2 ∠BAC
若某個直角柱有 15 條稜邊、a 個頂點與 b 個面，求 a×b 之值為何？
圖 圖 圖
圖 9.3-85 想法
想法 想法
想法：：：：n 角柱有(n＋2)個面、(2n)個頂點、(3n)條稜線 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) 假設此直角柱為 n 直角柱，則此 n 直角柱有(3n)條稜線
(2) 3n＝15 (3) n＝15÷3＝5
(4) 所以此直角柱為五角柱，
五角柱有 2×5＝10 個頂點、
有 5＋2＝7 個面 (5)
a＝10 且 b＝7
(6)
a×b＝10×7＝70
假設 ＆ n 角柱有(3n)條稜線
由(1) ＆ 已知某個直角柱有 15 條稜邊 由(2) 求 n 之值
由(1) 假設 ＆ (3) n＝5 已證 ＆ n 角柱(2n)個頂點、有(n＋2)個面
由(4) ＆ 已知某個直角柱有 a 個頂點與 b 個面
由(5)
習題 習題 習題
習題 9.3-18
圖 9.3-58 為一六角柱體，已知其底面面積為 54 3 平方公分，底面周長為 36 公分，若柱體的高為 3 公分，則此六角柱體的體積與表面積各為何？
圖 圖 圖
圖 9.3-58 想法
想法 想法
想法：：：：(1) 角柱的體積等於底面積乘以角柱的高
(2) 角柱的底面積為 A、底面周長為 S、柱高為 h，則角柱表面積＝2A＋S×h 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) 此六角柱體的體積
＝(54 3 平方公分)×(3 公分) ＝162 3 平方公分
(2) 此六角柱表面積 ＝2×(54 3 平方公分) ＋(36 公分)×(3 公分) ＝(108＋108 3 ) 平方公分
角柱的體積等於底面積乘以角柱的高 ＆ 已知六角柱體的底面面積為 54 3 平方公分，
柱體的高為 3 公分
角柱的底面積為 A、底面周長為 S、柱高為 h，
則角柱表面積＝2A＋S×h ＆
已知六角柱的底面面積為 54 3 平方公分，
底面周長為 36 公分，柱體的高為 3 公分
圖 9.3-59 是底面為梯形的四角柱，已知梯形的上底 ＝12 公分、梯形的 下底 ＝18 公分、梯形的高 ＝8 公分且梯形另一邊 ＝10 公分，若 四角柱的高 ＝20 公分，則此四角柱的體積與表面積各為何？
圖圖
圖圖 9.3-59 想法想法
想法想法：：：：(1) 角柱的體積等於底面積乘以角柱的高
(2) 角柱的底面積為 A、底面周長為 S、柱高為 h，則角柱表面積＝2A＋S×h 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) 上底面梯形 ABCD 面積
＝( ) 2
AB CD + × BC
＝(12 +18 ) (8 ) 2
公分 公分 × 公分
＝120 平方公分 (2) 此四角柱的體積
＝(120 平方公分)×(20 公分)
＝2400 立方公分
(3) 上底面梯形 ABCD 周長
＝ ＋ ＋ ＋
＝(12＋8＋18＋10) 公分
＝48 公分
(4) 此四角柱的表面積
＝2×(120 平方公分)＋
(48 公分)×(20 公分)
＝1200 平方公分
梯形面積等於兩底和與高之乘積的一半
＆ 已知梯形的上底 ＝12 公分、梯形的 下底 ＝18 公分、梯形的高 ＝8 公分
角柱的體積等於底面積乘以角柱的高 ＆ (1) 底面梯形 ABCD 面積＝120 平方公分
＆ 已知四角柱的高 ＝20 公分 周長定義 ＆
已知梯形的上底 ＝12 公分、梯形的下底
＝18 公分、梯形的高 ＝8 公分且梯 形另一邊 ＝10 公分
角柱的底面積為 A、底面周長為 S、柱高 為 h，則角柱的表面積＝2A＋S×h ＆ (1) 底面梯形 ABCD 面積＝120 平方公分、
(3) 底面梯形 ABCD 周長＝48 公分 ＆ 已知四角柱的高 ＝20 公分
習題 習題 習題
習題 9.3-20
有一三角柱體，其底面為直角三角形，兩股長分別為 5 公分及 12 公分，若三 角柱體的高為 10 公分，則此三角柱體的體積與表面積各為何？
圖圖圖圖 9.3-86(a) 圖圖圖 9.3-86(b) 圖 想法
想法 想法
想法：：：：(1) 利用畢氏定理求出直角三角形斜邊，並求出底面周長 (2) 三角形面積為底與高乘積的一半
(3) 角柱的體積等於底面積乘以角柱的高
(4) 角柱的底面積為 A、底面周長為 S、柱高為 h，則角柱表面積＝2A＋S×h 解
解 解 解：：：：
敘述 理由
(1) 依題意繪圖，
如圖 9.3-86(a) 三角柱透視圖、
圖 9.3-86(b) 三角柱展開圖 (2) 上底面△ABC 為直角三角形，
其中∠A＝90°、 ＝5 公分、
＝12 公分
(3) △ABC 中， 2＝ 2＋ 2 (4) 2＝(5 公分)2＋(12 公分)2
＝169 平方公分
(5) ＝13 公分 或 ＝－13 公分 (6) 所以 ＝13 公分
作圖
如圖 9.3-86(b)所示
已知有一三角柱體，其底面為直角三角 形，兩股長分別為 5 公分及 12 公分 畢氏定理
將(2) ＝5 公分、 ＝12 公分 代入(3) 式得
由(4) 求平方根
由(5) ＆ 為線段長度必大於 0
＝ ＋ ＋
＝5 公分＋12 公分＋13 公分＝30 公分 (8) △ABC 面積
＝( × )÷2
＝(5 公分)×(12 公分)÷2 ＝30 平方公分
(9) 三角柱表面積 ＝2×(△ABC 面積)＋
(△ABC 周長)×(三角柱體的高)
＝2×(30 平方公分)＋(30 公分)×(10 公分) ＝360 平方公分
(10) 此三角柱體的體積 ＝(30 平方公分)×(10 公分) ＝300 立方公分
(2) ＝5 公分、 ＝12 公分 ＆ (6) ＝13 公分
三角形面積為底與高乘積的一半 ＆ (2) ＝5 公分、 ＝12 公分
若角柱的底面積為 A、底面周長為 S、柱 高為 h，則角柱的表面積＝2A＋S×h ＆ (8) △ABC 面積＝30 平方公分、
(7) △ABC 周長＝30 公分 ＆ 已知三角柱體的高為 10 公分
角柱的 體積等 於底 面 積乘以 角柱的高
＆ (8) 底面△ABC 面積＝30 平方公分
＆ 已知三角柱體的高＝10 公分
習題 習題 習題
習題 9.3-21
圖 9.3-60 為一正圓柱體，已知其底面半徑為 4 公分，柱體的高為 10 公分，
則此正圓柱體的體積與表面積各為何？
圖 圖 圖
圖 9.3-60 想法
想法 想法
想法：：：：(1) 正圓柱體的底面半徑為 r，高為 h，則正圓柱體的表面積＝2πr2＋2πrh (2) 正圓柱體的底面半徑為 r，高為 h，則正圓柱體的體積＝πr2h
解解 解解：：：：
敘述 理由
(1) 正圓柱體表面積
＝2π×(4 公分)2＋2π×(4 公分)×(10 公分) ＝112π 平方公分
(2) 正圓柱體體積
＝π×(4 公分)2×(10 公分) ＝160π 立方公分
正圓柱體的底面半徑為 r，高為 h，
則正圓柱體的表面積＝2πr2＋2πrh
＆ 已知正圓柱體的底面半徑為 4 公 分，柱體的高為 10 公分
正圓柱體的底面半徑為 r，高為 h，
則正圓柱體的體積＝πr2h
＆ 已知正圓柱體的底面半徑為 4 公 分，柱體的高為 10 公分
完成以下表格：
面數 頂點數 稜線數 底面形狀 側面形狀
三角錐
四角錐
五角錐
n 角錐
圖圖圖圖 9.3-87(a) 圖圖圖 9.3-87(b) 圖圖 圖圖 9.3-87(c) 圖 想法想法
想法想法：：：：利用角錐的定義 解解
解解：：：：
敘述 理由
(1) 如圖 9.3-87(a)所示，
三角錐有 4 個面、4 個頂點、
6 條稜線，且底面為三角形、
3 個側面皆為三角形 (2) 如圖 9.3-87 (b)所示，
四角錐有 5 個面、5 個頂點、
8 條稜線，且底面為四邊形、
4 個側面皆為三角形
三角錐定義 ＆ 面與面的交線，叫做稜線，
稜線與稜線的交點，叫做頂點
四角錐定義 ＆ 面與面的交線，叫做稜線，
稜線與稜線的交點，叫做頂點
(3) 如圖 9.3-87 (c)所示，
五角錐有 6 個面、6 個頂點、
10 條稜線，且底面為五邊形、
5 個側面皆為三角形
(4) n 角錐有(n＋1)個面、(n＋1)個頂 點、(2n)條稜線，且底面為 n 邊 形、n 個側面皆為三角形
五角錐定義 ＆ 面與面的交線，叫做稜線，
稜線與稜線的交點，叫做頂點
n 角錐定義 ＆ 面與面的交線，叫做稜線，
稜線與稜線的交點，叫做頂點 ＆ 由(1)～(3) 歸納得知
習題 習題 習題
習題 9.3-23
已知一四角錐的底面是一個邊長為 5 公分的正方形，且側面的四個三角形