隨著全球經濟環境的變遷，單一的資產配置策略並無法適用於所有經濟情況，
因此，如何判斷經濟環境狀態的改變，成了資產配置不可或缺的一環。本研究利 用 Hamilton (1989)所提出的馬可夫狀態轉換模型(Markov regime-switching model) 來判斷市場狀態的轉換，並以 Kritzman et al. (2010)所提出的馬氏距離作為馬可 夫模型的變數，校正參數。本節共分兩個部分，首先介紹馬氏距離的定義與意涵，
接著介紹馬可夫狀態轉換模型的架構。
(一)馬氏距離(Mahalanobis distance)
Kritzman et al. (2010)提出以馬氏距離來衡量財務市場動盪，而馬氏距離與我 們熟悉的歐式距離的差異性在於，馬氏距離為考量了資產間相關性後的標準化距 離，因此較能準確地捕捉標的指數下跌的情況。此外，Kritzman et al. (2010)也證 明了馬氏距離與許多歷史上的財務危機事件相吻合，例如 2000 年的科技泡沫以 及 2008 年的金融危機等，馬氏距離都會大幅上升，代表資產價格出現極端的走 勢、資產間報酬率相關性大幅上升(由不相關變正相關)以及報酬率的波動度變大 等現象，因此，本文將沿用 Kritzman et al. (2012)，以 S&P500 指數漲跌作為市場 狀態的轉換依據，並利用 S&P500 指數的十個類別指數，在相等權重之下計算馬 氏距離，依此作為判斷 S&P500 指數下跌的指標，並將馬氏距離作為馬可夫狀態 轉換模型的變數，校正馬可夫模型參數，判斷市場狀態。其數學式表示如下：
𝑑𝑡 = (𝑦𝑡− 𝜇)𝛺−1(𝑦𝑡− 𝜇)′ (33)
其中，𝑑𝑡為 t 時間點所有標的資產的馬氏距離總和；𝑦𝑡為 t 時間點各標的資產的 報酬率，為一向量；𝜇為 t 期間內投資組合的簡單歷史平均；Ω為 t 時間點內資 產間共變異數矩陣。上述第(33)式可解讀為投資組合內所有標的資產在考量了資 產間相關性後，與投資組合平均報酬的馬氏距離總和，而在 Kritzman et al. (2010) 的實證也發現，馬氏距離越大，代表該標的指數處於下跌期間，但在指數上升期
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間，馬氏距離並不會上升，而是維持穩定的走勢。
(二)馬可夫狀態轉換模型參數校正
馬可夫狀態轉換模型透過馬可夫鏈(Markov Chain)的轉換機制，利用狀態變 數𝑆𝑡反映結構性的改變，控制模型的參數在不同的狀態空間轉換。首先我們假設 變數𝑥𝑡服從常態分配如下所示：
𝑥𝑡~𝑁(𝜇𝑗 , 𝜎𝑗2)，j = 1,2 (34)
第(34)式可解釋為，若第 t 期為狀態一，則變數𝑥𝑡屬於標準常態分配 N(𝜇1, 𝜎12)；
若第 t 期為狀態二，則變數𝑥𝑡屬於標準常態分配 N(𝜇2, 𝜎22)。
此外，根據馬可夫轉換鏈，若當期為狀態一，則下一期會有𝑃11的機率停留 在狀態一，有 1−𝑃11= 𝑃12的機率會轉換至狀態二；同理，若當期為狀態二，則 下一期會有𝑃22的機率停留在狀態二，則有1 − 𝑃22 = 𝑃21的機率會轉換至狀態一，
可以數學式表示如下：
𝑃𝑟(𝑆𝑡= 1|𝑆𝑡−1= 1) = 𝑃11 (35) 𝑃𝑟(𝑆𝑡= 2|𝑆𝑡−1= 1) = 1 − 𝑃11= 𝑃12 (36) 𝑃𝑟(𝑆𝑡 = 1|𝑆𝑡−1= 2) = 1 − 𝑃22= 𝑃21 (37) 𝑃𝑟(𝑆𝑡 = 2|𝑆𝑡−1= 2) = 𝑃22 (38)
因此，由上第(35)式到第(38)式可將馬可夫轉換機率矩陣(transition probability matrix)定義為：
M = �𝑃11 𝑃21
𝑃12 𝑃22� (39)
此外，我們定義狀態一與狀態二的恆定機率(invariant probability)為𝜃1與𝜃2，由於 需滿足 �𝑃11 𝑃21
𝑃12 𝑃22� �𝜃𝜃12� = �𝜃𝜃12� ，因此可以推得數學式如下：
21 則對數概似函數(log likelihood function)為：
L(π) = � 𝑙𝑜𝑔
𝑇 𝑡=1
f(𝑥𝑡; π) (43)
有了上述第(42)及第(43)式後，即可利用 Hamilton (1994)最大概似法則(maximum likelihood estimation，簡稱 MLE)，求出母體參數的非線性等式，如下所示：
𝜇� =𝚥 ∑𝑇𝑡=1𝑥𝑡× 𝑃(𝑆𝑡 = 𝑗|𝑥1, … , 𝑥𝑇; 𝜋�)
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