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期望值、 變異數、 標準差

在文檔中 99math5b (頁 5-8)

數學期望值 E(X) 與變異數 V ar(X):

設離散型隨機變數 X 的所有可能值為 x1, x2, x3, · · · , xn , 而這些值的機率分別 為 p1, p2, p3, · · · , pn 且 p1 + p2+ · · · + pn = 1。

( f (x) = px 為其機率質量函數 )

1. X 的數學期望值: 根據機率與報酬值作為決策的一個判斷依據。

E(X) = Xn

i=1

xif (xi) = x1p1 + x2p2 + · · · + xnpn 。 2. X 的變異數: 衡量變數間差異性的一個統計量

V ar(X) = E[(X − µ)2] = E(X2) − µ2 = Xn

i=1

(xi − µ)2f (xi) = p1(x1 − µ)2 + p2(x2− µ)2 + · · · + pn(xn− µ)2 =

Xn i=1

pi(xi− µ)2 = Xn

i=1

pix2i − µ2

變異數V ar(X)與標準差σ(X): 標準差 σX = q

V ar(X) 期望值: 隨機變數的中心位置。(變數的加權平均數)

標準差: 隨機變數所有可能值與中心位置分散狀況的度量單位。

隨機變數 X 的機率分布可以用期望值及標準差 (變異數) 做摘要。 隨機變數若具 有相同的期望值及標準差 (變異數) 未必具有相同的機率分布。

求隨機變數的期望值與標準差 (變異數) 通常可由機率分布函數依定義計算可得。

或由簡單基本的隨機變數期望值與變異數再找出此隨機變數與之關係(線性或簡單

的加法、 乘法關係) 利用期望值與變異數的數學性質(i.i.d. 獨立性、 同質性的機率分布), 可求得此隨機變數的數學期望值與變異數。

期望值、 變異數與標準差的性質: 期望值是隨機變數集中趨勢的代表值, 標準差是描述 隨機變數的分散性與變異性。 由數學性質知先求得變異數後再求出標準差。

1. E(aX + b) = aE(X) + b

2. V ar(X + b) = V ar(X) , σ(X + b) = σ(X) 3. V ar(aX) = a2V ar(X) , σ(aX) = |a|σ(X) 4. V (aX + b) = a2V ar(X) , σ(aX + b) = |a|σ(X) 兩隨機變數的期望值與變異數: (i.i.d. 獨立性、 同質性的機率分布)

1. 若 X,Y 是同一樣本空間的兩隨機變數, 則 E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) 2. 若 X,Y 是同一樣本空間的兩個 獨立 隨機變數, 則 E(XY ) = E(X)E(Y ) 3. 若 X,Y 是同一樣本空間的兩個 獨立 隨機變數, 則 V ar(X±Y ) = V ar(X)+

V ar(Y )

例: 紅球20個, 白球10個, 從袋中取球:

1. 每次取一個, 取出不放回, 共取3次, 則取出紅球個數的期望值為?

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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 期望值、 變異數、 標準差 ·

https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 期望值、 變異數、 標準差 · 例題6 一賭博遊戲為投擲3公正硬幣, 若出現一正面賭客可得100元, 出現兩正面賭客可

獲得300元, 出現3正面賭客可得500元, 但出現3反面則賭客賠1500元。 問此遊戲 賭客的贏得獎金期望值為多少元? [Ans: E(X) = −1500 + 300 + 900 + 500

8 =

25 ]

習題1-2 期望值、 變異數、 標準差

1. 投擲一對公正骰子, 若 S 表兩骰子點數情形的等機率樣本點 (a, b) 所形成的樣本 空間, 令隨機變數 X 表S中樣本點 (a, b) 的最大點數; 隨機變數 Y 表S中樣本 點(a, b) 的點數和。

(a) 求隨機變數 X 的數學期望值及其標準差近似值 (可用計算器求近似值)?

(b) 求隨機變數 Y 的數學期望值及其標準差近似值 (可用計算器求近似值)?

2. 投擲一對公正骰子, 令隨機變數 X 表點數 (a, b) 中的最小點數, 求隨機變數 X 的數學期望值及其標準差 (可用計算器求近似值)?

3. 投擲一公正硬幣3次, 令 X 表出現正面次數的隨機變數, 求隨機變數 X 的機率分 布及其機率函數圖? 隨機變數X的期望值與標準差?

4. 某廠牌汽車導航機 GPS 的誤差值 (公尺), 以隨機變數X表示, 其機率分布如下, 求隨機變數X的期望值與標準差?

X1機率分布表

X 0 10 20 30 40 50 px 0.05 0.1 0.15 0.3 0.3 0.1

5. 一箱子中有10個燈泡, 其中2個壞掉, 今從箱中取3個燈泡測試, 求取出燈泡中壞 燈泡個數期望值?

6. 某保險公司針對一年期住宅房屋火險:“保費200元, 在一年內房屋發生火災可獲理 賠100萬元”。 依據資料顯示住宅房屋發生火災的機率為0.0015, 求每張保單中, 保 險公司獲利的期望值是多少?

7. 一賭客付出5元就可玩投擲兩公正硬幣遊戲, 獎金規定若出現一正面可得1元, 出 現兩正面可獲得2元。 問玩此遊戲賭客獲利的期望值為多少元? 此遊戲規則對賭客 是否友善?

8. 一賭博遊戲為投擲兩公正硬幣, 若出現一正面或兩反面賭客均可得1元, 出現兩正 面賭客可獲得5元。 問此遊戲賭客的贏得獎金期望值為多少元? 若此遊戲規則是公 平的, 則玩此遊戲一次必須付出多少元?

9. 投擲公正骰子, 令隨機變數 X 表投擲一骰子點數為奇數點則 X 取值為1, 偶數點 則取值為3。 求隨機變數X的期望值與標準差?

10. 隨機變數 X 表連續投擲一公正硬幣直到正面出現所需的次數或5次試驗均無正面 就停止, 求隨機變數X的期望值?

11. 隨機變數 X 表連續投擲一公正硬幣直到正面出現所需的次數或4次均為反面, 求 隨機變數X的期望值?

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