伯努利試驗:
一隨機試驗中, 所在乎的是具有“對立”性質結果的發生與否。 特定事件A發生 (成 功) 的機率為 p, 不發生 (失敗) 的機率為 1 − p = q , 則稱此隨機試驗為伯努利試 驗。 並以 1, 0 的取值表示試驗隨機變數 Y 的成功與否, p 為這試驗的成功率。
伯努利試驗隨機變數: Y =
1 , 成功的機率為p
0 , 失敗的機率為q = 1 − p 。 伯努利試驗的期望值 E(Y ) = p, 變異數 V ar(Y ) = pq
二項分配Bin(n, p):
具有獨立重複進行成功率為 p 的伯努利試驗n次, 以隨機變數X表示成功的次數, 記為 Bin(n, p)
Bin(n, p): 獨立重複伯努利試驗n回。 稱隨機變數X為參數(n, p) 的二項機率分 配, 記為 X ∼ B(n, p)。
1. 成功次數期望值 E(X) = E(Y1+ Y2+ · · · + Yn) = E(Y1) + E(Y2) + · · · + E(Yn) = p + p + · · · + p = np
2. 變異數 V ar(X) = V (Y1+Y2+· · ·+Yn)i.i.d
= V (Y1)+V (Y2)+· · ·+V (Yn) = pq + pq + · · · + pq = npq
3. 恰成功 k 次的機率質量函數 f (x = k) = P ({X = k}) = Ckn(1 − p)n−kpk , 0 ≤ k ≤ n
二項分配的性質:
P (X = k) = Cknpk(1 − p)n−k
X 0 1 · · · k · · · n
px C0np0(1 − p)n C1np1(1 − p)n−1 · · · Cknpk(1 − p)n−k · · · Cnnpn(1 − p)0 X ∼ B(n, p) 的二項機率分配, 隨機變數 X 表示成功的次數, 則
1. X 的期望值: µ = E(X) = Xn k=0
kCkn(1 − p)n−kpk = np
2. X 的變異數 σ2 = V ar(X) = E(X2) − µ2 = np(1 − p) = npq 因為 E(x2) = E(x2−x+x) = E(x(x−1))+E(x) =
Xn k=0
k(k −1)Ckn(1 − p)n−kpk + np = n(n − 1)p2
Xn k=2
k(k − 1)Ck−2n−2(1 − p)n−kpk − 2 + np = n(n − 1)p2 + np
所以 V ar(X) = n(n − 1)p2 + np − (np)2 = np − np2 = npq 3. X 的標準差: σ =
q
np(1 − p) = √ npq 二項分佈機率圖形特徵:
順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 二項分佈 · 1. 單峰: 隨機變數X (成功次數) 由小至大, 其機率質量函數 P (X = k) 上升
到一高點後下降。
2. 眾數 (最高點): 當 Cknpk(1−p)n−k ≥ Ck+1n pk+1(1−p)n−k−1, 且 Ck−1n pk−1(1−
p)n−k+1 ≤ Cknpk(1 − p)n−k 時機率質量函數 P (X = k) 為最大值。 即 (n + 1)p − 1 ≤ Mo = (X = k) ≤ (n + 1)p 時, 機率值最大。
3. 偏態:
(a) p = 0.5 時,p.m.f. 圖形左右對稱。 2 4 6 8 10
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
(b) p < 0.5 時,p.m.f. 圖形右偏。 2 4 6 8 10
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
(c) p > 0.5 時,p.m.f. 圖形左偏。 2 4 6 8 10
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
高爾頓板的二項式機率分布實驗: 每一小紅色球由上層向下會隨機向左 (發生機 率P ) 或向右落下再撞擊到下一層的柱臺, 最後落到最底層 (n層) 下不同編號 (由 左至右為0、1、2、· · · 、k、· · · 、n ) 的溝槽, 其溝槽發生機率 P (X = k) = Cknpkqn−k。
例題演練
例題1 袋中有300個紅色球,200個藍色球, 小華每次從袋中抽取一球, 共取兩回, 若X表 兩球中抽到紅球的次數。
(a) 若每次抽球後放回袋中, 求 P (X = 1) 機率值? [Ans:X ∼ B(2,3
5), P1 = C12pq = 0.48]
順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 二項分佈 ·
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 二項分佈 · (b) 若每次抽球後不放回袋中, 求 P (X = 1) 機率值? [Ans:P1 = C12 × 300
500 × 200
499 ≈ 0.4810 , 超幾何分布]
例題2 如圖: 一彈珠檯, 從上方放入彈珠, 彈珠落下撞擊到釘柱時, 會隨機向左或向右落 下再撞擊到下一層的釘柱, 最後落到編號 0 ∼ 5(由左至右) 的溝槽, 已知彈珠落 下向左、 向右的機率相等, 則 (1). 彈珠落到1號溝槽的機率為何? (2). 彈珠落
到幾號溝槽的機率最小? (3). 彈珠落到幾號溝槽的機率最大?
Ans: 5
32;p0 = p5 = 1
32;p2 = p3 = 10 32 例題3 某工廠生產產品是不良品的機率為 1
3, 今脽機抽樣6 件產品, 若恰抽出 4 件不良 品的機率為a, 至少抽中 4 件不良品的機率為b, 求a, b? [Ans:a = 20
243, b = 60 + 12 + 1
729 ]
例題4 設生男, 生女的機率均等, 對有3個小孩的家庭, 以隨機變數 X 表男孩的個數, 求 X 的期望值與標準差? [Ans:xi表第 i 胎是男孩隨機變數,µ = E(X = x1+ x2+ x3)i.i.d.
= 3E(x1) = 1
2 × 3 = 3
2, V ar(X = x1 + x2 + x3)i.i.d.
= 3V ar(x1) = 3
4,σ =
√3 2 ]
例題5 連續投擲一公正骰子5次, 以隨機變數 X 表示出現點數6的次數, 求 X 的期望值 與標準差? [Ans: µ = 5
6, σX = 5 6]
例題6 丟一個均勻的硬幣10 次, 令隨機變數 X 表示試驗中硬幣出現正面的次數, 則這 11種可能正面次數出現的機率是否相等? 這11種可能中, 哪一種正面次數機率為 最高? [Ans:X ∼ B(10, 0.5),Pk = Ck10(1/2)k(1/2)10−k,Mo = [(n + 1)P ] = [5.5] = 5, P5 = 252/1024]
習題1-4 二項分佈
1. 如圖: 一彈珠檯, 從上方放入紅色彈珠, 彈珠落下撞擊到釘柱時, 會隨機向左或向 右落下再撞擊到下一層的釘柱, 最後落到編號 0 ∼ 6(由左至右) 的溝槽, 已知彈 珠落下向左向右的機率相等, 則 (1). 彈珠落到1號溝槽的機率為何? (2). 彈珠 落到幾號溝槽的機率最大? (3). 若紅色彈珠全改由左側 A 處注入, 落到1號溝槽