階層轉換

在我們現實的生活環境中，所有我們看見的物體都可以用歐幾里德三度空間 來表示，但是有時候我們不需要用到完整三度空間的歐幾里德座標轉換，而只需 要針對投影幾何中比較簡單且限制較少的轉換來處理。我們可以把這些轉換看成 是一個階層性的關係[10][11]。從最簡單的投影（projective）層，接下來是仿射

（affine）層，公制（metric）層，最後是歐幾里德（Euclidean）層。這些階層性 的觀念，彼此在幾何上有著一些轉換的關係，並且有一些不變性存在。和投影層 有關的是投影轉換群，和仿射層有關的是仿射轉換群，和公制層有關的是相似群

（similarities），最後和歐幾里德層有關的是歐幾里德轉換群。很重要的一點是，

不同的轉換群之間有著父子群的關係，比方說相似群是仿射群的子群，而他們兩 者都是投影群的子群。有關這些轉換群間的詳細介紹，請參考[8]。

在每一種轉換群中，有著一個很重要的特性，那就是不變性，是一種在某一 個特定群中，不管經過什麼轉換，都依然保持不變的特性。不同的幾何轉換對應 著不同的不變性。這些不變性通常和幾何實體有關，若能恢復並得知其值，便可 將幾何轉換做些改變，通常是用來提昇成較高階層的轉換。例如，若我們能夠得 知幾何實體的角度和相對長度的資訊，就可以將仿射結構提升到相似轉換。在本 節中，我們將會個別對每一層做簡單的介紹，並且以圖例來表示在各個轉換層級 下正方體可能的形變，並以表格表示各種轉換的不變性。

2.2.1 投影層

我們首先介紹投影層（projective stratum），它是所有層級中限制最少的一 層，因此含有最少的不變性，而投影轉換（projective transformation）也是最普 通的線性轉換。

三維空間的點轉換若滿足

ρ y

T

x

ρ

p =

仿射層（affine stratum）和投影層的不同點是，它建立在一個特別的參考平 面上，這個平面我們稱之為無窮遠處平面（the plane at infinity）。若我們於投影

空間

P 中選擇一平面，而在不失一般性的情況下，我們可令其齊次方程式為

T_A

=

因此仿射層含有12個自由度，而在仿射的情況之下，平行性（parallism）是不 變的。

2.2.3 公制層

公制層（metric stratum）相較於仿射層，多了角度與相對長度的限制，而其 與歐幾里德層（Euclidean stratum）的轉換，其間只差了一個常數倍的比例關係。

當我們無法得知物體實際尺寸大小時，我們便只能從影像中得到具有最多限制的

2.2.4 歐幾里德層

歐幾里德層（Euclidean stratum）。它和公制層差不多，只不過把比例常數 給固定下來，而使得相對長度成為絕對長度。歐幾里德轉換有6個自由度，包括 了3個方位及3個平移。一個歐幾里德轉換可表示為：

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

1 0 0 0

33 32 31

23 22 21

13 12 11

z y x

E

r r r t

t r r r

t r r r

T

其中

r

2.2.5 各階層的特性整理

表2.1列出不同幾何轉換的特性，其中包含每個轉換的自由度、轉換矩陣及 不變性。表2.2則列出了由三度空間投影到二度空間的投影矩陣[8]。另外，圖2.1 則顯示出對於不同的幾何轉換下，立方體所可能呈現的樣子。由圖2.1 可知，至 少要到正規轉換以上的階層，才比較像立方體原來的樣子。

表2.1 不同幾何轉換之比較

幾何轉換 自由度 轉換矩陣 不變性

投影(projective) 15

⎥ ⎥

TP

TA

TS

TE

圖2.1 不同幾何轉換下的立方體。