國三學生對分佈特徵與分佈概念了解情形之研究

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(1)第壹章緒論. 本章將分別說明本研究的研究動機、研究目的、研究問題，並對本研究出現的名詞提出解釋，指出本研究的限制。. 第一節. 研究動機. 一、統計的重要性在資訊爆炸的現代社會，加上電腦軟體的盛行，日常生活中充斥著許多資料，欲掌握這些資料、依需求迅速擷取不同的資料需要統計的幫忙，統計的內容包括蒐集資料、整理資料、展示資料、解釋資料，在日常生活中，具有高度的實用性。. 在國中、小課程中，從美國的學校數學課程和評鑑的標準(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics) (National Council of Teachers of Mathematics, 1989)、澳洲的澳洲學校數學說帖(A National Statement on Mathematics for Australian School) (Australian Education Council, 1991)、紐西蘭的紐西蘭數學課程(Mathematics in the New Zealand Curriculum) (Ministry of Education, 1992)可知，前述三國皆將統計與機率置於數學課程的重要部分，而國內從民國 64 年部編版至現行的九年一貫課程綱要，國中、小數學科課程皆包含統計部分，由此可知其重要性。. 1.

(2) 二、分佈的重要性統計能幫助我們整理資料、進行分析以提供決策所需的資訊，統計中有許多概念，分佈(distribution)即為其中一個重要概念，McClain、McGatha 與 Hodge(2000) 即認為分佈是統計的一個核心概念(Big idea)。. 以分佈的功能而言，一個變數的分佈，告訴我們變數有哪些可能的值以及每一個值出現的比率(Moore, 2001)，若具有分佈的概念，可以掌握整體資料，也能達到統計的目的─描述、解釋與預測資料群體(蘇國樑，1994)，除此之外，分佈還可提供一個有組織的概念結構，以此思考變異性的模式，並將資料集視為一個聚集(aggregate)(Bakker, 2004)，亦有助學生將來學習抽樣分佈(Garfield & Ben-Zvi, 2008)。. 研究者們指出統計教學從聚焦於繪製圖形，轉變為發展分佈理解(Leavy, 2006; Pfannkuch, 2006)。對於國內已接受近九年國民教育的國中三年級學生，對統計分佈概念的了解情形如何，令研究者欲探求。. 三、九年一貫課程綱要的編排九年一貫數學學習領域課程綱要中，能力指標未見明確提及「分佈」概念，而較明確含有分佈特徵的能力指標有以下兩個：一、中心概念：能力指標 D-4-02：「能利用統計量，例如：平均數、中位數及眾數等，來認識資料集中的位置。」二、變異性概念：能力指標 D-4-03：「能利用統計量，例如：全距、四分位距等，來認識資料分散的情形。」. 2.

(3) 九年一貫數學學習領域課程綱要中，由階段能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋，以利分年進階式教學進度目標的明確掌握(教育部，2003)。. 分年細目中，指出國小統計圖的教學包括繪製、報讀長條圖、折線圖、圓形圖，國中為製作統計圖形，來顯示資料蘊含的意義。分年細目詮釋中，國小部分說明：「利用生活中的統計圖，作為例子，例如：某班的成績分佈情形，可分別以長條圖、折線圖或圓形圖來呈現(教育部，2003)」。此為課程綱要中唯一明確出現「分佈」一詞之處，依此課程綱要學習的學生，分佈概念了解情形如何？引起研究者探討動機。. Bright 與 Friel(1998)曾指出數學學科常聚焦於步驟(procedure)的教導，而在九年一貫課程中，統計亦被安排在數學學習領域內，課程綱要中的統計分佈的編排是否偏重計算數值，學生對分佈的相關概念是否僅限於計算分佈特徵的量數？皆引起研究者探討動機。. 3.

(4) 第二節. 研究目的. 基於前一節所陳述之分佈概念的重要性與該概念在課程綱要中的不明確，本研究欲了解國三學生對統計分佈概念了解情形，並以此作為探討「九年一貫課程綱要」中統計分佈編排的依據。據此，本研究有以下兩個研究目的：一、國三學生對分佈概念了解的情形。二、分析目前九年一貫課程綱要中統計分佈的編排。. 第三節. 研究問題. 依本研究之研究目的一，閱讀相關文獻後，整理出分佈的概念包括中心、變異性與形狀這三個重要特徵，從而設計一份研究工具，探查國三學生在此三個分佈特徵與分佈概念了解情形，分別定為研究問題一、二。從研究問題一、二所得的研究結果，即國三學生對分佈概念了解情形，進而探討九年一貫課程綱要中統計分佈概念的編排，定為研究問題三。. 一、國三學生對分佈特徵了解的情形為何？ (一) 國三學生對分佈的中心概念了解為何？ (二) 國三學生對分佈的變異性概念了解為何？ (三) 國三學生對分佈的形狀了解為何？二、國三學生對分佈概念了解情形為何？三、分析九年一貫課程綱要中統計分佈相關概念編排有何不足之處？. 4.

(5) 第四節. 名詞界定. 一、分佈(distribution)：一個整體的概念，指資料全體散佈的情形，特徵包括中心、變異性、形狀。二、中心(center)：分佈的一個特徵，指分佈的中間部分，可用不同的中心量數表示一個分佈的中央位置，本研究的中心量數限於平均數、中位數與眾數。三、變異性(variability)：分佈的一個特徵，指分佈的變化程度，可用不同的變異量數表示一個分佈的分散程度，本研究的變異量數限於全距與四分位距。四、形狀(shape)：分佈的一個特徵，本研究指統計圖形的形狀，常見分類如：對稱、偏態。五、統計圖：能表現統計資料的圖形。本研究指長條圖、折線圖、圓形圖、直方圖、盒狀圖。. 第五節. 研究限制. 一、本研究對象限於台北地區國中三年級學生 276 名。先前數學學習的內容依據為教育部 92 年頒布的「國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要」。二、本研究的資料蒐集採用紙筆測驗，題目中的文字敘述題與學生語文表達能力相關，所有分析皆以學生所寫的答案為依準。. 5.

(6) 第貳章文獻探討本章分成四節，分別介紹以下四個部份的相關研究：分佈的意義與特徵、分佈概念的教學、分佈概念的測量與學生分佈概念的了解。. 第一節. 分佈的意義與特徵. 分佈是統計的一個重要概念，字典與統計學書籍中有多種相近的解釋，亦有多位學者提出分佈的意義與特徵，本節茲就文獻中整理出分佈的意義與特徵(詳見表 2-1-1、表 2-1-2)。. 一、分佈的意義在多本字典與統計學書籍中指出：分佈(distribution)意指「變數的數值，依順序排列的情形」。如韋氏字典(Webster's third new international dictionary of the English language)解釋分佈的意義為「統計中的陣列，一個變數依其數值分組排列」，基本統計綱要字典(Dictionary/outline of Basic Statistics)解釋分佈為「觀察的資料值全體的散佈」，統計字典解釋分佈是「描述(或呈現)變數數值的次數或發生機率」。在許多統計學書籍中可以看見對分佈相似的說明，如「分佈是觀察值(或物體)有意義分類(或分組)後，有系統的排列」(Cain, 1972)、「分佈為變數的值與發生的次數」(Watkins, Scheaffer & Cobb, 2004)。除了上述的分佈意義外，數位研究者提出對分佈的解釋為「資料的整體」， Ciancetta (2007)強調分佈指的是資料集為一個整體(global entity or unit)，可以表或圖形說明，Bakker 與 Gravemeijer (2004)亦認為分佈為一整體概念。另有研究者強調變數，其意涵有整體的概念，如 Leavy (2006)認為分佈是一個變數的數值以測量的尺度排列，Wild (2006)提出分佈是變數的變異的模式(pattern of variation)，MacDonald (2007)強調分佈是描述資料的形狀。 6.

(7) 表 2-1-1 分佈的意義編號. 出處. 分佈的意義 (簡譯). 1. 2. 3. 4. 5. Dictionary/outline of Basic Statistics (1966) 基本統計綱要字典. For observed data, the term is used to refer to their over-all scattering and also as a synonym for “frequency distribution.”. Webster's third new international dictionary of the English language (1972) 韋氏新國際英文字典. An array in statistics of the instances of a variable arranged by classes according to their value.. 統計學辭典 (1995). 分布；分配指派給某個事件集的次數集(觀察到的分配)或機率集(理論分配). The Penguin dictionary of statistics Nelson, D. (2004). Any description or presentation of the values taken by a variable which gives the frequency or probability with which values or sets of values occur.. 統計字典. (變數數值的次數或發生機率的描述或呈現). A dictionary of statistics Upton, G. J. G., & Cook, I. T. (2006). The set of values of a set of data, possibly grouped into classes, together with their frequencies or relative frequencies. In the case of random variables the distribution is the set of possible values together with their probabilities in the discrete case and the probability density function in the case of a continuous variable.. 統計字典. (全體的散佈，也可同義於”次數分佈”). (變數依數值分組排列). (資料集的數值，可能依次數或相對次數分組。在隨機變數的情形下，變數為離散時，分佈是可能的數值與其機率，變數為連續時，分佈是機率密度函數). 7.

(8) 6. 7. 8. Elementary statistical concepts Rolene B. Cain (1972). The concept of a distribution, which is a systematic arrangement of observations or objects into meaningful categories or classifications.. An introduction to statistics with data analysis Rasmussen, S. (1992). The distribution of a variable is a description of how the values of the variable are positioned along the number line.. Statistics in action Watkins, Scheaffer & Cobb (2004). The set of values that a variable takes on in a sample or population, together with how frequently each value occurs.. (觀察物有意義分類的系統排列). (變數的數值如何沿數線放置的描述). (樣本或母體變數的數值，每個數值發生頻率如何) 9. Leavy (2006). Distribution refers to the arrangement of values of a variable along a scale of measurement resulting in a representation of the observed or theoretical frequency of an event. (變數的數值以測量的尺度排列). 10. Wild (2006). We will see that the notion of “distribution” is, at its most basic, intuitive level, “the pattern of variation in a variable,” or set of variable in the multivariate case. (變數的變異的模式). 11. Ciancetta (2007). The term distribution, on its own, refers to a data set as a global entity or unit that can be illustrated tabularly or graphically as a frequency distribution on a scale of possible values. (資料集為一個整體，可製成表或圖). 12. MacDonald (2007). The word ’distribution’ describes the general ‘shape’ of the mass of data. (大部分資料的形狀). 8.

(9) 表 2-1-2 分佈的特徵編號. 出處. 分佈的特徵 (簡譯). 1. Mcclain, McGatha, & Hodge (2000). This emphasis let us treat such concepts as mean, mode, and median and other ideas, including skewness and spread, as characteristics of distributions. (平均數、眾數、中位數、偏度、離度). 2. Cobb (2002). Notions such as center, skewness, spreadoutness, and relative frequency would then emerge as characteristics of distributions. (中心、偏度、離度、相對次數). 3. Konold(2002). shape, center, spread (形狀、中心、離度). 4. Bakker & Gravemeijer (2004). center, spread, density, skewness (中心、離度、密度、偏度). 5. Garfield & Ben-Zvi (2004). a representation of quantitative data that can be examined and described in terms of shape, center, and spread, as well as unique features such as gaps, clusters, outliers, and so on. (形狀、中心、離度、間隔、群集、離群值). 6. Reading & Reid (2006). The authors of the current paper propose a framework for distribution with five key elements: centre, spread, density, skewness and outliers. (中心、離度、密度、偏度、離群值). 7. Ciancetta (2007). As a global entity, a distribution has its own characteristics apart from the values that a variable takes on. Three of the most commonly referred to characteristics are center, spread (or variation) and shape. (中心、離度(變異性)、形狀). 9.

(10) 二、分佈的特徵除了簡述分佈為一整體的概念外，多位研究者亦更明確指出分佈的特徵：形狀、中心、變異性或離度(Ciancetta, 2007; Konold, 2002)。Bakker 與 Gravemeijer (2004)認為分佈具有四個特徵：中心、離度、密度、偏度，而 Reading 與 Reid (2006) 贊成此說法，但另加上離群值(outlier)為分佈特徵。Mcclain、McGatha 與 Hodge (2000)認為平均數、眾數、中位數、偏度、離度都是分佈的特徵。 Bakker 與 Gravemeijer (2004)分析分佈與資料之間的關係(見表 2-1-3)，此結構表由上往下看，代表分佈為一概念整體，包含四個特徵：中心、離度、密度與偏度，中心的測量包括平均數、中位數和全距中點(最大值與最小值的平均)，離度的測量包括全距、標準差、四分位距等。此結構表由下往上看，多為生手觀點，即使用資料值計算平均數、中位數等。. 表 2-1-3 分佈與資料的關係. 資料來源：”Learning to reason about distribution” by Bakker, A., & Gravemeijer, K., 2004, The challenge of developing statistical literacy, reasoning and thinking, p.148.. 10.

(11) 第二節. 分佈概念的教學. 統計的分佈概念不是自然的或自發性的，需要經過教學才能形成(蘇國樑， 1994; Garfield & Ben-Zvi, 2008)。本節探討分佈概念的教學，分成教學內容與教學方法兩部份，第一部份介紹美國中小學課程標準，第二部份為分佈概念的教學方法之相關研究。. 一、美國中小學數學原則與標準美國 NCTM((National Council of Teacher of Mathematics)提出的數學原則與標準(Principles and Standards for School Mathematics)中，各年段目標皆含有分佈的整體概念在內。列舉如下：學齡前─二年級： . 描述資料的部份及資料集為一整體(as a whole)，判定(determine)資料呈現什麼。. 三─五年級： . 使用表和圖呈現資料，如：線圖(line plots)、條圖、折線圖(line graphs)。. . 辨別類別資料與數值資料的不同. . 描述資料集的形狀及重要特徵，比較相關的資料集，強調資料分佈如何。. . 使用中心的測量，聚焦於中位數，了解每一個中心量數是否可象徵此資料集。. . 比較相同資料的不同表徵，評估每一個表徵如何展示此資料的重要部分。. 六─八年級： . 選擇、創造及使用適合資料的圖形表徵，包括直方圖、盒狀圖和散佈圖。. . 發現、使用及解釋中心和離度(spread)的測量，包括平均數和四分位距。 11.

(12) . 討論、了解資料集與它們的圖形表徵之間的相似處，特別是直方圖、莖葉圖、盒狀圖、散佈圖。. 從上述中，可以看出幾個特點：強調觀察資料集整體、比較資料集，重視如何呈現資料集整體，強調圖形與量數的功用皆為呈現資料，須選擇適當的使用。. 二、分佈教學的相關研究近年來探討如何教分佈概念的相關研究已逐漸增加，茲就文獻中所提及之教學策略或注意事項整理為六個教學方法：1、描述分佈形狀，2、給予情境、繪製統計圖形，3、比較不同資料集，4、預測資料集改變情形，5、以不同方式將資料分組，6、以不同表徵呈現資料集。詳述如後：. 1.. 描述分佈形狀分佈是一個不易說明、不易理解的概念，可從讓學生以描述分佈的形狀開始. 認識分佈、以整體觀點看分佈(Bakker & Gravemeijer, 2004; Garfield & Ben-Zvi, 2008; Watkins, Scheaffer & Cobb, 2004)。. 描述一個分佈的形狀可以從非正式的語言開始，多位學者贊同此說法， Konold 等人 (2002)將在一個分佈核心的區域稱為 modal clumps，代表大多數資料值所在處，他認為學生在學正式統計用詞如平均數、眾數之前，使用 modal clumps 一詞描述分佈，有助於理解分佈，Bakker 與 Gravemeijer (2004)贊同此說法，亦提出可以非正式的名詞描述分佈形狀，例如當學生使用「bump(峰)」一詞彙時，其意不只是某個圖的視覺特徵，也表示「整個資料集中，相對大量的資料點」。. 12.

(13) Garfield 與 Ben-Zvi (2008)認為可從要求學生將數個直方圖依形狀分若干類，選出每一類的代表，讓學生用非正式語言為此形狀「命名」，例如：像滑雪坡、一邊突起(bunched to one side)等，學生可透過此活動認識分佈為一個整體。. Makar (2005)提出教師使用他們本身所有的、非標準的統計術語在課堂上描述分佈、解釋分佈的好處有三點： 1. 更能掌握意義，並能表達變異性的概念； 2. 日常生活中使用的語言可讓更多學生參與教室討論； 3. 若目標是要給予學生經驗，非標準的統計語言使統計概念更有意義的產生，有助學生(與老師)朝向目標前進。例如：描述一個分佈「在中心更密集(more clumped in the center)」，勝於說標準差或全距為多少來比較它的分散程度。. Watkins、Scheaffer 與 Cobb (2004)提出可從認識形狀開始教學，簡介分佈的幾種常見形狀，如：均勻分佈、常態分佈、偏斜分佈、雙峰分佈，並以課堂提出問題帶入中心與變異性的教學，使學生有足夠的概念與詞彙以形狀、中心、變異性描述分佈。. Ben-Zvi (2002)提出另外一個建議：逐漸引入「趨勢」的概念(notion of trend)，可以幫助學生直把圖形的形狀視為一個整體(as a whole)，學生將逐漸發展資料的整體觀點。. 2.. 給予情境，繪製統計圖形分佈是一個整體的概念，教學中可給予學生文字描述的情境，讓學生練習畫. 出符合此情境的圖形，有助學生建立分佈概念(Bakker & Gravemeijer, 2004; Watkins, Scheaffer & Cobb, 2004)。. 13.

(14) Leavy (2006)指出圖形表徵是傳達分佈外觀的有用工具，可以幫助聚焦於只使用描述統計可能會遺漏的部分，Gallimore (1990)對於畫圖，提出他所觀察到的現象：許多學生都認為一個好的圖形的標準是在於畫得清楚、整齊上色，推測可能是教師們也認為如此。. 欲透過繪製圖形發展統計分佈概念時的「繪圖」，更強調的是畫出(sketch) 分佈的特徵，當學生開始創造(create)他們自己的圖形，分佈的多樣特徵在他們的圖形表徵中出現(Shanghnessy & Pfannkuch, 2002)，學生自行繪製的圖形對他們而言是有意義與功用的(Bakker & Gravemeijer, 2004)，可以透過繪圖的過程發展分佈概念。. 3.. 比較不同資料集(data set) 教學中進行比較資料集的活動可引導學生考慮分佈的形狀、中心、變異性，. 並以情境檢驗分佈為一整體(entity)(Biehler, 2001; Leavy, 2006; Garfield & Ben-Zvi, 2008)。. 學生可以在此活動中說明兩個資料集之間的不同，可從觀察資料集的形狀開始，教師依學生回答得知學生未注意到分佈的哪些特徵，可以提問的方式引導學生繼續觀察、思考分佈的其他特徵，讓學生發展更全面的分佈觀點，Biehler (2001) 認為若學生觀察兩個不同年級的身高分佈圖形，可能會發現兩者分佈形狀相同、但位置不同。Garfield 與 Ben-Zvi (2008)指出可以讓學生比較兩個形狀、中心相同，但離度不同的資料集，讓學生發現分佈特徵。. 以下提出三個教學範例：. 14.

(15) ☉ 教學範例一 McGatha 等人 (2002)要求七年級學生比較兩個資料集並作出選擇，他們感興趣的是：當學校教學重點在計算平均值時，學生如何處理資料的離度 (spreadoutness)？學生會僅計算平均值或者學生分析資料的方式會隨著目的而調整？. 在進行課堂討論的題目中，平均值較高的資料集亦有較大的變異性 (variability)，這樣的情形下，平均值較高的資料集可能並非是較好的選擇，穩定性(consistency)是一個重要的考量，以其中一題為例如下：「Meigs 球隊將選出一名球員參加明星賽，以下是兩名候選球員本賽季最近八次的得分。根據此資訊，選擇一名球員並提出支持的理由。」 A 球員. 11. 31. 16. 28. 27. 14. 26. 15. B 球員. 21. 17. 22. 19. 18. 21. 22. 20. 在全班共 8 組學生中，有 5 組學生僅是計算平均值或總得分來比較兩資料集，不考慮此情境中是否適用，另外 3 組學生一開始也計算平均值或總得分，但後來開始考慮情境並決定平均得分較高的球員不是此比賽的較佳選擇。McGatha 等人 (2002)認為在此討論過程中，學生已開始從僅簡單的計算數值朝向真實地分析資料。. 15.

(16) ☉ 教學範例二對七年級學生的教學中，給學生兩個不同品牌電池的使用時間數值各 10 個，讓學生以此比較兩品牌電池的優劣(如圖 2-2-1)，以 Minitool 軟體(一統計軟體)呈現，圖中兩種深、淺不同的顏色代表兩個不同品牌。Bakker 與 Gravemeijer (2004)發現學生開始非正式的理解分佈，學生會使用非正式的語句進行比較兩個品牌，例如：這個牌子的電池有多好(意指平均數較大)、這個牌子的可靠程度較高(意指變異性較小)、這個牌子大部分使用時間為…(意指使用時間的偏態)。. 圖 2-2-1 兩個不同品牌電池的使用時間數值資料來源：”Learning to reason about distribution” by Bakker, A., & Gravemeijer, K., 2004, The challenge of developing statistical literacy, reasoning and thinking, p.150.. 16.

(17) ☉ 教學範例三教學時，要求七年級學生比較兩組資料，分別表示「車速限制為 50 英里之前、之後的車速」，第一組資料是「限速前，60 輛車的時速」，另一組資料是「限速後，60 輛車的時速」(McClain, Cobb &Gravemeijer, 2000)(見圖 2-2-2)。. 圖 2-2-2 限速前後的車速資料資料來源：”Supporting students' ways of reasoning about data” by McClain, K., Cobb, P., & Gravemeijer, K., 2000, Learning Mathematics for a New Century, p.181.. 一名學生(Janine)指出圖形看起來像小山(hills)，並說限速前的那一組較分散 (more spread out)、較多超過 55 英里，限速後的那一組較多在凸起部分、接近速度限制界線(more people are bunched up closer to the speed limit)，代表大部分的車輛都慢下來。這是在公開教室討論時，學生首度以約略提到形狀、全面的、性質的(相對於量化的)詞彙描述一個資料集，教師隨即以「小山」延續討論，在圖形上畫出「小山」(見圖 2-2-3)。. 17.

(18) 圖 2-2-3 速度資料顯示「小山」資料來源：”Supporting students' ways of reasoning about data” by McClain, K., Cobb, P., & Gravemeijer, K., 2000, Learning Mathematics for a New Century, p.181.. 在此可發現：當學生討論「小山」的解釋時，資料集為資料點的分佈的概念產生。在對話中，學生開始理解整個資料集的整體的趨勢。. 4.. 預測資料集改變情形在教學過程中，學生已學過如何描述一個資料集後，教師可以將原來的資料. 集情境稍做變化，讓學生預測情境改變後的資料集會如何變化？新的資料分佈如何？此預測活動可讓學生將分佈視為一整體(Bakker & Gravemeijer, 2004; Leavy, 2006 )。. Bakker (2004)提出對七年級的教學設計：第一階段：要求學生預測 10 名七年級學生的體重，學生預測如圖 2-2-4 所示。. 18.

(19) 圖 2-2-4 學生預測 10 個七年級學生體重之圖形資料來源：Design research in statistics education : on symbolizing and computer tools(p.219), by A. Bakker, 2004, Utrecht, the Netherlands: CD Beta Press.. 學生畫完圖後，教師將三組真實資料公佈於黑板上(如圖 2-2-5，教師提供三組資料的原因在於要顯示資料的變異性)，問學生黑板上的圖與之前學生自己預測的有何不同？. 圖 2-2-5 三組真實資料值資料來源：Design research in statistics education : on symbolizing and computer tools(p.219), by A. Bakker, 2004, Utrecht, the Netherlands: CD Beta Press.. 學生描述資料集的特徵時，有些用詞意指聚集(aggregate)，如在一起 (together)、分開最遠(furthest apart)。在上圖的 Sandra 說出上面三個圖形較多體重在一起的(一樣的)、而自己畫的較分開，Sandra 所說的「在一起的」、「較分開」即是強調資料值「分散」的想法。. 19.

(20) 第二階段：要求學生預測一個班級 27 人與三個班級共 67 人的體重。學生預測如圖 2-2-6 所示。. 圖 2-2-6 學生預測一個班級與三個班級體重之圖形資料來源：Design research in statistics education : on symbolizing and computer tools(p.222), by A. Bakker, 2004, Utrecht, the Netherlands: CD Beta Press.. 學生畫完圖後，教師將一組真實資料公佈(如圖 2-2-7)，要求學生描述真實資料與自己所預測的有何差異？. 20.

(21) 圖 2-2-7 一個班級與三個班級真實資料值資料來源：Design research in statistics education : on symbolizing and computer tools(p.222), by A. Bakker, 2004, Utrecht, the Netherlands: CD Beta Press.. Chris 認為自己畫的與真實資料很像，但自己畫的沒有極端值，因為畫了約 10 個 70(公斤)和 80(公斤)，而真實資料大約只有 6 個。. 第三階段：要求學生預測八年級學生體重，不需要畫出點，圖形的形狀是重點。描述此圖形的形狀，並解釋為何畫這個形狀(學生預測如圖 2-2-8)。. 圖 2-2-8 學生預測整個城市八年級學生體重之圖形資料來源：Design research in statistics education : on symbolizing and computer tools(p.224), by A. Bakker, 2004, Utrecht, the Netherlands: CD Beta Press.. 21.

(22) Rudd 說明自己如此畫的理由是因為平均大約為 50 至 60(公斤)，Chris 認為自己畫的是錐形(pyramid)。Rudd 所謂的平均意指「大部分」，如同 Konold (2002) 所說的「modal clump」一詞，之後他稱自己的圖為鐘形(bell shape)。. Bakker 與 Gravemeijer(2004)認為在假設的情境中，形狀的預測有助學生了解形狀或分佈的原因： 1. 學生沒有資料值，必須更全面地推理。 2. 學生預測的圖形比真實資料值的圖形更平滑，我們猜測這樣的圖可助學生透過變異性了解分佈的形狀。. 5.. 以不同方式將資料分組一組資料集可選擇多種不同的分組方式，大致分成兩種類型：(1)各組組距. 相同，改變組距即成為另一種分組；(2)各組個數相同，改變個數即成為另一種分組。將資料以不同方式分組可讓學生認識分佈的不同特徵，有助發展分佈概念 (Cobb, 2002; Bakker & Gravemeijer, 2004; Watkins、Scheaffer & Cobb, 2004)。. Cobb (2002)教學實驗中以 minitool(統計軟體名)提供學生多種選擇組織 (structuring)資料集的方式，此教學活動名為「產生你的群組(Create your own groups)」─可將資料集分為：(1)固定個數為一組、(2)組距為某一定值、(3)依資料個數等分成兩組、(4)依資料個數等分成四組。訪談學生後發現：許多學生可以解釋「將資料集以相同組距分組的圖形」比擬為直方圖；「將資料集依個數等分成四組」比擬為盒狀圖，可見學生發展探索分佈特徵的能力。Bakker 與 Gravemeijer (2004)有類似發現，另指出還可發展中位數、分佈密度(density)的概念，可讓學生的注意力從單一的平均值轉向整個分佈。. 22.

(23) 6.. 以不同表徵呈現資料集不同圖形表徵可呈現分佈不同的特徵(Bakker & Gravemeijer, 2004; Garfield. & Ben-Zvi, 2008)，教學應從展示所有資料值(show all data value)的圖形(如點圖、莖葉圖)開始介紹，再進階到更抽象、複雜的隱藏資料(hide the data)的圖形(如直方圖、盒狀圖)。. Garfield 與 Ben-Zvi (2008)提出將一個資料集分組後用三種表徵呈現：(1)個別數值長條圖(case-value bar)(如圖 2-2-9)、(2)點圖(如圖 2-2-10)、(3)直方圖(如圖 2-2-11)，可展示出此分佈的形狀，有助學生了解分佈為一整體。. 圖 2-2-9 個別數值長條圖(case-value bar). 圖 2-2-10 點圖 23.

(24) 圖 2-2-11 直方圖資料來源：”Learning to reason about distribution” by J. B. Garfield & D. Ben-Zvi, 2008, Developing students' statistical reasoning: Springer Netherlands, p.176.. 第三節. 分佈概念的測量. Gal (1998)認為關於學生解釋資料的評量，對教育工作者是一個挑戰，此挑戰包括引出(elicitation)、澄清、評價學生的看法及背後的理由。有幾位研究者提出如何測量學生的分佈概念的看法如下：. 一、描述資料分佈. 給予學生資料的分佈，若學生能以分佈的特徵描述出此分佈，可以此判斷學生分佈概念發展情形(Delmas, Garfield & Ooms, 2006; McGatha, Cobb & McClain, 2002)。Moore (2001)認為描述分佈的一般方式為：找出資料的中心和離度，檢查看看該分佈是否有簡單的形狀，可以很容易的描述。. 24.

(25) McGatha 等人 (2002)指出可以學生日常生活經驗相關的情境擬定問題，如要求七年級學生描述一個資料集，設計的問題情境可如下例：. 「以下為 30 個七年級學生一星期看電視的時數之調查結果，校長請你幫忙以某些形式總結、呈現這些資料(summarize and present this data in some form)，使家長們在家長會時可以快速了解，並請你寫一個短的報告給家長解釋這些資料呈現什麼。」 1.5. 21. 12.5. 0. 2.5. 15. 23. 19. 4. 14. 8. 16. 13.5. 16.5. 6. 4.5. 9. 18. 5. 10.5. 8.5. 6. 3. 9. 11.5. 3.5. 19.5. 13. 10. 9. 在上述的題目中，研究者們想了解學生會簡單的計算資料的平均數還是會發展合適的圖形的銘刻(inscriptions)─可以展示這些資料，並容易了解其中特別的模式(patterns)。此資料的全距大(23)，若只以平均數來總結、呈現這些資料值不適合，透過學生描述此資料集分佈的方式，可看出學生是以整體觀點看此分佈還是以個別觀點看資料值。. 以上述為例，一名七年級學生(Trent)認為這個問題是要將 30 個資料值全部地合在一起(altogether)報告，所以應該採用 30 個資料值的平均值；但同組的組員們認為平均值是 10.56，而 30 個資料值中的 1.5 和 10.56 距離很遠(way off)，所以使用平均值不適合。. 從上述的討論中，許多學生認為平均值不適合，但不清楚是因為資料值的分散或是因為他們相信平均值不能作用於這資料(因為有些資料值距離平均值很遠)。. 25.

(26) 亦可以選擇題的形式命題，Delmas 等人 (2006)要求高中生和大學生解釋圖形所呈現的資訊。在試題中，給學生一個資料集的圖形，要求學生選出此資料分佈的最適當敘述，以其中一題為例如下：「以下圖形顯示一組大學生前一晚睡眠時數的分佈，請選出最完整描述此圖形的敘述，以顯示如何以統計描述與解釋一個變數的分佈。」. 選項敘述與選擇各選項的人數百分比如下：. 選項. 高中生. 大學生. 合計. (97 人). (796 人). (893 人). 百分比. 百分比. 百分比. a 長條從 3 至 10，先增加至 7，後減少至 10。最高的長條位於 7，在 3 和 5 之間有一個間隔(gap)。. 5.2. 4.5. 4.6. b 此分佈是常態的，平均數約為 7，標準差約為 1。. 15.5. 19.5. 19.0. c 大部分學生似乎在晚上有足夠的睡眠，但有些學生睡得較多，有些學生睡得較少。然而，有一個學生必定熬夜到很晚，睡眠時間很短。. 1.0. 3.1. 2.9. d*睡眠時間的分佈有點對稱且呈鐘型，有一個離群値為 3。睡眠代表的數量約為 7 小時，且全體的差距為 7 小時。. 78.4. 72.9. 73.5. 此題要求學生選出完整描述一個分佈的敘述，包括形狀、中心和離度，Delmas 等人(2006)發現雖然有約四分之三受試學生選出正確答案「d」，但還是有值得注意的比例的學生(23.6%)選擇僅有統計(值)而沒有任何詮釋或情境的選項(意指選項 a 與 b)。 26.

(27) 二、畫出統計圖呈現資訊. 要求學生畫圖表示(呈現)統計資訊是一個有用的方式，可評量學生如何理解分佈(Bakker & Gravemeijer, 2004; Shanghnessy & Pfannkuch, 2002; Watkins, Scheaffer & Cobb, 2004)。當學生開始創造(create)他們自己的圖形，分佈的多樣特徵在他們的圖形表徵中出現(Shanghnessy & Pfannkuch, 2002)。. Bakker 與 Gravemeijer (2004)肯定畫圖的方式，亦提出教學時的發現，教學範例選用的資料集是不同品牌的電池的使用時間，在教學過程中發現：若學生想到缺乏數值的特徵，例如「好但是不可靠(good but not reliable)」，可避免學生聚焦於資料值，而注意到整個資料集。. Bakker 與 Gravemeijer (2004)提出一種有效的方式，先告訴學生一個包括非正式用詞與統計概念的短故事，再要求學生畫一個適合這個短故事的圖，不限制圖形的類型。短故事的範例如下：「七年級學生將接受 5 公里跑步的訓練，想畫三個圖形紀錄他們的進步，分別為訓練開始前、訓練一半時以及訓練十次課程後，依後面敘述畫出三個圖形： ① 訓練開始前，一些學生很慢，一些學生非常快，最快的學生在 28 分鐘內跑完 5 公里，其他學生之間的分散範圍(spread)很大，大部分學生都落在慢的那一邊。 ② 訓練一半時，大部分的學生跑得較快，但最快的只進步一點點，而最慢的也是(只進步一點點)。 ③ 訓練結束後，跑步時間的分散範圍比剛開始時小，但全距仍然很大，大部分學生約進步 5 分鐘，仍有少數學生跑得慢，但大部分的學生比剛開始時更接近跑最快的(學生)。」. 27.

(28) 在這短故事中，設計為整合多個特徵，從簡單(例如：最快的學生需要 28 分鐘跑完 5 公里)到難(最後全體跑步時間的分散程度比開始時小，但全距仍很大)。. 除了要求學生自行畫出統計圖，亦有研究者以選擇題形式命題，要求學生依題目所述之情境選出最符合的長條圖，Delmas 等人(2006)曾以三題測驗高中生與大學生共 894 人，發現三題的答對率分別為 71.3%、46.6%、25.4%，推估答對率的高低可能與受試學生是否熟悉該情境有關，以其中一題為例如下：「從電話號碼簿抽樣出的電話號碼之末位數，選出符合此敘述的長條圖。」選項與選擇各選項人數的百分比如下：. 選項. 高中生. 大學生. 合計. (97 人). (796 人). (893 人). 百分比. 百分比. 百分比. 15.5. 26.2. 25.1. 20.6. 21.8. 21.7. 2.1. 7.2. 6.6. 61.9. 44.8. 46.6. Ⅰ. Ⅱ. Ⅲ. Ⅳ 在本題發現，約有四分之一學生選擇的圖形較接近鐘形，Delmas 等人 (2006) 認為可能有「隨機就是常態(分佈)」的迷思概念存在。. 28.

(29) 三、比較資料集(data set). 學生在比較兩個資料集時，所採用的策略(如：平均數、圖形形狀)可看出學生對分佈概念理解情形(Ciancetta, 2007; Leavy, 2006; Meletiou & Stylianou, 2003; Reading & Reid, 2006; Garfield, delMas & Chance, 1999; McGatha, Cobb & McClain, 2002)，也可看出學生使用什麼類型的解釋策略，以全面的(global)或局部的(local)或局部轉向全面(Ciancetta, 2007)。. 四、預測資料集整體改變. 分佈是一個整體的概念，從學生預測資料集整體改變的表現可看出學生有無此整體概念(Bakker & Gravemeijer, 2004)。. 29.

(30) 第四節. 學生分佈概念的了解. 多位研究者指出學生在分佈概念的理解仍有困難(Bakker & Hoffmann, 2005; Garfield & Ben-Zvi, 2008; Konold, Higgins, & Russell, 2000)。常見情形如下：. 一、學生缺乏分佈的整體概念. 看分佈圖形或表格時，許多學生注意到的不是整體資料集(data set)，而是個別資料值(data values)(Bakker & Hoffmann, 2005; Ben-Zvi & Arcavi, 2001; Garfield & Ben-Zvi, 2008; Delmas, Garfield & Ooms, 2005)，學生在觀察資料集時，注意局部的點、局部的退步，不能看到整體的方向、趨勢(Ben-Zvi & Arcavi, 2001)，從未了解分佈為一整體(Garfield & Ben-Zvi, 2008)。. Bakker (2004)指出：學生傾向看資料值而非注意分佈，因為他們可用這些資料值計算平均數、中位數、全距與四分位距。. Delams 等人(2005)整理許多文獻作出整理：許多研究發現學生傾向視資料集為多個單獨的點，而不是將(統計)圖形或資料集當成一個整體，學生常注意在某些特別的值(particular values)，例如：最高的、最低的數值或極端值。. 二、比較資料集時，僅用分佈的一個特徵. 分佈為整體概念，具有多個特徵(如：形狀、中心、變異性等)，許多學生比較資料集時，僅用其中一個特徵作為比較依準(Leavy, 2006; Garield & Ben-Zvi, 2008; McGatha, Cobb & McClain, 2002)。 30.

(31) McGatha 等人 (2002)發現七年級學生比較兩個資料集時，全班共八組，有五組學生以總分或平均數為基準進行比較，類似情形在 Leavy (2006)的研究也發現：將國小職前教師共 23 人分成八組，發現職前教師們比較資料集時，皆以平均值比較兩個資料集，其中一組嘗試呈現資料集的變異性，但沒有任何一組考慮資料集的其他的分佈特徵(例如：形狀)。. Ciancetta (2007)研究學生分佈概念為局部的或整體的，研究對象為大學生與研究生共 275 人，發現 40.7%學生僅用分佈的一個特徵(形狀、中心、變異性)比較資料集，而僅有 8%學生有分佈整體概念、12.7%學生有部份分佈整體概念(意指仍不完整，但非以一個分佈特徵比較兩個資料集)，完全沒有分佈概念者將近 4 成，包括 29.5%學生以局部觀點看資料集(如:最大值)、9.1%學生比較資料集的判準理由與統計無關(如:猜測的)。. 31.

(32) 第参章研究方法. 本章分成四節，分別針對研究設計、研究對象、研究工具與研究流程說明。. 第一節. 研究設計. 本研究採用調查研究法，限於國內缺乏相關研究，在文獻探討階段，閱讀許多國外學者相關研究和課程標準，以及台灣九年一貫課程綱要，擬出數道分佈概念試題，經過兩次非正式預試、專家審核與正式預試後，並在每個階段與指導教授討論，且進行局部修改後，發展出一份評量工具「統計分佈概念試題」，對台北地區國中三年級學生 276 人進行調查，探查國中三年級學生對統計分佈特徵與分佈概念的了解情形。. 32.

(33) 第二節. 研究對象. 根據九年一貫課程綱要，國中階段的統計課程編排在三年級的學習內容，而 97 學年度通過審核的四個版本的數學課本皆將統計課程編於三年級下學期的教學內容，故本研究之研究對象設定於國中三年級學生。依研究方便，研究對象選定台北地區國三學生，來自台北地區四所國中，各 2 個班級，共計 276 名，施測時間與人數如表 3-2-1 所示。. 表 3-2-1 研究對象人數與施測日期學校. 班級代碼. 人數. 施測日期. 甲校 (台北市). A班. 29. 2009/04/28. a班. 32. 2009/04/28. 乙校 (台北市). B班. 32. 2009/04/28. b班. 32. 2009/04/29. 丙校 (台北縣). C班. 37. 2009/04/27. c班. 37. 2009/04/27. 丁校 (台北縣). D班. 41. 2009/04/29. d班. 36. 2009/04/29. 總計. 8班. 276. 33.

(34) 第三節. 研究工具. 本研究所用的研究工具是研究者自行編製的「統計分佈概念試題」。以下茲就此試題的架構、發展時程、評分方式、效度與信度依序說明。. 一、試題架構. 試題分成七個向度：中心、變異性、形狀、中心與變異性、變異性與形狀、中心與形狀、中心與變異性與形狀。試題架構的設計為將分佈概念之三個特徵─「中心」、「變異性」、「形狀」設定為最初階的概念，為層次一，由此築成「中心與變異性」、「變異性與形狀」、「中心與形狀」較進階的概念，將其設定為層次二，再往上形成更上層概念─可視為分佈概念的初始─匯集中心、變異性、形狀三者，設定為層次三。在每一個向度中，透過文獻探討，找出此向度應具備之概念，鑒於整份試題之作答時間欲控制在一節課(45 分鐘)內，題數不宜過多，每個向度選取約三個左右試題，完成此試題架構如表 3-3-1 所示。. 34.

(35) 表 3-3-1 分佈概念試題試題架構向度概念. 中心. 題號. 測驗概念. 1 (1). 中心量數(平均數). 1 (2). 中心量數(中位數). 2 3 (1) 3 (2). 中心量數應用中心量數適用時機. 層次一. 4 (1). 變異量數(全距). 4 (2). 變異量數(四分位距). 5 (1) 變異性. 5 (2). 變異性概念(判斷變異性大小). 5 (3) 6 (1). 變異量數適用時機. 6 (2) 7 形狀. 8 (1) 8 (2) 9 10 (1). 中心. 10 (2). 變異性. 11 (1) 11 (2) 12. 層次二. 變異性形狀. 形狀. 判斷兩資料集加總後之形狀從次數表判斷累積相對次數圖形狀從盒狀圖判斷哪一組資料集較佳從中心與變異性比較兩資料集從盒狀圖判斷兩資料集分散程度大小. 13 (1). 從點圖判斷分散程度最大的資料集. 13 (2). 從點圖判斷分散程度最小的資料集. 14 (1). 從長條圖判斷最集中的資料集. 14 (2). 從長條圖判斷最分散的資料集. 15 (1) 中心. 預測資料集整體改變後之形狀. 15 (2) 16. 從次數圖判斷平均值最大的資料集從點圖判斷中位數與平均數的大小關係. 層次三. 17 (1). 從折線圖判斷平均數最大的資料集. 17 (2). 從折線圖判斷平均數最小的資料集. 中心. 18. 資料集整體分佈圖，以文字描述此分佈. 變異性. 19. 從資料集的描述(分佈特徵)描繪圖形. 形狀. 35.

(36) 二、試題發展時程. 鑒於現今國中數學課程將統計單元安排於國中三年級下學期教授，本試題發展階段(三月)國三學生幾乎仍未學到該單元，故先找一名高一學生預試並訪談，主要目的為澄清題意並預估作答時間。此階段於後簡稱為「試寫 1」，該名高一學生於前一年(97 年)參加兩次基本學力測驗，第一次測驗的數學科成績為 41 分、第二次為 47 分，自評國三下學期時在學校學「敘述統計」單元時，考試成績約為 80-90 分，且認為在國中數學科的單元中，「敘述統計」單元較容易。. 於試寫 1 後，挑選出其中欲探討的 6 個題目，依研究方便，隨意至台北市立圖書館找 4 名中學學生(分別為高三 1 名、高二 1 名、國三 2 名)試寫並詢問是否明白題目敘述與其作答的想法，此階段於後簡稱為「試寫 2」。. 針對中學生試寫作答情形，修改試題後，邀請一位統計專長的大學數學系教授擔任專家審核此份試題，此階段於後詳述並簡稱為「專家審核」。. 根據專家意見修改完成「統計分佈概念試題預試版」，於台北市某所國民中學一個班級以一節課時間(45 分鐘)完成預試，此階段於後稱為「預試」。為使學生能有更充裕作答時間，略修改文字敘述並刪去 3 題，完成「統計分佈概念試題」。試題發展時程見表 3-3-2。. 36.

(37) 表 3-3-2 試題發展時程日期. 試題發展進度. 該階段版本與題數. 參與人員. 2009/01. 開始編製試題架構與試題. 2009/03. 修改試題架構與試題. 統計分佈概念試題試寫版 25 題. 2009/03/27. 試寫 1─澄清題意、修改文字敘述高一學生 1 名. 2009/04/03. 試寫 2─澄清題意、修改文字敘述高三學生 1 名、高二學生 1 名、國三學生 2 名. 2009/04/09. 2009/04/16. 2009/04/24. 專家審核. 統計分佈概念試題. 大學數學系教授 1 位. 專家審核版 21 題. 預試. 統計分佈概念試題. 國三學生一班(35 名). 預試版 22 題. 統計分佈概念試題完成. 統計分佈概念試題正式版 19 題. 因為國內相關研究缺乏，本試題編製時參考多篇國外文獻，亦有許多題目為研究者自創，更需考量國三學生是否能理解題意，避免因讀題而影響作答，專家審核時亦提供關於概念的、題目敘述的建議。本試題在「試寫 1」、「試寫 2」、「專家審核」、「預試」階段多次修改，以下列出五題多次修改的試題修改過程，涵蓋原設計理由、試寫後的發現與修改，並詳細報導專家審核時的意見與研究者決定，題號以最後完成試題的題號為依準，見表 3-3-3~3-3-7。. 37.

(38) 表 3-3-3 試題修改過程第 3 題. 原題目. 試寫後. 本欲透過原題目了解學生是否有「中心量數的適用性」概念，即「知道資料集中有極端值時，以中位數代表此資料集較以平均數代表為佳。」但學生可能受限於未能正確算出平均數或中位數，而影響此題作答，無法從此題得到原欲了解的學生想法，故直接在題目中列出資料集的平均數與中位數，簡化為下題：. 專家版. 專家意見. 中位數為 2.25 比較不適合，建議改用奇數個數，取其排序後中間值為中位數比較好。後面那個「因為…」會容易被誤會是針對最後一個選項而定的，不是針對任一選項，建議可逐題問，或在「請勾選…」後，加註「請說明理由」等。. 研究者決定. 依循專家意見，將本題修改如下：. 正式版. 38.

(39) 表 3-3-4 試題修改過程第 4 題. 原題目. 試寫後. 原設計的想法與試寫後的發現：欲透過原題目了解學生是否能「計算出基本的變異量數(全距、四分位距)，並能從已知資料中判斷兩個個數不同的資料集的變異程度大小」，與第 3 題相似的情形在於學生受限於若第 7 題計算有誤亦會影響第 8 題作答，而表格中刻意將人數 0 放入、且兩資料集的個數不同，試寫學生作答第 8 題時皆忽略此兩重點。試寫後的修改：將兩題拆開，改成概念更單一的問題，即「計算兩個變異量數(全距、四分位距)」，而判斷兩資料集的變異性大小則歸在其他題目。原題修改如下：. 專家版. 專家意見. 如果 25 次為 0 人，為何會有該項？儘量改成有 21 人，這樣找四分位距會比較容易。. 39.

(40) 研究者決定. 全距應為「最大的資料值減去最小的資料值」，設計該項(25 次 0 人) 是想探查學生是否以眼中所見的「最大值減去最小值」當成全距，忽略次數。而在預試時發現：35 名國三學生中，本題答案為「9」(即計算方式為 25 - 16 = 9 )的共 12 人，答案為「8」(即計算方式為 24 - 16 = 8 )的共 16 人，故欲保留此項至正式施測試題。關於求資料集的四分位距，個數是否有限制或何者適宜？國三學生學習四分位距仍以課程綱要與課本為依據，故參考此兩者發現：九年一貫課程綱要中未對求四分位距的資料個數著墨，而市面上審核通過的四個版本課本教導四分位距的例題中，資料集個數皆有 4 的倍數，如：12、30、40、200，本題欲了解學生是否能找出一個資料集的四分位距，後將個數設定為 4 的倍數，採用 16 為資料個數。. 正式版. 40.

(41) 表 3-3-5 試題修改過程第 11 題. 原題目. 試寫後. 本題的原設計為：若學生以中心概念判斷，因為丁的平均、第 2 四分位數皆大於丙，所以贊成丁比較好。若學生以變異性概念判斷，因為丙的全距、四分位距皆小於丙，所以丙的集中程度較大，贊成丙比較好。試寫學生選擇「我贊成」，理由是：因為「平均數高於丙班，第 2 四分位數也高於丙班。」本題原意在探討學生對於中心概念或變異性概念是否欠缺，但試寫學生如此作答，無法判斷學生是因為欠缺變異性概念還是因為對於整個資料集優劣的判斷依準排序為平均數優先→再則第 2 四分位數→之後才是變異性(如全距、四分位距)，故將原題修改為已設定要宣稱另一班級(平均數較低的班級)成績較好，要求學生說明理由。. 專家版. 專家意見. 研究者決定. 預期同學之答案為「較集中」可能不見得合適，用來比較考得好壞，要看集中在哪裡，丙 51～83、丁 50～86，86 比 83 大。依循專家意見，將本題數據修改如下：. 41.

(42) 正式版. 42.

(43) 表 3-3-6 試題修改過程第 13 題. 原題目. 試寫後. 本題設計旨在讓學生根據點的密集與否判斷資料的變異性，試寫學生可無困難的寫出正確答案，但似乎無法判定學生是否有變異性概念，而指導教授亦提出此題將原本的資料集分成多段看待，較不合宜，故將原題修改如下：. 專家版. 專家意見研究者決定. 用「最分散的公車發車時段是：」有點奇怪，好像要問「時段」，可改用「公車發車時段最分散的是：」。依循專家意見，將本題修改如下：. 預試版正式版. 43.

(44) 表 3-3-7 試題修改過程第 19 題. 原題目. 試寫 1. (高一學生). 原題目. 試寫 2. (高二學生). (高三學生). (國三學生). 44.

(45) (國三學生) 研究者決定. 許多學者認為要求學生畫圖呈現統計資訊是一個有用的方式，可評量學生如何理解分佈(Shanghnessy & Pfannkuch, 2002; Bakker & Gravemeijer, 2004; Watkins、Scheaffer & Cobb, 2004)。 Bakker(2004)更指出可告訴學生一個包括非正式用詞及統計概念的短故事，再要求學生畫出符合此故事的圖。研究者設計本題的統計概念為一個資料分佈，給學生此分佈的幾個特徵：分佈範圍(最大、最小值)、分佈中間大部分、分佈形狀偏態。先讓五名中學學生試寫，因為與一般測驗試題不同，學生作答方式採針對每一句話畫出符合的圖形，順序皆為先畫 14 秒 1 人、22 秒 1 人，接著思考 18 秒佔全部人數的 1/3(或 1/4)，三名高中生較能自行將試題中的文句轉為圖形，而兩名國中生則遭遇困難，不清楚如何下筆，跟研究者表示不會畫，經詢問得知他們認為資訊不足，因為平常畫圖是根據數據依序描出每一個點畫出整個圖形。高中生皆無困難地完成，但觀察學生作答並訪談後，研究者認為此情境中的數據過多，加上未知的部份(15、16、17、20、21、22 秒人數) 只有一個依據：「17 秒內跑完的學生比超過 19 秒跑完的學生多而且更分散。」符合這樣的分佈太多種且很可能非外型單純的偏態(如試寫 2 的高二學生所繪圖形)，一來可能造成學生無從下筆，另一則是學生隨意編造多種數據，無法達到以「形狀」評分的本意，將題目改成如下：. 預試版正式版. 45.

(46) 三、評分方式本份試題共 32 小題(試題類型與評分方式參見圖 3-3-1)。其中 30 題採「兩分制」，23 題為「選擇題」或「填充題」，根據標準答案評分，答案正確得「1」分，其餘得「0」分，另外 7 題為「理由題」，評分標準與作答範例詳見表 3-3-8~3-3-12，尚餘 2 題為「描述分佈題」與「繪圖題」，以「通過或不通過」評定，題目與標準詳見第肆章第四節。. 32題. 30題兩分制. 23題. 選擇或填充題標準答案對1分, 錯0分. 2題. 1題. 7題. 理由題理由正確對1分, 錯0分. 描述分佈特徵數目通過. 圖 3-3-1 試題類型與評分方式圖. 46. 1題. 畫統計圖形符合題意偏態通過.

(47) 表 3-3-8 第 3(2)題評分標準代碼. 給分. X. 0. 未作答. N. 0. 與題意無關. F. 0. 作答類型. 作答範例. 不知道，直覺(b05) 中位數只代表中間的人，沒有考慮到其他人(A04). 錯誤. 因為(平均數)是最中間的數 (B12). 資料有極端值時，中位 C. 1. 平均數會受極端值影響，較不準確(A07). 數較平均數適合代表資大多數同學閱讀時間以中位料集數的時間較近(D32). 表 3-3-9 第 6(2)題評分標準代碼. 給分. 作答類型. X. 0. 未作答. N. 0. 與題意無關. F. 0. 錯誤. 作答範例. 直覺判斷(c42) 總之乙班大多都輸甲班 (A26) 最低分和最高分差距較大. R. 0. (A11). 全距較小. 全距較短(c04) V. 1. 四分位距較小(a33). 四分位距較小. 中間的人較集中(b06). 47.

(48) 表 3-3-10 第 8(2)題評分標準代碼. 給分. X. 0. 未作答. N. 0. 與題意無關. 眼力好(b09). F. 0. 錯誤. 男女落差大(a04). M. 0. 作答類型. 作答範例. 形狀呈中間凹陷. 男、女生 160~180 公分的人數都是較少(b02) 重疊在一起，曲線非常相似 (b26). p. 0. 以圖形某幾個點判斷. 150 ㎝大概有 110 人，170 大概有 130 人，180 大概有 130 人(a33) 以 180 ㎝ AB 符，以 210 ㎝ AC 符(b06). I. 1. 以圖形某段曲線判斷. 男生並沒有低於 135 ㎝，所以前 135 ㎝是女生曲線(A16) 140 公分到 200 公分左右是有重疊的(D03) 男生加進去，女生退出，都會有明顯轉折(C43). S. 1. 以形狀正確判斷. 上面要尖尖，左右要有點凹 (C47) 中間會比較集中，2 邊相對少會比較斜(d42). 48.

(49) 表 3-3-11 第 10(2)題評分標準代碼. 給分. 作答類型. X. 0. 未作答. N. 0. 與題意無關. 作答範例. 剛剛好(a43) 盒狀圖較對稱(d01). F. 0. 甲隊 4 球以下占 1/2，乙隊 4 球以上超過 1/2(d04). 錯誤. 甲隊有一半表現在 4 球以 C. 1. 中位數大 (人數一半在 4 球以上). 上，而乙隊有一半以上都在 4 球以下(A29) 甲隊的中位數較高(A37) 集中在較高的進球數(A28). V. 1. 第 2 四分位數大 (4 球以上人數多). 甲隊有 2/4 的人比乙隊 2/4 的人好(B01). 較集中在高分. 甲的 Q2 較高代表甲隊一半以上的人表現較好(B09). 表 3-3-12 第 11(1)(2)題評分標準代碼. 給分. 作答類型. X. 0. 未作答. N. 0. 與題意無關. F. 0. 錯誤. 作答範例. 我就是覺得我們班考得比乙班好(c42) 不及格的人少(c41) 我們班的人數比較少(D18) 四分位距較低,分數較集中. V. 1. 全距小. (c03). 四分位距小. 四分位距較小(集中)(D27). 較集中. 全班的全距較小，分數較集中(d14) 我們 50 分以下的人較少. Q. 1. 第 1 四分位數大. (A16). (50 分以下人數較少). 後四分之一的人分數較你們高(A28). 49.

(50) 四、工具之效度與信度 (一) 效度本研究工具的效度採內容效度。請指導教授與一位數學系教授審核所設計試題之合宜性，專家意見與修改試題題數見表 3-3-13，專家審核表見附錄一，詳細之修改題目過程於前之「試題發展過程」中陳述。. 表 3-3-13 專家意見與修改試題題數專家意見. 研究者修改情形. 總題數. 21. 22. 修改題數. 7. 5. 刪除題數. 0. 1. 保留題數. 14. 15. 說明：在之後的預試，將其中 1 題以兩種方式呈現，故總題數增加. (二) 信度本研究工具的信度採內部一致性，以 SAS 9.1.3 版計算 Cronbach’s alpha，預試的整份試題之 Cronbach’s alpha=0.83，正式施測的整份試題之 Cronbach’s alpha=0.86，代表此工具具有內部一致性。. 50.

(51) 第四節. 研究流程. 本研究之研究流程，如圖 3-4-1 所示：. 圖 3-4-1 研究流程圖. 51.

(52) 第肆章資料分析本章分成五節，前四節分別針對國三學生在中心概念、變異性概念、形狀概念、分佈概念的了解詳細說明，說明順序為先報導受試學生在此概念的整體表現，再挑選值得深入說明的題目詳細報導，並在第五節報導學生在分佈概念的綜合表現。. 第一節. 中心概念了解. 本試題將中心概念分成三大題共 5 個小題，276 名國三學生在 5 題中心概念試題的平均答對率約為 53%，答對六成以上試題的百分比約為 49%。在此 5 題中，以「計算資料的中心量數」表現最佳，74%受試學生能正確計算資料的平均數，58%受試學生能找出資料的中位數，而知道「中心量數的適用時機」的學生最少，30%受試學生認為資料集有極端值時，使用中位數代表此資料集較以平均數代表更適合。各題答對率、鑑別度如表 4-1-1 所示。. 表 4-1-1 中心概念各題測驗概念、答對率與鑑別度題號. 測驗概念. 答對率. 鑑別度. 1 (1) 1 (2) 2 3 (1) 3 (2). 中心量數(平均數) 中心量數(中位數) 中心量數應用中心量數適用時機 (前題之理由). .74 .58 .58 .42 .30. .55 .61 .52 .46 .65. 中心. 平均答對率答對六成以上比率. .53 .49. 52.

(53) 一、中心量數的計算. 從第 1 題可知學生在中心量數計算的表現，從第 1(1)題得知：74%受試學生能正確從長條圖中獲得資訊，並計算出此資料集的平均數，有 4% (11 人)受試學生答案為 2.4 (見表 4-1-2)。從學生的計算過程得知主要計算方式有兩種：一種方式為學生從長條圖讀取資料時，未計入蛀牙數為 0 顆的人數，即蛀牙數為 4 + 6 + 4 + 10 = 24 (顆)，人數為 4 + 3 + 1 + 2 = 10 (人)，計算方式為. 蛀牙數 24 = = 2.4 ，另一種方式為只讀取縱人數 10. 軸上的資訊得到次數為 2 + 4 + 3 + 0 + 1 + 2 = 12 ，再將其除以橫軸上之最大值 5 或長條圖的長條數目 5，得到. 12 = 2.4 ，或結合此兩種方式計算出多種不同的答案。 5. 類似的計算方法在 Cooper 與 Shore (2008)的調查也發現，但 Cooper 與 Shore 的研究對象為 186 名大學生，而有此算法的大學生佔 13.4%。從第 1(2)題得知：58%受試學生能正確計算出此資料集的中位數，另有 12% 答案為 2、11%答案為 1(見表 4-1-2)，因為該題並沒有追問學生其計算方式，無法確認學生如何計算得來此答案，僅參考 Cooper 與 Shore(2008)研究發現：35.5% 學生將長條的高度依序列出：1, 2, 2, 3, 4，得到中位數為 2，還有 7%學生將橫軸數值依序列出：0, 1, 2, 4, 5，得到中位數為 2，這可提供作為學生如何計算出 2 這個答案的猜測。關於中心量數的計算，Zawojewski 與 Shaughnessy (2000)曾經以 1985-1986 的 National assessment of educational progress (全國教育進展評量，後簡稱為. NAEP)結果為文，指出七年級與十一年級學生正確計算出平均數的百分比分別為 66%、72%，正確計算出中位數的百分比分別為 65%、41%，或許也值得我們參考，對國中學生而言，或許中位數不僅是「資料值最中間那個數」這麼簡單易懂，尤其當需要學生自行從圖表中擷取資訊時，即使資料值的個數很少、數值很小，仍有困難度存在。 53.

(54) 表 4-1-2 第 1 題受試者答題分佈. 題目. 1 (1) 人數比率 1 (2) 人數比率. 2*. 2.4. 其他. 未作答. 204 .74. 11 .04. 52 .19. 9 .03. 1.5*. 2. 1. 其他. 未作答. 160 .58. 33 .12. 30 .11. 39 .14. 14 .05. *為正確答案. 二、中心量數的適用性. 我們可以一個中心量數代表一個資料集，當資料集分佈情形不同時，選取較適當的中心量數更能代表我們所想指稱的資料集，本試題中的第 3 題，所設計的資料集包括兩個較大的資料，中位數較平均數更適合代表此資料集，此為本題所謂的「適用性」。第 3(1)題要求學生選出以平均數或中位數代表此資料集較佳，42%受試學生認為以平均數代表這個資料集較佳，另外 42%受試學生認為以中位數代表這個資料集較佳，13%受試學生認為兩者適合程度相同(見表 4-1-3 )。第 3(2)題接續前一小題追問學生如此選擇的理由，選擇中位數的 116 名學生有 84 位(所有受試學生之 30%)認為因為資料有極端值或認為中位數與大多數資料值較接近(此兩類型學生作答範例見表 4-1-4 )，在本題的計分中，將此兩類型學生評為「正確」，即在 276 名受試學生中，有 30% (84 名)學生清楚知道中位數代表性優於平均數，並知道從資料集分佈的情形去選擇較適當的中心量數。其他 54.

(55) 選擇中位數的學生，有 8 人所說的理由似有矛盾或表達不清楚，8 人所說的理由與題意無關，16 人未說明理由。. 表 4-1-3 第 3 題受試者答題分佈. 題目. 3 (1) 人數比率. 平均數. 中位數*. 皆相同. 未作答. 117 .42. 116 .42. 35 .13. 8 .03. 3 (2) 人數比率. 正確*. 錯誤. 無關. 未作答. 84 .30. 102 .37. 21 .08. 69 .25. 表 4-1-4 受試者選擇中位數之理由類型與範例理由類型. 學生作答. 資料集有極端值. 有極端值 18、20 會影響平均時數的結果會不準(A39) 有兩人的讀書時數遠大於其他人，所以中位數為佳(A41) 平均數是所有人的平均，因此會把極端值也算進去。九年某班的極端值佔少數，但影響整體實際狀況甚巨。把極端值去除，最好的辦法是算其中位數。(B10) 平均數會受到極端值影響(c02) 用平均數會誤差大，(有)離群值(c11). 大多數的資料值與中位數較接近。. 只有少數超過平均數(A14) 以平均來代表的話，全部的閱讀時數被拉高，較不符合大部分人閱讀的時數(B33) 大部分人閱讀時數較接近中位數(C07) 中位數較與大部分人每週閱讀課外書時數相近(C37) 若以平均數的話，有 3/4 以上的人沒有達到(D08) 大多數同學閱讀時間以中位數的時間較近(D32) 55.

(56) 在第 3(1)題中選擇平均數代表此資料集較佳的 117 名學生，在第 3(2)題中所陳述的理由可分為以下四個類型，並選取一些代表性的學生作答(見表 4-1-5 )。第一類：51 人認為平均數優於中位數，因為平均數代表「全部的人」；第二類：10 人認為平均數是「算出來的，較準確」；第三類：11 人認為平均數的「數字比較大，比較好看」；第四類：8 人所說的理由似有矛盾或表達不清楚。另有 6 人所說的理由與題意無關，31 人未說明理由。. 表 4-1-5 受試者選擇平均數之理由類型與範例理由類型. 學生作答. 平均數代表「全部的人」. 中位數只代表中間的人，沒有考慮到其他人(A04) 平均數有把每個人都算進去，但中位數並沒有(A37) 中位數佔的比例是一小部分，平均數則是全部(b02) 平均數是全部時數加起來再除 13，而中位數只代表某人 (b12) 中位數只是代表大部分的人所用時數，而平均數為每人的所用時數(C20) 涵蓋每個人的資料(C32) 看整體平均，若中位數只有中間二人較不適合(c49). 平均數是「算出來的，較準確」. 平均數有全部加起來除以 13 人，較準確(D05). 平均數的「數字比較大，比較好看」. 數字較大，比較好看(c21). 理由似有矛盾或表達不清楚. 中位數不能看出全距（萬一全距很大）(a04). 這樣會比較準，是實際去算出來的(d38). 因為用平均數數字比較大(d42) 中位數會被極端值影響(a08) 中位數可能有極端值，平均數較均衡(b29) 大部分都是 0、1、2、3，有 2 個很大→平均數差不多(c05) 此份資料的數字差異大，為避免受極端值影響，故使用平均數較佳(d21). 56.

(57) 從上述學生作答情形，可以發現對許多學生而言，無論資料集的集中、分散程度如何，偏態與否，平均數的代表性優於中位數，在寫出理由的 207 名(75%) 學生中，有 51 名(18%)學生明確指出平均數涵蓋所有人的資料，而中位數沒有，中位數只是其中一、兩個人的資料，不具整體的代表性，還有 10 名學生認為平均數是計算出來的，所以較準確，更有 11 名學生沒有資料代表性的概念，認為「數字大就好」。. 類似的試題曾在 1996 年的 NAEP 出現，Zawojewski 與 Shaughnessy (2000) 說明這種類型題目可測得學生對平均數和中位數的概念了解，不是只知道找出它們的程序，同時也報導該題只有 4%的 12 年級學生答對，有些學生宣稱平均數是最好的選擇，因為它是有代表性的(typical)數值，似乎暗示中位數不是有代表性的數。另外也有些學生認為平均數優於中位數因為較準確，因為平均數包括所有的數，而中位數只有一個數。這些解釋指出絕對的信念(“absolute” belief)─平均數優於中位數。. 另外一個值得注意的情形是：學生面對統計問題，未觀察所有數據、思考其背後的意義。從學生作答情形，發現學生多數指出因為資料集有「極端值」，所以中位數較適合代表此資料集，只有 7 名學生從題目所給的數據，觀察所有資料值發現多數較接近中位數，其餘未選擇中位數的學生，可能如前段所稱的有一種絕對的信念─平均數優於中位數，但也隱藏了學生並未去仔細思考這些數值在統計上的意義。. 57.

(58) 第二節. 變異性概念了解. 本試題將變異性概念分成三大題共 7 個小題，276 名國三學生在 7 題變異性概念試題的平均答對率約為 60%，答對六成以上試題的百分比約為 45%。在此 7 題中，以「判斷資料值變異性大小」的 2 題分別表現最佳與最差，94%受試學生知道「1, 2, 3」與「99, 100, 101」兩組數值分散程度相同，38%受試學生知道「1,. 1, 2, 2, 3」分散程度較「1, 2, 2, 2, 3」大，而知道「變異量數的適用時機」的學生次少，39%受試學生能說出以四分位距大小作為其判斷兩組資料分散程度的依據。各題答對率、鑑別度如表 4-2-1 所示。. 表 4-2-1 變異性概念各題測驗概念、答對率與鑑別度題號. 測驗概念. 答對率. 鑑別度. 4 (1). 變異量數(全距). .61. .51. 4 (2). 變異量數(四分位距). .60. .61. 5 (1). 變異性概念(判斷資料值變異性大小). .94. .30. 5 (2). .71. .33. 5 (3). .38. .41. 6 (1). 變異量數適用時機. .58. .26. 6 (2). (前題之理由). .39. .49. 平均答對率. .60. 答對六成以上比率. .45. 變異性. 58.

(59) 一、變異量數的計算. 從第 4 題可知學生在變異量數計算的表現，從第 4(1)題得知：61%受試學生正確從次數表中獲取資訊，並計算出全距為 6，有 17%(48 名)學生答案為 7(見表. 4-2-2)，學生的計算過程為 22－15＝7，顯示學生計算全距時僅是處理一些數值，即所見的最大值減去最小值，忽略應為資料值的最大值減去資料值的最小值，在預試的班級亦有 34%(12 人/35 人)學生如此計算全距數值。從第 4(2)題得知：60%受試學生正確計算出四分位距為 2，有 9.8%(27 名) 學生答案為 17、18 或 19，根據數值推測這些學生可能為四分位距與四分位數混淆不清。. 表 4-2-2 第 4 題受試者答題分佈. 題目. 4 (1) 人數比率 4 (2) 人數比率. 6*. 7. 其他. 未作答. 168 .61. 48 .17. 36 .13. 24 .09. 2*. 17. 18. 其他. 未作答. 166 .60. 13 .06. 9 .03. 47 .17. 32 .12. 59.

(60) 二、變異性大小判斷. 變異性(variability)─在資料中、在樣本中、在資料分佈中的變化(variation)，是統計學的一個基礎概念(Shaughnessy, 2008)，由於課程綱要與課本並未直接使用「變異性」這個名詞，故在此試題中皆採用課程綱要中所使用的「分散程度」。第 5 題分成 3 個小題，皆為比較兩組個數相同的資料集之分散程度，第 5(1) 題顯示有 94%受試學生認為「1, 2, 3」與「99, 100, 101」兩組數值分散程度相同，. 5(2)題顯示 71%受試學生知道「1, 2, 4」與「1, 3, 4」兩組數值分散程度相同，另有 22%受試學生認為數值「1, 2, 4」的分散程度小於「1, 3, 4」。第 5(3)題顯示 38% 受試學生認為「1, 1, 2, 2, 3」分散程度較「1, 2, 2, 2, 3」大，35%受試學生認為兩組分散程度相同，25%受試學生認為「1, 1, 2, 2, 3」分散程度較「1, 2, 2, 2, 3」小. (見表 4-2-3)。. 表 4-2-3 第 5 題受試者答題分佈. 題目. 5 (1) 人數比率 5 (2) 人數比率 5 (3) 人數比率. 一. 二. 相同*. 未作答. 5 .02. 10 .04. 259 .94. 2 .01. 一. 二. 相同*. 未作答. 17 .06. 60 .22. 196 .71. 3 .01. 一. 二*. 相同. 未作答. 70 .25. 104 .38. 97 .35. 5 .02. 60.

(61) 在本試題發展階段中，一名高一學生進行「試寫 1」時亦認為數值「1, 2, 4」的分散程度小於「1, 3, 4」，欲了解學生想法，之後訪談該名學生，摘錄對話如下：學生：「因為『1, 2, 4』是從 1 到 2，只相差 1，而『1, 3, 4』是從 1 直接跳到. 3，相差 2，所以比較分散。」研究者：「那若是『1, 1, 2, 2, 3』和『1, 2, 2, 3, 3』呢？哪一組比較分散？」學生：「『1, 2, 2, 3, 3』較分散，因為從 1 跳到 2，而『1, 1, 2, 2, 3』是從 1 到. 1 再到 2，慢慢加上去的，而且『1, 2, 2, 3, 3』數字偏大的 2 和 3。」. 上述對話顯示學生對於數值資料分散程度的概念，是不完整的，如該生判斷方法為由左到右數字增加情形，但卻未注意到若依此準則，是否可從右到左數字減少情形判斷？若該生注意到此點，即為更全面的看待此資料集，而非只是將此資料集視為一個「有序的數列」。接續訪談同一名學生，摘錄對話如下：研究者拿出另一題問：「若有三組資料『86, 87, 88, 88, 89, 90』、『86, 87, 87, 88,. 89, 90』、『86, 86, 87, 88, 89, 90』呢？哪一組比較分散？」學生：「相同。」研究者：「這三組資料有什麼不同？」學生：「就是『86, 87, 88, 89, 90』(分別)再多一個 88、87、86。」研究者：「所以…為什麼你認為三組資料分散程度相同？」學生：「因為多的那個數和原本的都相差 1。」. 之後此名學生亦表明『86, 87, 88, 89, 90』和上述三組(『86, 87, 88, 88, 89,. 90』、『86, 87, 87, 88, 89, 90』、『86, 86, 87, 88, 89, 90』)的分散程度皆相同，這時的分散程度判斷準則與前一段不同，可見學生判斷分散程度的準則似乎沒有一個固定的方法。在這 3 個小題中，只能顯示學生認為兩組分散程度大小關係，並沒有問學生如何判斷或原因，只能猜測學生可能只以全距判斷，或如試寫 1 的高一學生一樣. 61.

(62) 看數字增加情形，受限於整份題目作答時間，無法繼續澄清此部份。. 三、變異量數的適用性. 變異量數可幫助我們判斷資料的分散程度，不同的變異量數能掌握的資訊也不同，例如透過全距，我們可以知道整組資料最大值與最小值的差距，而透過四分位距，我們可以知道整組資料中間的 50%的集中或分散程度。第 6 題想了解學生知不知道兩個變異量數─全距與四分位距的適用性，在比較兩資料集的分散程度時，四分位距能掌握的資料比全距還多，所以當甲班的全距小於乙班，乙班的四分位距小於甲班時，應該可從四分位距判斷出乙班的分散程度較小。第 6 題顯示 39%受試學生能說出以四分位距較小或四分位數差距小判斷乙班分散程度較小，而有 20%受試學生認為以全距較小判斷甲班分散程度較小，另有 21%受試學生答案矛盾或錯誤(見表 4-2-4 )，學生作答內容於下頁詳細報導。表 4-2-4 第 6 題受試者答題分佈. 題目. 6 (1) 人數比率. 甲班. 乙班*. 相同. 未作答. 87 .32. 159 .58. 24 .09. 6 .02. 6 (2) 人數比率. 正確*. 全距. 錯誤. 無關. 未作答. 107 .39. 55 .20. 58 .21. 13 .05. 43 .16. 62.

(63) 第 6(2)題顯示 39%(107 人)以四分位距或四分位數判斷乙班分散程度較小，學生陳述的理由可分為以下五個類型，選取一些代表性的學生作答(見表 4-2-5)。第一類：四分位距較小或四分位數差距小；第二類：四分位數較「集中」；第三類：以四分位數描述資料集的情形；第四類：運用到四分位數為判斷依據，但未直接寫出；第五類：以盒狀圖輔助判斷或同時使用最大值、最小值與四分位數判斷。. 表 4-2-5 受試者以四分位距判斷分散程度之理由類型與範例類型. 學生作答. 四分位距較小或. 四分位距較小(A04 等 80 人). 四分位數差距小. 四分位數相差較小(A08) 第 1 、2、3 四分位數分數較近(B16). 四分位數較「集中」. 四分位數較集中(C04) 乙班第 1 四分位數─第 3 四分位數分數較集中(D32). 以四分位數描述資料集的情形. 有 1/2 的人集中在 35~65 分，比甲班 30~70 範圍還小(A05). 運用到四分位數為判斷依據，但未直接寫出. 大多數人都集中在中間(a14). 以盒狀圖輔助判斷或同時使用最大值、最小值與四分位數判斷. 畫出盒狀圖，甲班低分群明顯較分散(a08). 九年乙班有一半的人集中於 35~65(b08) 中間的人較集中(b06). 盒狀圖較集中(B33) 全班的四分之三較密集分部(佈)於盒狀圖的右邊(註：旁邊畫盒狀圖)(b30) 若畫出盒狀圖較密集(c49) 九年乙班除了後 1/4（10~35 分）的人數較甲班分散外，其餘 3/4 的人（35~80 分）分數都較甲班集中(B10). 雖然學生皆是以四分位距或四分位數為判斷的依據，但透過學生所陳述的理由可以發現其中些許的差異，第一類型的學生寫出四分位距較小，我們也無法確 63.