知 ＝5 公分

＆ (5) ＝5 3 公分 ＆ (3) ＝10 公分 已證

如圖 9.1-98，已知△ABC 為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，若△ABC 面積 為 32 平方公分，且 ⊥ ，則 ＝？

圖圖

圖圖 9.1-98 想法

想法 想法

想法：：：(1) 利用三角形面積等於底與高之乘積的一半，求出直角三角形的兩股長 ： (2) 再利用 45°-45°-90°的等腰直角三角形，其邊長比為 1：1：

2

(3) 直角三角形斜邊上的高等於兩股的乘積除以斜邊 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) △ABC 面積＝AC BC 2

×

(2) 32 平方公分＝BC BC 2

×

(3) ²＝(32 平方公分)×2 ＝64 平方公分 (4) ＝8 公分 或

＝－8 公分 (5) ＝8 公分

(6) ： ： ＝1：1：

2

(7) (8 公分)： ＝1：

2

(8) ＝

2

2

已知△ABC 為等腰直角三角形，

∠C＝90°

＆ 三角形面積等於底與高之乘積的一半 由(1) ＆ 已知△ABC 面積為 32 平方公分

＆ △ABC 為等腰直角三角形， ＝ 由(2) 等量乘法公理

由(3) 求平方根

由(4) ＆ 為線段長度必大於 0 已知△ABC 為等腰直角三角形 ＆

45°-45°-90°的等腰直角三角形，其邊長比為 1：1：

2

由(6) ： ＝1：

2

由(7) ＆ 內項乘積等於外項乘積

(9) ＝AC BC AB

×

＝(8 ) (8 ) 8 2

×

公分 公分 公分 ＝4

2

已知已知△ABC 為等腰直角三角形，

∠ACB＝90°，且

＆ 由(5) ＝8 公分

＆ 由(8) ＝8

2

習題 習題 習題

習題 9.1-19：：：：

如圖 9.1-99，已知四邊形 ABCD 為菱形， 與 為其兩對角線，若 ＝2 公分， ＝5 公分，則菱形 ABCD 面積為何？

圖圖

圖圖 9.1-99 想法想法

想法想法：：：：菱形面積等於兩對角線乘積的一半 解解

解解：：：：

敘述 理由

(1) 菱形 ABCD 面積＝BD AC 2

×

(2) 菱形 ABCD 面積

＝(5 ) (2 ) 2

×

公分 公分

＝5 平方公分

已知四邊形 ABCD 為菱形， 與 為其 兩對角線 ＆ 菱形面積等於兩對角線乘積 的一半

由(1) ＆ 已知 ＝2 公分， ＝5 公分

如圖 9.1-100，已知四邊形 ABCD 為鳶形， 與 為其兩對角線，若鳶形

ABCD 面積＝16 平方公分， ＝4 公分，則 ＝？

圖 圖圖

圖 9.1-100 想法

想法 想法

想法：：：：鳶形面積等於兩對角線乘積的一半 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 鳶形 ABCD 面積＝BD AC 2

×

(2) 16 平方公分＝BD (4 ) 2

×

(3) ×(4 公分)＝(16 平方公分)×2 (4) ＝(16 平方公分)×2÷(4 公分)

＝8 公分

已知四邊形 ABCD 為鳶形， 與 為其兩對 角線 ＆ 鳶形面積等於兩對角線乘積的一半 由(1) ＆ 已知鳶形 ABCD 面積＝16 平方公分，

＝4 公分

由(2) 等量乘法公理 由(3) 等量除法公理

習題 習題 習題

習題 9.1-21：：：：

如圖 9.1-101，平行四邊形 ABCD 中， 、 分別為 、 邊上的高，

又 ＝5 公分， ＝4 公分， ＝3 公分，求 。

圖 圖圖

圖 9.1-101 想法

想法 想法

想法：：：：平行四邊形對角線將原平行四邊形平分成兩面積相等的三角形

圖圖圖圖 9.1-101(a) 解解

解解：：：：

敘述 理由

(1) 作 ，則 為平行四邊形 ABCD 對角線，如圖 9.1-101(a)

(2) 平行四邊形 ABCD 中，

△ACD 面積＝△ACB 面積 (3) CD AF

2

×

×

(4) (5 ) (3 ) 2

×

公分 公分

＝(4 ) AE 2

×

(5) ×(4 公分)＝(5 公分)×(3 公分) (6) ＝(5 公分)×(3 公分)÷(4 公分)

＝3.75 公分

過兩點可作一線段 ＆ 已知 ABCD 為平行四邊形

由(1) ＆ 平行四邊形對角線將原平行 四邊形平分成兩面積相等的三角形

由(2) ＆ 、 分別為 、 邊上的高

＆ 三角形面積為底與高乘積的一半

由(3) ＆ 已知 ＝5 公分， ＝4 公分，

＝3 公分

由(4) 等量乘法公理 由(5) 等量乘法公理

如圖 9.1-102，平行四邊形 ABCD 中， 為對角線，△ABC 的面積為 8 平方 公分，求平行四邊形 ABCD 的面積。

圖 圖圖

圖 9.1-102 想法

想法 想法

想法：：：：平行四邊形對角線將原平行四邊形平分成兩面積相等的三角形 解解

解解：：：：

敘述 理由

(1) 平行四邊形 ABCD 中

△ADC＝△ABC＝8 平方公分

(2) 平行四邊形 ABCD 的面積

＝△ADC＋△ABC

＝(8 平方公分)＋(8 平方公分)

＝16 平方公分

已知平行四邊形 ABCD 中， 為對角線

＆ 平行四邊形對角線將原平行四邊形平 分成兩面積相等的三角形 ＆ 已知△ABC 的面積為 8 平方公分

全量等於分量之和 ＆

由(1) △ADC＝△ABC＝8 平方公分

習題 習題 習題

習題 9.1-23：：：：

如圖 9.1-103，四邊形 ABCD 為長方形，四邊形 BCED 為平行四邊形，若△BCD 的面積為 3 平方單位，求四邊形 ABCE 的面積。

圖圖圖

圖 9.1-103 想法想法

想法想法：：：：平行四邊形對角線將原平行四邊形平分成兩面積相等的三角形 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 長方形 ABCD 中

△ABD＝△BCD＝3 平方單位

(2) 平行四邊形 BCED 中

△CDE＝△BCD＝3 平方單位

(3) 四邊形 ABCE 的面積

＝△ABD＋△BCD＋△CDE

＝9 平方單位

已知四邊形 ABCD 為長方形 ＆ 長方形也 是平行四邊形 ＆ 平行四邊形對角線將原 平行四邊形平分成兩面積相等的三角形

＆ 已知△BCD 的面積為 3 平方單位 已知四邊形 BCED 為平行四邊形 ＆ 平行 四邊形對角線將原平行四邊形平分成兩面 積相等的三角形 ＆ 已知△BCD 的面積為 3 平方單位

如圖 9.1-103 所示，全量等於分量之和 由(1) ＆ (2)

△ABD＝△BCD＝△CDE＝3 平方單位

如圖 9.1-104，平行四邊形 ABCD 的面積為 36 平方公分， ∥ ， ∥ ， 求四邊形 EGFH 的面積。

圖 圖圖

圖 9.1-104 想法

想法 想法

想法：：：：平行四邊形對角線將原平行四邊形平分成兩面積相等的三角形 解解

解解：：：：

敘述 理由

(1) ∥ ＆ ∥

(2) ∥ ∥ ＆ ∥ ∥

(3) 四邊形 AEOG 為平行四邊形

△AEG＝△OEG＝1

2四邊形 AEOG (4) 四邊形 BFOG 為平行四邊形

△BFG＝△OFG＝1

2四邊形 BFOG (5) 四邊形 EDHO 為平行四邊形

△DEH＝△OEH＝1

2四邊形 EDHO (6) 四邊形 OFCH 為平行四邊形

△CFH＝△OFH＝1

2四邊形 OFCH (7) 四邊形 EGFH 的面積

＝△OEG＋△OFG＋△OEH＋△OFH

＝1

2四邊形 AEOG＋1

2四邊形 EDHO

＋1

2四邊形 EDHO＋1

2四邊形 OFCH

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 平行四邊形兩組對邊平行 由(1) ＆ 已知 ∥ ， ∥ 由(2) ∥ ＆ ∥

平行四邊形對角線將原平行四邊形平分成 兩面積相等的三角形

由(2) ∥ ＆ ∥

平行四邊形對角線將原平行四邊形平分成 兩面積相等的三角形

由(2) ∥ ＆ ∥

平行四邊形對角線將原平行四邊形平分成 兩面積相等的三角形

由(2) ∥ ＆ ∥

平行四邊形對角線將原平行四邊形平分成 兩面積相等的三角形

如圖 9.1-104 所示 全量等於分量之和 由(3) △OEH＝1

2四邊形 EDHO 由(4) △OFG＝1

2四邊形 BFOG

＝1

2(四邊形 AEOG＋四邊形 EDHO ＋四邊形 EDHO＋四邊形 OFCH)

＝1

2平行四邊形 ABCD 面積

＝1

2×(36 平方公分)

＝18 平方公分

由(5) △OEH＝1

2四邊形 EDHO 由(6) △OFH＝1

2四邊形 OFCH 全量等於分量之和

已知平行四邊形 ABCD 的面積為 36 平方 公分

如圖 9.1-105，長方形 ABCD 中， ＝5 公分， ＝4 公分，E 點落在 上，

求灰色區域的面積。

圖 圖圖

圖 9.1-105 想法想法

想法想法：：：：過平行四邊形邊上一點，與對邊兩頂點所形成的三角形面積，等於此 平行四邊形面積的一半

解 解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) △ABE 面積＝1

2長方形 ABCD 面積

(2) 長方形 ABCD 面積

＝ ×

＝(5 公分)×(4 公分)＝20 平方公分 (3) △ABE 面積＝1

2×(20 平方公分) ＝10 平方公分 (4) 灰色區域的面積

＝長方形 ABCD 面積－△ABE 面積

＝(20 平方公分)－(10 平方公分)

＝10 平方公分

已知 ABCD 為長方形，E 點落在 上

＆過平行四邊形邊上一點，與對邊兩 頂點所形成的三角形面積，等於此平 行四邊形面積的一半

長方形面積為長與寬之乘積 ＆ 已知 ＝5 公分， ＝4 公分

將(2)式代入 (1)式得

全量等於分量之和 ＆

(2) 長方形 ABCD 面積＝20 平方公分 (3) △ABE 面積＝10 平方公分 已證

習題 習題 習題

習題 9.1-26：：：：

如圖 9.1-106，平行四邊形 ABCD 中， ＝4 公分， ＝3 公分，

∠AED＝90°，求四邊形 ABCD 的面積。

圖 圖圖

圖 9.1-106 想法

想法 想法

想法：：：：過平行四邊形邊上一點，與對邊兩頂點所形成的三角形面積，等於此 平行四邊形面積的一半

解 解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) △ADE 面積＝1

2四邊形 ABCD 面積

(2) △ADE 為直角三角形

△ADE 面積＝1

2 ×

＝＝＝＝1

2×(4 公分)×(3 公分) ＝6 平方公分

(3) 6 平方公分＝1

2四邊形 ABCD 面積 (4) 四邊形 ABCD 面積＝2×(6 平方公分)

＝12 平方公分

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 過平行四邊形邊上一點，與對邊兩頂 點所形成的三角形面積，等於此平行 四邊形面積的一半

已知∠AED＝90° ＆

三角形面積等於底與高乘積的一半

＆ 已知 ＝4 公分， ＝3 公分

將(2)式代入(1)式得 由(3) 等量乘法公理

圖圖圖

圖 9.1-107 想法想法

想法想法：：：：同底等高的平行四邊形面積皆相等

圖圖

圖圖 9.1-107(a) 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 作 ⊥M、 ⊥M，如圖 9.1-107(a) 所示，則 ＝＝＝＝

(2) 四邊形 EFHG 中， 為底、 為高

(3) 四邊形 IFHJ 中， 為底、 為高

(4) 四邊形 EFHG 與 IFHJ 同底等高

(5) 四邊形 IFHJ 面積＝四邊形 EFHG 面積 ＝12 平方公分

作圖

已知 L∥M ＆ 平行線間距離不變 已知四邊形 EFHG 為平行四邊形

＆ 由(1) 作 ⊥M

已知四邊形 IFHJ 為平行四邊形 ＆ 由(1) 作 ⊥M

由(1) ＆ (2) ＆ (3) 為底、 ＝＝＝＝ 為高

由(4) ＆ 同底等高的平行四邊形面 積皆相等 ＆ 已知四邊形 EFHG 面 積為 12 平方公分

習題 習題 習題

習題 9.1-28：：：：

如圖 9.1-108，已知 L∥M，若

△

(1)

△

△

圖 圖圖

圖 9.1-108 想法

想法 想法

想法：：：：同底等高之三角形面積皆相等

圖 圖 圖

圖 9.1-108(a) 解解

解解：：：：

敘述 理由

(1) 作 ⊥M、 ⊥M、 ⊥M，

如圖 9.1-108(a)所示，則 ＝＝＝＝ ＝＝＝＝ (2) △EFH 中， 為底、 為高 (3) △EFG 中， 為底、 為高 (4) △EFI 中， 為底、 為高 (5) △EFG、△EFI、△EFH 同底等高

(6) △EFG 面積＝△EFI 面積＝△EFH 面積

(7) △EFG 面積＝△EFI 面積＝8 平方公分

作圖

已知 L∥M ＆ 平行線間距離不變 由(1) 作 ⊥M

由(1) 作 ⊥M 由(1) 作 ⊥M

由(1) ＆ (2) ＆ (3) ＆ (4) 為底、 ＝＝＝＝ ＝＝＝＝ 為高 由(5) ＆ 同底等高之三角形面積 皆相等

由(6) ＆ 已知△EFH 面積為 8 平 方公分

如圖 9.1-109，已知 ： ＝3：4，若△ABD 面積為 9 平方公分，則△ACD 面積為何？

圖 圖圖

圖 9.1-109 想法

想法 想法

想法：：：：等高三角形的面積比等於底邊長之比

圖 圖 圖

圖 9.1-109(a) 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 過 A 點作 ⊥ ，如圖 9.1-109(a)所示 (2) △ABD 中， 為底、 為高

(3) △ACD 中， 為底、 為高 (4) △ABD 與△ACD 等高

(5) △ABD 面積：△ACD 面積＝ ：

(6) (9 平方公分)：△ACD 面積＝3：4

(7) 所以△ACD 面積＝12 平方公分

作圖

由(1) 作 ⊥ 由(1) 作 ⊥ 由(2) ＆ (3) 為高

由(2) ＆ (3) ＆ (4) ＆ 等高三角 形的面積比等於底邊長之比 由(5) ＆ 已知△ABD 面積為 9 平 方公分 ＆ 已知 ： ＝3：4 由(6) 求△ACD 面積之值

習題 習題 習題

習題 9.1-30：：：：

如圖 9.1-110，已知 L∥M， ： ＝3：4，若△EFG 面積為 9 平方公分，

則△HIJ 的面積為何？

圖圖

圖圖 9.1-110 想法

想法 想法

想法：：：：等高之三角形面積比為底邊長之比

圖圖圖

圖 9.1-110(a) 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 作 ⊥M、 ⊥M，如圖 9.1-110(a) 所示，則 ＝＝＝＝

(2) △EFG 中， 為底、 為高 (3) △HIJ 中， 為底、 為高 (4) △EFG 與△HIJ 等高

(5) △EFG 面積：△HIJ 面積＝ ：

(6) (9 平方公分)：△HIJ 面積＝3：4

(7) △HIJ 面積＝12 平方公分

作圖

已知 L∥M ＆ 平行線間距離不變 由(1) 作 ⊥M

由(1) 作 ⊥M

由(1) ＆ (2) ＆ (3) ＝＝＝＝ 為高 由(2) ＆ (3) ＆ (4) ＆ 等高之三 角形面積比為底邊長之比

由(5) ＆ 已知△EFG 面積為 9 平方 公分 ＆ 已知 ： ＝3：4 由(6) 求△HIJ 面積之值

如圖 9.1-111， 、 、 為△ABC 的三中線，G 點為△ABC 的重心，已 知△ABC 面積為 42 平方公分，求：

(1) △AGD 面積為何？

(2) △BGC 面積為何？

圖圖圖

圖 9.1-111 想法想法

想法想法：：：：(1) 三角形三中線將此三角形面積平分成 6 個面積相等的小三角形 (2) 三角形的重心與三頂點的連線，將此三角形面積平分成 3 個面積相等

的小三角形 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) △AGD＝1

6△ABC ＝1

6×(42 平方公分) ＝7 平方公分 (2) △BGC＝1

3△ABC ＝1

3×(42 平方公分) ＝14 平方公分

已知 、 、 為△ABC 的三中線 ＆ 三角形三中線將此三角形面積平分成 6 個 面積相等的小三角形 ＆

已知△ABC 面積為 42 平方公分

已知 G 點為△ABC 的重心 ＆

三角形的重心與三頂點的連線，將此三角 形面積平分成 3 個面積相等的小三角形 ＆ 已知△ABC 面積為 42 平方公分

習題 習題 習題

習題 9.1-32：：：：

如圖 9.1-112，四邊形 ABCD 為平行四邊形，E 點為 中點， 與 相交於 F 點，若△BFC 面積為 5 平方公分，則平行四邊形 ABCD 面積為何？

圖 圖 圖

圖 9.1-112 想法

想法 想法

想法：：：：(1) 若能證得 F 點為△ABC 的重心，則可利用三角形的重心與三頂點的連 線，將此三角形面積平分成 3 個面積相等的小三角形，求出△ABC 的 面積

(2) 再利用平行四邊形對角線將原平行四邊形平分成兩面積相等的三角形，

即可得平行四邊形 ABCD 面積

圖圖圖

圖 9.1-112(a) 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 作 交 於 O 點，如圖 9.1-112(a) 所示

(2) O 點 為中點， ＝

(3) △ABC 中， 為中線， 為中線 (4) F 點為△ABC 重心

(5) △BFC＝1

3△ABC

作圖

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 平行四邊形對角線互相平分

已知 E 點為 中點 ＆ (2) O 點 為中點 由(3) ＆ 三角形重心為三中線的交點 由 (4) ＆ 三 角 形 的 重 心 與 三 頂 點 的 連 線，將此三角形面積平分成 3 個面積相等 的小三角形

2

(7) △BFC

＝1 3×1

2平行四邊形 ABCD 面積

＝1

6平行四邊形 ABCD 面積 (8) 平行四邊形 ABCD 面積

＝6×△BFC 面積

＝6×(5 平方公分)

＝30 平方公分

形對角線將原平行四邊形平分成兩面積相 等的三角形

將(6)式代入(5)式得

由(7) 移項 ＆

已知△BFC 面積為 5 平方公分

習題 習題 習題

習題 9.1-33：：：：

如圖 9.1-113，I 為直角三角形 ABC 的內心，若∠A＝90°，且 ＝5 公分，

＝12 公分，已知△AIC 的面積為 5 平方公分，試求△BIC 的面積。

圖 圖 圖

圖 9.1-113 想法想法

想法想法：：：：(1) 利用畢氏定理求直角三角形 ABC 第三邊長 (2) 利用例題 9.1-51 結論：

△AIB 面積：△BIC 面積：△CIA 面積＝ ： ： 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 直角三角形 ABC 中，

2＝ ²＋ ²

(2) ²＝(5 公分)²＋(12 公分)²

＝(25 平方公分)＋(144 平方公分) ＝169 平方公分

(3) ＝13 公分 或 ＝－13 公分 (4) ＝13 公分

(5) ： ＝(5 公分)：(13 公分) ＝5：13

(6) △AIB 面積：△BIC 面積＝ ：

(7) (5 平方公分)：△BIC 面積＝5：13

(8) 5×△BIC 面積＝13×(5 平方公分) (9) △BIC 面積＝13×(5 平方公分)÷5

＝13 平方公分

已知直角三角形 ABC 中，∠A＝90°

＆ 畢氏定理 由(1) ＆

已知 ＝5 公分， ＝12 公分

由(2) 求平方根

由(3) ＆ 為線段長度必大於 0 已知 ＝5 公分 ＆ (4) ＝13 公分

＆ 倍比定理

已知 I 為△ABC 的內心 ＆ 利用例題 9.1-51 結論：

由(6) ＆ 已知△AIC 面積為 5 平方公分

＆ (5) ： ＝5：13 已證 由(7) ＆ 內項乘積等於外項乘積 由(8) 等量除法公理

如圖 9.1-114，E 點為四邊形 ABCD 兩對角線 與 的交點，已知△ADE 面積為 3 平方公分，△BCE 面積為 2 平方公分，△ABE 面積為 4 平方公分，

則△CDE 面積為何？

圖 圖 圖

圖 9.1-114 想法想法

想法想法：：：：四邊形兩對角線所形成的三角形中，對頂兩個三角形面積的乘積等於另 兩個對頂三角形面積的乘積

解 解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) △ADE 面積×△BCE 面積

＝△ABE 面積×△CDE 面積

(2) (3 平方公分)×(2 平方公分)

＝(4 平方公分) ×△CDE 面積

(3) △CDE 面積

＝(3平方公分) (2

×

＝1.5 平方公分

已知 E 點為四邊形 ABCD 兩對角線 與 的交點 ＆ 四邊形兩對角線所形成的 三角形中，對頂兩個三角形面積的乘積等 於另兩個對頂三角形面積的乘積

由(1) ＆ 已知△ADE 面積為 3 平方公分，

△BCE 面積為 2 平方公分，△ABE 面積為 4 平方公分

由(2) 等量除法公理

習題 習題 習題

習題 9.1-35：：：：

如圖 9.1-115，梯形 ABCD 中，兩對角線 與 相交於 E 點，若△ADE 面 積為 5 平方公分，△BCE 面積為 20 平方公分，求△ABE 面積與△DCE 面積 各為何？

圖圖

圖圖 9.1-115 想法想法

想法想法：：：：(1) 利用例題 9.1-65 結論：梯形 ABCD 中，若兩對角線 與 相交於 E 點，則△ABE 面積＝△DCE 面積

(2) 利用例題 9.1-49 的結論：四邊形兩對角線所形成的三角形中，對頂兩 個三角形面積的乘積等於另兩個對頂三角形 面積的乘積

解解 解解：：：：

敘述 理由

(1) △ABE 面積＝△DCE 面積

(2) 假設△ABE 面積＝△DCE 面積 ＝a 平方公分 (3) △ADE 面積×△BCE 面積

＝△ABE 面積×△DCE 面積

(4) (5 平方公分)×(20 平方公分)

＝(a 平方公分)×( a 平方公分) (5) a²＝10

(6) a＝10 或 a＝－10 (7) a＝10

(8) 所以△ABE 面積＝△DCE 面積 ＝10 平方公分

已知梯形 ABCD 中，兩對角線 與 相交 於 E 點 ＆ 例題 9.1-65 結論

由(1) ＆ 假設

利用例題 9.1-49 的結論：四邊形兩對角線所 形成的三角形中，對頂兩個三角形面積的乘 積等於另兩個對頂三角形面積的乘積 由(3) ＆ 已知△ADE 面積為 5 平方公分，

△BCE 面積為 20 平方公分 ＆ (2) 假設 由(4)

由(5) 求平方根

由(6) ＆ a 為三角形面積必大於 0 由(2) ＆ (7)

如圖 9.1-116，四邊形 ABCD 為平行四邊形，兩對角線 與 相交於 E 點，

若△ABE 面積為 8 平方公分，則 ABCD 面積為何？

圖圖

圖圖 9.1-116 想法想法

想法想法：：：：平行四邊形兩對角線將四邊形平分成 4 個等面積的三角形 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) △ABE 面積＝△ADE 面積

＝△CDE 面積＝△BCE 面積

(2) ABCD 面積

＝△ABE 面積＋△ADE 面積 ＋△CDE 面積＋△BCE 面積

＝4×△ABE 面積

＝4×(8 平方公分)

＝32 平方公分

已知四邊形 ABCD 為平行四邊形，兩對 角線 與 相交於 E 點 ＆ 平行四邊形 兩對角線將四邊形平分成 4 個等面積的 三角形

如圖 9.1-116 所示 全量等於分量之和 ＆

由(1) △ABE 面積＝△ADE 面積 ＝△CDE 面積＝△BCE 面積

＆ 已知△ABE 面積為 8 平方公分

習題 習題 習題

習題 9.1-37：：：：

如圖 9.1-117，平行四邊形 ABCD 中，對角線 與 相交於 O 點，若

⊥ ， ＝2 公分， ＝6 公分，且平行四邊形 ABCD 的周長為 28 公 分，求平行四邊形 ABCD 的面積。

圖圖

圖圖 9.1-117 想法想法

想法想法：：：：平行四邊形兩對角線將四邊形平分成 4 個等面積的三角形 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) ＝ 且 ＝

(2) ＋ ＋ ＋ ＝28 公分 (3) ＋ ＋ ＋ ＝28 公分 (4) 2( ＋ )＝28 公分

(5) ＋ ＝(28 公分)÷2＝14 公分 (6) ＝14 公分－

＝14 公分－6 公分＝8 公分 (7) △OCD 面積＝CD OE

2

×

＝(8 ) (2 ) 2

×

公分 公分 ＝8 平方公分 (8) △OAB 面積＝△OBC 面積

＝△OCA 面積＝△OCD 面積

＝8 平方公分

(9) 平行四邊形 ABCD 面積

＝△OAB 面積＋△OBC 面積 ＋△OCA 面積＋△OCD 面積

＝4×(8 平方公分)

＝32 平方公分

已知 ABCD 為平行四邊形 ＆ 平行四邊形對邊等長

已知平行四邊形 ABCD 周長為 28 公分 由(1) ＆ (2) 代換

由(3) 式子整理 由(4) 等量除法公理 由(5) 等量減法公理 ＆ 已知 ＝6 公分

已知 ⊥ ＆

三角形面積為底與高乘積的一半 ＆ (6) ＝8 公分 已證 ＆

已知 ＝2 公分

已知平行四邊形 ABCD 中，對角線 與 相交於 O 點 ＆ 平行四邊形兩對角 線將四邊形平分成 4 個等面積的三角形

＆ (7) △OCD 面積＝8 平方公分 已證 全量等於分量之和 ＆

(8) △OAB 面積＝△OBC 面積 ＝△OCA 面積＝△OCD 面積 ＝8 平方公分 已證

如圖 9.1-118，平行四邊形 ABCD 與 CDEF 中，P、Q 分別為其對角線交點，

已知四邊形 CPDQ 面積為 10 平方公分，△CQF 面積為 4 平方公分，求四邊 形 ABCD 的面積。

圖 圖 圖

圖 9.1-118 想法

想法 想法

想法：：：：平行四邊形兩對角線將四邊形平分成 4 個等面積的三角形 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 平行四邊形 CDEF 中

△CQD 面積＝△CQF 面積 ＝4 平方公分

(2) 四邊形 CPDQ 面積

＝△CQD 面積＋△CPD 面積 (3) △CPD 面積

＝四邊形 CPDQ 面積－△CQD 面積

＝(10 平方公分)－(4 平方公分)

＝6 平方公分

(4) 平行四邊形 ABCD 中

△CDP 面積＝1

4ABCD 面積 (5) 四邊形 ABCD 面積

＝4×△CDP 面積＝4×(6 平方公分)

＝24 平方公分

已知平行四邊形 CDEF 中，Q 為其對 角線交點 ＆ 平行四邊形兩對角線將 四邊形平分成 4 個等面積的三角形 ＆ 已知△CQF 面積為 4 平方公分

如圖 9.1-118 所示 全量等於分量之和 由(2) 等量減法公理

＆ 已知四邊形 CPDQ 面積為 10 平方 公分 ＆ (1) △CQD 面積＝4 平方公分

已知平行四邊形 ABCD 中，P 為其對 角線交點 ＆ 平行四邊形兩對角線將 四邊形平分成 4 個等面積的三角形 由(4) 等量乘法公理 ＆

由(3) △CPD 面積＝6 平方公分

習題 習題 習題

習題 9.1-39：：：：

如圖 9.1-119，已知△ABC 中， ＝2 公分、 ＝3 公分、 ＝4 公分，則

△ABC 的面積為何？

圖 圖 圖

圖 9.1-119 想法

想法 想法

想法：：：：△ABC 的三邊長為 a、b、c，且 s＝a + b + c 2 ， 則△ABC 的面積＝

s s ( − a s b s c )( − )( − )

解 解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) s＝AB + BC + AC 2

＝(2 ) + (3 ) + (4 ) 2

公分 公分 公分

＝9 2公分

(2) △ABC 的面積

＝

s s ( − AB s )( − BC s )( − AC )

＝

9 9 9

( )( )( )

2 2 2

9公分 公分 - 2公分 公分 - 3公分 公分 - 4公分 2

＝ 135 ⁴ 16 公分

＝3 15

4 平方公分

已知 ＝2 公分、 ＝3 公分、 ＝4 公分

若△ABC 的三邊長為 a、b、c，且 s＝a + b + c

2 ， 則△ABC 的面積＝

( )( )( )

s s − a s b s c − −

2公分

如圖 9.1-120，梯形 ABCD 中， 、 為兩底， 為高，且 ＝6 公分，

＝14 公分， ＝8 公分，則梯形 ABCD 面積為何？

圖 圖圖

圖 9.1-120 想法想法

想法想法：：：：梯形形面積等於兩底和與高之乘積的一半 解解

解解：：：：

敘述 理由

(1) 梯形 ABCD 面積

＝( ) 2

AB CD + × BE

＝(6 +14 ) 8 2

×

＝80 平方公分

梯形形面積等於兩底和與高之乘積的一半 ＆ 已知梯形 ABCD 中， 、 為兩底， 為高，

且 ＝6 公分， ＝14 公分， ＝8 公分

習題 習題 習題

習題 9.1-41：：：：

如圖 9.1-121，梯形 ABCD 中， 、 為兩底， 為高，且 ＝8 公分，

＝10 公分，若梯形 ABCD 面積為 140 平方公分，則 ＝？

圖 圖圖

圖 9.1-121 想法

想法 想法

想法：：：：梯形形面積等於兩底和與高之乘積的一半 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 梯形 ABCD 面積＝( ) 2

AB CD + × BE

(2) 140 平方公分＝(8 + CD) 10 2

×

公分 公分

(3) (8 公分＋ )×(10 公分)＝(140 平方公分)×2 (4) (8 公分＋ )＝(140 平方公分)×2÷(10 公分) (5) ＝(140 平方公分)×2÷(10 公分)－(8 公分)

＝20 公分

梯形形面積等於兩底和與高之乘積的 一半 ＆ 已知梯形 ABCD 中， 、 為兩底， 為高

由(1) ＆ 已知 ＝8 公分， ＝10 公 分，梯形 ABCD 面積為 140 平方公分 由(2) 等量乘法公理

由(3) 等量除法公理 由(4) 等量減法公理

如圖 9.1-122，等腰梯形 ABCD 中， 、 為兩底，且 ＝6 公分，

＝18 公分，若 ＝10 公分，則梯形 ABCD 面積為何？

圖 圖圖

圖 9.1-122 想法

想法 想法

想法：：：：(1) 利用畢氏定理求出梯形的高

(2) 梯形形面積等於兩底和與高之乘積的一半

圖圖圖圖 9.1-122(a) 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 過 A 點作 ⊥ ， 過 B 點作 ⊥ ， 如圖 9.1-122(a) (2) ∥

(3) ∥

(4) 四邊形 ABFE 為平行四邊形

(5) ＝ ＆

＝ ＝6 公分 (6) 在△ADE 與△BCF 中

＝

＝

∠

∠

°

作圖

由(1) ⊥ ＆ ⊥

＆ 垂直於同一直線之兩線互相平行

已知 ABCD 為梯形 ＆ 梯形一組對邊平行 由(2) ＆ (3) 兩組對邊平行的四邊形為平行 四邊形

由(4) ＆ 平行四邊形對邊等長 ＆ 已知 ＝6 公分

如圖 9.1-122(a)所示

已知 ABCD 為等腰梯形 ＆ 兩腰等長 由(5) ＝ 已證

由(1) ⊥ ＆ ⊥

由(6) ＆ 根據三角形 R.S.H.全等定理

(8) ＝

(9) ＝ ＋ ＋

＝ ＋ ＋ ＝2 ＋ (10) 2 ＝ －

(11) ＝( － )÷2

＝(18 公分－6 公分)÷2 ＝6 公分

(12) 直角三角形 BCF 中

2＋ ²＝ ²

(13) ²＝ ²－ ²

＝(10 公分)²－(6 公分)²

＝64 平方公分

(14) ＝8 公分 或 ＝－8 公分 (15) ＝8 公分

(16) 梯形 ABCD 面積

＝( ) 2

AB CD + × BF

＝(6 +18 ) 8 2

×

＝96 平方公分

由(7) ＆ 兩全等三角形之對應邊相等 如圖 9.1-122(a)，全量等於分量之和 將(8) ＝ 代入

加法交換律 ＆ 結合律 由(9) 等量減法公理 由(10) 等量除法公理

將已知 ＝18 公分 ＆ (5) ＝6 公分代入

由(1) ⊥ 畢氏定理

由(12) 等量減法公理

將已知 ＝10 公分 ＆ (10) ＝6 公分代入

由(13) 求平方根

由(14) ＆ 為線段長度必大於 0

梯形形面積等於兩底和與高之乘積的一半

＆ 已知等腰梯形 ABCD 中， 、 為兩 底，且 ＝6 公分， ＝18 公分 ＆ (1) ⊥ ＆ (15) ＝8 公分

如圖 9.1-123，等腰梯形 ABCD 中，

∥

＝15 公分，求梯形 ABCD 的面積。

圖 圖圖

圖 9.1-123 想法

想法 想法

想法：：：：(1) 利用畢氏定理求出梯形的高

(2) 梯形形面積等於兩底和與高之乘積的一半

圖圖圖圖 9.1-123(a) 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 過 A 點作 ⊥ ， 過 D 點作 ⊥ ， 如圖 9.1-123(a) (2) ∥

(3) ∥

(4) 四邊形 ADFE 為平行四邊形

(5) ＝ ＆

＝ ＝7 公分 (6) 在△ABE 與△DCF 中

＝

＝

∠AEB＝∠DFC＝90°

作圖

由(1) ⊥ ＆ ⊥

＆ 垂直於同一直線之兩線互相平行

已知 ABCD 為梯形 ＆ 梯形一組對邊平行 由(2) ＆ (3) 兩組對邊平行的四邊形為平行 四邊形

由(4) ＆ 平行四邊形對邊等長 ＆ 已知 ＝7 公分

如圖 9.1-123(a)所示

已知 ABCD 為等腰梯形 ＆ 兩腰等長 由(5) ＝ 已證

由(1) ⊥ ＆ ⊥

(7) △ABE △DCF (8) ＝

(9) ＝ ＋ ＋

＝ ＋ ＋ ＝2 ＋ (10) 2 ＝ －

(11) ＝( － )÷2

＝(25 公分－7 公分)÷2 ＝9 公分

(12) 直角三角形 ABE 中

2＋ ²＝ ²

(13) ²＝ ²－ ²

＝(15 公分)²－(9 公分)²

＝144 平方公分

(14) ＝12 公分 或

＝－12 公分 (15) ＝12 公分 (16) 梯形 ABCD 面積

＝( ) 2

AD + BC × AE

＝(7 + 25 ) 12 2

×

公分 公分 公分

＝192 平方公分

由(6) ＆ 根據三角形 R.S.H.全等定理 由(7) ＆ 兩全等三角形之對應邊相等 如圖 9.1-123(a)，全量等於分量之和 將(8) ＝ 代入

加法交換律 ＆ 結合律 由(9) 等量減法公理 由(10) 等量除法公理

將已知 ＝25 公分 ＆ (5) ＝7 公分代入

由(1) ⊥ 畢氏定理

由(12) 等量減法公理

將已知 ＝15 公分 ＆ (10) ＝9 公分代入

由(13) 求平方根

由(14) ＆ 為線段長度必大於 0

梯形形面積等於兩底和與高之乘積的一半

＆ 已知等腰梯形 ABCD 中， ∥ ，

＝7 公分， ＝25 公分 ＆ (1) ⊥

＆ (15) ＝12 公分

如圖 9.1-124，梯形 ABCD 中， ∥ ， 為梯形中線， 為梯形的高，

已知 ＝22 公分， ＝＝＝＝16 公分，求梯形 ABCD 的面積。

圖 圖圖

圖 9.1-124 想法

想法 想法

想法：：：：梯形面積等於中線長與高的乘積 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 梯形 ABCD 的面積＝ ×

(2) 梯形 ABCD 的面積

＝(22 公分)×(16 公分)

＝352 平方公分

梯形面積等於中線長與高的乘積 ＆ 已知梯形 ABCD 中， ∥ ， 為梯形 中線， 為梯形的高

由(1) ＆ 已知 ＝22 公分， ＝16 公分

習題 習題 習題

習題 9.1-45：：：：

如圖 9.1-125，

已知

圖 圖圖

圖 9.1-125 想法

想法 想法

想法：：：：梯形面積等於中線長與高的乘積 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 梯形 ABCD 的面積＝ ×

(2) 8 平方公分＝ ×(2 公分)

(3) ＝(8 平方公分)÷(2 公分) ＝4 公分

梯形面積等於中線長與高的乘積 ＆ 已知梯形 ABCD 中， ∥ ， 為梯形 中線， 為梯形的高

由(1) ＆ 已知 ＝2 公分，且梯形 ABCD 的面積為 8 平方公分

由(2) 等量除法公理

如圖 9.1-126，△ABC～△A'B'C'， 與 分別為 與 上的高，若

＝4 公分， ＝3 公分，則 ∆ABC

∆A'B'C' 面積

面積為何？

圖圖圖

圖 9.1-126 想法

想法 想法

想法：：：：相似三角形面積比等於對應邊的平方比或對應高的平方比 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) ∆ABC

∆A'B'C' 面積

面積

＝

2

2

AD A'D'

＝

2

2

(4 )

(3 )

公分 公分

＝16平方公分 9平方公分

＝16 9

已知△ABC～△A'B'C'， 與 分別為 與 上的高， ＝4 公分， ＝3 公分 ＆ 相似三角形面積比等於對應邊的平方比或對應 高的平方比

習題 習題 習題

習題 9.1-47：：：：

如圖 9.1-127，六邊形 ABCDEF 與六邊形 A₁B₁C₁D₁E₁F₁相似，已知 ＝3 公 分、 ＝2 公分，若六邊形 ABCDEF 面積為 21 平方公分，則六邊形 A₁B₁C₁D₁E₁ F₁面積為何？

圖 圖圖

圖 9.1-127 想法

想法 想法

想法：：：：相似多邊形面積比等於對應邊的平方比 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1)

1 1 1 1 1 1

ABCDEF A B C D E F

六邊形 面積

六邊形 面積＝

2

2 1 1

AB A B

(2)

1 1 1 1 1 1

21

A B C D E F 平方公分

六邊形 面積＝

2

2

(3 )

(2 )

公分 公分 (3) 六邊形 A1B1C1D1E1 F1面積×(3 公分)²

＝(21 平方公分)×(2 公分)² (4) 六邊形 A₁B₁C₁D₁E₁ F₁面積

＝(21 平方公分)×(2 公分)²÷(3 公分)²

＝28

3 平方公分

已知六邊形 ABCDEF 與六邊形 A1B1C1D1E1F1

相似 ＆ 相似多邊形面積比等於對應邊的平 方比

由(1) ＆ 已知 ＝3 公分、 ＝2 公分，

六邊形 ABCDEF 面積為 21 平方公分 由(2) 交叉相乘

由(3) 等量除法公理

習題 習題 習題

習題 9.2-1

如圖 9.2-78，ABCDEF 為邊長為 4 公分的正六邊形，O 點為其中心，已知 此正六邊形內切圓半徑為 2 3 公分，求正六邊形 ABCDEF 面積為何？

圖圖

圖圖 9.2-78 想法

想法 想法

想法：：：：正多邊形的面積等於周長與邊心距乘積的一半

圖 圖圖

圖 9.2-78(a) 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 以 O 點為圓心，作正六邊形 ABCDEF 的內切圓，

圓 O 與 相切於 G 點，

連接 ，如圖 9.2-78(a)所示，

則 為正六邊形之邊心距 (2) ＝2 3 公分

正多邊形內切圓的圓心為此正多邊形的中心

＆ 正多邊形內切圓的半徑，叫做此正多邊形 的邊心距

由(1) 為正六邊形之邊心距 ＆ 已知此正六邊形內切圓半徑為 2 3 公分

(3) 正六邊形 ABCDEF 周長

＝6× ＝6×(4 公分)＝24 公分 (4) 正六邊形 ABCDEF 面積

＝(24 ) (2 3 ) 2

×

公分 公分

＝24 3 平方公分

正多邊形各邊長相等 ＆ 已知 ABCDEF 為 邊長為 4 公分的正六邊形

正多邊形的面積等於周長與邊心距乘積的一 半 ＆ (3) 正六邊形 ABCDEF 周長＝24 公分

＆ (2) 邊心距 ＝2 3 公分

習題 習題 習題 習題 9.2-2

若 ABCDEFGH 為一邊長為 4 公分、面積為 96 平方公分的正八邊形，求此正 八邊形內切圓半徑為何？

想法 想法 想法

想法：：：：(1) 正多邊形的面積等於周長與邊心距乘積的一半 (2) 正多邊形內切圓的半徑，叫做此正多邊形的邊心距 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 正八邊形 ABCDEFGH 周長

＝8×(4 公分)＝32 公分 (2) 96 平方公分

＝(32 ) 2

×

公分 正八邊形邊心距

(3) (32 平方公)×正八邊形邊心距

＝(96 平方公分)×2 (4) 正八邊形邊心距

＝(96 平方公分)×2÷(32 平方公)

＝6 公分

(5) 正八邊形內切圓半徑＝6 公分

正多邊形各邊長相等 ＆ 已知

ABCDEFGH 為邊長為 4 公分的正八邊形 正多邊形的面積等於周長與邊心距乘積 的一半 ＆ 已知 ABCDEFGH 為面積為 96 平方公分的正八邊形 ＆

(1) 正八邊形 ABCDEFGH 周長＝32 公分 由(2) 等量乘法公理

由(3) 等量除法公理

正多邊形內切圓的半徑，叫做此正多邊 形的邊心距 ＆

(3) 正八邊形邊心距＝6 公分 已證

如圖 9.2-79，ABCDEF 與 A₁B₁C₁D₁E₁F₁分別為邊長為 6 公分及 4 公分的 正六邊形，O 點與 O₁點分別為其中心， ⊥ 、 ⊥ ，則：

(1)

1 1

OA

O A ＝？ (2)

1 1

OG O G ＝？

圖圖

圖圖 9.2-79 想法

想法 想法

想法：：：：兩個邊數相等的正多邊形的周長比，等於邊長比或半徑比或邊心距比

圖圖圖 9.2-79(a) 圖 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 以 O 點為圓心，分別以 、 為半徑作 正六邊形 ABCDEF 的外接圓與內切圓；

以 O₁點為圓心，分別以 、 為半 徑作正六邊形 A1B1C1D1E1F1的內切圓；

如圖 9.2-79(a)所示；

其中 為正六邊形 ABCDEF 的半徑

已知 O 點與 O1 點分別為正六邊形 ABCDEF 與正六邊形 A1B1C1D1E1F1

的中心 ＆ 正多邊形的中心為此正 多邊形外接圓與內切圓圓心 ＆ 正多邊形外接圓半徑為此正多邊形 的半徑 ＆

為正六邊形 A₁B₁C₁D₁E₁F₁的半徑 為正六邊形 ABCDEF 的邊心距

為正六邊形 A₁B₁C₁D₁E₁F₁的邊心距

(2)

1 1

OA O A ＝

1 1

AB A B ＝6

4 公分 公分＝

2 3

(3)

1 1

OG O G ＝

1 1

AB A B ＝6

4 公分 公分＝

2 3

已知 ⊥ 、 ⊥ ＆

正多邊形內切圓半徑為此正多邊形 的邊心距

由(1) ＆ 兩邊數相等的正多邊形的 半徑比等於邊長比 ＆ 已知正六邊 形 ABCDEF 與 A₁B₁C₁D₁E₁F₁的邊長 分別為 6 公分及 4 公分

由(1) ＆ 兩邊數相等的正多邊形的 邊心距比等於邊長比 ＆ 已知正六 邊形 ABCDEF 與 A1B1C1D1E1F1的邊 長分別為 6 公分及 4 公分

如圖 9.2-80，ABCDEF 與 A₁B₁C₁D₁E₁F₁皆為正六邊形，已知正六邊形 ABCDEF 邊長為 8 公分、面積為 96 3 平方公分，正六邊形 A1B1C1D1E1F1面積為 24 3 平方公分，且 、 分別為正六邊形 ABCDEF 與正六邊形 A₁B₁C₁D₁E₁F₁ 的半徑， 、 分別為正六邊形 ABCDEF 與正六邊形 A₁B₁C₁D₁E₁F₁的邊 心距，則：

(1) ＝？ (2)

1 1

OA

O A ＝？ (3)

1 1

OG O G ＝？

圖圖

圖圖 9.2-80 想法

想法 想法

想法：：：：兩個邊數相等的正多邊形的面積比，等於邊長的平方比或半徑的平方比或 邊心距的平方比

解 解 解 解：：：：

敘述 理由

(1)

1 1 1 1 1 1

ABCDEF A B C D E F

正六邊形 面積

正六邊形 面積

＝

2

2 1 1

AB A B

＝

2

2 1 1

OA O A

＝

2

2 1 1

OG O G

(2) 96 3 24 3

平方公分 平方公分＝

2

2 1 1

(8 ) A B

公分

＝

2

2 1 1

OA O A

＝

2

2 1 1

OG O G

已知 ABCDEF 與 A1B1C1D1E1F1皆為正六邊 形， 、 分別為正六邊形 ABCDEF 與 正六邊形 A₁B1C1D1E1F1的半徑， 、 分 別 為 正 六 邊 形 ABCDEF 與 正 六 邊 形 A1B1C1D1E1F1 的邊心距 ＆ 兩個邊數相等 的正多邊形的面積比，等於邊長的平方比或 半徑的平方比或邊心距的平方比

由(1) ＆ 已知正六邊形 ABCDEF 邊長為 8 公分、面積為 96 3 平方公分，正六邊形 A₁B₁C₁D₁E₁F₁面積為 24 3 平方公分

(3) A B ×(96 3 平方公分) _{1 1}²

＝(24 3 平方公分)×(8 公分)²

(4) A B ＝_{1 1}²

(24 3 ) (8 )2

96 3

×

平方公分 公分 平方公分 ＝16 平方公分

(5) ＝－4 公分 或 ＝4 公分 (6) ＝4 公分

(7) 96 3 24 3

平方公分 平方公分＝

2

2 1 1

OA O A

＝

2

2 1 1

OG O G

(8)

2

2 1 1

OA O A

＝

2

2 1 1

OG O G

＝4

(9)

1 1

OA O A ＝

1 1

OG

O G ＝－2 或

1 1

OA O A ＝

1 1

OG O G ＝2

(10)

1 1

OA O A ＝

1 1

OG O G ＝2

由(2) 交叉相乘

由(3) 等量除法公理

由(4) 求平方根

由(5) ＆ 為長度必大於 0

由(2) 96 3 24 3

平方公分 平方公分＝

2

2 1 1

OA O A

＝

2

2 1 1

OG O G 由(7) ＆ 倍比定理

由(8) 求平方根

由(9) ＆ 、 、 、 皆為長度，

其比值必大於 0

習題 習題 習題 習題 9.2-5

已知圓 O 半徑為 6 公分、圓 O₁半徑為 4 公分，求圓 O 與圓 O₁周長之比。

想法 想法 想法

想法：：：：兩圓的圓周比等於兩圓的半徑比 解解

解解：：：：

敘述 理由

(1) 圓 O 周長：圓 O₁周長

＝(6 公分)：(4 公分)

＝3：2

兩圓的圓周比等於兩圓的半徑比 ＆

已知圓 O 半徑為 6 公分、圓 O1半徑為 4 公分

＆ 倍比定理

如圖 9.2-81，已知圓 O 半徑 ＝5 公分，則圓 O 周長為何？

圖 圖 圖

圖 9.2-81 想法

想法 想法

想法：：：：圓周長等於直徑乘以圓周率 解

解 解 解：：：：

敘述 理由

(1) 圓 O 直徑 ＝2

＝2×(5 公分)＝10 公分 (2) 圓 O 周長＝(10 公分)×π＝10π 公分

直徑為半徑的 2 倍 ＆ 已知圓 O 半徑 ＝5 公分 圓周長等於直徑乘以圓周率 ＆ (1) 圓 O 直徑＝10 公分