第四章 變折射率光子晶體光纖的設計及特性分析
4.2.1 三角複合單胞數值模擬
y
x
Fig.1 典型的三角晶格光子晶體光纖, 石英光纖部分的折射率為 1.449, 而空氣孔間的週期Λ=1.6μm，空氣柱的直徑d=0.4Λ，而空氣柱 的面積與單胞面積的比例為0.1257Λ2 。
為了分析三角晶格光子晶體光纖于每一個單胞中加入另一個小 孔對光子晶體光纖雙折射的影響, 我們在兩孔中間加入一個直徑 d1=0.2Λ的空氣小孔, 其面積A1=0.0314Λ2，其結構, 如圖 Fig.2.
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Fig.2 複合三角晶格的光子晶體光纖的結構，我們在傳統的三角晶 格光子晶體光纖的每一個單胞多加入一個小孔，其直徑d1=0.2Λ，加 入小孔的位置在兩大空氣孔的中間。
我們採用有限元素法來計算光子晶體光纖在未加小孔前與加小 孔後，雙折射的比較，顯示於Fig.3
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Fig.3 表示三角晶格光子晶體光纖的雙折射特性比較。其中實線的 部份表示單胞含有兩種尺寸空氣孔的光子晶光線的雙折射曲線，虛線 表示單胞只含一種尺寸空氣孔的光子晶體光纖的雙折射。
Fig.3 我們所計算的範圍是從波長 1.0μm到 2.0μm，其中d1=0.0Λ 那條曲線表示每一個單胞只有一種空氣孔的三角晶格光子晶體光纖 的雙折射，用虛線表示，而d1=0.2Λ表示單單胞含有兩種空氣孔的的 光子晶體光纖，用實線標示。在Fig.3 上我們看到了，單胞只有一個 空氣孔的PCF其Ex和Ey兩個模式的有效折射率相差非常小，大概只有 9×10-6到7×10-6之間，非常的小。可是當我們在單胞中引入第二個小 孔之後，我們發現雙折射效應就大大的提升了。Fig.3 顯示複合單胞 的PCF在波長為 1.0μm處，雙折射為 0.65×10-3，在2.0μm處為 3.32×10-3。 很明顯地，引入小孔的作用會使三角晶格光子晶體光纖結構的對稱性
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破壞，而有顯著的雙折射效果。
參考了許多文獻[14]，將圓形的小孔改變成橢圓小孔也有助於雙折 射的提升。因此，我們將雙小孔單胞PCF中較大的圓孔變換成橢圓空 氣孔，如Fig.4 所示。
Fig.4 橢圓小孔複合光子晶體光纖的結構，其中我們用dx和dy分別表示 橢圓空氣孔的長軸與短軸。橢圓率為η=dy/dx，小空氣圓孔的直徑用d1
表示。晶格常數Λ=1.6μm，大孔的面積為A=0.1257Λ2，小孔的面積為 A1=0.0314Λ2
其中我們用dx和dy分別表示橢圓空氣孔的長軸與短軸。小空氣圓 孔的直徑仍然用d1表示，令η=dy/dx表示橢圓率，A表示橢圓空氣孔的
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面積, A1表示小孔的面積，而光子晶體光纖仍然維持三角晶格。 為了 分析這個的雙折射特性與結構參數間的關係，我們固定橢圓空氣孔的 面積,保持A=0.1257Λ2，小圓空氣孔的面積保持A1=0.0314Λ2橢圓率η 由1.0 變化到 2.5，計算的範圍是從波長 1.0μm到 2.0μm。
Fig. 5 顯示用 FEM 計算的結果.
Fig.5 複合單胞橢圓光子晶體光纖的雙折射，橢圓率 η=1.0 用點線表 示，橢圓率η 2.0 用虛線表示，橢圓率 η= =2.5 用實線表示
我們看到，將單胞中的一個圓形空氣孔改成橢圓小孔的確會使雙 折射大幅增加。除此之外，圍繞缺陷的橢圓孔的環數為四圈，橢圓率 η 1.0 雙 折 射 效 應 由 1.0μm 的 0.65×10= -3連 續 變 化 到 2.0μm 的 3.32×10-3。橢圓率η 2.0，雙折射效應從 1.0μm的 1.5×10= -3連續變化到 2.0μm的 10.78×10-3 。我們將橢圓率改變到η=2.5，雙折射效應則從
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1.0μm的 1.82×10-3上升到2.0μm的 13.23×10-3。
我們看到光子晶體光纖的雙折射在這樣的安排已經到達了 10-2， 然而為了確定這樣的光纖是否有實用價值，我們仍然需要確定每一個 極化模式的洩露損耗(leakage loss)。洩漏損耗可以按照下面的公式來 確定
Leakage loss 2 Im[ ] )
10 ln(
10 2 7
neff
⋅
× ⋅
= λ
π (dB/m)
(a)
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(b)
(c)
Fig. 6 結構參數 1.6μm，橢圓孔的面積為 0.1257Λ，小圓孔的直徑為 0.2Λ複單胞三角晶格光子晶體光纖兩 x 極化(實線)與 極化(虛線)兩 個模式的leakage loss (a) η
y
=1.0 (b) η=2.0 (c) η=2.5.
Fig.6(a)到(c)中 x 極化的洩露損耗都比 y 極化洩漏損耗來的大，隨
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著光纖小孔的橢圓率逐漸增加，造成兩個模式雙折射變大，兩個模式 的損耗差距也越來越大。橢圓率 η=1.0 的情況。在 1.55μm 處 x 極化 與y 極化的損耗分別為 78.52dB/m，151.05dB/m，橢圓率 η 2.0 的情 況，在 1.55μm 處 x 極化與 y 極化的損耗分別為 35.56dB/m，
346.11dB/m，橢圓率 η 2.5 的情況，在 1.55μm 處 x 極化與 y 極化的 損耗分別為 21.9dB/m，380.26dB/m，我們看到隨著橢圓率的增加 x 極化與y 極化的損耗大小逐漸加大。因此，在這一情況下，y 極化損 耗遠大於x 極化的模式，y 極化的模式在傳輸的過程將因損耗過大而 逐漸消失，只留下x 極化的模式。
=
=
我們為了增加中心缺陷的面積，我們將Fig.2 中缺限區的兩個小 孔拿掉，如Fig.7，並且調整大孔的橢圓率由η=1.0 到η=2.5. Fig.8 顯示 橢圓率分別為η=1.0，η 2.0 和η= =2.5 條件下由 1 到 2μm情況下的雙折 射。我們看到雙折射由橢圓率η=1.0 雙折射效應由 1.0μm的 0.423×10-3 連續變化到 2.0μm的 2.34×10-3。橢圓率η=2.0，雙折射效應從 1.0μm 的 1.013×10-3連續變化到 2.0μm的 7.983×10-3。 我們將橢圓率改變到 η 2.5 ， 雙 折 射 效 應 則 從 1.0μm 的 1.249×10= -3上 升 到 2.0μm 的 9.88×10-3 。Fig.9 x極化與y極化模式的損耗與頻率的關係(a) η 1.0 (b) η 2.0 (c) η 2.5，隨著波長的變短，電磁場將更集中於纖蕊中心，損 耗逐漸變小.
=
= =
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(a)
(b)
Fig.7 複合三角晶格的光子晶體光纖的結構, 我們將中心缺陷的地方
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將兩個小孔移除, 每個小孔的直徑d1=0.2Λ，加入小孔的位置在兩大空 氣孔的中間.石英光纖部分的折射率為 1.449, 而空氣孔間的週期 Λ=1.6μm，空氣柱的直徑d=0.4Λ，而空氣柱的面積與單胞面積的比例 為0.1257Λ2。(a)圓孔結構(b)橢圓結構，長軸用dx表示, 短軸用dy表示
Fig.8 去掉中心缺陷區域的兩個小孔的三角複合晶格的光子晶體光纖 的雙折射, 其中點線表示橢圓率 η=1.0，虛線表示 η=2.0 和實線表示 η 2.5 的情況. =
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(a)
(b)
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(c)
Fig.9 x極化與 極化模式的損耗與頻率的關係(a) ηy =1.0 (b) η=2.0 (c) η 2.5。 =
我們比較Fig.5 與Fig.8 的雙折射數據，Fig.5 的雙折射模擬數據為纖 蕊內部不含小孔的雙折射隨頻率變化的關係。而Fig.8 則是纖蕊區不 含小孔的雙折射與頻率的關係。我們比較橢圓率η=2.5 的曲線，我們 發現在波長 2μm處，顯示於Fig.5 的雙折射值為 13.23×10-3，而Fig.8 的值為9.88×10-3，含小孔的纖蕊其雙折射大於纖蕊不含小孔的光纖的 雙折射，其原因可以由比較結構圖Fig.2 與Fig.7 而了解。我們看到對 於三角晶格而言，Fig.7 的結構在不含小孔的情況下，比起Fig.2 的結 構具有更高的對稱性，結構對稱性較差的光纖Fig.2 的雙折射自然地 比起Fig.7 的雙折射來的高。除此之外，橢圓率η增加，大孔的橢圓率
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增加，也會使雙折射增加，與文獻的結果非常一致。
(a)
(b)
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(c) Fig.10 三 角 晶 格 光 子 晶 體 光 纖 , 晶 格 常 數 Λ=1.6μm， dx=0.25Λ 和 dy=1.25Λ，大孔面積為A=0.2454Λ2，小孔的面積為A1=0.0314Λ2 (a) 光 子晶體光纖的結構圖 (b) 雙折射隨波長的變化關係 (c) x極化模式 與y極化模式的損耗與波長的關係
為了提升複單胞三角晶格光子晶體光纖的雙折射效應, 我們將晶 格常數的週期仍然保持為Λ=1.6μm，但是橢圓孔的調整為面積
A=0.2454Λ2，而小孔的面積仍然保持為A1=0.0314Λ2，我們選擇橢圓 的長短軸分別為dx=0.25Λ和dy=1.25Λ。我們看到了波長在 2μm與 1.55μm處的雙折射分別為 19.97×10-3和11.6×10-3。x極化模式與y極化 的模式的損耗在1.55μm分別為 5.5×10-5 dB/m和 8.59×10-3 dB/m， 在 2.0μm的損耗分別為 0.14 dB/m和 7.59 dB/m。我們看到兩個模式的損
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耗在同一個波長明顯地拉開。此外，我們從Fig.6(c)，Fig.9(c) 和 Fig.10(c)在 1.55μm處x極化模式與y極化模式的損耗分別為
21.9dB/m，380.26 dB/m，1.9 dB/m，29.26dB/m和 5.5×10-5 dB/m，
8.59×10-3 dB/m。我們看到 Fig.10 結構的光子晶體光纖，除了雙折射 的數值較高外，由於小孔的出現,也使損耗變小。
結構圖 波長 雙折射 x 極化損耗 y 極化損耗
Fig.4(η=2.5) 1.55μm 7×10-3 21.9 dB/m 380.26 dB/m Fig.7(η=2.5) 1.55μm 4.84×10-3 1.9 dB/m 29.26dB/m
Fig.10(η=5) 1.55μm 11.6×10-3 5.5×10-5 dB/m 8.59×10-3 dB/m 表一
結構圖 波長 雙折射 x 極化損耗 y 極化損耗
Fig.4(η=2.5) 2.0μm 13.32×10-3 798.7 dB/m 4836.5 dB/m Fig.7(η=2.5) 2.0μm 9.88×10-3 129 dB/m 1080.5dB/m
Fig.10(η=5) 2.0μm 19.97×10-3 0.14 dB/m 7.59 dB/m 表二
我們從表一與表二可以看出來Fig.7 中纖蕊內部不含有小孔的結構 比起Fig.4 纖蕊含小孔的結構對稱性要高一些, 因此, Fig.4 結構的雙 折射就比Fig.7 的雙折射結構來的高, 然而對稱性降低的結果就會導 致較高的損耗. 至於Fig.10 的結構, 我們將橢圓孔的橢圓率增加, 並 且移動小孔至四個橢圓孔的中間, 這樣設計光子晶體光纖的好處有 兩個, 第一是將光子晶體光纖終漏波損耗的路徑儘可能地組塞住, 第
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二橢圓孔橢圓率的提高, 也明顯有助於雙折射值的提升. 我們可以從 表一與表二的數據中明顯地看出這兩點. Fig.10 的結構, 在 1.55μm處 的雙折射由Fig.4 的 7×10-3變化到Fig.10 的 11.6×10-3， Fig10 結構的漏 波損耗也遠小於Fig.4 的結構.
(a)
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(b)
(c)
Fig.11 將Fig.10 中三角晶格光子晶體光纖的纖蕊去掉小圓孔, 晶格常 數Λ=1.6μm，dx=0.025Λ和dy=1.25Λ，大孔面積為A=0.2454Λ2，小孔的 面積為A1=0.0314Λ2 (a) 光子晶體光纖的結構圖 (b) 雙折射隨波長
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的變化關係，其中纖蕊不含小圓孔的曲線用實線表示，纖蕊含小孔的 曲線用虛線表示，完全不含小孔的曲線用點虛線表示(c) 纖蕊不含小 孔的複單胞的x極化模式與y極化模式的損耗與波長的關係
結構圖 波長 雙折射 x 極化損耗 y 極化損耗
Fig.10(η=5) 2.0μm 19.97×10-3 0.14(dB/m) 7.59(dB/m) Fig.11(η=5) 2.0μm 22.03×10-3 0.105(dB/m) 3.1(dB/m) 完全不含小孔(η=5) 2.0μm 18.5×10-3 0.23(dB/m) 19.27(dB/m)
表三
結構圖 波長 雙折射 x 極化損耗 y 極化損耗
Fig.10(η=5) 1.55μm 11.6×10-3 5.5×10-5 dB/m 8.59×10-3 dB/m Fig.11(η=5) 1.55μm 13.45×10-3 6.13×10-5 dB/m 5.11×10-3 dB/m 完全不含小孔(η=5) 1.55μm 10.32×10-3 3.8×10-4 dB/m 6.44×10-2 dB/m
表四
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