6. 一扇形半徑為10, 圓心角為 6π
5 , 若將其弧長的兩端點相鄰接, 形成一個以圓心 O 為頂點的正圓錐, 此正圓錐底面為一圓 O′, 求圓 O′ 的半徑 r′ 及此正圓錐頂點 O
到底面中心 O′ 的距離 h(正圓錐的高)?
O
O
O′ h
r′ 7. 如圖: 半徑為6, 高為8的圓錐體, 若沿斜高的方向剪開, 展開成平面為一扇形, 求
此扇形的圓心角及面積?
O
O′ h = 8
r = 6 2.2
三角函數的性質
廣義角的三角函數定義: 若廣義角θ 是標準位置角 (x軸正向為始邊, 原點為夾角的頂 點), 在終邊上取一點 P (x, y), r = OP =px2 + y2 則三角函數定義為
正弦函數: sin θ = y
r , 餘弦函數: cos θ = x r 正切函數: tan θ = y
x , 餘切函數: cot θ = x y 正割函數: sec θ = r
x , 餘割函數: csc θ = r y
x y
O P (x, y)
θ x
y
O P (x, y)
θ x
y
O P (x, y)
θ x
y
O
P (x, y)
θ
三角函數的基本關係:
1. 平方關係: sin2θ + cos2θ = 1, tan2θ + 1 = sec2θ, 1 + cot2θ = csc2θ 2. 倒數關係: sin θ csc θ = 1, tan θ cot θ = 1, cos θ sec θ = 1
3. 商數關係: 正六邊形任一頂點三角函數值為其相鄰兩頂點三角函數值乘積 tan θ = sin θ
cos θ , cot θ = cos θ
sin θ , tan θ = sin θ sec θ , sec θ = tan θ csc θ
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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 三角函數的性質 · 4. 餘角關係: ∠A +∠B = 90◦
則 sin A = cos B, cos A = sin B , tan A = cot B, sec A = csc B
csc θ sec θ
tan θ
sin θ cos θ
cot θ 1
三角函數的負角關係、 餘角關係、 補角關系:
1. 餘角關係 ∠A +∠B = 90◦ : sin A = cos B, sin B = cos A 2. 補角關係 ∠A +∠B = 180◦: sin A = sin B, cos A + cos B = 0 3. 周角關係 ∠A +∠B = 360◦ : sin A + sin B = 0, cos A = cos B
4. 反向角關係 ∠A = 180◦+∠B : sin A + sin B = 0, cos A + cos B = 0 (相 反數關係)
5. 奇偶性: sin(−θ) = − sin θ, cos(−θ) = cos θ;tan(−θ) = − tan θ, cot(−θ) =
− cot θ;sec(−θ) = sec θ, csc(−θ) = − csc θ
6. 三角函數值相反數:sin(−θ) = − sin θ; cos(180◦ − θ) = − cos θ tan(180◦− θ) = − tan θ; cot(180◦ − θ) = − cot θ
sec(180◦ + θ) = − sec θ; csc(180◦+ θ) = − csc θ 三角函數化簡公式 −→ 旋轉木馬記憶法:
-sin sin
cos
-cos
-cot tan -sin sin
cos
-cos csc
-csc
sec
-sec
sin cos
圖 2-2: 三角函數化簡公式: 旋轉木馬記憶法
1. 由該函數位於哪一輪輻為起始點。(sin(θ +90◦) 比 sin θ 角度多90◦, 就以sin θ 為主輻)
2. 以 90◦ 為單位旋轉一輪輻, 正向角為逆時針旋轉, 負向角為順時針旋轉。
3. 最後旋轉終點位置即為該函數化簡值。(例:sin(θ + 90◦) 就是sin θ 逆時針轉 90◦, 輪輻位置為 cos θ)
已知一三角函數求其餘三角函數值方法:
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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 三角函數的性質 · 1. 銳角參考角法: 每一標準角θ終邊與x軸所夾之銳角參考角α,θ 角的三角函數
值絕對值與α 的三角函數值相同, 再由θ 象限角位置決定其三角函數值的正 負。
2. 坐標法: 利用 cos θ = x
r, sin θ = y
r 找出 θ 終邊上的點P (x, y)坐標, 再依三 角函數定義求其餘三角函數值。
3. 基本關係法: 利用平方關係、 商數關係、 倒數關係求其餘三角函數值。
例題演練
例題1 已知 (−3, −4) 為標準位置角 θ 終邊上的一點, 試求 cot θ, sec θ 的值? Ans:cot θ = 3
4, sec θ = −5 3 例題2 已知 cos θ = 3
5 且 θ 為第四象限角, 求θ 的其他三角函數值? sin θ = −4
5 , tan θ =
−4
3, cot θ = −3
4, sec θ = 5
3, csc θ = −5 4 例題3 若 π ≤ θ < 3π
2 且 cot θ = 2 , 求 csc θ 及 sec(π − θ) 的值? Ans: csc θ =
−√
5, sec(π − θ) =
√5 2 例題4 已知 sin θ − cos θ = 1
2, 求下列各式的值:(1) sin θ · cos θ (2) tan θ + cot θ (3) sec θ − csc θ ? (1)3
8 (2) 8
3 (3) 4 3
例題5 若 θ 是第三象限角, 已知 tan θ + cot θ = 25
12, 試求:(1) sin θ cos θ =? (2) sin θ + cos θ =? (3) sec θ + csc θ =? Ans: 12
25;−7
5 ;−35 12 習題2-2 三角函數的性質 1. 利用坐標法求三角函數值: 若直線 ←→
OP 與 x 軸正向夾角為 θ, 終邊上點P 的坐標 如下, 分別求三角函數 sin θ, cos θ, tan θ 值?
(a) P (−2, 3) (b) P (3, −4)
2. 先將 θ 化為較簡同界角後, 再求其三角函數值 ? (a) tan 9π
4 (b) cos 17π
6 (c) sin(−2π
3 )
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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 三角函數的性質 · (d) sec(−7π
4 ) (e) tan(−π
3) (f) csc(−315◦) (g) csc(−270◦) (h) cot(390◦)
(i) sec(−3π) (j) tan19π
6 (k) cos(−2π)
3. 三角函數的奇偶性質:
(a) cot(−3π 2 ) (b) tan(−37π
4 ) (c) sin(−9π
4 ) (d) tan(−9π
4 )
4. 已知θ 角中 sin θ, cos θ, tan θ 的一個三角函數值, 求其餘的三角函數值?
(a) csc θ = −2, tan θ > 0 (b) tan θ = −4, sin θ < 0 5. 求下列三角函數值?
(a) sin π
12 cos 7π
12 − cos π
12sin7π 12 =?
(b) cos π
12cos 5π
12 + sin π
12 sin5π 12 =?
(c) sin θ = 1
3, θ 為第二象限角, 分別求 a = cos θ ,b = cos(θ − π
3) ,c = sin(θ + π
6) ,d = tan(θ + π 4) 值?
6. 若 θ 是第二象限角, 且 sin θ = 3
5 , 求 cos θ 與 tan θ 的值?
7. 已知 θ 角的頂點為原點, 始邊落在 X 軸的正向上, 終邊通過點 P (2, −3) , 試求 θ 角的六個三角函數值?
8. 若 θ 是第三象限角, 且滿足 cos θ − sin θ = 1
3 , 求 sin θ cos θ 與 sin θ + cos θ 的
值?
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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 三角函數的圖形 ·