一整群股票的報酬之時間尺度性質
3.2 報酬的機率密度函數的尺度不變性
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我們比較了 TWII（2004y - 2009y）個股數據，與先前數據的 θ、D、µ 的數值，
發現不同市場在不同時間、地點中，µ 值的數量級在 2× 104左右，這似乎在暗示
金融市場在不同時間、地點都擁有某些共同的特性。
3.2 報酬的機率密度函數的尺度不變性
在上一章我們可以知道，金融市場的動力學參數 µ = Dθ，不會因為時間地點
而有所改變，那我們也十分好奇台灣市場（TWII）對數報酬 r(t) 的機率密度函數
（PDF）分佈，與歷年來美國（SP500）對數報酬 r(t) 的 PDF 分佈是否不同？如果
不同，透過掌握對數報酬 r(t) 的 PDF 分佈，可以直觀的了解台灣市場與美國市場
的差異。
為了了解其差異，我們在不同的時間尺度 τ 下，計算台灣金融市場（TWII）的對
數報酬的 PDF 分佈 f(r) 會不會有所改變。
在 (3.1 ) 式，不同時間尺度 τ 的對數報酬我們記為
rτ,i(t) = logPi(t + τ )− logPi(t)
為了比較不同時間尺度 τ 下的 PDF fτ(r) ，我們從 (2.12) 式中知道，透過 fτ(0) 對
τ 的斜率 m （見圖 (A.1 - A.15)），可計算 Lévy 分佈的 α = m1。從圖 (A.1 - A.15) 中
我們得到當 τ > 1152s 時，fτ(0) 對 τ 的雙對數圖呈現冪次分佈，斜率 m 可用於計
算 α。
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經由 (3.4) 式做尺度變換後，我們得到台灣市場 TWII（2004y-2009y）的分佈
（圖 (3.4)-(3.9)）與美國市場 SP500（1996y-1999y）的分佈（圖 (3.10)-(3.12)），從圖
中得到尺度變換後的分佈在 t=0 時，不同 τ 的 fτ′(r′) 對 r′ 曲線都分別重疊在一起。
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Figure 3.4: Scaled Raw data PDF f′(r′) and scaled log-return r′ in TWII between 2004y-2007y.
進行比較。
我們得到跨天 fτ(r) 對 r 分佈的 α 值皆比原始數據與非跨天的 α 值還要來的
大（TWII α > 6，SP500 α > 4），並且在圖 (3.6,3.7,3.11) 中的分佈呈現不對稱的情
況，而非跨天 fτ(r) 對 r 分佈的 α 值在 3-4 之間，且圖 (3.12,3.8,3.9) 中的分佈呈現
對稱的情況。
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Figure 3.5: Scaled Raw data PDF f′(r′) and scaled log-return r′ in TWII between 2008y-2009y.
Figure 3.6: Scaled CD PDF f′(r′) and scaled log-return r′in TWII between 2004y-2007y.
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Figure 3.7: Scaled CD PDF f′(r′) and scaled log-return r′in TWII between 2008y-2009y.
Figure 3.8: Scaled NOCD PDF f′(r′) and scaled log-return r′ in TWII between 2004y-2007y.
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Figure 3.9: Scaled NOCD PDF f′(r′) and scaled log-return r′ in TWII between 2008y-2009y.
Figure 3.10: Scaled raw data PDF f′(r′) and scaled log-return r′in SP500 between 1996y-1999y.
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Figure 3.11: Scaled CD PDF f′(r′) and scaled log-return r′ in SP500 between 1996y-1999y.
Figure 3.12: Scaled NOCD PDF f′(r′) and scaled log-return r′ in SP500 between 1996y-1999y.
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Market Year Raw Data CD NOCD TW 2004y 3.008 10.423 3.943 TW 2005y 2.784 9.078 3.266 TW 2006y 2.682 7.669 3.192 TW 2007y 2.598 10.855 3.122 TW 2008y 2.422 6.728 3.027 TW 2009y 2.514 10.348 3.029
範圍 2.422 - 3.008 6.728 - 10.855 3.027 - 3.943 SP500 1996y 3.138 5.766 3.494 SP500 1997y 2.937 5.052 3.283 SP500 1998y 2.840 4.791 3.170 SP500 1999y 2.984 4.898 3.363
範圍 2.840 - 3.138 4.791 - 5.766 3.170 - 3.494
Table 3.2: Comparison of parameters α for TWII,SP500 for different time,data.
我 們 從 表3.2 以 及 以 上 圖 形 得 到 TWII 2004y-2009y 以 及 SP500 1996y-1999y
fτ′(r′) 對 r′ 的分佈曲線皆重疊在一起，在這裡彙整前人的論文數據成表 (3.3) 並進
行比較。
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(α of cumulative distribution)SP500(1996y-1999y) [23] α = 3.8 整體股價計算法 (NOMA)（僅計算 1996.2）
α = 1.02 整體股價計算法 (1hrMA)（僅計算 1996.2） Table 3.3: Comparison of parameters α for TWII,SP500 for different time, data.
從表 (3.3) 中我們得到美國市場 SP500 的 α ≈ 3 ，並且本次工作中美國市場的
數據範圍（1996y-1999y），與前人論文 [23] 在同樣的數據範圍內，發現其計算結
果與本次有所差異。
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樣本分別為 SP500 1984y-1989y [16] 以及 SP500 1926y-1996y [11]。論文 [16] 透過
計算 r = 0 處的斜率 m 變化來計算 α ，其數值 α = 1.40± 0.025；而論文 [11] 是
透過累計 fτ′(r′) 的方法來得到 fτ′(r′) 對 r′ 的 α 數值，其數值 α = 2.5− 4.3。從論
文 [23] [11] 中知道市場指數 r = 0 處 α≈ 1.5 （TWII 以及 SP500），其原因是因為
市場指數相似於論文 [23] 中的「平均股價計算法」。
本次工作除了確認 2004y-2009y 台灣股票數據，對數報酬具有時間尺度的不變性
之外，進一步用不同時間尺度 τ 及數據採樣（跨天與非跨天）的方式探討跨天所
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並且發現 CD 的 fτ′(r′) 對 r′ 的分佈的 α，其數值大於 Raw data 與 NOCD 的 α 數
值，並且在遠離 r = 0 的地方，CD 的 fτ′(r′) 分佈呈現不對稱的情況，而 NOCD 的
fτ′(r′) 分佈基本上呈現對稱的情況。