在三進位戶星球大使的故事中，教師大多能順利地完成十進位與三進位系 統的轉換，不過，反應三進位的除法很難 (0729ATOb) 。所以，當進入到七進 位系統時，張教授直接就進入乘除運算的計算，並提示:在解決十進位除法問 題時，要先學九九乘法表，所以在解決七進位除法問題時，也必須先做出六六 乘法表，才能夠解決問題。教師做出六六乘法表後，都可以解決七進位的除 法。最後，進行三進位與七進位系統的換算，大多數教師都能以長除法來完成 轉換(側的ATOb) 。
3 經歷以概念理解為主的學習歷程
在教學實施的過程中，張教授除了提供提示來促進各組思考之外，也在
巡視時，透過對話的方式來引導並協助各組解題和理解。例如: ，-十進位轉成三進位 OK 嗎?把十進位轉成三進位的方法用來把七進位轉成三進位」
(0805ATOb) 。甚至有教師在理解並成功地將七進位轉成三進位後，興奮地大 喊「耶!耶!耶! J (側的 G
6
0b) 。集合論的單元課程，最主要的目的是讓教師去思考與討論關於無窮的概 念，並從討論中獲得理解。不過，無窮的概念比較抽象，所以教學時，先藉由
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{當代教育研究〉季刊第十八卷第四期 前TiH":1"i喃喃TlTI::r:ITr:r.m:r;向滑向志'r如;控鱗鱗小數基本概念、有限和無限小數的定義討論，以及，- 0.9 和 1 誰大」的問題做 為暖身 (0812ATOb) 。引發對無窮概念的思考與討論後，便以星際旅館的問 題，請教師比較自然數與全數兩個集合中元素的個數誰比較多?有人說「一樣
多，因為只差一個0 ，是微乎其微，可以省略掉J
(0816T40b);也有人說「把 0獨立出來， 1 個數字1 個數字對應，然後得出W比較多 J
(0816T400b)。張教授
提醒數學上的定義是:只要能找到一對一的對應關係，就是相等，但是，要思
考如何對應。星際旅館的問題與當時各組的對話如下 (0816ROb) :
有一位captain 在退休之後，建了一間旅館，他號稱這個旅館有無窮多 {廚房間。旅館蓋好之後，他請你求管理，但是有幾個要求:1.每{廚房 間只能住一個旅客。 2. 我交給你的時候，每{廚房間都住了一個旅客。
3. 有旅客來的時候，你不能拒絕他說房間已經滿了。 4. 希望每一夫，
每個房間都保持一個旅客在住。今夫我來了，你要安排一{廚房間給 我，那要怎麼安排一個房間給我?
G5 :我們假設有 n 房間， at··· 丸 'n 是無窮大，要再多一{廚房間，變 成∞+ 1 '∞ +1 還是無窮犬。
張: 為什麼∞ +1 是無窮大? (該組@答不出求)
Gl :我 m 哲學的觀點來解釋，因為1 已經內聚在無窮大之中，所以 無法把 1 句害11 出來... (全班大笑，尤其膏張教授說「我聽不 懂」時，全班笑得更大聲)
G7: 大家拿著行李往f盎格一間，那，一開就可以給新來的人佳，因 為往f盎格一號，一定有房間可以住。(畫圖輔助說明)
Gl :剛剛老師說:旅館已經住滿了，住滿了怎麼再去移動?
張:故事中益沒有說房間已經住滿了，只說每{廚房間都有一個旅客 屠住。從這個角度來看，自然數和全數哪一個多?...透過這
點鐘露頭mnb學運施益聽霍遇讀罷暑蜀:0，血型 司都 徐偉民、張國輛
?啥?三三
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個討論，讓大家體會無限的概念，一個號碼之後，一定還有一
個號碼，無窮無盡。(
940816ATOb )
如果來的旅客人數如， Z={... 去， -1 ， 0， 1 ，
2...}
，如何安排到擁有N={I
,2
,3...
}的房間中?各組雖有提出解答，但都含糊不清。最後，有人提出以下的對 應關係'才獲得大家的認同(0816ATOb):
T
34 :N={1
,3
,5...2
,4
,6...}
2n+l 2n
正數對應到 2n+l '真數對應到 2n Z={0， 1 ， 2...-1 ，-之 -3...}
此外，在自然數與整數單元中，也從大家認為理所當然的事實中來進行
概念的釐清:為什麼-(-1)= 1 ?有的人說「是相反的相反 J' 有的人從方向或數
線的角度來說明;有的人則透過之前所討論的 l-l+l=OJ 的負數定義來回答 :1 十 1)+
(-1)=0
'十 1)+(-1)+1 = 1
'因為(-1)+1=0
'所以十1)=1 J
0 負數定 義的回答獲得大家的認同 (0722ATOb) 。(二)不同數學學習經驗引發內在觀點的改變
不斷地要求思考、討論與概念釐清的教學要求，讓大多數教師感受到學 習的壓力。例如: I... 是我一生中印象非常深刻的課，因為老師的教學非常 嚴謹，一點商量都不行。我昨晚兩點鐘醒來到現在，可以用兩個字來形容，就
是焦慮(全班大笑) ...
J
(0819丸GT) 。因為要克服壓力，所以採用互助合 作的方式來進行數學學習。例如 ·1...只要有人不懂，對方都會不厭其煩地 指導」、「同學... ...彼此互相交流， ...常常利用下課的時間還在討論」( 0819T 17 T“GT) 。而且在互助的過程中，發展出革命情感並更投入數學學
習。例如: 1 普通數學將成為大家共同的回憶，一段有血有淚，共同奮鬥的血 汗史」、「同學的書包裡總少不了數學筆記和相關資料，炎炎夏日揮汗念數學，別有一番滋味在心頭」、「第一次感受到這個革命情感， ...真的感受到大家很
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<當且整晝研究〉季刊第十八卷第四期喃喃T;T:'l'l";TlTI::nIrn;'\~ r:r而
認真的學習J (0819T
7
T“T30
Qu) 。以下呈現教師因為學習經驗改變，所引發內 在觀點的改變。1 可以勇敢地面對數學學習的恐懼
有些教師為了不想再接觸數學，去念專科或選擇與數學無關的科系;有 些教師在修課的過程中，什麼課都修，就是不修普通數學;也有人到現場任教 後，與同事換課，目的就是不要碰數學(0819ATGT) 。過去不愉快的學習經 驗，使他們不願意再去接觸數學。然而，在修習普通數學後，許多教師表示，
儘管過程中有很大的壓力與焦慮，自己的頭腦在解數學時依然不靈光，但是透 過這次的學習經驗，使他願意提起勇氣來面對自己的弱點和對數學學習的恐 懼。例如: ，-我會保持算數學的習慣，我想一學期不行，N年總行吧!不能填 滿失落荒廢的那一角，最起碼不要再讓它變成『棄地Jl0 謝謝老師，讓我有勇 氣去面對這數十年的缺J憾」、「我不害怕數學了!即使我真的不會，我也不會逃
避，會去找真正的原因J