三維重建之步驟

在具備了投影幾何的基本觀念之後，本節將介紹由兩張影像重建場景的方 法，其步驟包括：

1. 由對應點計算基本矩陣，見3.1.1 節。

2. 由基本矩陣計算投影矩陣，見3.1.2 節。

3. 對每組對應點，計算其三維空間之點座標，見3.1.3 節。

以下就針對各個步驟進行詳細的說明。

3.1.1 估算基本矩陣

三維重建的第一個步驟，是要估算出兩張影像間的基本矩陣。由式(2.22)中 我們可以得知，在兩張影像上任意的對應點 m 和

'

必定能滿足

這個條件。假設兩張影像中的特徵點 和其對應點 已知，則根據式 (2.22)，每一組對應點可以產生一個線性方程式，由於基本矩陣 F 扣除了一個縮 放的比例常數之後，會剩下八個未知數，因此只需要八組對應點，即可以線性方 法解出一個允許改變大小比例的基本矩陣，這個方法稱為八點演算法（8-point algorithm）[13]。

m

m

^T

F

^T

m

'=0

m

i

m

_i'

考慮到數位相機在成像時可能的取樣誤差，再加上影像本身會有不穩定的雜 訊，甚至在特徵點的擷取與對應上發生錯誤，使得只利用八個點來計算基本矩 陣，並不保證能得到正確的結果，因此有很多方法也被提出來改進基本矩陣。比

如使用超過八組對應點計算出多組基本矩陣，再透過最小平方（least-square）法 來求出最佳的解，以增加基本矩陣的可靠度。有關基本矩陣的最佳化方法比較，

可以參考[14][15][16]。

3.1.2 估算投影矩陣

由以上兩個性質，我們可以找出可能的 R 和 t ，由於 R 有兩種可能性，

而 t 因為沒有辦法決定其正負號，所以也會有兩種可能性，因此第二部相機相 對於第一部相機的外部參數，便會有四種可能的選擇。也就是說，給一個必要矩 陣

E

=

Udiag

(1,1,0)^T，第一部相機的投影矩陣為 P

= [ ]

I

| 0

，則第二部相機的投 影矩陣

P

'

會有四種可能的選擇，分別為：

⎣

| 3

⎦

'

UWV u

P

= ^T 或

⎣ UWV

^T | u− 3

⎦

或

⎣ UW

^T

V

^T | u3

⎦

或

⎣ UW

^T

V

^T | u− 3

⎦

(3.3) 圖3.1說明由 E 做重建後四種可能的幾何表示，A 代表第一部相機中心，B

和

B 代表第二部相機可能的相機中心，

' 即為重建出之三維點。由於

重建後的點只有可能會在兩部相機的前方，因此只要測試一個點是否落在相機前 方，就可以從四種可能的相機位置中決定第二部相機的位置。

4

1

~ M

M

圖3.1 由E 做重建後四種可能的幾何表示。

3.1.3 歐氏三維重建

在取得兩部相機的投影矩陣 P 和 之後，接下來便可進行點的歐式三維 重建（Euclidean reconstruction）。首先將空間中的三維點 M 以及其在影像中對 應的特徵點 、 寫成以下的關係式：

M ，理論上可利用特徵值分解之對應特徵值（eigenvalue）為零的特徵向量

（eigenvector），可是當有雜訊時，則需由對應於最小特徵值的特徵向量加以求 得，求得的方法通常是利用矩陣的 SVD 分解，來得到三維點 M。

經過了這些步驟，便可重建出特徵點的三維座標，到了這個階段，我們 得到的是一個與歐式重建具有縮放比例關係的公制重建（metric reconstruction）。

接著，利用場景中任何一個已知的尺寸，便可以將這個比例固定下來，得到真正 的歐式重建，也就是與實物等尺寸的三維重建。

在文檔中 基於視覺的智慧型指向系統 (頁 29-33)