中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：變折射率光子晶體光纖的模式分析

系 所 別：電機工程學系碩士班 學號姓名：M09401001 李 糧 全 指導教授：吳俊傑 博 士

中華民國 97 年 1 月

I

摘要

本論文同時使用FDTD 和 FEM兩種方法研究兩種纖蕊變折射 率光子晶體光纖. 我們針對兩種不同類型的光子晶體光進行有系統 的研究，我們首先將光子晶體光纖的纖蕊摻雜不同濃度的雜質，並且 將纖蕊分別在三角橢圓包層與四角橢圓包圍情況做摻雜。光子晶體光 纖在纖蕊區摻雜不同濃度的雜質，以調制不同折射率的光子晶體光 纖，在纖蕊區改變折射率可以減少漏波損耗和增加雙折射，數值分析 的結果發現，當引入我們設計的四角包層結構複合式單胞時，纖蕊區 做摻雜可讓雙折射在波長1.0μm到 2.0μm高達 10^-2

II

Abstract

In this thesis, used FEM and two FDTD methods to analysis the

photonic crystal fiber with modulation core index. We focused on two different types of photonic crystal fibers-a systematic study. The fist type of photonic crystal fiber is composed of a solid silica core with modulation core refractive index and a cladding with triangular lattice elliptical air holes, the other is cladding with rectangular lattice. The photonic crystal fiber’s core region doped with different concentration of impurities to modulate the refractive index of fiber core region. The net effect of increased refractive index of core region is to reduce the leakage loss and increase the modal birefringence of the photonic crystal fiber which is cladding with rectangular lattice elliptical air holes. Further numerical analysis show that by introducing binary air hole in each unit cell of the rectangular lattice, a higher modal birefringence of the order of 10^-2 has been obtained within the wavelengths ranging from 1.0 to 2.0μm in the proposed PCFs.

III

誌謝

本論文之所以能順利完成，端整多位師長、同學與朋友的支持 與協助。首先得感謝指導老師吳俊傑博士，在這兩年研究生涯中，

給予我悉心指導與幫助，使得我能得以順利完成碩士學位。

其次，我也要感謝楊宗哲老師及沈林放老師的教導與幫助，解 決了許多我在研究上的疑惑。

最後我要感謝的是，我的家人、同學、朋友們，在我求學的期 間給我支持與鼓勵，使我能夠安心度過這兩年的研究生涯。最後，

僅將此論文獻給所有關心我的人。

IV

目錄

中文摘要. . . I 英文摘要. . . .II 誌謝. . . III 目錄. . . IV

第一章 引言. . . 1

1. 1 光子晶體與帶隙概念. . . 1

1. 2 光子晶體光纖研究的歷史與現況. . . .4

1. 3 光子晶體光纖的兩種導光原理. . . 6

1.3.1 TIR-PCF 導光原理. . . .7

1.3.2 PBG-PCF 的導光原理. . . 8

1. 4 光子晶體光纖的特性. . . .9

1.4.1 TIR-PCF 的特性. . . 9

1.4.2 PBG-PCF 的特性. . . .12

1. 5 光子晶體光纖發展現狀與研究動機. . . 13

第二章 時域有限差分法（FDTD）基本理論 . . . 16

2. 1 有限差分法的基本原理 . . . 16

2. 2 三維 FDTD 方程式. . . 19

2. 3 數值穩定與數值色散. . . .24

V

第三章 各向異性介質完全匹配層. . . 27

3. 1 平面波入射到單軸介質時的反射和透射 . . . 27

3. 2 無反射條件. . . 30

3. 3 二維平面區和菱邊區 . . . 33

3. 4 三維 UPML 的時域公式：絕緣介質-UPML 情形. . . . .36

3. 5 各向異性介質完全匹配曾：FDTD 實現. . . 40

第四章 變折射率光子晶體光纖的設計及特性分析. . . 45

4. 1 複合單胞變折射率光子晶體光纖設計. . . 45

4. 2 三角晶格數值模擬分析. . . 46

4.2.1 三角複合單胞數值模擬. . . .46

4.2.2 三角複合單胞變折射率數值模擬. . . 64

4. 3 四角結構數值模擬分析. . . 70

4.3.1 四角變折射率數值模擬. . . .71

4.3.2 四角複合單胞變折射率數值模擬. . . 74

第五章 結論. . . .79

參考文獻. . . .80

1

第一章 引言

光子晶體光纖(photonic crystal fiber,PCF)最初由E.Yablonvitch^[1]和 S.John^[2]於 1987 年各自提出的，它是一種介電常數呈週期性分佈，其 變化週期是光波長的數量級，具有光子頻率禁帶的特殊光學材料。光 子晶體光纖(photonic crystal fiber,PCF)概念最早由P.St.J.Russell等人於 1992 年提出^[3]。1996 年在OFC會議上，英國Bath大學的J.C.knight等 學者作了關於PCF的報告^[4]，做出了第一根光子晶體光纖，由於它特 殊的光學特性，在此後的幾年哩，其迅速發展，成為光纖光學領域的 一個亮點，同時也引起了廣大學者的興趣，然而傳統光纖通信系統中 常規光鮮由於色散，非線性現象以及損耗等三大因素的影響限制了在 長距離的信號傳輸方面上顯得力不從心，研究及開發新型光纖已成為 開發下一代基礎設施的重要課題之ㄧ。新型通信光纖的研究越來越引 起人們的關注與興趣，本文研究的PBG-PCF就是其中一種新型的光 纖。

1.1 光子晶體與帶隙概念

電子在週期勢場中傳播時，由於電子波會受到週期勢場的布拉格 散射的影響，進而形成能帶結構，結構之間可能存在著帶隙。當電子

波的能量如果落在帶隙中，傳播是禁止的。其實，不管任何波，

2

只要受到週期性調制，都有能帶結構，也都有可能出現帶隙。能量落 在帶隙中的波是不能傳播的，電磁波或著光波也不能例外。不過人們 真正清楚其物理涵義已經是80 年代末了。

光子晶體是不同介電常數的材料週期排列構成的人工微小結 構，電磁波在其中傳播時，由於布拉格散射，電磁波會受到調制而形 成能帶結構，這種能帶結構叫做光子能帶。光子能帶之間可能出現帶 隙，即光子帶隙或光子禁帶。光子晶體的基本特徵是具有光子帶隙、

頻率落在帶隙中的電磁波是禁止傳播的。因為帶隙中沒有任何態的存 在。光子帶隙的存在帶來許多新物理現象和新應用。

光子晶體的概念是在1987 年由E.Yablonovitch^[1]和S.John^[2]等人在 1987 年用類比電子在普通晶體上的傳播規律的基礎上提出來的。他 們提出在較高的折射率材料中的某些位置週期性的引入低折射率材 料，光波受到介質週期勢場的影響而具有能帶，光子晶體能帶之間可 以出現帶隙，即光子帶隙(Photonic Bandgap,PBG)。可以產生PBG的 週期性電介質被稱為光子晶體(Photonic Crystal)，或著稱之為光子帶 隙材料(Photonic Bandgap materials)，能量處於光子帶隙能能帶範圍內 的光子被禁止在這種帶隙材料中傳播。由於這種特性，使得他在許多 方面具有著廣泛的應用價值，可製作光子晶體光纖、光子晶體波導、

光子晶體微腔、光子晶體偏振器、等等…

3

而我們在固態物理學的研究中可以發現，由於晶體內部的週期性 排列的原子所產生的週期性電廠對電子有著特殊的約束作用。這樣的 空間週期性的場中的電子運動是由如下薛丁格方程式決定的^[5]

(

r m V

h ∇ + v ⋅ψ v，

− ( ))

( 2 ²

2

)

其中 是電子的勢能函數，它具有空間週期性。求解式(1.1)可 以發現，電子的能量 E 只能取得某些離散的特殊值，在某些能量區間 內該方程無解，也就是說電子的能量不可能落在這樣的能量區間內，

這些能量區間通常被稱為能量近代(Band Gap)。

) (r V v

由電磁場理論，在介電常數呈空間週期性分佈的介質中，電磁場 符合Maxwell方程式^[6]

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ∇

⋅ Ε

−∇

=

⎟⎟Ε

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛∇ +

) (

) ) (

, ( )

, ( )

2 (

2 2

r t r r t

r

c r v

v v v v

v v

ε ε ε

ω (1.2)

其中ε(rv)為介電常數，具有空間週期性。式(1.1)和式(1.2)形式上 具有一定的相似性。通過求解式(1.2)可以發現，該方程式只有在某些 特定的離散頻率ω處才有解，而在某些頻率ω取值區間則無解。也就 是說在介電常數呈週期性結構分布介質中，電磁波的某些頻率是被禁 止的，這些被禁止的頻率區間相應地稱為光子禁帶(Photininc Band Gap-PBG)，而具有光子禁帶的材料稱為光子晶體。與普通晶體類似，

光子晶體的晶格常數與光波波長在數量級上是可比擬的。

4

在固態物理學知識可知，利用周期性晶體中的能帶結構能夠控制 電子的運動，使能量落在禁帶帶隙中電子波無法繼續傳播。類似地由 式(1.2)，光波只要受到周期性調制，也將具有能帶結構，也都有可能 出現帶隙；而能量落在禁帶中的光波將不能傳播。光子晶體中，光的 折射率的週期性變化將產生光子帶隙結構，而光子帶隙結構，必將限 制光波在光子晶體中的運動。在光子晶體的基礎上，人們進一步提出 了光子晶體光纖的概念。

1.2 光子晶體光纖研究的歷史與現況

光子晶體光纖(Photonic Crystal Fiber,PCF)的概念最早是由，

ST.J.Russell等人於 1992 年提出^[3]。它是一種縱向帶有線缺陷而橫向 為週期性結構的二維光子晶體，即光纖包層為空氣而石英的週期性結 構，週期常數(或晶格常數)為光波波常量級，光纖纖蕊是破壞這種週 期結構的缺陷，橫向的週期性結構將產生光子帶隙結構，從而可限制 某一頻率範圍內的光波無法從橫向洩漏，只能在缺陷中沿縱向傳播。

1996 年，J. Knight首次研製出光子體光纖^[4]，其包層為三角形光子晶 體結構，中心缺陷不是空氣而是實心纖蕊。研究表明這種光纖具有大 頻率範圍的單模傳輸特性。但事實上這種光纖並不是以光子帶隙效應 導光，而是以改進的全內反射效應導光。這種光纖激起了人們極大的

5

興趣，隨後人們對它的色散、非線性效應等進行了較為廣泛的研究。

最初人們極大的興趣，隨後人們對它的色散、非線性效應等進行了較 為廣泛的研究。最初人們對光子晶體光纖的研究主要集中在這種類型 上；而對真正的帶隙效應導光光子晶體光纖(PBG-PCF)的研究卻相對 較少。

圖1.1 J.Knight 等人 1996 年首次報導的光子晶體光纖

第一次關於以光子帶隙效應導光光子晶體光纖(PBG-PCF)的是在 1998 年^[7]，結構如圖1.2 橫向具有蜂窩結構，中心有一小空氣孔作為 缺陷。但作為第一種PBG-PCF，這種光纖沒有太大的實用價值。因為 在這種PBG-PCF中所能傳輸的光場的大部分是分布在中心缺陷空 氣，周圍的矽中而非缺陷空氣孔中，這種造成PBG-PCF在色散和非線 性效應等方面存在與常規光纖類似的不足。隨後再1999 年，三角形 結構的PBG-PCF出現^[8]，結構如圖1.3，包層為三角形週期性結構，

中心抽取七個介質管作為纖蕊，實驗表明，這種PCF能夠實現PBG導

6

光，且光場的絕大部分集中在缺陷的空氣孔中。這可以帶來很多好 處，例如材料引起的色散，非線性和損耗，與常規光纖相比是極小的，

從而有望極大地提高光波傳輸的無中繼距離。

圖 1.2 蜂窩結構 PBG-PCF 截面圖 圖 1.3 三角結構 PBG-PCF 截面圖

1.3 光子晶體光纖的兩種導光原理

本節中，將會對光子晶體光纖(PCF)的兩種導光原理，做簡單的 介紹。由於光子晶體光纖的導光纖蕊既可以是空氣也可以是石英，存 在著兩種截然不同的導光機制。最初提出PCF 概念的時候，就是希 望利用其光子帶隙(PBG)效應來導光。圖 1.3 所示的光子晶體光纖的 纖蕊為在週期性的結構中抽去幾個空氣孔而構成。如圖所示，三角形 晶體結構再橫向上存在完全的二維禁帶，即在一定的頻率範圍內的光 波無法橫向傳播。同時晶體結構中缺陷的引入，即在光纖的中心引入 額外的空氣孔，會在禁帶中產生缺陷態，PCF 就有可能利用這個缺陷 態沿著光纖縱向導光。這種導光原理與傳統的常規光纖的全內反射導

7

光原理有巨大的差異，它利用了光子晶體光纖的帶隙效應，且其纖蕊 為空氣孔，使其傳播模式的折射率小於包層折射率，這種導光原理稱 為光子晶體光纖的帶隙效應導光。這種獨特的導光原理給PBG-PCF 帶來了獨特的傳輸特性，值得注意的事，當用PBG 效應來導光時，

除了通常要求較大的氣孔孔徑和較大空氣填充率外，還要求精確的週 期性空氣氣孔排列。

第二種光子晶體光纖的導光原理稱為改進的全內反射導光 (TIR)，通常將利用這種原理導光的光子晶體光纖稱為全內反射光子 晶體光纖(TIR-PCF)。與普通光纖的導光方式類似，它只要求纖蕊的 折射率大於包層的等校折射率，只要使中間的缺陷區域和外圍週期性 結構的包層出現有效折射率差，就可以使光波在其中傳播。這種PCF 不要求大孔徑的氣孔。J.C.Knight 等人在 OFC’96 上報導了第一個 PCF(圖 1.1)就是基於 TIP 導光的。以下我們會做導光原理較詳細的說 明介紹

1.3.1 TIR-PCF 導光原理

TIR-PCF即利用全內反射效應導光的光子晶體光纖。圖 1.1 是光 子晶體光纖掃描電子顯微鏡照片(SEN)，它是由J.C.Knight等人報導的 第一個TIR-PCF的樣品^[4]。包層的空氣孔成六角形週期排列的緊密分

8

布，由中間空氣孔缺陷形成中間實心蕊層。這樣蕊層和外圍週期性區 域出現折射率差，導光原理與傳統光纖類似，是改進的全內反射型的 導光機制，它不依賴於週期性結構產生的光子帶隙(Photonic Band Gap,PBG)效應。但由於包層的週期性分布使其與傳統的光纖在性能 上有著很大不同，而且由於引入空氣孔，可以得到在傳統石英光纖終 無法實現的大折射率差。傳統光纖通過摻雜截面內的折射率變化至多 為1%~2%，而TIR-PCF折射率變化最大可達到 30%~40%。在理論上，

其它類型的空氣孔排列也可以達到相同的功能，如正方型等。

1.3.2 PBG-PCF 的導光原理

PBG-PCF即利用光子晶體禁帶效應導光的光子晶體光纖。圖 1.2 為第一個真正利用二維PBG導光的光子晶體光纖^[9]，在1998 年做出。

空氣孔分部具有蜂窩狀網格結構，其中心引入一個作為缺陷的空氣 孔，光被侷限在空氣孔纖蕊區域附近傳輸。同樣空氣孔分部還可呈現 三角形、矩形等結構。由於在完整的二維週期結構中引入缺陷，會在 禁帶中產生頻率分布極窄的局域態，PCF就可利用這個局域態沿著光 纖方向導光。由於纖蕊為空氣孔，其折射率小於包層的折射率，因此 不是利用傳統全內反射機制來導光，利用的是PBG效應導光。

9

利用二維PBG 效應導光的 PBG-PCF 與全內反射機制導光的 TIR-PCF 的主要區別在於 PBG-PCF 中光波被限制在空氣中傳播，很 多傳統光纖中存在的石英介質中與材料相關的影響因素大大地減小 了，因而具有低損耗、低色散的特點，讓人對這方面的探討有誘人的 應用前景。

1.4 光子晶體光纖的特性

光子晶體光纖的產生，有著與以往傳統光纖不同的特性，讓他有 效的擴展和增加了光纖的應用領域。

1.4.1 TIR-PCF 的特性

在上個章節我們提到光子晶體光纖的導光原理，其中 TIR-PCF 的特性我們將在以下做說明。

1. 無窮單模特性

TIR-PCF一個最引人注目的特點就是”無窮”單模特性。這並非說 在每一個波長TIR-PCF都能維持單模傳輸，而是說TIR-PCF的截止波 長很短，幾乎可以在近紫外到近紅外的全波段維持單模傳輸。Birks T.A等人用等效折射率模型對這個現象進行一個很好的解釋：定義 TIR-PCF的有效折射率為包層的、以光強分部為權重的平均折射率。

10

因此可以知道當波長變短時，模式電場的分布更加集中於折射率高的 纖蕊，延伸到包層的部份就減少，因而有效折射率得到提高，從而擴 展了單模傳輸的帶寬。進一步的研究表明當空氣孔的比重足夠小(即 d/Λ<0.2，d為空氣孔的相對直徑，Λ為空氣孔間的相對距離)，就能保 證所有的波長單模傳輸。因此，實現單模傳輸的條件與光纖結構的絕 對尺寸無關，只與空氣孔徑和空氣孔間距離的比值有關。但是在實際 中由於存在彎曲損耗等因素的影響，使得單模傳輸不可能在全波段進 行，而目前對普通單模光纖來說，使用和開發的C波段

(1530-1565nm)、L波段(1570-1620nm)和S波段(1450-1520nm)總帶寬約 150nm，而光子晶體光纖使單模工作波段向短波方向擴展了

600-700nm，美國貝爾實驗室的結果表明^[10]，光子晶體光先可以再500

～1600nm的範圍內保持單模傳輸。這為波分复用增加信道數提供了 充足的資源。

2. 單模光纖模場面積

TIR-PCF 的無窮單模特性並不依賴於光纖的絕對尺寸，光纖放 大或縮小照樣可以保持單模傳輸，這表明可以根據特定需要來設計光 纖模場面積，當需要傳輸高功率光時，可以設計大的模場面積而不必 擔心出現非線性效應，這樣的光纖可以用於高功率激光器。當需要強 的非線性效應時，可以減小光纖的模場面積。具有強非線性的PCF

11

可用於超寬連續光譜的產生、波長轉換、全光開關、光放大器等方面。

3. 色散可調特性

TIR-PCF的另ㄧ個重點是可以靈活控制色散特性，就光子晶體光 纖的特徵來說，它對波導色散有較高的控制性。傳統光纖由於材料不 匹配會造成光纖損耗，因此纖蕊和包層的折射率差不能過大。光子晶 體光纖由單一材料(純SiO2)構成，它不存在傳統光纖的材料不匹配現 象。通過合理調節空氣孔的尺寸和間距，可以獲得較大的折射率差，

從而更有效控制波導色散。光子晶體光纖的一個重要特點是零色散點 可以向短波長大大推進。傳統單模光纖的零色散點通常在1310nm 處。而通過合理的調節PCF氣孔大小和間距，可以將零色散點移至 800nm左右^[11]。零色散點向短波長移動，使得PCF能夠在波長低於 1.3μm獲得反常色散，這是傳統光纖無法做到的。

4. 高雙折射現象

高雙折射式光子晶體光纖的一個重要特點^[12][13]，普通單模光纖具 有弱的雙折射特性，由於受到扭曲、彎曲、拉伸等外界的影響，當輸 入一個偏振光時，輸出端的偏振態是隨機的、不可控的。製作高雙折 射的傳統光纖需要引入形狀雙折射或著應力雙折射，從而大大增大工 藝的難度和製作成本。但是在PCF中則比較容易實現高的雙折射，只

12

需將PCF橫截面上的圓對稱性破壞，譬如，在對稱方向上減少一些空 氣孔或著改變空氣孔的尺寸。

1.4.2 PBG-PCF 的特性

1.易於耦合性

在PBG-PCF 中，光能量主要在空氣孔形成的纖蕊中傳播。由於 外界和纖蕊材料ㄧ樣都是空氣，光被耦合近人空氣孔纖蕊波導光纖中 時沒有非內耳反射，因此利用PBG 原理導光的 PCF 可以用來製作高 效率光耦合器件，使光通信中的連接器更新代換。

2.低彎曲損耗的特性

PBG-PCF 的導光原理機制與傳統光纖的全反射原理不同，光能 量只能被侷限在纖蕊的缺陷之中傳播。因此這種光纖允許出現光路彎 曲大於直角的情況下，甚至可以在彎曲曲率半徑小於波長的條件下傳 播。因而可以在光通信系統中極大的降低彎曲損耗對於系統的影響，

提高光纖彎曲狀態下傳輸能量的效率。

3.低損耗、色散和非線性特性

傳統光纖有很多固有的缺點難以克服，比如普通單模光纖的纖蕊 主要成分是二氧化矽，即使盡量降低染質吸收，但本徵吸收和瑞利散

13

射是很難避免的，因而光纖材料引起的損耗總要存在；另外，雖然單 模光纖可以避免模式色散，結構色散也可以做得很低，但材料色散才 是本徵性的，避免不料材料色散，它的存在使光脈衝展寬，限制了傳 輸速率；第三，當採用波分复用技術在一根光纖中傳輸多個信號時，

隨著光工率增加，交叉相位調制和四波混頻等材料的非線性出現，雖 然可以通過增加有效面積緩衝非線性的影響，但過大的通光口徑不能 保證單模傳輸。這樣的幾個因素造成限制傳輸單模光纖邁向更大容量 發展的障礙。依靠光子帶隙導光的光子晶體光纖可使上面的幾個障礙 迎刃而解。這種光纖為空心結構，纖蕊可以是空氣或真空，不用二氧 化矽，作為材料屬性的吸收、散射、色散和非線性自然也就不存在了。

這樣變革的改進，將讓光纖通信帶來難以估計的影響。

1.5 光子晶體光纖發展現狀與研究動機

在上些章節提到光子晶體光纖的相關特性與導光原理，光子晶體 光纖(Photonic crystal fiber , PCF)最早是由 1992 年由P. St. J. Russell提 出來的一種二維光子晶體概念，而1996 年在OFC會議上，英國Bath 大學的J. C. J. Knight首次研製出光子體光纖^[3]，其包層為三角形光子 晶體結構，中心缺陷不是空氣而是實心纖蕊，作了這些PCF相關的報 告，也真實的做出了第一根光子晶體光纖，由於它特殊的光學特性，

14

在此後的幾年裏，其迅速發展，成為光纖光學領域的一個亮點，同時 也引起了廣大學者的興趣。而在2001 年，由M.J. Steel and R.M. Osgood 提出由圓空氣孔改成橢圓型空氣孔^[14]，“Elliptical-hole photonic crystal fibers”。提出了將圓形空氣孔改變為橢圓的構思。而在 2004 年時，

由Y.L.Hoo發表的論文中，可以了解他利用r來改變面積大小與摻雜中 央部分的二氧化矽濃度的方式，控制其色散的平坦的問題^[15]。2005 年，由Y.C. Liu, Y Lai.所設計的四角晶格光子晶體光纖^[16]，在波長 λ=1.6μm處可以達到 28×10^-3，發現到包層結構改變為四角排列時，雙 折射效應明顯提高。

本文主要以 PBG-PCF 光子禁帶型光子晶體光纖為主要討論的對 象，PBG-PCF 的導光機制與傳統光纖的全反射原理不同，光能量只 能被侷限在纖蕊的缺陷之中傳播。因此這種光纖允許出現光路彎曲大 於直角的情況下，因此可以在光通信系統中極大降低彎曲損耗對於系 統的影響，提高光纖彎曲狀態下傳輸能量的效率。

同時我們對於Liu^[16]他的高雙折射效應感到有興趣，因此我們利 用Hoo^[15] 掺雜的概念，應用在橢圓三角與Liu^[16]的結構上，可發現損 耗與雙折射掺雜後，與沒掺雜的情況不相同，發現掺雜後能有較低的 損耗，我們將填充面積和橢圓率與周圍橢圓調整為相同，發現原本在 λ=1.6μm時，Liu^[16]的雙折射為 28×10^-3，而我們掺雜介質濃度讓它為

15

n=1.5 的雙折射卻能到 32×10^-3，因此我們想探討分別在掺雜濃度大 小、面積改變大小情況下，雙折射和損耗的改變情況，希望獲得較低 的損耗效應。所以我們主要研究的目的是，由控制纖蕊區面積大小，

控制模場面積使得傳輸效率提高，以及低損耗、雙折射效應。

16

第二章 時域有限差分法（FDTD）基本理論

2.1 有限差分法的基本原理

在電磁場數值計算方法中，有限差分法是應用最早的一種方法。

早在本世紀 50 年代，有限差分法以其簡單並直觀的特點，在電磁數 值領域上取得廣泛的應用，方法也由線性場擴展至非線性場;由恆定 場擴展至時變場。雖然現階段電磁場數值計算方法發展得很快，即使 是在時域有限差分法與變分法相結合的基礎上形成的有限元法日益 得到廣泛的應用，有限差分法也因其固有的特點仍然是一種不可忽視 的數值分析方法。

將有限差分法引入光波導模式分析中是近幾十年的發展。目前分 析光波導的方法有有效折射率法，有限元法，和有限差分法。有效折 射率法因其直觀，但它本身的忽略了波導的複雜結構，不能計算模式 的特性，如傳播常數及色散。有限元法和有限差分法克服了有效折射 率法其不能分析複雜結構的缺點，並適用於計算折射率任意分佈的光 波導。與有限元法相比較，有限差分法更簡單，易於寫程式實現。

有限差分法是把電磁場連續場域內的問題轉換成離散問題來求 解，也可說是通過網格狀的離散化模型上將各離散點的數值解來逼近

17

連續場區域內的真實解，是一種近似的計算方法，有限差分法是以差 分為基礎，它用於各種離散點上函數的差商來近似替代該點的導數，

這樣微分方程的與邊界條件的求解就可以結合成為一線性方程式，從 而得到數值解。對微分方程離散化可以用泰勒級數法、積分法或變分 法，在這裡我們用泰勒級數法建立差分方程

圖2.1 一元函數f x( ) f

x

∂

∂

下面以一個一元函數為例用泰勒級數推導函數一階和二階導數 的中心差商表達式。假設f(x)為x的連續函數(如圖 2.1 所示)，在x軸上 每隔Δx=h長取一個點，其中任一點用x0來表示與x0相鄰的左邊點為 x1= x0－h，右邊點為x2= x0＋h，x1點的函數值f1，應用泰勒公式，通 過x0點的函數值f0可表示為：

2 3

2 3

1 0 2 3

1 1

( ) ( ) ( ) ...

2! 3!

df d f d f

f f h h h

dx dx dx

= − + − + （2.1）

x2點的函數值f2，應用泰勒公式，通過x0點的函數值f0可表示為：

x1 x₂

x0

f1

f0

f₂

18

2 3

2 3

2 0 2 3

1 1

( ) ( ) ( ) ....

2! 3!

df d f d f

f f h h h

dx dx dx

= + + + + (2.2) 由 (2.1) 可得

0 1

(df ) f f 1( ) dx h R h

= − + (2.3)

由 (2.2) 可得

2 0

(df ) f f 2( ) dx h R h

= − + (2.4)

1( ) R h 和

以上兩式中的 R h₂( )稱為餘數項，它們包含了增量h 的一次項 與高次項。

如果在式(2.3)中捨去餘項R h₁( )，即得一階向後項差分：

(df ) f0 f¹

dx h

= − (2.5)

同理，由是（2.4）可得一階前項差分：

(df ) f2 f⁰

dx h

= − (2.6)

因為用式(2.5)或(2.6)的單側差分來代替所求的一階導數(df

dx)，將存在 較大的誤差，所以，應尋求較精確的差分關係式，方法是：(2.1)與(2.2) 兩式相減

3 3

2 1 3

2 ( ) 2 ( ) ...

3!

df d f

f f h h

dx dx

− = + + (2.7)

若忽略h 的三次項或高次項，便可以得到一階導數(df )

dx 的差分表達式 為：

( ) 2

2 f f1

df

dx h

= − (2.8)

顯然這就是一階中心差分相應中心差分表達式。由推導過程可知，用

19

節點x₀處的中心差分 ²

2 f f1

h

− 來近似替代該點的一階偏微分(df

dx)，其誤 差大致與增量h 的二次方成正比，這比用前述單側差商替代的逼近度 要好很多。

現繼續推導和二階偏導數相對應的差分表達式。將(2.1)與(2.2)式 相加：

2 2

2 1 2 0 (d f2 ) ...

f f f h

+ = + dx + (2.9) 若忽略h 的三次項與高次項，便可得到二階導數(d f²₂

dx )的中心差分表 達式：

2

2 1 0

2 2

(d f ) f f 2f

dx h

= + − (2.10)

有限差分法正是用(2.8)與(2.10)的一階與二階中心差商代替偏微分方 程中的一階和二階偏微分來建立差分方程。

2.2 三維 FDTD 方程式

電磁波滿足Maxwell’s 方程式是支配宏觀電磁現象的一組方成 式。這組方程式既可以寫成微分形式，也可以寫成積分形式。FDTD 方法是由微分形式的Maxwell’s 旋度方程式對各電磁場分量進行時間 與空間上的差分離散而來。

假設所研究的電、磁場問題在簡單介質條件下，但可以存在電與

20

磁的損耗。於是再無源區域，可以將Maxwell’s 方程表示為如下的形 式：

H D J

t

∇× =∂ +

∂ (2.11)

m

E B J

t

∇× = −∂ +

∂ (2.12)

各項同性線性介質中的特徵關係為：

D=εE B=μH J =σE J_m =σ_mH (2.13) 其中，ε表示為介電常數，μ為導磁係數，σ為電導率，σm為等效 磁阻率。σ與σm分別為介質的電損耗與磁損耗。引入等效磁阻率的目 的主要是在於使方程式具有對稱性。

在直角座標系中，(2.11)和(2.12)式寫為：

1( )

1( )

1( )

x z y

x

y x z

y

y x

z

z

E H H

t y z E

E H H

t z x E

H H

E E

t x y

ε σ

ε σ ε σ

∂ ⎫

∂∂ = ∂∂ − ∂ − ⎪⎪

∂∂ = ∂∂ −∂∂ − ⎪⎪⎬ (2.14)

∂ ∂ ⎪⎪

∂∂ = ∂ − ∂ − ⎪⎪⎭

(2.15)

1( )

1 ( )

1 ( )

x y z

m x

y z x

m y

x y

下面考慮(2.54)和(2.55)式的 FDTD 差分離散形式。令 f x y z t( , , , )代 表E 或 H 在直角座標系中的某一分量，在時間和空間上的離散取下 符號表示：

z

m z

H E E

t z y H

H E E

t z y H

E E

H H

t y x

μ σ

μ σ

μ σ

∂ ⎫

∂∂ = ∂ −∂∂ − ⎪⎪

∂∂ = ∂∂ −∂∂ − ⎪⎪⎬⎪

∂ ⎪

∂ −

∂ = − ⎪

∂ ∂ ∂ ⎪⎭

21

( , , , ) ( , , , ) ⁿ( , , )

f x y z t = f i x j y k z n tΔ Δ Δ Δ = f i j k (2.16)

對 f x y z t( , , , )關於時間和空間的一階偏導數取中心差分近似，即

1 1

( , , ) ( , , )

( , , , ) | 2 2

n n

x i x

f i j k f i j k

f x y z t

x ^{= Δ} x

+ − −

∂ ≈

∂ Δ

(2.17)

1 1

2 2

1 1

( , , ) ( , , )

( , , , )| 2 2

1 1

( , , ) ( , , )

( , , , )| 2 2

( , , , ) ( , , ) ( , , )

|

n n

x i y

n n

x i z

n n

x i t

f i j k f i j k

f x y z t

y y

f i j k f i j k f x y z t

z z

f x y z t f i j k f i j k

t t

= Δ

= Δ

+ −

= Δ

+ − −

∂ ≈

∂ Δ

+ − −

∂ ≈

∂ Δ

∂ ≈ −

∂ Δ

在FDTD離散方成中電場與磁場在各節點的空間分佈如圖 2.2 所 示，這就是著名的Yee網格^[17]，由圖2.2 來看，這個網格體系具有這 樣的特點，電場與磁場各分量在空間的取樣點被交叉的分佈，使的每 一個座標平面上的每一個電場分量的四周由磁場分量來環繞，同時每 個磁場分量的四周是由電場分量圍繞。這樣的電場空間配置符合電磁 場的基本規律---法拉地電磁感應定律和安培環路定律的要求，也就是 Maxwell’s方程的基本要求，因而也符合電磁波在空間中傳播的規律。

電磁場的計算空間介質的電磁性質有重要關係，在網格空間中除 了規定電磁場的離散取樣點以外，還必須同時給出各離散點相映介質 的電磁參量。通過賦予空間電磁參數的方法可以在網格組成的整體在 幾何形狀、物理尺度和電磁特性等方面都與被模擬的介質結構最大限

22

度的接近，這使得時域有限差分法模擬電磁波與各種複雜的介質結構 的相互作用變得比較容易。

在Yee 網格中，每個座標軸方向上場分量間相距半個空間步長。

因而同一種場分量之間相隔正好為一個空間步長。為了保證計算上的 穩定性，時間離散的步長與空間步常必須滿足一定的關係，由後面的 分析可知，時間步長可選為電磁波傳播一個空間步長所需時間的一 半。在選定了空間網格結構後，就可以在時間上求解，由給定相映電 磁場的初值，FDTD 方法就可以逐步推進，求得以後各個時刻點的電 磁場相映分佈。

(i,j,k)

(i+1,j,k) (i+1,j+1,k)

Hx

Hx

Hy Hy

Hz

Hz Ex

Ey

Ez _Ez

Ez Ez

Ey

Ey

Ey Ex

Ex Ex

Δz

Δx

Δy

圖2.2 電磁場在 Yee 網格中的空間分佈

在三維座標系中，通常可將Yee 單胞取為立方體，及等間隔提散：

x y z δ

Δ = Δ = Δ = (2.18)

23

並記ε ε ε= 0 r μ μ μ= _{0 r}

在大多數電磁場問題，計算空間內不包括磁性介質，在這種情況 下μ=μ0，σm =0，此外，在非磁性介質中，在使用國際單位(SI)時，電 場與磁場在數值上往往相差很大。在自由空間中平面波的電場和磁場 有如下關係：

0 0

0

E⁼η H ⁼ μ ε (2.19) 其中η₀＝377Ω，這種數值關係給計算帶來很大的誤差，為了克服這種 影響，可用歸一化的電場來代替原來的電場，兩整之間的關係為：

/ _{0 0}/ ₀

E=E η = ε η E (2.20) 由(2.14)和(2.15)式，三維 FDTD 離散方程式可寫為：

, ,

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

, , , , , , , 1, , , , , 1

1

, , , ,

, , , ,

, , , ,

1 2 | | |

| | (

1 1

2 2

i j k

n n n n

i j k i j k z i j k z i j k y i j k y i j k

n n

x i j k x i j k

i j k i j k

i j k i j k

t t

H H H H

E E

t t y z

| ) σ

ε ε

σ σ

ε ε

+ + + +

− −

+

Δ Δ

− − −

= + −

Δ Δ Δ Δ

+ +

(2.21)

, ,

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

, , , , , , , , 1 , , 1, ,

1

, , , ,

, , , ,

, , , ,

1 2 | | |

| | (

1 1

2 2

i j k

n n n n

i j k i j k x i j k x i j k z i j k z i j k

n n

y i j k y i j k

i j k i j k

i j k i j k

t t

H H H H

E E

t t z x

| ) σ

ε ε

σ σ

ε ε

+ + + +

− −

+

Δ Δ

− − −

= + −

Δ Δ Δ Δ

+ +

(2.22)

, ,

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

, , , , , , 1, , , , , 1,

1

, , , ,

, , , ,

, , , ,

1 2 | | |

| | (

1 1

2 2

i j k

n n n n

i j k i j k y i j k y i j k x i j k x i j k

n n

z i j k z i j k

i j k i j k

i j k i j k

t t

H H H H

E E

t t x y

| ) σ

ε ε

σ σ

ε ε

+ + + +

− −

+

Δ Δ

− − −

= + −

Δ Δ Δ Δ

+ +

(2.23)

24

, 1, , , , , 1 , ,

1/ 2 1/ 2

, , , ,

, ,

| | | |

| | (

n n n n

z i j k z i j k y i j k y i j k

n n

x i j k x i j k

i j k

E E E E

H H t

y z

μ

+ +

+ − Δ − −

= + −

Δ Δ )

(2.24)

, , 1 , , 1, , , ,

1/ 2 1/ 2

, , , ,

, ,

| | | |

| | (

n n n n

z i j k z i j k y i j k y i j k

n n

y i j k y i j k

i j k

E E E E

H H t

z x

μ

+ +

+ − Δ − −

= + −

Δ Δ )

(2.25)

1, , , , , 1, , ,

1/ 2 1/ 2

, , , ,

, ,

| | | |

| | (

n n n n

)

y i j k y i j k x i j k x i j k

n n

z i j k z i j k

i j k

E E E E

H H t

x y

μ

+ +

+ − Δ − −

= + −

Δ Δ

(2.26)

2.3 數值穩定與數值色散

在執行FDTD 算法時，隨著時間步的增長，保證算法的穩定姓氏 一個很重要的問題。收斂性是指當離散間隔趨近於零時，差分方程的 解在空間任一點和任意時刻都一趨於原方程的解。穩定性是指尋求一 種離散間隔所滿足的條件，使計算誤差控制在可以接受的範圍內。

Taflove 等人在 1975 年對 Yee 氏差分形式的穩定性提出討論，並導出 了對時間步長的限制條件，可以表示成：

2 2

1

1 1 1

( ) ( ) ( )

t

v ²

x y z

Δ ≤

⋅ + +

Δ Δ Δ

(2.27)

對於非均勻介質構成的計算空間可以用如下的數值穩定性條件：

2 2

max

1

1 1 1

( ) ( ) ( )

t

v ²

x y z

Δ ≤

⋅ + +

Δ Δ Δ

(2.28)

其中νmax為計算空間中電磁波的最大速度，對非均勻網格的算法也有

25

類似的結果。

由於時域有限差方程只是原Maxwell 方程的一種近似，當在電腦 的記憶體空間對於電磁波的傳播進行模擬時。ω 與 k 的非線性關係必 然導致相速與頻率有關。因而出現色散，這種非物理的色散現象稱為 數值色散。數值色散會導致脈衝波形的破壞，出現人為的各向異性及 虛假的折射現象。因此，數值色散是時域有限差分法的一個重要問 題，它是提高該計算精度的一個重要限制。

分析數值色散問題的基本方法是把單頻平面波的一般形式帶入 差分方程，從而導出頻率與時間與空間步長間的關係，也就是數值色 散關係。在三維的情況下的數值色散關係式為：

2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1

( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( )

2 2 2

x ky y z

k x k z

t

v t x y z

ω

2

Δ Δ Δ

Δ = + +

Δ Δ Δ Δ （2.29）

由於電磁場理論可知，對於均勻各向介質空間中的平面電磁波可 用解析方法得到色散關係：

2 2 2

( ) k_x k_y k ²

v ^z

ω _{= + +} （2.30）

當Δt，Δx，Δy，Δz 均趨於零時，式(2.29)的極限就是式(2.30)。這說 明數值色散是由於近似差分計算代替連續微分而引起的。因而數值色 散的影響也可以通過減少離散化過程所取的時間和空間步長來減 少。因為時間和空間步長的減少就意味著計算網格空間的網格數目的 增加，因而相映地將增加對電腦記憶體儲存空間和計算時間的要求。

26

所以，在實際計算中總是要根據問題的性質和實際條件來適當的選取 時間與空間步長。

對於一定頻率，一定入射的平面波，存在一個空間步長的極限 值。在給定網格步長的計算網格空間中所能傳播的電磁波的頻率是受 到限制的，及存在一個截止頻率，高於這個頻率的電磁波不能在這種 網格空間中傳播。由於數值色散使得高頻分量的相速度低於低頻分量 的相速度，而高頻分量的一部份還可被截止，就會使脈衝電磁波的波 形在Yee網格空間傳播的過程中發生嚴重的畸變。為了減少這種畸變 現象，要慎重選取空間步長，以使脈衝的主要頻譜分量遠離截止頻 率。一般的，應該選取網格空間小於1/10 最小波長，即ΔS≦λ/10 其 中λmin為網格空間內所考慮電磁波的最小波長。這樣可以使誤差控制 在0.3%以內。

27

]

第三章：各向異性介質完全匹配層

適當選擇單軸各向異性介質的本構參數，也可以形成完全匹配 層。Sacks(1995)和 Gedney(1996)提出各向異性介質 PML (UPML)理論 並應用於FDTD 區域的吸收邊界。

在各向異性介質中，波方程仍為Maxwell 方程，在 FDTD 計算中 用作高有耗介質的吸收邊界。

3.1 平面波入射到單軸介質時的反射和透射

設z<0 區域為均勻介質ε1、μ1，單軸各向異性介質填充z>0 半空 間，其本構關係為

_{1 1} (3.1)

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

p p

a c

p a p c

b d (3.2)

其晶軸平行于z軸，可以證明對於單軸介質情況可區分為TM波 (Hy≠0，Ey=0)和TE波(Hy=0，Ey≠0)，設TM平面波入射到界面，如圖 3.1 所示，則

[

exp

) exp(

0 0

z k x k j e

r k j e

iz ix y

i y

i

+

− Η

=

⋅

− Η

= Η

v

v v v v

(3.3)

在z<0 區電磁場為入射波和反射波之和為

D E B μ μ H

ε

μ

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ε ε

= v ⋅ v = ⋅

v v v v

v v

28

[

] [

]

0

1 =e_yΗ +Γ jk_izz − j k_ixx+k_izz

Ηv v (3.4)

z

x o

ki kr

入射 反射

透射

p

p μ μ

ε ε_{1 1}

1 1 μ ε

θi

圖 3.1 平面波入射到單軸介質表面

[ ] [ ]

[

]

exp

2 exp(

1 2

exp(

1

1

0

1 1

1 1

1

z k x k j

z k jk

e z k jk

e j

iz ix

iz ix

z iz iz

x

+

− Η

×

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ −Γ − +Γ

=

Η

×

∇

= Ε

ωε ωε

ωε

v v

v v

(3.5)

上式中Γ為反射系數，在z >0 區域，各向異性介質中的 Maxwell 方程：

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

Ε

⋅

=

−

∂ =

−∂

= Η

×

∇

Η

⋅

−

= Β

−

∂ = Β

−∂

= Ε

×

∇

v v v v

v

v v v v

v

p p

j D t j

D

j t j

ε ωε ω

μ ωμ ω

1

1 (3.6)

其平面波解

) exp(

j k v

r v v

v Η ∝ − ⋅

Ε、

其中kt為透射波向量。位於平面坡，(3.6)式中算子

∇

kt

jv

−

→

∇ 於是，(3.6)式變為

29

⎪⎭

⎪⎬

⎫ Ε

⋅

−

= Η

×

Η

⋅

= Ε

×

v v v v

v v v v

p t

p t

k k

ε ωε

μ ωμ

1

1 (3.9)

由上式可得

⎪⎭

⎪⎬

⎫

= Ε

⋅ + Ε

×

⋅

×

= Η

⋅ +

Η

×

⋅

×

−

−

0 )

(

0 )

(

2 1

2 1

v v v v

v v

v v v v

v v

p t

p t

p t

p t

k k

k

k k

k

ε μ

μ

ε (3.10)

式中

1 1 2 2 =

ω μ ε

k (3.11) 根據相位匹配原理，波向量在界面的切向分量為連續，因而有

kv_t =ev_xk_ix +ev_zk_tz (3.12) 其中kix為入射波向量的x分量。(3.10)式第一式可寫為矩形式，即

0 0

0 0

0

2 1 2 1

2 1 2 1 2

1 2

1 2

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ Η Η Η

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

z y x

ix tz

ix

ix tz

tz ix tx

k a dk a

k k

k b k a c k

k k a k

a c k

(3.13)

欲使上式有非零解，其系數行列式應當等於零，由此可得

k²c−a⁻¹k_tz² −b⁻¹k_ix² =0 Η_y ≠0，Ε_y =0 (3.14) 同哩，(3.10)式第二式可得

k²a−k_tz²c⁻¹−k_ix²d⁻¹ =0 Ε_y ≠0，Η_y =0 (3.15) 對於TM 波，透射波磁場為

^Ηv₂ ^=ev_yτ^Η₀^exp

[

]

¹ 1 ⁽ 2⁾ 1

2 = − ⋅ ×Η

Εv v⁻ v v

kt

εp

ωε (3.17)

30

(3.18)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

−

−

−

−

1 1 1 1

0 0

0 0

0 0

b a a ε^vp

將(3.18)式代入(3.17)式，得

( )

[ ]

(

) [

(

) ]

z k x k j k

k

a a a

tz ix ix

y tz

x

tz ix ix

tz

+

− Η

−

=

+

− Η

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡−

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

− ⎡

= Ε

−

−

−

−

−

exp

exp 0

0 0

0 0

0 1 0

0 1 1

1

0 1

1 1

1 2

v v

v

ωε τ ωε τ

(3.19)

根據邊界條件，在z=0 界面有

x x y

y 2 1 2

1 =Η Ε =Ε

Η ， (3.20) 將(3.4)、(3.16)、(3.19)式代入上式，得

⎭⎬

⎫

= Γ

−

= Γ +

−τ τ

) 1

1 ( 1

a k

k_{iz tz} (3.21) 可解得反射系數為

1 1

−

−

+

= −

Γ k k a a k k

tz iz

tz

iz (3.22) 透射系數為

1

2 + −

= k k a k

tz iz

τ iz (3.23)

3.2 無反射條件

由(3.22)可見，反射系數 Γ=0 的條件是

k_iz =k_tza⁻¹ (3.24) 將此條件代入(3.14)式，得

31

i

2 0

1 2 1

2c−a⁻k_tz −b⁻k_ix =

k (3.25) 或

0 sin

cos^{2 2 2 1 1}

2 1

2ca⁻ −k −k b⁻a⁻ =

k θ_i θ_i (3.26) 欲使上式任何θ 成立，要求

TM波

1

⎭⎬

⎫

=

= ⁻ a c

a

b (3.27)

對於TE 波，同樣(對偶性)可得 Γ=0 的條件為

(3.28) TE波

1

⎭⎬

⎫

=

= ⁻ a c

c d

合併(3.27)式和(3.28)式，我們得到無反射(Γ=0)條件

d c b

a = = 1 = 1 (3.29) 即單軸介質相對本構參數(3.25)式變為

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

=

a a a

p p

/ 1 0 0

0 0

0 0 μ

ε^{v v} (3.30)

根據入射波一側介質情況，Gedney(1996 年)给出上式中 a 的兩種選擇

1 ωε0

σ

a = + j 入射波一側為無耗介質 (3.31) 或

ωε0

κ σ

a= + j 入射波一側為無耗介質 (3.32) 顯然，(3.31)式可以看作(3.32)式的特殊情形。下面討論入射波一側為 無耗介質情況。將(3.31)代入(3.24)式，得

32

iz iz

iz iz

tz k j k

k j a k k

0 0

1 ωε

σ ωε

σ ⎟⎟= −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

= (3.33)

將(3.33)式代入(3.16)式，得

( )

[

]

z a

e_y Η − _z − _ix + _iz

=

Η^v₂ ^v τ ₀exp( )exp (3.34) 其中

iz

z k

a ωε0

= σ

(3.34)式表明若滿足匹配條件(3.30)式，且參數 a 按照(3.31)式選取，

則不僅反射系數為零，同時透射波的傳播方向和入射波方向完全一 致，且進入各向異性介質層後，透射波以指數衰減，正可說明滿足無 反射條件(3.29)式的介質又稱為完全匹配層(PML)。

為了進一步分析，將(3.25)式和(3.31)式改寫成

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

0 −1

0

0 0

0 0

z z z

z

S S S

S (3.35)

其中sz=a。以上矩陣稱為匹配矩陣。於是，完全匹配層的本構參數可 以表示為入射波一側介質的本構參數乘以匹配矩陣，即

z

z S

Sv v v

v2 ε1 μ2 μ1

ε = ， = (3.36) 以上兩式中下標z 對應於 UPML 的表面垂直於 z 軸。若 UPML 表面 垂直於x 軸，則(3.36)式與(3.35)式改寫為

x

x S

Sv v v

v

1 2 1

2 ε μ μ

ε = ， = (3.37) 及