一般架構模型

由於財務資料有前後期的關係，為找尋適當的估計方式，本文應用三種方法進行一 般迴歸模型(公式 2-1)的分析，其方法分別為：每八個時間分析一次(時間不重疊)；每十 六個時間分析一次並平移一個時間點；從八個時間點開始逐次增加一個時間點並分析。

以下分別對三個方法各別做解釋：

第一，將各個公司的股票報酬率(R_t)對公司資訊進行迴歸分析，每 8 個時間分析一 次(時間不重疊)，例如：亞培公司(ABT)有 64 個時間點，每 8 個時間為一組，可分成 8 組，每一組皆分析一次，則可得到 8 筆係數資料。

第二，將各個公司的股票報酬率(R_t)對公司資訊進行迴歸分析，每 16 個時間平移 並分析一次，例如：ABT 有 64 個時間點，先選取 1 至 16 的時間點分析一次，再選取 2 至 17 的時間點分析一次…以此類推，則可得到 49 筆係數資料。

最後，將各個公司的股票報酬率(R_t)對公司資訊進行迴歸分析，從 8 個時間點開始 逐次增加一個時間點平移並分析一次，例如：ABT 有 64 個時間點，先選取 1 至 8 的時 間點分析一次，再選取 1 至 9 的時間點分析一次…以此類推，則可得到 57 筆係數資料。

3.2 動態模型

Carvalho、Lopes 和 Aguilar (2010)為考慮財務資料前後期的相關性，故在傳統模型 中加入動態性，使得係數為一階自我相關(First-order autocorrelation)，而本文以此假設 提出新的動態係數估計方法。估計方法如下：

3.2.1 動態 CAPM 模型

動態 CAPM 模型在公式(2-4)中，alpha 和 beta 為隨機變數，而a_t、τ_α²_i和τ_β²_i未知，

故本研究應用下列方式求出a_t、τ_α²_i和τ_β²_i：

首先，運用第一節第二種方法將各家公司分別以每 10 個時間為一組平移並分析一 次的方式，計算市場報酬率與公司股價報酬率之間的關係。因為係數之間有前後期關係，

故將所有後一期係數減前一期係數的值求樣本變異數，即為公式(2-4)的τ_α²_i和τ_β²_i。 第二，運用第一節第三種方法將各家公司分別計算整體市場報酬率與公司股價報酬 率之間的關係(也是該方法最後時間點的值)，並設為α̂₀和𝛽̂₀。

第三，由於係數之間有前後期關係，本文運用以上的結果加上X̂用疊代方式計算出 每家公司的真實係數，其中X̂~N(0, τ_α²_i)。而重複的抽取，所得到的估計平均值是我們最 相信的值，故本文係數是以重複抽取 100 次的平均值進行後面的分析。以 alpha 值為例：

α̂₁ = α̂₀+ X̂

α̂₂ = α̂₁+ X̂

⋮ α̂_𝑡 = α̂_𝑡−1+ X̂

最後，將步驟三的結果代回公式(2-4)，可計算出每個時間點所有公司的殘差項，再 計算該時間點所有殘差項的樣本變異數，即為a_t。以 t = 1 為例：

R_1,1 − α̂_1,1− 𝛽̂_1,1R_m1 = ε̂

R_2,1− α̂_2,1− 𝛽̂_2,1R_m1= ε̂

⋮

R_p,1− α̂_𝑝,1− 𝛽̂_𝑝,1R_m1= ε̂

ε_t ~ N(0, Var(ε̂) = a_t)

3.2.2 動態 BARRA 模型

動態 BARRA 模型係數所服從之分配已從動態 CAPM 模型求出，但公司潛在資訊 的分配卻未知，故將已得知的R_t− α_t− β_tR_mt值，代回公式(2-5)，可重新表示為

𝑍_t𝑓_t+ ε_t = R_t− α_t− β_tR_mt= a_t 而公司資訊Z_t也已知，故需求出𝑓_t及其變異數。

在固定時間 t 之下，假設𝑓 ~ 𝑁(0, Θ)，對a_t = 𝑍_t𝑓_t+ ε_t進行迴歸分析，並將所有時 間 t 所計算出的𝑓_t值求變異數Θ。

3.3 Fama-French 模型

Fama & French (1996)以建立 SMB、HML 和 MOM 三個風險因子來解釋各公司的股 票報酬率，而本研究以下列方式定義其風險因子：

(1)SMB (small minus big)

SMB為一與公司規模有關的風險因子。本文以各公司的總市價之中位數為界線，

將其分成大規模(B)和小規模(S)，並將每期股票報酬率根據公司規模進行加權投資組合。

計算公式如下：

SMB = ∑ 𝑤_𝑖𝑅_𝑆𝑖

n

𝑖=12 − ∑^𝑛_𝑖=ⁿ 𝑤_𝑖𝑅_𝐵𝑖

2+1

其中：

𝑤_𝑖 = (總市價)_𝑖

∑^𝑛_𝑖=1(總市價)_𝑖 ， n = 162 家公司 (2)HML (high minus low)

HML為一與淨值市價比有關的風險因子。本文依各公司的淨值市價比分為前30%

高淨值市價比(H)、中間40%中淨值市價比(M)和後30%低淨值市價比(L)，並將每期股票 報酬率根據淨值市價比進行加權投資組合。

HML = ∑ 𝑤_𝑖𝑅_𝐻𝑖

n

3𝑖=1 − ∑^𝑛 2n 𝑤_𝑖𝑅_𝐿𝑖

其中：

𝑤_𝑖 = (淨值市價比)_𝑖

∑^𝑛_𝑖=1(淨值市價比)_𝑖 ， n = 162 家公司 (3)MOM (Momentum)

MOM為一與公司營運有關的風險因子。本文依各公司的資產報酬率(ROA)分為前 30%高資產報酬率(H)、中間40%中資產報酬率(M)和後30%低資產報酬率(L)，並將每期 股票報酬率根據資產報酬率進行平均投資組合。

MOM = 𝐸(∑ 𝑅_𝐻𝑖

n

3𝑖=1 ) − 𝐸(∑^𝑛_𝑖=2𝑛 𝑅_𝐿𝑖

3+1 )

3.4 稀疏性模型

由於不同的公司可能受到不同風險因子的影響，因此，在給定三個風險因子下，對 某些公司而言，若某些風險因子對該公司不具解釋能力時，該公司對該風險因子之因素 負荷(factor loading)亦應為零，故本研究以不同方式來決定擺放稀疏值(sparsity)的位置，

也就是將風險因子無法解釋該公司的部分設為零，並稱其為具有稀疏性的模型。

3.4.1 動態 BARRA 稀疏模型

本文動態 BARRA 稀疏模型稀疏值之擺放方式是將所有公司的總市價、淨值市價比 和資產報酬率等三個風險因子，都以 Uniform(0,1)隨機抽取一個 0 到 1 的機率值π_j,t，再 以 Uniform(0,1)抽取一個機率值與其進行比較，若第二個機率值大於第一個機率值則將 對應的原始資料代入 0；反之，若小於則保持原始資料。最後，將已加入稀疏值的資料，

進行動態 BARRA 模型分析。稀疏值的擺放機率以下列公式表示：

𝑍_{𝑖𝑗,𝑡} = {𝑍_{𝑖𝑗,𝑡}

0 , 機率為 π_j,t , 機率為 1 − 𝜋_𝑗,𝑡

其中𝜋_𝑗,𝑡為在時間 t 時第 j 個風險因子第一次隨機抽取的機率值；i 為第 i 家公司；j 為三 個風險因子。

由於此方法是應用隨機抽取的方式決定稀疏值的百分比，所以與公司的特性無關，

3.4.2 相關係數稀疏模型

由於第一個方法為隨機抽取的，並無法考慮每個公司的特性，所以接下來我們計算 各變數與公司股票報酬率的相關性。相關性越高，表示解釋能力越高，也就表示是零的 機率越小，所以第二個方法本研究考慮個別的相關性。設定方式如下：

首先，計算總市價、淨值市價比和資產報酬率與股票報酬率的相關係數，再以 Uniform(0,1)隨機抽取一個 0 到 1 的機率值，並將其與相關係數進行比較，若各風險因 子隨機抽取的值大於相關係數則將對應的原始資料代入 0；反之，若小於則保持原始資 料。最後，將已加入稀疏值的資料，進行動態 BARRA 模型分析。稀疏值的擺放機率以 下列公式表示：

𝑍_{𝑖𝑗,𝑡} = {𝑍_{𝑖𝑗,𝑡}

0 , 機率為 𝜋_𝑗 , 機率為 1 − 𝜋_𝑗

其中𝜋_𝑗為第 j 個風險因子與股票報酬率的相關係數；i 為第 i 家公司；j 為三個風險因子。

3.4.3 主成分稀疏模型 I

由於第二個方法是考慮個別的相關性，所以第三個方法本文考慮整體的相關性。在 考慮整體相關性時，本文以主成分分析來決定是零的機率，故先計算各變數的主成分解 釋變異，舉例來說，第一主成分的解釋能力最高，表示整體是零的機率越小，其設定方 式如下：

本文主成分稀疏模型 I 稀疏值的設定方式是先計算總市價、淨值市價比和資產報酬 率的主成分，再以 Uniform(0,1)隨機抽取一個 0 到 1 的機率值，並將其與主成分的解釋 變異𝜋_𝑗^∗進行比較，若隨機抽取的值大於主成分的解釋變異則將對應的主成分代入 0；反 之，若小於則保留原始的主成分。最後，將已加入稀疏值的資料，進行動態 BARRA 模 型分析。稀疏值的擺放機率以下列公式表示：

𝑍_𝑗,𝑡= {𝑍_𝑗,𝑡

0 , 機率為 𝜋_𝑗^∗ , 機率為 1 − 𝜋_𝑗^∗

3.4.4 主成分稀疏模型Ⅱ

狀態 靜態 動態 靜態 動態 靜態 靜態 靜態 動態