一整群股票的價格變動分析時間的不均 勻與空間的不均質
4.1 上升趨勢事件的持續性時間
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Chapter 4
一整群股票的價格變動分析時間的不均 勻與空間的不均質
4.1 上升趨勢事件的持續性時間
「極端事件」，往往是人們感興趣但尚未深入了解的領域，我們在上一章掌握
了台灣數據中 rτ(t) 的機率 PDF 分佈，並對其有充分的了解後，也開始試著掌
握「當股票市場發生極值時，對股票市場本身的影響」。根據 Yi-Fu Shih [24] 討
論：「對時間間隔為 τ 的對數報酬 rτ(t) 發生極值並持續的時間（在該文中定義為
「持續性時間 Persistent time」）機率。」的結果有兩個。
1. 在對數報酬 rτ(t) 發生極值的持續時間恰好為 τ 處有較大的機率。
2. 在對數報酬 rτ(t) 發生極值的持續時間恰好為 τ 處之後成冪次分佈。
這是一個很有趣的現象，但是文章 [24] 中並沒有對這兩個結果作出解釋。我
們很好奇其中當股價持續上升（下跌）的現象，我們想要了解這中間的統計性質，
而這一章則根據 Yi-Fu Shih [24] 的討論，對台灣市場 TWII 以及美國市場 SP500 的
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之為上升趨勢事件（effective up-trend event），而有上升趨勢事件也就有「下跌趨
勢事件」（effective down-trend event），而在接連發生兩個上升（下跌）趨勢事件
之中所維持的時間稱之為 hitting time，而本次工作為計算上升趨勢事件 Persistent
time，並且詳細說明計算過程。
Figure 4.1: Red line is Persistent time. Blue line is hitting time.
1. 我們從 TWII 中 N=386 家中，取得平均對數報酬 ¯r(t)。
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2. 當 (¯r(t) > 0) 時為正向事件，並取得正向事件的一倍標準差 σ。
σ =
vu ut1
T
∑T t=1
(¯r(t)− rave)2 (4.1)
3. 統計所有上升趨勢事件（超過一倍標準差）持續時間（Persistent time）的機率，
如 Shih 論文 [24] 4.1.1-4.1.4 節中所分析一日交易開收盤間的時間不均勻性。
Figure 4.2: Comparison two market TWII , SP500 with PDF vs Persistent time and log-PDF vs log-Persistent time.
我們分析當 τ = 3600s 時，對數報酬 r(t) 序列中，超過 1 個標準差的上升趨勢
事件的持續性時間，並畫出 Persistent time 的 PDF 圖，以及改變不同 τ ，畫出其
log− P ersistent time 對 log − P DF 圖，得到圖 (4.2)。
從圖 (4.2) 中，我們得到不管 τ 怎麼改變，P ersistent time PDF 的雙對數圖皆呈
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Figure 4.3: Log return rCD of crossing day schematic.
圖4.3 解釋了當跨天發生時產生的價差 rCD，很容易出現使對數報酬 r(t) 持續
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Figure 4.4: PDF of Persistent time with data of real stocks and of fitted after-hours trading model in linear plots (upper panel) and log-log plots (lower panel) for TW market (left panel) and US market(right panel).
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Figure 4.5: PDF vs effective time in after-hours trading model.
Market Year τ 處 PDF 值 等效盤後交易時間 taf ter (taf ter+ ttra)/24 hr TW 2004y 0.0311 taf ter ≈ 490 (×36s) 0.392
TW 2005y 0.0455 taf ter ≈ 695 (×36s) 0.477 TW 2006y 0.0374 taf ter ≈ 580 (×36s) 0.429 TW 2007y 0.0594 taf ter ≈ 870 (×36s) 0.55 TW 2008y 0.0762 taf ter ≈ 1050 (×36s) 0.625 TW 2009y 0.0328 taf ter ≈ 520 (×36s) 0.404 SP500 1996y 0.0206 taf ter ≈ 340 (×36s) 0.4125 SP500 1997y 0.0206 taf ter ≈ 340 (×36s) 0.4125 SP500 1998y 0.0359 taf ter ≈ 565 (×36s) 0.506 SP500 1999y 0.0125 taf ter ≈ 235 (×36s) 0.369
Table 4.1: Comparison of after trading effective time taf ter for TWII,SP500 for different time, data.
圖 (4.4) 顯示我們在 τ 處看到 PDF 有突起，並且持續性時間與其機率呈現冪次
分佈，轉折點在 τ 處，與實際數據的狀況一致，而隨著改變每日盤後交易時間
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長度 taf ter，發現在 τ 處的突起高度與 taf ter 成遞增關係（見圖4.5）。透過盤後交
易模型，我們把 TWII 和 SP500 每年的等效盤後交易時間 Effective time taf ter 列成
表4.1進行比較，我們可以發現在 TWII 2008y 和 SP500 1996y 處於金融風暴時期的
盤後交易時間較為高，這可能與金融風暴有較大的波動，所以盤後交易的效應被
放大了。從盤後交易模型中我們透過持續性時間來計算 taf ter，而 taf ter 長短是否
與盤後交易的強弱有關係，我們值得再做探討。