給予學生一個資料的分佈，若學生能以分佈的特徵描述出此分佈，可以此判 斷學生分佈概念發展情形(Delmas, Garfield & Ooms, 2005; McGatha, Cobb &
McClain, 2002)。Moore (2001)認為描述分佈的一般方式為：找出資料的中心和離 度，檢查看看該分佈是否有簡單的形狀，可以很容易的描述。
本研究將分佈概念的特徵包括中心、變異性與形狀，並在本章之前三節描述 學生在此三個特徵的表現情形，本題將分析學生以此三個分佈特徵描述分佈的情 形，報導學生描述分佈時所使用的分佈特徵數目，並找出學生描述分佈所使用的 敘述與使用次數。
學生描述一個分佈時，會以中心概念(如平均數)來描述的約有 44%，以變異 性概念(如全距)來描述的約有 14%(38 人)，以形狀概念(如及格人數)來描述的約 有39%(108 人)，見表 4-4-1。
以使用特徵數目而言，能同時以中心、變異性、形狀三個特徵描述分佈的有 4%(10 人)，使用其中兩個特徵描述分佈的有 26%(73 人)，使用一個特徵描述分 佈的有37%(103 人)，描述分佈時未用到任何一個分佈特徵的有 16%(43 人)，另
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表4-4-1 使用分佈特徵人數
題目
中心 變異性 形狀
人數 比率 人數 比率 人數 比率
使用 分佈特徵
人數 121 .44 38 .14 120 .43
表4-4-2 使用分佈特徵數目的人數分佈
使用特徵數目 人數 比率
三 10 .04
二 73 .26
一 103 .37
零 (未作答)
90 (47)
.33 (.17)
(一) 學生以中心概念描述分佈的情形
以中心概念描述分佈的受試學生約有44%(121 人)，受試學生所使用的敘述 可分成四個類型(作答類型與人數見表 4-4-3 )，最多學生以「平均數」描述，其 次為「70-80 分最多人」，全部學生的敘述次數合計151 次，同時使用兩個或三個 類型的中心概念敘述的學生約9%，僅使用一個類型的學生約 35%(使用類型次數 與人數見表4-4-4 )。
表4-4-3 以中心概念描述分佈之作答類型與人數
作答類型 人數 比率
平均數 67 .24
70-80 分最多人 62 .22
中位數 12 .04
眾數 10 .04
次數合計 151
表4-4-4 使用中心概念類型次數與人數
最多學生以「平均數」描述，有些學生會算出平均數為72 分，例如：全班 平均 72 分(A29)，有些則會大略估計平均數是70 幾分或在 70 至 80 之間，例如：
概念次數 人數 比率 有使用 人數
有使用 比率
3 5 .02
2 20 .07
1 96 .35
121 .44
0 155 .56
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上(c07)。其次常見的敘述為「70-80 分最多人」，其中有些學生說出 70 至 80 分 人數最多，或説人數最多的為70 至 80 分，例如：大多數的人在 70-80 分之間 (A41)，還有學生指出 70 分至 80 分約佔多少比率，例如：近 1/3 的人為 70-80 分(A28)，另外各約4%學生提到「中位數」或「眾數」，例如：眾數在 70-80 分 這組，且中位數也在 70-80 分(B10)、中位數有 75(c47)。
至於使用三個類型中心概念語句描述分佈的學生當中，有兩位的說明分別 是：70-80 分的人最多,平均 72 分,中位數在 70-80 分之間(B11)、眾數位在七十 五分那,但平均 72,全班約有 18 人在平均以上,而中位數也差不多在 75 分那 (C06)。
(二) 學生以變異性概念描述分佈的情形
以變異性概念描述分佈的受試學生約有14%(38 人)，受試學生所使用的敘述 可分成五個類型(作答類型與人數見表 4-4-5 )，最多學生以「集中、分散」同義 的詞彙描述，其次為「全距為…」描述，全部學生的敘述次數合計 46 次，同時 使用兩個或三個類型的變異性概念敘述的學生約3%，僅使用一個類型的學生約 11%(使用類型次數與人數見表 4-4-6 )。
表4-4-5 以變異性概念描述分佈之作答類型與人數
作答類型 人數 比率
集中、分散 19 .07
全距 11 .04
最低分為…最高分為… 8 .03
四分位距 6 .02
其他 2 .01
次數合計 46
表4-4-6 使用變異性概念類型次數與人數
最多學生以「集中、分散」描述，有些學生認為這個分佈很分散，也有學生 認為很集中，其實集中或分散應與其他資料集比較後才知，在此僅就學生描述分 佈時能使用集中或分散有關的語句即歸在此類，包括較口語的「落差很大」，以 下列出一些屬於「集中、分散」類型的學生描述：學生成(程)度有點落差，但還 是集中在中間(A11)、成績很分散(a30)、分數差距有點大(C03)、低分群較少，
高分群多一些，大家分數多集中在中間(C47)、中段的成績落差沒有很大(c03)、
落差很大(d36)。
其次常用的敘述為「全距為…」，有些學生說出全距的數值，例如：全距約 為 60 分(A12)，有些則是說全距很大或小，例如：全距很大(b37)，還有約3%
學生提到「最低分為…最高分為…」，例如：最低在 30-40 分,最高的未達 100 (A41)、最高 90 幾,最低 30 幾(c04)，約2%學生提到「四分位距」來描述分佈，
例如：四分位距=20 (a40)、四分位距小(C04)，還有1%學生以四分位數為描述 依據，例如：Q1 位在 60-70 分,Q3 位在 80-90 分,也就是說 60-90 分已佔了半數 以上(D26)、第一四分位數介於 60-70 間,第三四分位數介於 80-90 間(d27)。
至於使用三個類型變異性概念語句描述分佈的學生有一位，他的說明是：第 1 四分位距 65 分,第 3 四分位距 85 分,全距 70 分,落差有點大!四分位距 20 分 (C09)。
概念次數 人數 比率 有使用 人數
有使用 比率
3 1 .00
2 6 .02
1 31 .11
38 .14
0 238 .86
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(三) 學生以形狀概念描述分佈的情形
以形狀概念描述分佈的受試學生約有43%(120 人)，受試學生所使用的敘述 可分成三個類型(作答類型與人數見表 4-4-7)，最多學生以「及格人數為…」描述，
其次為「大多數…」或「…分以上…(佔多少)」描述，全部學生的敘述次數合計 132 次，同時使用兩個類型的形狀概念敘述的學生約 4%，僅使用一個類型的學 生約39%(使用類型次數與人數見表 4-4-8 )。
表4-4-7 以形狀概念描述分佈之作答類型與人數
作答類型 人數 比率
及格人數為… 97 .35
大多數…
…分以上…(佔多少) 25 .09
其他 10 .04
次數合計 132
表4-4-8 使用形狀概念類型次數與人數 概念次數 人數 比率 有使用
人數
有使用 比率
3 0 .00
2 12 .04
1 108 .39
120 .43
0 156 .57
最多學生以「及格人數為…」描述，考試成績分佈為學生日常生活中常見的 分佈，學生很自然的融入生活經驗以及格(60 分)為一個分隔點(cut point)描述分 佈，有些學生會算出及格人數與不及格人數，例如：不及格有 7 人,及格的有 23 人(c02)，有些學生算出及格的比例佔全班的多少，例如：七成以上的人都及格 (A28)，也有些較粗略的估計及格的人數多於不及格的，例如：及格的人超過全 班人數的一半(B26)。
其次為「大多數…」或「…分以上…(佔多少)」描述分佈，對於一個分佈圖 形在視覺上的一個區塊，國外學者的報導中通常會出現一些特別的詞彙，例如 Bakker 和 Gravemeijer(2004)有報導 bump(峰)這個詞彙，Konold 等人 (2002)則提 出modal clumps 的詞彙，而 McClain、Cobb 和 Gravemeijer(2000)則出現 hill(小 山)的詞彙，這些詞彙都是與形狀有關，然而，這些詞彙在本研究樣本的回答當 中很少出現。本研究樣本的學生的說明中大多數會用「在幾分至幾分之間(區間)」
的詞彙，也有學生自己選擇一個分數(如 80 分)，說明多少比例高於(或低於)此分 數，例如：分數多集中在 60-90 分(D42)、60 分以下佔的比例小於 80 分以上(d35)、
超過 80 分的大約有 1/3(B03)、70-80 分的人在全班裡最多,30-40 分的在全班裡 最少(a28)。
還有4%學生以其他語句描述分佈，亦潛在形狀概念，有的學生指出高分群、
低分群，例如：低分群比高分群多(a41)、高分群佔多數(b14)，還有學生大略的 說程度較弱，例如：程度較弱的只佔少數,中間占最多(C50)。
至於使用兩個類型形狀概念語句描述分佈的學生有12 人，其中 1 人的說明 為：70 分以上的人數大於 70 分以下的人數,及格人數超過班上 1/2 的人數(b18)。
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(四) 學生描述分佈的情形
1. 「描述資料分佈」的通過標準與通過學生的表現情形
學生描述分佈時，依其所使用的特徵數目與敘述個數，評量學生是否具有分 佈概念，Delmas 等人(2005)認為了解資料集在統計圖形中為一個整體，包括注意 到中心、變異性、密度與偏度。而在本題中，若學生描述分佈的敘述為以下兩種 情形，視為具有分佈概念：
① 使用三個分佈特徵描述
② 使用兩個分佈特徵，至少其中一個特徵有2 個敘述
以此標準，27 人有分佈概念，約佔受試學生的 10% (見表 4-4-9 )。
表4-4-9 通過「描述資料分佈」的人數 描述情形
(特徵數目與敘述個數) 人數 比率
三個特徵 10 .04
兩個特徵，至少其中一個特徵有2 個敘述 17 .06
合計 (通過人數) 27 .10
在276 名受試學生中，有 10 名學生使用三個特徵描述分佈，而其中有 2 名
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2. 全體受試學生「描述資料分佈」的表現
學生描述分佈時，約30%(82 名)受試學生只以一個分佈特徵且只用一個敘述 來描述整個資料分佈，20%(56 名)受試學生使用兩個分佈特徵，各一個敘述來描 述資料分佈(見表 4-4-12 )。將此兩類型學生分別舉三個、四個代表性的例子如後 (見表 4-4-13、表 4-4-14)。
表4-4-12 描述分佈的特徵數目與敘述個數之人數 描述情形
(特徵數目與敘述個數) 人數 比率
三個特徵 10 .04
兩個特徵，至少其中一個特徵有2 個敘述 17 .06
兩個特徵，各有1 個敘述 56 .20
一個特徵，2 個敘述 21 .08
一個特徵，1 個敘述 82 .30
零個特徵 90 .33
表4-4-13 使用一個特徵且 1 個敘述描述分佈之學生敘述 使 用 特 徵 學生敘述
中心 變異性 形狀 全班平均 72 分(A03) √
成績很分散(a30) √
大部份都 70 分以上(A16) √
表4-4-14 使用兩個特徵且各 1 個敘述描述分佈之學生敘述 使 用 特 徵 學生敘述
中心 變異性 形狀 分數集中在70-80 之間,全班分數落差太大(B04) √ √
沒有人滿分,且最低分不低於 30,
最多人分數介於70-80(B34) √ √
70-80 分人數較居多,
不及格人數7 人,程度至中上(C42) √ √
大部分都集中在65-85 分,
雖然有90 幾分的,但也有 30 幾分的(D09) √ √
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