師資培育數學課程對國小教師數學教學意象影響之研究

《當代教育研究》季刊 第十八卷第四期· 2010 年 12 月，頁 41-77

師資培育數學課程對國小教師數學

教學意象影響之研究

徐偉民*

張國綱**

摘要 本研究針對的位暑期進修的國小教師，採用個案研究法，以探究師資培 育「普通數學」課程對現職教師數學教學意象的影響。研究結果發現，參與教 師在研究前，具有「引導發現理性邏輯」的數學教學意象，偏向靜態穩定的數 學知識觀，係從理論的觀點來看數學的學習，且大多有負面的數學學習經驗。 在經過師資培育的普通數學課程學習後，多數教師經歷和以往不同的數學學習 經驗和體會，而調整了原有對數學知識的觀點，且對互動理解的數學學習有具 體的理解，進而形成「探究思考走出迷宮」的教學意象。本研究發現，學習經 驗的改變可能是使教師數學教學意象移動的關鍵，這樣的發現也呼應了學習經 驗是教學意象發展基礎的主張。 關鍵詞: i固索研究、國小教師、數學教學意象 *徐偉氏，國立屏東教育大學數理教育研究所助理教授 電子郵件:

ben8535@mai

l.

npue.edu.tw

"張國綱，國立屏東教育大學應用數學在助理教授 電子郵件:

chang@mai

l.

npue.edu.tw

投稿日期: 2010年 10 月 7 日;修正日期: 2010年 11 月 15 日;接受日期: 2010年 12 月 13 日

42

{當代教育研究〉季刊第十八卷第四期 tr.r.1l

Contemporary Educational Research

Quarter!γ Decemb問 2010/

Vo

l.

18

No. 心 pp﹒ 41-77

The Influence of Mathematics Curriculum

of Teacher Education on the Mathematics

Teaching Image of Elementary School

Teachers: A Case Study

Wei-Min Hsu*

Koukung

Chang艸

Abstract

In the past

,

many studies show the complexity of fonning the teacher's

personal teaching image as well as the influence of the teaching image on the

teacher's teaching in the class. However

,

most of those studies do not scrutinize the

influence of teacher education curriculum on teacher's teaching image.

Therefo時，

this study attempts to understand how the General Mathematics Course (GM

C)

of

teacher education has influence on the mathematics teaching image (MTI) of the

elementary school teachers. In this study the researchers had a follow-up

examination of the MTI changes of teachers before and after participating in GMC.

The results of this study show the participant teachers turned their MTI from

Wei-Min Hsu

,

Assistant Professor

,

Graduate Institute of Mathematics and Science

Education

,

National Pingtung University ofEducation

E-mail: ben8535@mai

l.

npue.edu.tw

•• Koukung Chang

,

Assistant Professor

,

Department of Applied Mathematics

,

National

Pingtung University of Education

E-mail:

cha時@mai l. npue.edu.tw

;講講這事諜驢驅車接讀國市設i

徐偉民、張國輛

43

negative and passive to positive and active images when they completed the GMC.

It

also shows that the different mathematics learning experience in GMC may lead to

changes of in-service teachers' MT

I.

The findings of this study not only have

implications for the course design of the teacher education programs

,

but also

provide suggestions for in-service teacher training courses.

Keywords: case study

,

elementary school teacher

,

mathematics teaching

44

<當代教育研究〉季刊第十八卷第四期 而…Tr.TlTI :r;叫~，吋[."TiT;可叮耶恥 ad幣;臘的

壹、研究緣起與目的

臺灣近 10年來的數學課程，歷經了數次的改革，包括從學科本位、學生

本位到能力本位的發展歷程(鍾靜，

2005)

，從強調知識的獲得、知識建構轉

向強調能力培養，再到目前計算與理解並重的數學課程與教學階段。其中，數 學課程的改變，雖然直接影響學生數學學習的焦點與結果，但是，教師對於課

程的詮釋、轉換與實施，才是影響學生數學學習的關鍵(Stein，

Remillard

, &

Smith

,

2007) 。教師的數學教學表現，不僅關係著數學課程改革之成敗，也影 響未來科學人才的培育。

但是，教師的數學教學表現是一個複雜的內在思考與外在表現交互作用

的結果(Artzt

&

Armour-Thomas

,

2002) 。教師教學思考的研究指出，教師的教

學思考與決定結合了教師的經驗、教學理念、學生的表現，以及多種情境因素

相互作用的結果(

Clark

&

Peterson

,

1986)

;從教學實施的觀點來看，教師的教

學表現受到自己的知識和信念、學生的表現和反應，以及教材內容等多因素的 影響 (Henningsen

&

Stein

,

1997; Tarr et

址， 2008 )。這些都說明了教師教學表現 的複雜性。 為了要瞭解教師教學表現背後的複雜因素，

El

baz (

1983) 提出了「教學 意象 J

(teaching

image) 的概念，從教師個人對教學整體與隱喻的意象，來瞭 解其課堂上的表現與決定。在教學意象的概念提出之後，引發了一系列以現職 或職前教師為對象，採用質化研究的取向，來瞭解教師所具備的教學意象，並 探討教學意象和教師教學行為之間關聯的研究(陳國泰，

2000 ; Bullough

,

1992; Ca1derhead

&

Robson

,

1991; Clandinin

,

1986; Johnston

,

1992; Lin

, 1994) 。

結果發現，不論是職前教師或現職教師，其教室內的教學思考、決定和表現， 均為其本身具備的教學意象所影響。而個人教學意象的形成，過去的學習經驗

還鑫譚震駐軍轟謂還講~:脅種獨圓的卸 像偉民、張國研 建立

45

遠大於師資培育課程的影響，因此，相關研究都對師資培育課程的規劃和實施 提出建議，希望藉由師資培育課程的實施，來挑戰或改變學生因過去學習經驗 而形成的負面教學意象。然而，卻少有研究從具體師資培育課程的實施，來檢 視對教師教學意象發展的影響，再加上過去研究者對意象的意義描述中，並未 明確指出意象所涵蓋的向度 (Clandinin ，

1986; Elbaz

,

1983)' 使其和信念、情 感和價值等名詞相互重疊，不易區分 o 因此，本研究希望釐清教學意象的意 義，並在呼應過去相關研究的建議下，探討師資培育課程的實施對教師教學意 象可能的影響，擴展教學意象的研究面向，並瞭解師資培育課程可能扮演的角 色。 雖然數學教學在數學教育改革的過程中，一直是受到關注的焦點，不僅 有許多關於數學教學的標準與主張被提出(Kilpatrick

&

Silver

,

2000; National

Council ofTeachers ofMathematics [NCTM]

,

1991

,

2000)

，也引發了許多研究開

始檢視教師的數學教學表現(Ross，

McDougall

,

Hogaboam-Gray

, &

LeSage

,

2003; Silver

,

Mesa

,

Morris

,

Star

, &

Benken

,

2009) 。但是，過去的研究並末以數

學教學意象為主題進行探討。因此，綜合教學意象對教師教學的關鍵影響、相 關研究對師資培育課程提出的建議，以及數學教學意象主題的缺乏，本研究決 定以數學教學意象和師資培育的數學課程為主題，希望達成以下三個目的: 一、瞭解國小教師在修習師資培育數學課程前所具備的數學教學意象。 二、分析國小教師在師資培育數學課程中的表現，瞭解師資培育數學課 程對教師數學教學意象可能產生的影響 o 三、瞭解國小教師在修習師資培育數學課程後數學教學意象的轉變 o 上述的數學課程，是指國小師資培育課程中「普通數學」的課程。普通 數學是國小數學教學領域的必修科目之一(另一個必修科且是國小數學教材教 法) ，目的在於充實職前教師之數學基本能力，具備正確的數學概念，以勝任

46

{當代教育研究〉季刊第十八卷第四期 or:m.n ，t，I·nflll :r:~l r:TiT=1 I;~ 蚓琵會讓賊心

國小數學的教學。相較於數學教材教法，普通數學較著重在數學知識的基本概 念，而且學習的範疇也超過國小數學概念，包含了集合函數、邏輯、基礎數論 等單元(普通數學編輯小組， 2000) 。該課程通常是非數理科系職前教師在進 入教學現場前，最後修習數學課程和獲得不同學習經驗的機會，這也正是本研 究選擇普通數學課程的原因。

貳、文獻探討與啟發

一、數學教學意象的意義與內涵

由於過去的研究缺乏數學教學意象的探討，因此，本研究將從過去對於 教學意象的定義，以及數學教學的相關主張，提出數學教學意象的定義。在教 學意象的定義上，

Elbaz (1983:

254) 認為，意象是一種「簡短的、描述的、 甚至有時是一種譬喻式的敘述」。這個意象的敘述，是個人過去經驗動態發展 的結果，是在社會互動的過程中，逐漸修正與形成的。換言之，意象是結合個 人的情感、價值、需求與信念的整體圖像。Clandinin

(1986:

166) 定義意象是 I...個人實務知識中一個個人的、後設的、組織的概念，而實務知識則是在 個人具體的經驗中所發展而成的知識體系。在現場實務中，可以發現個人意象 的表達，而且也是個人接納外在新經d驗的基礎」。這裡所指的個人意象，是過 去經驗的組織與再組織，同時是一個連續、動態、理論與經驗辨證之後所得的 結果，包含了情感與態度的成分。Lin

( 1994:

738) 對意象的定義是， I 教師所 具備的教學信念、價值和知識，及其對於身為教師，本身對於這個角色的看 法 J 0 Weber與Mitchell (1996) 認為，意象是根據過去的經驗，經過重新詮釋 和賦予意義後，所形成的心理表徵 (mental representation) 。綜上所述，每位 學者提出的定義均不盡相同，但卻都指出個人的教學意象是以過去的經驗為基

量聽楓華通緝蘊蠶噩噩雖講師~.._--_. 徐偉民、張國輛 令，完:閑書

47

礎(學習經驗和專業經驗) ，包含了情感、價值和信念，並在動態發展的歷程 中，形成對於教學的整體圖像。 意象的定義和情感、價值與信念都有所重疊。從 Philipp (2007) 針對情 感、價值和信念的差異之說明可以瞭解，三者主要的差異在於具備認知成分的 多寡(信念的認知成分較多)、改變速度的快慢(情感的改變速度較快) ，以及 受脈絡影響的程度(價值較不受到脈絡的影響)三方面。但意象除了包含情 感、價值和信念之外，更強調經驗是意象形成與發展的基礎。再從《牛津字 典〉和《章氏大辭典》對意象的定義來看，意象是個體對於某種事物產生的心 理圖像或表徵。因此，數學教學意象可以指「教師個人對於數學教學的心理圖 像」。而此圖像在過去由於對數學知識觀點的改變 (Bishop ，

1988; Sfard

,

1998

)、學生學習歷程觀點的改變 (NCTM ，

2000; Willoughby

,

2000)

，以及教

師教學角色的改變(Anderson，

2003; Kilpatrick

&

Silver

,

2000)

，而有了很大的

不同。因此，本研究根據相關文獻和字典對意象的定義，以及意象的獨特性， 將數學教學意象定義為:I"教師個人對於數學教學的心理圖像，此圖像是結合 教師對於數學知識的觀點和數學學習的觀點所形成的整體圖像。而個人的數學 學習經驗，是形成與發展這個心理圖像的基礎」。其中，個人過去的數學學習 經驗是形成對於數學知識和數學學習觀點的基礎，而這兩方面的觀點則綜合成 教師個人對於數學教學的整體心理圖像。這個定義呼應了過去研究主張經驗是 意象形成與發展的基礎，同時也將做為瞭解國小教師數學教學意象的依據。 二、教學意象的相關研究 過去教學意象的研究，探討的是整體教學意象的來源和對教學的影響， 並未針對某一領域的意象進行探討，因此，本研究希望從過去相關的教學意象 研究中，得到以數學教學意象和師資培育課程為主題的啟發。

48

{當代教育研究〉季刊第十八卷第四期 tr.Ti't{，::tllf~f.fl.tZil :r:~~~.:用悶悶妨說蜘緊接

(一)職前教師教學意象的研究

以職前教師為對象的研究，最主要的目的在於瞭解職前教師教學意象的 內容與來源，以及師資培育課程對教學意象形成的影響程度。 Calderhead與

Robson (1991

)針對 12位職前教師，歷經一年的時間，採用訪談、觀賞教學 錄影帶，並對錄影帶內容提出評論，結果發現，每位職前教師在進入師資培育 機構前，已經當了數千個小時的「觀察學徒 J '對於教學已經持有特定的教學 意象。這些意象大多源自以往當學生的經驗，而且會強烈地影響他們對於課程 與教學實務的詮釋。在以往學校學習的經驗中，職前教師可能會發展出兩種不 同的教學意象，亦即如果教師對學生沒耐心、大聲咆 H孝，便會發展成負面的教 學意象;相反地，如果教師讓教室的學習變得很有趣、能接受學生的困難，並 且給予耐心的指導，則會發展成正面的教學意象。由於正面或負面的教學意 象，包括了教師如何看待自己在教學中扮演的角色、對學科的看法，以及對學 生學習的觀點，因此，師資培育機構應該思考如何設計課程或活動，來挑戰、 甚至改變學生已有的或負面的教學意象。

Johnston

(1992) 透過訪談和教學觀察，瞭解兩位職前教師教學意象的來 源。結果發現，即使兩位職前教師在師資訓練過程中都上相同的課程，也有類 似的背景，但卻仍然發展出各自獨特的教學意象，而這獨特的教學意象是從他 們以往的學校經驗中所演化而成，並且是決定他們教室行為的主要因素;

Lin

(1

994

)針對兩位幼教職前教師進行參與觀察和訪談，結果發現，儘管兩位職 前教師在大學期間選修相同的課程，有相似的背景與教學經驗，也面對著相同 年齡的兒童，但卻發展出不同的教學意象，而且根據兩人本身的教學意象，做 出不同的課堂決定。兩位職前教師的教學意象，來自於個人與專業經驗兩個層 面，包括大學的相關課程、實習輔導教師的影響、個人的信念、對於學科內容 教學的看法，以及其他重要他人(家人、實習指導教授)等因素的影響。

發 徐偉民、張國研 _胸悶甘心

49

ma 伐。 vh 叉 開MAe 紹信 高輸單牽連連福臨震聾露謂的 從上述研究可以瞭解，職前教師的教學意象源自於個人學習與師資專業 的經驗，其中，個人學習經驗的影響遠大於師資專業經驗，甚至是決定教學表 現的關鍵。

(二)初任教師教學意象的研究

以初任教師為對象的研究，除了要瞭解初任教師所其備的教學意象外， 更希望去探討初任教師在進入教學現場之後，原有教學意象的發展與轉變。 Bullough 與Knowles (1991) 針對一位初任教師進行一年的觀察、訪談與教學 日誌資料的蒐集，並以隱喻式的意象來探討其對於教師角色的思考與轉變。個 案教師對教學角色的譬喻是「教師即養育者 J '認為教學是父母教養孩子的延 伸，所以，教師花很多的時間在關心學生與設計課程上，並以正向和溫暖的方 式對待學生，積極地尋求學生的參與和投入。後來，受到學生的背叛(劃破她 的汽車輪胎)、家長的壓力(抱怨教師上的語言課程內容不適當) ，以及自己教 學技巧熟練等因素的影響，她逐漸改變了原先對於自我角色的認定。 Bullough (1 992) 以兩位英語初任教師為個案，透過文件的蒐集、觀察與訪談，暸解兩 位教師對於教學和教師角色的觀點。結果發現，初任教師受到現場脈絡和個人 因素的影響，而決定其教師教學意象的發展。例如:一位個案教師受到合作輔 導教師的影響，以及對教師角色的定位，逐漸確定自己的教學意象是「教師即 農夫 J '並以此意象來進行課程的安排和教學。 陳國泰 (2000 )以三位初任教師為對象，在兩年的研究歷程中，發現三 位初任教師均受到本身教學意象的指引，決定了班程已經營與教學行為。例如: 一位個案教師具有「教室如家」、「教學應該是活潑、有趣且有效的」等教學意 象，所以，在課堂上特別營造活潑、溫馨的教學氣氛。由此可見，教師的教學 意象有些是因為早年的生活經驗而形成(如「教室如家 J) ，有些是在師資培育 課程中產生(如「把所有學生帶上來 J) ，還有許多則是因現場教學經驗的影

50

<當代教育研究〉季刊第十八卷第四期 …九… &尬。 響，而改變原有的教學意象(如「以大部分學生為重 J) 。 初任教師的研究，除了說明教師教學意象的發展性和變動性外，也說明 師資培育課程和現場教學經驗對教師教學意象的影響。尤其是現場教學的經 驗，會使教師修正或改變原來在師資培育課程中所建立的教學意象雛形。

(三)有經驗教師教學意象的研究

針對有經驗教師的研究，目的是在瞭解教學意象對於教學實務影響的程 度與扮演的角色，同時探討教學意象的本質。Elbaz (1983) 以一位有 10年教 學經驗的英文教師為對象，透過深度的唔談與觀察，結果發現，個案教師的實 務知識包括內容 (content) 、導向( orientation) 和結構(

structure

)三種類 別。其中，結構是實務知識的核心'包含了實務的規則、原則以及意象三個層 面， I 規貝 UJ 是指處理教室或教學特殊情境時所採用的方法或策略，是簡短且 明確的敘述， I 原則」是指採用此種方法或策略的原因和目的，是較廣、較多 涵蓋，性且較不明確的敘述， I 意象」是最不明確且涵蓋性最廣的項目，它包含 了教師的情感、價值、需求和信念，並以一個隱喻的敘述來說明教師對於教學 的理念。而意象是瞭解教師教學行動的關鍵，它會直接影響教師處理現場教學 問題所採用的方法。

C1andinin ( 1986

)針對兩位在幼稚園及小學教學超過 10年的教師，進行 一年以上的教室觀察與訪談。結果發現，教學意象是連結教師個人生活與教育 專業經驗而成的結果。其中一位個案教師的教學意象來自於專業的經驗和訓

練，以及個人以往的學校和生活經驗等;因為她的教學意象為「教室如家

J

' 所以她的教學思考和行動都受到此意象的指引。教師的教學意象，不但指引著 教室內的思考與行動，而且是過去經驗的組織與再組織。教師的教學意象源自 於過去的經驗，表現在現在的思考與行動，引導著未來的行動與方向，是一個 連續、動態、理論與經驗辨證之後所得的結果。 Johnston (1990) 針對六位中

徐偉民、張國輛 _燃料

₅₁

-U約 是 J紛繁必 MWje x侈品 刊的quhj 〈 ia 273 4、 當 讓鑫吾吾還關螂擊著聽憑蜘 p~~J Jjiil!• • • • • • • 學教師，透過訪談和書寫的回饋，探討教學意象對於課程決定的影響。結果發 現，教師的實務知識來自於個人的生活經驗和教學專業經驗，而且個人實務知 識中涵蓋了許多的意象，包括教學的意象、學校的意象、學科的意象等。其 中，教學的意象是影響教師課程決定最關鍵的因素，而意象除了是過去經驗圖 像的描述外，更是一種思考的方式、一個創造與建構未來教學和課程的基礎。 上述研究除了指出教學意象源自於個人與專業的經驗，以及對於教學表 現的關鍵影響外，更指出教學意象的本質是以經驗為基礎，而且是一個不斷變 動與成長的有機體。 三、數學教學意象的樣貌和研究的眉立發 從本研究對數學意象的定義來看，要先瞭解教師對於數學知識的觀點、 對於數學學習的觀點，才能拼湊出教師對於數學教學整體的「心理圖像J '而 且這個圖像的形成與發展，是以經驗為基礎，也就是經驗的累積逐漸形成觀 點，觀點的結合逐漸統整成整體的心理圖像。在數學知識的觀點上，從邏輯實 證論的觀點來看，數學是絕對正確、不可以挑戰且獨立於心智的知識體系。而 邏輯實證論的觀點，是將數學知識視為是早就存在且靜態的知識體系。從建構 論的觀點出發，數學知識的形成是一社會建構的歷程，是透過臆測、駁斥與邏 輯發現的歷程，不斷發展而成的知識體系(Sfard， 1998) 。建構論把數學視為 是動態成長的知識體系，是在歷史與社會發展的脈絡中，逐漸演化與發展而成 的 (Steinbring，

1998)

0 兩種知識論對數學知識的觀點完全不同，因此，本研 究認為在數學知識的觀點上，可以分為靜態固定和動態發展兩個極端。 在數學學習的觀點上，若從行為論的主張來看，學習可以透過「傳遞 接收」的歷程來進行，因此盛行講述法，教學的焦點著重在計算技巧與例行性 問題的練習;若從建構論的觀點來看，則強調個人主動建構知識的歷程，注重

52

<當代教育研究〉季刊第十八卷第四期 -J. 1('1I1 y-r吋 '~HI. 通-lIT<‘l~r司IT司靈 .enF

基本技巧熟練以外的能力，包括思考和解決問題的能力，同時訴求以理解為目

的的數學教學(An derson，

2003; Rodriguez

,

2005) 。行為論和建構論對教與學

不同的主張，使本研究認為可以從被動吸收和主動建構兩個極端，來瞭解教師 對於數學學習的觀點。不過，教師對於數學的觀點或是對於數學學習的觀點， 通常只是程度上的差別，並非是全有或全無的狀態。因此，本研究嘗試以一條 連續的直線來說明教師可能具備的數學教學意象，而且若從這兩個面向觀點整 合而成的整體圖像來看，教師可能會發展成數種不同的數學教學意象，例如: 直線的一端可命名為「被動吸收靜態規則的意象 J '由靜態固定的知識觀、被 動吸收的學習觀所組成;直線的另一端則命名為「主動理解概念發展的意 象 J '由動態發展的知識觀、主動建構的學習觀所組成。教師可能發展數學的 教學意象如圖 l 所示。

•

被動吸收靜態、 規則的意象

•

圖 l 教師可能發展的數學教學意象圖

•

主動理解概念 發展的意象 再從教學意象相關的研究發現，教學意象是影響教師教學表現的關鍵

(Clandinin

,

1986; Elbaz

,

1983; Johnston

,

1990)

，而且個人的生活和學校經驗，

以及教學專業的訓練是主要的影響因素(Clandinin，

1986; Lin

,

1994) 。其中，

前者的影響遠比後者來得大(陳國泰，

2000 ; Calderhead & Robson

,

1991)

，而 且如果過去的學習經驗是痛苦的，便容易發展成負面的教學意象;但如果過去

的學習經驗是愉快的，則會發展成正面的教學意象(Calderhead

& Robson

,

徐偉民、張國輛

_們圳

53

暐鑫輛都路禪聽聽罷扭 I~ ~

驗是意象發展與形成的關鍵，而且教學意象是一個過去與未來經驗不斷修正與 動態發展的結果。從教學意象相關的研究結果可以瞭解，儘管師資培育課程對 教師教學意象所形成的影響有限，但卻扮演著關鍵的角色，因為過去的學校和 生活經驗無法重來，唯一可以改變的部分，便是專業的經驗層面。而教學專業 經驗包括現場實際教學的經驗，以及師資培育課程的影響。影響現場教學經驗 的因素多且複雜，是過去教學意象研究的焦點，而師資培育課程的影響，卻較 少被詳細地檢視。師資培育課程有兩個層面，一是鉅觀整體的課程規劃'二是 微觀個別課程的實施，本研究即針對微觀的層面，選擇普通數學課程來瞭解對 教師數學教學意象發展的影響，一方面擴充教學意象研究的面向，另一方面則 瞭解師資培育課程在教師教學意象發展過程中可能扮演的角色和影響。

參、研究方法

一、研究對象和方法

參與研究的教師有 45 位，大多是外文、商業與教育等非數學相關的背 景，只有一位是統計系畢業。除了一位教學年資超過 11 年的資深教師外

(T

45 ) ，其餘教學年資都是在5 年以下的初任教師 (24位，

T

1,,-,

T

24 ) ，以及 6"-' 10年的經驗教師 (20位，

T

25"-'

T

44)。他們目前大多為特教班的教師，且為獲得 一般教師資格而回到師資培育機構進修。 從文獻中瞭解到個人的學習經驗是教學意象發展的基礎，以及教學意象 是影響教師教學表現的關鍵。過去的研究大多探討教師進入教學現場後，教學 意象的發展、轉變及其影響因素，較少檢視師資培育課程對教師教學意象的影 響。但從教學意象形成的影響因素來看，師資培育課程扮演著關鍵的角色。因 此，本研究以師資培育的數學課程為焦點，採用個案研究的方法，透過參與觀

54

{當代教育研究〉季刊第十八卷第四期 柯;l問~:r;~問叭，汀H 刊付如何呀?鵬鵲起;三只 察普通數學課程的實施，來瞭解微觀的師資培育課程對教師數學教學意象的影 響。本研究之所以採用個案研究為方法，是因為個案研究關注個案的獨特性與 複雜性，強調研究的過程與重視情境脈格的瞭解(林佩璇，

2000)

，同時運用 觀察、訪談和文件分析，對特定的個人和事件進行深入和全盤的詮釋與分析 (陳李綱， 2005) 。這和教學意象的發展具有個別性、脈絡性，以及複雜性等 特質相符合，同時也適用於初步探索的議題。本研究將透過問卷、參與觀察和 深度訪談，以及相關文件蒐集，來探討個案教師修習普通數學課程的學習經 驗，以及該學習經驗對教師數學知識和數學學習觀點的轉變，進一步瞭解普通 數學課程對個案教師整體數學教學心理圖像可能產生的影響。整個研究在2005 年暑假期間進行，歷經一個兩學分完整的普通數學課程的學習。上課期間，研 究者在教室後方進行錄影和現場記錄，但不參與現場師生的互動與討論，以忠 實地呈現整個普通數學課程實施的歷程為原則。

二、教學實施方式和課程內容

(一)教學實施方式

普通數學課程授課教師為張教授。張教授擁有應用數學的博士學位，在 師資培育大學服務期間，普通數學一直是主要授課的課程之一。張教授的教學 理念強調應用和歷史兩個層面:從生活的應用中，來讓學生瞭解數學知識的實 用性;從歷史的脈絡中，讓學生暸解數學知識的發展，而不是將數學當作是一 堆無趣的公式與定理的組合。張教授認為，數學學習最重要的是概念的理解， 而非傳統教學所強調的解題技巧或知識的傳授，而且要檢驗學生是否真的理 解，就是要求學生以自己的言語將數學概念解釋清楚，並且能讓他人瞭解。因 此，強調小組討論、思考、對話來釐清數學概念，是張教授普通數學課程實施 的特色。而在本研究中，張教授仍以小組合作學習的方式來進行，將普通數學

徐偉民、張國研 _{懲制小 阱，扒}

₅₅

變鸝鸝點難護講品藍藍藍疆韓國 ill距 的課程內容分成若干相關的子題，以各子題中的重要基本概念為主，進行小組 的討論和解題。在小組討論期間，張教授將在各小組間巡迴參與小組討論，提 供適當的協助和提示，以促進各組解題的思考和討論，最後再進行各組發表和 澄清。整個數學教學的過程，提供包含具有挑戰性的問題、探究的機會、生生 與師生之間充分的互動，以及教學者講解的機會。這樣的教學，是以概念理解 與探究為主的教學取向，而非傳統上以傳遞和講述為主的教學方式。 (二)課程內容 張教授認為，課程的規劃應建立在學習者的能力基礎之上，提供具有挑 戰的內容，引發學習者對數學概念產生探索和思考的需求，同時增加學習成功 的成就感。因此，張教授決定課程主題包括邏輯概論、自然數與整數、基底變 換、有理數系與實數系，以及集合論。其中，有些主題是探討教師所熟悉之數 學概念背後的知識結構(如自然數與整數) ，有些主題則是高中課程延伸的概 念(如集合論) ，這樣的課程難度應該可以符合教師的能力基礎。而課程內容 的介紹則從情境或基本概念來引入，引發教師思考解題的興趣，進而透過討論 來釐清概念。例如:在邏輯概論主題中，會要求教師先思考什麼是邏輯?在日 常生活中，有哪些不合邏輯的話?在體會邏輯和日常生活的關係後，再引入介 紹邏輯學上的基本定義，例如:敘述、否定敘述、複合敘述、蘊涵等，再請教 師舉出日常生活中符合定義的例子來討論;在自然數與整數主題中，從原始人 的生活情境中去討論如何建立數字及計數，進而發展出全數及整數?以及從情 境和定義中去釐清基本的數學概念，例如:為什麼十 1)=1 等;在基底變換單元 中，討論十進位系統下的 1 、 2 、 3 、 4等符號所代表的意義，以及用其他符號及 進位系統來顯示 1 、 2 、 3 、 4所代表的數量，並進行運算;在集合論單元中，利 用希伯特旅館的故事來思考無窮的概念，讓教師在有趣的問題中來合作討論， 並釐清無窮抽象的概念。在課程實施前，研究者透過訪談瞭解張教授教學實施

56

(當代教育研究〉季刊第十八卷第四期 前Ti1('11If~I·ll~BII叭，附心耐!'U{'ll~都叫證鸝鵬聽話 和課程規劃的取向和目的，張教授也分享過去學生修習此課程的反應等，但研 究者並未參與課程內容與教學實施的規劃。

三、資料蒐集的工具與方法

(一)教學意象的開放性問卷

為了瞭解教師在修習課程前後所具備的數學教學意象，本研究設計教學 意象的開放性問卷，於課程實施前進行前測、課干呈結束後進行後測。根據過去 教學意象相關研究的主張，本研究將教學意象定義為教師結合個人數學知識和 數學學習的觀點，對數學教學所形成的整體圖像，而且個人的數學學習經驗是 形成與發展這個心理圖像的基礎。因此，問卷內容包含了教師對數學知識的觀 點、對數學學習的觀點，以及過去數學學習的經驗三個部分。在數學知識的觀 點上，主要是瞭解教師將數學定位成靜態固定或是動態發展的知識體系;在數 學學習的觀點上，主要是研究教師對於數學教學時師生應扮演的角色、教學和 學習的焦點，以瞭解教師的觀點是偏向被動吸收或建1蕃理解;在數學學習的經 驗上，主要是瞭解教師過去數學學習的經驗是偏向正向愉悅或是負向恐懼。每 個面向設計二至四個開放性問題，在後測的問卷中，問題會加入「上完普通數 學的課程後...J 的字句，以瞭解教師經歷普通數學課程的學習後，其教學意 象改變的情形。本問卷內容所涵蓋的三個面向，是根據過去教學意象相關研究 的定義與發現而形成之本研究對於教學意象的定義，再從定義出發形成問卷的 面向與內容。因此，本問卷具有理論的依據與效度。而為了要確認教師填答內 容的一致性，本問卷也在每個面向設計二至四個問題，從不同的問題來確認其 對數學知識或數學學習的觀點，以及減少教師答非所問的結果對後續分析的影 響。

徐偉民、張國制 _{紛:川 論認叫“紅紛}

州州

57

除黨曬讓還酪聲鐘韓屆監草色穹讀鐵l'JI扭扭扭

(二)教學錄影與觀察紀錄

為了要完整地記錄普通數學課程實施的歷程與師生的互動，所以，本研 究採用錄影與觀察記錄的方式來蒐集資料。錄影的焦點在於記錄課程實施的歷 程、互動的方式和對話的內容，同時輔以現場教學整體的觀察紀錄，以彌補攝 影機之不足。整個研究共進行了 28節課的教學錄影和觀察記錄。 (三)個別訪談和團體座談 訪談的目的是要瞭解普通數學課程的實施方式、和參與教師過去數學學 習經驗的異同，以及對其原有數學知識觀點和數學學習觀點的影響，進而探討 普通數學課程的學習經驗對其整體數學教學意象可能產生的影響。因此，在個 別訪談方面，採用半結構式的訪談，以數學教學意象的兩個向度和學習經驗三 部分做為訪談大綱。例如: r 你是第一次以小組討論的方式來上數學嗎?這種 學習方式和以往所上的數學課有何不同? J 、「你以往數學學習經驗對哪一個階 段的學習印象最深刻?當時對數學的看法如何?上了普通數學之後，對於數學 知識的看法是否有所不同? J 訪談在期中考後實施，隨機抽取 10位參與教師進 行個別訪談，每位訪說約 30分鐘;而團體座談採取主題式的座談，由參與教師 自願發表在普通數學課程的學習經驗和感受，以及對於數學學習的收穫。圖體 座談於期末舉行，時間約 l 個半小時。個別訪談和團體座談均以錄音來蒐集資 料。 四、資料的分析與編碼 本研究所蒐集的資料包含開放性問卷、教學錄影和觀察紀錄、個別訪談 以及團體座談等類別。每種類別的資料在轉錄成文字後，便進行編碼的工作， 編碼採日期(月日) -對象(研究者 :R 、參與教師 Tn 、小組 G

_n

卜事件

(觀察

:

Ob

、訪談:

In

、座談:

GT

、問卷: Qu) 的格式。本研究的資料由於

58

(當代教育研究〉季刊第十八卷第四期 柯:兩間咕"事悶們悶悶開范學閻部三聯伊丸。

屬於質性的文字資料，所以，採類屬分析的方法來分析，而非以量化計分的方

式進行，並希望從各類別的資料編碼、歸類和濃縮的過程中，發現一些共同的 現象，以及可以解釋這些現象的概念(陳向明，2004) 。例如:從開放式問卷 中分析教師修習普通數學課程前後對數學知識的觀點、對數學學習的觀點及其 過去數學學習的經驗，以對教師的數學教學意象進行歸類，以達成研究目的的 一和三。從教室觀察資料的歸類和濃縮，來瞭解教師在普通數學課程中的學習 表現，再從後測問卷、個別訪談和團體座談的資料中，透過不同資料比對和校 正的程序，來探討普通數學課程學習經驗對其教師數學教學意象可能產生的影 響，以達成研究目的二。此外，所有資料由兩位分析者共同進行分析與歸類， 歸類過程中，會針對不一致的部分進行討論與確認。最後，形成共識後的歸類 結果將做為資料呈現的依據，同時提升分析結果的可信度。

肆、研究結果

一、過去負面的學習經驗和「引導發現理性邏輯」的數學教學意象

從前測問卷上的回答來看，參與教師在修課前對於數學知識的觀點可以 分成三類:一是將數學知識視為是強調邏輯推理、客觀理性的知識體系(14 位) ;二是將數學視為是艱澀困難、抽象與生活無關的知識(17位) ;三是指出 數學知識的應用、價值、範圍或學習方法等(14位)。其中，前兩類再歸類為 偏向靜態固定的數學知識觀(31/45) ，包括強調邏輯推理和客觀理性的數學知 識: r 數學是由最初的實用性為基礎，逐漸發展為抽象邏輯推理」、「數學是一 個充滿邏輯概念的學科，它非常的講究科學根據、非常的理，性」、「數學知識是 理性的，有一定的定理，可以推演出其結果」、「科學的，講求邏輯與推理」、 「數學知識是絕對的，不會受人、時、地、物的影響」、「數學乃科學之母，注

徐偉民、張囡"

總之戰蒙矗讓禪讓靄蠶蠱過血盟

59

重理性邏輯，講究百分之百的精確 J (0708TgT科TZ1TsT33T40QU) ;或是強調數 學知識的抽象與艱澀困難: r 數學只是一群跳動的符號」、「數學是較嚴肅、枯 燥、深奧、不具實用性」、「數學知識高深難解，多數不會實際出現在生活運用 上 J (0708T

₉

T

₁₃

T

_z9

Qu) 。 對於數學學習的觀點，大多數教師偏向學生主動參與、思考探索的學習 觀 (42/45) ，因此，認為教學時學生是主角，教師應扮演引導和協助學生學習 的角色，讓學生在主動思考、探索和解題中來進行數學的學習: r 老師應扮演 引導者角色， ...學生應該要主動發現問題，願意和老師互動」、「老師是引導 者的角色，而非絕對提供解答的權威者。學生應該與老師、同儕互動交 流... J 、「老師扮演引導和協助的角色，學生扮演實際操作的角色」、「老師應 扮演鷹架之角色，讓學生能盡情發揮與探究」、「老師不要一昧地當解答者，應 把問題拋出，請孩子們用自己的方法解決」、「老師:布題，疑惑時的解答者; 學生:發現概念，統合新舊觀念 J (07個T3TIZTlgT30T3月4ZQU) 。 在過去數學學習的經驗上，大多數教師均有負面不愉快的數學學習經驗

(

33/衍，其餘是中性或愉快的學習經驗) ，包括恐懼、無趣、厭惡、缺乏信心 等感受，甚至很早就決定放棄數學: r 照本宣科，用許多公式來解題。對數學 毫無興趣，甚至害怕」、「老師講解速度很快、內容很多...派很多數學習題當 回家作業，我常不會寫或沒寫完而被處罰，那是一段慘痛的學習經驗」、「教學 以解題技巧為主，不在乎你是不是真的理解，到小六...數學成績就很差，開 始討厭、害怕數學，後來乾脆放棄了」、「照本宣科教，背公式、解題、考試、 打人、當掉，國中後便放棄數學，從此看見數學就逃避」、「著重於計算與演 練，而課程重點多強調考試命題的題型，常因為數學成績不理想，對此科目產 生畏懼與沒有信心」、「上課通常很填鴨而無趣，所以讓我對數學有恐懼及厭惡

感 J (0708TzTsT7T14TzgT44QU) 。

60

{當代教育研究〉季刊第十八卷第四期 ~{如T~I·H~H'.京1'1«，1川﹒U;f 叭吋們叫還鸝辮器 個案教師雖然擁有負面填鴨的學習經驗，但卻認為，教學時應扮演引導 和協助者的角色，讓學生在互動和操作過程中來學習數學的知識;個案教師雖 然認為數學是偏向靜態、理性邏輯的知識體系，但卻強調透過引導來協助學生 主動發現數學知識的歷程。這樣的結果似乎有些矛盾，但仔細檢視教師的填答 後發現， 31 位偏向靜態固定數學知識觀的教師，有26位表示對數學知識的觀點 是來自於過去的學習經驗，而在42位偏向主動參與思考學習觀點的教師中，有 的位是來自於理想、或是理論的觀點，而且有23位認為要在現實環境中實施會有 所困難。這樣的結果呼應了教學意象的複雜性和連續性，同時也給予將教師修 課前的教學意象命名為「哥|導發現理性邏輯」的數學教學意象充分的理由，因 為這個意象是由偏向靜態固定的知識觀與互動理解的學習觀所組成的，若從圖 1 的教學意象圖來看，研究前參與教師的數學教學意象，可能位於直線上中間 的位置。若以任教年資來看，發現偏向靜態固定知識觀的初任教師有17 位

(1

7/24

,

71%)

，經驗教師(合資深教師)有14位 (14/21 ，

67%)

;偏向互動理 解學習觀的初任教師有23位 (23/24，

96%)

，經驗教師有19位(1 9/21 ，

90%) ;

具有負面不愉快數學學習經驗的初任教師有 18位 (18/24， 75%) 、經驗教師有 15位 (15/21 ， 71%) 。由此看來，不同任教年資的教師，在參與研究前具有類 似的數學教學意象。 二、在普通數學課程中經歷不同的學習經驗和體會

(一)經歷以思考與理解為主的數學學習經驗

l 經歷主動思考與討論的學習歷程 張教授以邏輯概論做為第一個學習主題，是希望讓教師在有點熟悉叉有 點挑戰的內容下，從生活中常見的敘述來切入邏輯概念的學習。所以，課程一 開始並未進行邏輯定義的介紹和說明，而是請各組提出生活中不合邏輯的用

態徐偉民、張國" ι 於會

61

能聽聽完賞賜鞠隨軍藍繼續扭扭酷

語，並進一步討論「何謂邏輯 J

?

'何謂敘述 J ?再於討論中宣告邏輯中敘述 的定義，再以敘述的定義去檢視各組所舉的例子。整個學習歷程便在介紹意 義、各組舉例、討論與釐清的過程中，完成邏輯單元的學習。最後，以黑帽、 白帽的推理問題來引發教師的思考與討論 (0715ROb)

:

從前有一戶人家有三克車，他們是全國最聰明的人。國王把他們找 來對他們說: '我來考驗你們看看誰最聰明，我就請他當宰相。現在 我有 3 頂&J帽子和 2 頂黑帽子，把你們闖到一間很黑的房子扭，朦上 眼睛，然提每個人載一頂帽子役，再把你們帶出來，把本打開，你 們可以看到其他兩個人所載帽子的顏色，但是看不到自己所載的帽 子顏色。」帶出來打開朦布後，國王問三克車: '你們失。道自己載著 什麼顏色的帽子嗎? J '三克車都說不知道。國王再一個一個問: 「老大，你知不矢。道你自己帽子的顏色? J 老大說不知道;國王 問. r 老二，你矢。不知道你自己帽子的顏色? J 老二也說不矢。道;國 王最提問: r 老三，你失。不失。道你自己帽子的顏色? J 老三@答說: 「我矢。道。」請問老大、老二、老三載的是什麼顏色的帽子? 為了要協助教師思考，張教授提示三點:一是三兄弟是全國最聰明的 人，二是一開始， 3 個人都說不知道，三是要注意故事中的順序。各組討論得 非常熱烈，但提出的答案都有漏洞。最後各組一致同意第二組的解法: '情況 有3種，第一種黑黑白不可能，因為馬上會有人知道自己帽子的顏色;第二種 黑白白也不可能，因為當一起問而且都說不知道時，就知道不是兩黑的情況， 如果看到一頂黑色，就知道自己的帽子是白色，所以一定是白白白的情況」 (0715ATOb) 。最後，有同學欲罷不能，也上臺提出一個推理的問題，請同學 思考:

'I'

m looking at a picture. Brothers and sisters I have none. This man's father

is my father's

son. 請問:圖中的人是誰J (0715T320b) 。

62

(當代教育研究〉季刊第十八卷第四期 軍r.1 n叫叫何事Ilm lr:T'i"r.1 1 汀 Hi司的iI·jT1九三位總啦!你

2.經歷對運算結構理解的學習歷程 張教授表示，即使是單純的計算或算則，都蘊含著進位系統和運算結構 在內，但是，這個部分是教師過去數學學習經驗中所缺乏的。因此，在基底變 換的單元，希望透過不同進位系統的轉換，讓教師瞭解運算所蘊含的進位系統 的結構。首先，先透過教師熟悉的乘除法運算，讓教師比較直式算則和所謂 「建構式紀錄」的差異，瞭解到二者所經歷的運算歷程和次數都相同，但記錄 的方式卻不同，同時也瞭解到十進位系統的運算結構 (0722ATOb) 。之後，再 透過虛擬故事來引發不同進位系統的發展，以及不同進位系統間轉換的需求 o 這個虛擬的故事如下 (0729ROb)

:

主:元 5000 年，發現宇宙中有其他的高等生物。大家要到 α 星球曹大 使， α 星球人的手指頭是連在一起的，他們發展也只有 0和 l 二進位的 計數系統。 α 星球的人想要多暸解地球人，他們說，我們一個月的收 入是 101101101 元/月，這個收入在地球上是多少錢?

二進位系統是逢二進位，所以 101101101

(2)

=1 x2

8

+Ox2

7

+ 1x2

6••

.=365元/

月。那如果α星球的人問說: I 地球上一個月的薪水是多少?J 以 1 ， 863元/月

為例，如何把1863的數字轉成α星球人看得懂的數字?有些組以科學記號的方

法來完成( 1863=2

1

_°+2

9

_{+2斗 2}

6

₊₂

2

₊₂

1

_{+1 ， 11101000111 (2))' 有些組以下面}

的長除法來完成(

0729ATOb) :

G

2 :可以看十進位時的作法:

1863 -;-.10 = 186...3

,

186 -;-.10 = 18...6

,

18-;-.10=

1..

.8

'所以除以 2 時，所得到的事一個餘數是右邊草一 位，接下求的餘數是右邊草二位、事三位...

會舊觀點駐路繼髒輛輛lID.J距

徐偉民、張國個

63

除教 被除數(商) 餘數

2

1863

2

931

2

465

2

232

O

2

116

O

所以答案是:

2

58

O

111010υ00υ

111

旬弓

2

29

2

14

O

2

7

2

3

2

在三進位戶星球大使的故事中，教師大多能順利地完成十進位與三進位系 統的轉換，不過，反應三進位的除法很難 (0729ATOb) 。所以，當進入到七進 位系統時，張教授直接就進入乘除運算的計算，並提示:在解決十進位除法問 題時，要先學九九乘法表，所以在解決七進位除法問題時，也必須先做出六六 乘法表，才能夠解決問題。教師做出六六乘法表後，都可以解決七進位的除 法。最後，進行三進位與七進位系統的換算，大多數教師都能以長除法來完成 轉換(側的ATOb) 。 3 經歷以概念理解為主的學習歷程

在教學實施的過程中，張教授除了提供提示來促進各組思考之外，也在

巡視時，透過對話的方式來引導並協助各組解題和理解。例如: ，-十進位轉成

三進位 OK 嗎?把十進位轉成三進位的方法用來把七進位轉成三進位」

(0805ATOb) 。甚至有教師在理解並成功地將七進位轉成三進位後，興奮地大 喊「耶!耶!耶! J (側的 G

6

0b) 。 集合論的單元課程，最主要的目的是讓教師去思考與討論關於無窮的概 念，並從討論中獲得理解。不過，無窮的概念比較抽象，所以教學時，先藉由

64

{當代教育研究〉季刊第十八卷第四期 前TiH":1"i喃喃TlTI::r:ITr:r.m:r;向滑向志'r如;控鱗鱗 小數基本概念、有限和無限小數的定義討論，以及，- 0.9 和 1 誰大」的問題做 為暖身 (0812ATOb) 。引發對無窮概念的思考與討論後，便以星際旅館的問 題，請教師比較自然數與全數兩個集合中元素的個數誰比較多?有人說「一樣

多，因為只差一個0 ，是微乎其微，可以省略掉J

(0816T40b)

;也有人說「把

0獨立出來， 1 個數字1 個數字對應，然後得出W比較多 J

(0816T400b

)。張教授

提醒數學上的定義是:只要能找到一對一的對應關係，就是相等，但是，要思 考如何對應。星際旅館的問題與當時各組的對話如下 (0816ROb)

:

有一位captain 在退休之後，建了一間旅館，他號稱這個旅館有無窮多 {廚房間。旅館蓋好之後，他請你求管理，但是有幾個要求:1.每{廚房 間只能住一個旅客。 2. 我交給你的時候，每{廚房間都住了一個旅客。 3. 有旅客來的時候，你不能拒絕他說房間已經滿了。 4. 希望每一夫， 每個房間都保持一個旅客在住。今夫我來了，你要安排一{廚房間給 我，那要怎麼安排一個房間給我?

G5

:我們假設有 n 房間， at··· 丸 'n 是無窮大，要再多一{廚房間，變 成∞+

1

'∞ +1 還是無窮犬。 張: 為什麼∞ +1 是無窮大? (該組@答不出求)

Gl

:我 m 哲學的觀點來解釋，因為1 已經內聚在無窮大之中，所以 無法把 1 句害11 出來... (全班大笑，尤其膏張教授說「我聽不 懂」時，全班笑得更大聲) G7: 大家拿著行李往f盎格一間，那，一開就可以給新來的人佳，因 為往f盎格一號，一定有房間可以住。(畫圖輔助說明)

Gl

:剛剛老師說:旅館已經住滿了，住滿了怎麼再去移動? 張:故事中益沒有說房間已經住滿了，只說每{廚房間都有一個旅客 屠住。從這個角度來看，自然數和全數哪一個多?...透過這

點鐘露頭mnb學運施益聽霍遇讀罷暑蜀:0，血型 司都 徐偉民、張國輛 ?啥?三三

65

個討論，讓大家體會無限的概念，一個號碼之後，一定還有一 個號碼，無窮無盡。(

940816ATOb )

如果來的旅客人數如， Z={... 去， -1 ， 0， 1 ，

2...}

，如何安排到擁有N=

{I

,

2

,

3...

}的房間中?各組雖有提出解答，但都含糊不清。最後，有人提出以下的對 應關係'才獲得大家的認同(0816ATOb)

:

T

34 :

N={1

,

3

,

5...2

,

4

,

6...}

2n+l

2n

正數對應到 2n+l '真數對應到 2n Z={0， 1 ， 2...-1 ，-之 -3...

}

此外，在自然數與整數單元中，也從大家認為理所當然的事實中來進行

概念的釐清:為什麼-(-1)=

1

?有的人說「是相反的相反 J' 有的人從方向或數

線的角度來說明;有的人則透過之前所討論的 l-l+l=OJ 的負數定義來回 答 :1 十 1)+

(-1)=0

'十 1)+

(-1)+1 = 1

'因為(-1)+1

=0

'所以十1)=

1 J

0 負數定 義的回答獲得大家的認同 (0722ATOb) 。 (二)不同數學學習經驗引發內在觀點的改變 不斷地要求思考、討論與概念釐清的教學要求，讓大多數教師感受到學 習的壓力。例如: I... 是我一生中印象非常深刻的課，因為老師的教學非常 嚴謹，一點商量都不行。我昨晚兩點鐘醒來到現在，可以用兩個字來形容，就 是焦慮(全班大笑)

...

J

(0819丸GT) 。因為要克服壓力，所以採用互助合 作的方式來進行數學學習。例如 ·1...只要有人不懂，對方都會不厭其煩地 指導」、「同學... ...彼此互相交流，

...

...常常利用下課的時間還在討論」

(

0819T

17

T“GT) 。而且在互助的過程中，發展出革命情感並更投入數學學

習。例如: 1 普通數學將成為大家共同的回憶，一段有血有淚，共同奮鬥的血 汗史」、「同學的書包裡總少不了數學筆記和相關資料，炎炎夏日揮汗念數學， 別有一番滋味在心頭」、「第一次感受到這個革命情感， ...真的感受到大家很

66

<當且整晝研究〉季刊第十八卷第四期 喃喃T;T:'l'l";TlTI

::n

Irn;'\~ r:r而 認真的學習J (0819T

₇

T“T

₃₀

Qu) 。以下呈現教師因為學習經驗改變，所引發內 在觀點的改變。 1 可以勇敢地面對數學學習的恐懼 有些教師為了不想再接觸數學，去念專科或選擇與數學無關的科系;有 些教師在修課的過程中，什麼課都修，就是不修普通數學;也有人到現場任教 後，與同事換課，目的就是不要碰數學(0819ATGT) 。過去不愉快的學習經 驗，使他們不願意再去接觸數學。然而，在修習普通數學後，許多教師表示， 儘管過程中有很大的壓力與焦慮，自己的頭腦在解數學時依然不靈光，但是透 過這次的學習經驗，使他願意提起勇氣來面對自己的弱點和對數學學習的恐 懼。例如: ，-我會保持算數學的習慣，我想一學期不行，N年總行吧!不能填 滿失落荒廢的那一角，最起碼不要再讓它變成『棄地Jl0 謝謝老師，讓我有勇 氣去面對這數十年的缺J憾」、「我不害怕數學了!即使我真的不會，我也不會逃 避，會去找真正的原因J

(0819T

45

T

17QU) ;

,-

...我從以前就不敢上臺'只要 上臺我就會想下去， ...今年...我都很認真上，而且我不知道的，我都問同 學， ...我覺得我做到了，我敢面對... J 、「其實我是很焦慮，可是我一直告 訴自己，我要勇敢地面對它。而且焦慮一定是有原因，所以我要克服我的焦慮 原因，是因為我不懂，所以我就要努力去問同學 J (0819T

_I9

T

₆

GT) 。

2.反省數學教學的方式

以合作學習、討論、發表和澄清的方式來學數學，對參與教師而言，是 一個全新的學習經驗。這樣的經驗，引發了他們對於自己原有教學方法的反 省。有的教師反思如何讓學生在概念理解或情意上有所收穫:

,-

...有反省檢 視自己的機會， ...臺上的自己要如何去引導臺下的學生，讓他們喜歡數 學」、「讓我深深體驗到經由討論的過程，不但可以建構一些比較紮實的概念， 還可以透過合作學習補足自己較缺乏的部分」、「給我對數學知識、教學方法新

67

?鵬總建立鸝蠢蠢驢權轉 ~J~I·

•••••••

罕默

徐偉民、張國研 的概念，也可以省思以往自己的教學方式，是不是學生所要的，或是所能接受 的 J

(0819T

2s

T

39

T

3Qu)

;有的教師則瞭解到學生學習的困難與未來教學的方 向: 1 老師的教學方法給我有很大的省思空間，...這樣的學習歷程，讓我更 瞭解孩子學習的辛苦」、「往後在數學教學上，我也會把教授帶給我們的求學間 的精神運用在課堂上，相信學生會獲得不一樣的啟發...J (0819T

8

T

31

GT) 。 3 體會合作學習的優點 撇開學習的壓力不談，許多教師都表示喜歡這樣的學習方式，這一方面 是因為在上課過程中提供了許多思考的機會，讓他們「生鏽多年的腦袋轉一 轉，看看腦袋能否變得比較靈活 J

(0819T

13Qu)

;另一方面，則是因為可以在 過程中，瞭解其他人的想法，並找出解決問題的方法。親身的經歷讓他們體會 到合作學習的優點: 1... 小組的方式真的是可以討論到東西...我覺得每一 個人的想法都不一樣，除了我的想法之外，我可以聽到別人的看法」

(0808T

₃₄

In) ;

1... 同組的同學可以互動，你也可以藉著互動的過程中瞭解 同學的想法 J

(08

1O

T

4

_{In ) ;}

1 至少有一段時間讓我去思考， ...在討論當中， 慢慢地好像就會有一些答案 J

(081

lT

₇

In);

1 合作學習的方式讓我覺得可以去 多聽別人的看法」、1...同組成員中的同學會點醒我，讓我能進入問題的核 心，而且在課堂上可以分享到不同人的思考模式J (0819T

_3s

T

_s

GT) 。

三、緊張刺激的學習經驗和「探究思考走出迷宮」的數學教學意象

數學知識的抽象與艱澀，使得修課前有教師表示，需要有一顆「愛因斯 坦的腦袋」才能學好數學(0819T

₂

Qu) ;過去不愉快的學習經驗，也使大多數 教師認為，數學是由一堆沒有意義的規則和公式所組成。可是，在課程結束 後，大多數教師在問卷中均表示，真正體會到數學中的概念理解、思考和邏輯 推理的部分。而且透過討論、思考與釐清，可以使過去覺得枯燥無味的數學，

68

(當代教育研究〉季刊第十八卷第四期 研~叫叫1'1(，1心﹒吼叫川達到忘了;吋欒撇三ζ 轉變成有趣的學習科目，同時釐清過去模糊或基本的概念。也就是說，修習普 通數學課程後，教師瞭解到數學抽象符號規則背後的意義:，-數學不再只是應 付聯考而學的一些公式，數學知識是經由一連串邏輯、思考、驗證而得的」、 「以往學習數學是用背的，但上了普通數學課程，會用理解的方式思考問題」

(0819T

3

T

9

Qu)

;或改變他們先前對於數學知識的觀點:，-數學不只是計算， 重點是概念的釐清與邏輯能力的培養」、「上完普數之後，才發現原來數學可以 很有趣，不是很無聊的東西j (0819T

₂₄

T

₃₇

Qu) 。整體來看，改變最多的是認為 數學不再那麼抽象難懂，是可以理解其背後的原理與意義;數學不再是那麼枯 燥乏味，可以是有趣的，並可以釐清過去的疑惑。但仍有6位教師對數學知識 的觀點沒有改變，其中3 位認為數學對他們而言依然高深且艱澀難懂

(T1

4T

19

T

33 ) ，非他們能力所能理解; T

ll

認為數學知識還是強調邏輯與推理， 不過，對邏輯部分有更清楚的概念 ;T鈞、 T

₃₆

則是過去對數學學習有興趣，認 為數學知識是透過推理、驗證而得，具有挑戰性與可理解性，在上完課程之 後，更確認自己原有的觀點是正確的。 在數學學習的觀點上，大多數教師在研究前從理論的觀點來看數學的學 習與教學，強調學生學習過程中的主動參與和探索，教師再從旁引導與協助， 來解題與應用。在經歷普通數學的學習後，教師不但更確定自己過去的觀點是 正確的，同時也表示對於互動引導和概念理解的教學實施和學習體驗，有更深 的體會與反省 : ，-老師應扮演引導者的角色，學生要主動思考，之前就有這種 想法，上完普數後，這種想法更強」、，- ...由學生充當老師講解，老師充當學 生適時提問題，如此，兩方皆能有所收穫。以前也覺得應該如此，卻不知如何 著手，現在老師的上課模式提供了我一個很好的samplej 、「我一直認為上數學 課就要用這種方式，快樂又有趣，可以深入問題的核心 j

(0819TgT24T4oQu) ;

或是體會到數學學習的焦點應在於理解: ，-瞭解學生運算過程的『思考歷程dI

'

三餐藥建薩揖鼠籲蠢蠢聶哥罷竭妞懿屆. 時9 徐偉民、張國制

空

69

才能協助有數學困難的同學解決難題， ...不再只注重「答案」對與否，應注 意學生是否『真的懂JlJ 、「把焦點擺在基本概念的釐清，而非只是單純的解題 與計算而已 J

(0819T

24

T

27

Qu)

;也瞭解分組合作學習的優點，-學會自己能清 楚地告訴自己和別人， ...為什麼要用這樣的方法解答，在別人能夠聽清楚之 下，表示自己也真的瞭解」、「可以讓學生在想法的交流中成長，驗證自己的想 法，也吸收別人的長處，學生學到的是一種思考，還有表達的能力」

(

0819民T

_4I

Qu) 。整體來看，有28位教師對於數學學習的觀點沒有改變，但是 表示對互動理解的學習有更具體、深入的瞭解; 17位教師略有改變，包括更強 調學生發表的重要(如T

₁₆

) 、更強調教師要懂得如何拋問題(如T

₁₅

) ，以及基 本概念釐清的重要(如T“)等。而原來偏向傳統學習吸收觀點的3位教師，也 都調整成強調學生要主動參與思考與探究的學習觀。 而在數學學習的經驗上，過去不愉快的經驗使許多教師很早就放棄數學 的學習。有教師表示: ，-藉由不斷大小考的過程，讓學生及自己知道自己得幾 分，達不到老師的標準就被打，那一種恐怖的經驗，好像自己是數學白痴一 般 J (0819T

_I9

Qu) 。不過，在上完普通數學後，許多教師表示，雖然還是會緊 張與焦慮，但是和過去學習數學最大的不同是，不再認為自己很笨，會在學習 過程中感受愉快與刺激，有充分表達自己想法的機會，有受到重視的感覺。更 重要的是，體會到「真正理解數學的樂趣」。例如: ，-過去看見老師進教室就開 始緊張、擔心，不曉得要被揍幾下。上課『兩眼無助+茫然看著口沫橫飛的老 師在臺上解題Jl '聽見鐘聲就在心裡喊萬歲;現在看見老師還是會很緊張，但 上課過程很『愉快+刺激 r 覺得自己在討論過程中有被『重視』的感 覺， ...好像自己不是那麼笨，是可以學數學的」、「其實『終於瞭解』的感覺 真是很好，像走出迷宮，豁然開朗」、「唉!數學真是一個nightmare

'

...不 過我相信我這次的學習是比較快樂的， ...能夠搞懂數學某部分的真理，亦是

70

(當代教育研究〉季刊第十八卷第四期 Or.Ti1r:r.川 人生一大樂事」、「以前背了很多公式，但不太清楚公式如何來的...。上完普 數後，對基本的概念有所探究，瞭解以前模糊的部分是件快樂的事情」

(0819T

2

T

13T

29

T

37

QU) 。整體來看， 41 位教師表示歷經了完全不同的數學學習 經驗， 4位認為改變較少的教師，其中有 2位表示雖然上課方式不同，但自己的 理解依然有限，感嘆自己和數學是兩條平行線 (T

_I9

、 T

₃₃

) ;另2位教師則是有 過愉快的數學學習經驗，但對於如何確認學生概念的理解，有更深入的體會 (T

_I2

、 T

₂₅

)。 總結以上，在普通數學課程中，大多數教師均表示經歷了和過去完全不 同的數學學習經驗和感受，可以從正面和肯定的方式來面對自己過去所恐懼的 數學學習;大多數教師改變了原有對於數學知識的觀點，不再將數學知識視為 是一堆無意義的規則或公式，而是可以理解的;所有教師均認為，數學學習 時，學生應主動思考與探索，教師應提供適當的協助與提問來促進對概念的理 解，同時對互動理解的數學教學實施有更具體的瞭解。亦即，在經歷普通數學 「緊張刺激」的學習經驗後，參與教師從原先居中的「引導發現理性邏輯」的 教學意象，往右端移動，將原有的教學意象修改為「探究思考走出迷宮」。研 究前後教師數學教學意象移動的情形如圖 2所示。若再看不同年資之教師在數 學知識觀和數學學習經驗改變的情形(數學學習觀變動不大) ，則發現初任教

師知識觀改變的有 13 位(比例 13/1 6， 81%) ，經驗教師改變的有 12位(比例

12

/1

5

,

80%)

;在負面不愉快學習經驗上，初任教師改變的有17位(

17

/1

8

,

94%)

，有經驗教師改變的有 14位(1 4/1 5 ， 93%) 。由此看來，不同任教年資的 教師在參與研究後，數學教學意象改變的情況很類似。

徐偉民、張國訓 ψ濟 學。在;三e

71

靈驗;如鑫巖騙議聯揖潛 i酷

•

被動消極 吸收規則 引導發現 理性邏輯

•

探究思考 走出迷宮

•

•

主動積極

•

建構理解 圖 2 研究前後教師的數學教學意象移動圖 伍、結論與討論 教學意象是一個不斷變動與成長的有機體 (C1andinin，

1986; Johnston

,

1990)

，而且形成的主要因素有二:一是個人的學習經驗，二是專業經驗的影 響(陳國泰，

2000 ; Lin

,

1994) 。雖然過去的學習經驗對個人教學意象形成的

影響很大(

Ca1derhead & Robson

,

1991 )

，但師資培育課程提供的專業經驗卻是 師資培育工作者唯一能著力的地方。過去相關研究得出類似的建議，但卻缺乏 進一步檢視師資培育課程對教學意象的影響，因此，本研究便在這樣的思考下 進行。從觀察、訪談和文件分析的結果發現，普通數學課程的教學，提供教師 非常不同的數學學習經驗，讓參與教師在充滿思考和互動討論的環境下進行學 習。過程中，雖然充滿了緊張和壓力，但卻經歷了正面和愉快的學習經驗，引 發教師內在對於數學教學和學習觀點的改變。從問卷前後測的分析結果來看， 教師的教學意象在普通數學課程學習後，其數學教學意象會往「主動積極建構 理解」的一端移動。而這樣的結果，除了呼應學者所強調「個人學習經驗是教 學意象發展基礎」的主張外，似乎也「看到」師資培育課程對於教師教學意象 發展可能的影響。雖然這樣的關係因個案研究的緣故，需要進一步的檢視和確 認，在推論時也應有所保留和謹慎，但也讓我們瞭解到師資培育課程可以扮演 的功能與影響。或許未來在師資培育或教師在職進修課程中，除了將目前數學

72

{當代教育研究〉季刊第十八卷第四期 教學或學習的理念融入課程設計外，還可以提供職前或在職教師「動手做數 學」的經驗，讓教師親自經歷解題、思考、討論和推理的數學學習歷程，不僅 得以釐清數學的基本概念，也可體驗數學知識的本質與學生學習的歷程。亦 即，透過經歷不同的學習經驗，來調整原有對數學知識的觀點，並對理論上數 學學習的歷程有更具體的理解，進而改變原有的數學教學意象。期許藉由教師 數學教學意象的改變，使數學教育的改革能夠落實，也使學生能接受更高品質 的數學學習。 意象和信念類似，都受到過去經驗的影響，不僅很早就建立與發展，對 教學的影響很大，而且也不容易被改變 (Rodriguez， 2005) 。過去，許多研究 都嘗試透過不同的方法來改變職前教師的信念，但成效並不理想

(Grootenboer

,

2008; Stuart & Thrulow

,

2000) 。然而，意象強調了「經d驗」是

意象發展的基礎，從學習經驗改變的觀點來看，或許可以瞭解參與教師為何在 修習普通數學課程後，意象會有所移動。而學習經驗的改變，一方面可能是因 為張教授課程內容的規劃符合教師的能力基礎，在「有點難叉不太難」的情況 下，引發教師探究和討論概念的意願;另一方面則可能是小組討論實施的方 式，讓教師在相互支持的環境下，減輕過去對於數學學習產生的焦慮。再加上 適度的學習壓力(要通過才能畢業，拿到普通教師的證書) ，使教師保持學習 的動力，發展學習的情感，並形成課後相互支持與協助的數學學習社群。適當 的挑戰、相互支持的學習環境，以及以概念理解為主的教學，使得普通數學的 課程形塑出充滿對話、思考、溝通與推理的學習環境，並在思考與對話的歷程 中進行數學概念的釐清。這樣的學習環境和經驗，是大多數教師從未親自體 驗，只是從理論上獲得的，也因為如此，才讓教師在經歷不同的學習經驗中，

引發內在的反省和改變 (Lavy

&

Shriki

,

2008)

，進而改變原有的數學教學意

73

J室主鱗鱗翅鱷攏輯摺鵬

這 徐偉民、張國個

時間、班級經營以及家長接受度等限制因素的影響(

Agudelo-Valderrama

,

2008; Gainsburg

,

2008; Stein et a

I.,

2007)

0 教師的教學意象改變後，回到現場是

否如問卷後測中所說，願意實施以理解為目的的數學教學?抑或是叉起了什麼 樣的變化或發展?這部分是本研究較為不足之處，可以做為末來研究探討的主 題和方向。

74

<當代教育研究〉季刊第十八卷第四期

or:Ti'1.(1,

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