第四章 研究結果與討論
第一節 不同能力值 ISM 圖之比較
不同於傳統計分，試題反應理論以能力值來表示受試者能正確反應的 潛在特質。本研究為了解不同能力值受試者在數與量分年細目概念中的認 知結構有何異同，以全體受試者能力值平均數上下一個標準差為臨界點，
區分出高、中、低三組不同能力值受試者之組別，各組別之差異情形如下 表 4-1 所示，再從此三組中各選取一位受試者，分別為 A、B、C 三位受試 者，做為此類 ISM 圖比較之舉例，而 A、B、C 三位受試者的答題情形，
則如表 4-2 所示。
依據 SAS/IML 的演算結果得到三位受試者之模糊關係矩陣，如附錄二 所示，將 A、B、C 三位受試者的模糊關係矩陣以
＝.57 進行截矩陣，得 到三位受試者數與量概念的相鄰矩陣 A，如表 4-3 所示。表 4-1 不同能力值組之差異情形
組別 人數 能力值範圍 答對題數範圍
高能力值 84 1.004 ~ 3.516 10 ~ 18 中能力值 371 -0.990 ~ 0.995 4 ~ 11 低能力值 80 -2.400 ~ -1.012 0 ~ 4
表 4-2 三位不同能力值受試者之答題情形
受試者代號 所屬組別 能力值 答對題數
A 高能力值 1.0066 10
B 中能力值 -0.7875 5
C 低能力值 -0.5464 3
表 4-3 三位不同能力值受試者之概念的相鄰矩陣 A (
＝.57) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 5 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 10 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 11 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 12 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 13 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 14 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 15 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 16 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 A受 試 者
∣ 高 能 力 組
19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
表 4-3 三位不同能力值受試者之概念的相鄰矩陣 A (
＝.57) (續)根據第三章資料處理之步驟，並配合三位受試者的模糊關係截矩陣，
繪製出 A、B、C 三位受試者的數與量概念 ISM 圖，並將 ISM 圖簡化後如 圖 4-1 至圖 4-3 所示，觀察其特徵與結構之差異，可歸納如下：
一、 三位受試者的 ISM 圖各具特色且存有差異。
二、 B、C 受試者的 ISM 圖皆為六個階層，而 A 受試者的 ISM 圖為五個 階層。
三、 概念 2 (能熟練整數四則混合計算) 在三位受試者的 ISM 圖中，皆位 居第一階層，即為最下位概念，顯示概念 2 是 A、B、C 三位受試者 的認知結構中，最容易達到精熟之概念。而概念 2 屬於數與量四個子 題當中的「整數」部分，因此，與「量與實測」、「有理數」、「估算」
其他三個子題相比較，「整數」仍為學童最容易理解之概念內容。
四、 概念 7 (能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問 題)、概念 17 (能認識體積單位「立方公尺」，及「立方公分」、「立方 公尺」間的關係，並作相關計算)、概念 19 (能理解容量、容積和體積 間的關係) 位居 A、B 受試者 ISM 圖中之最高階層，即為最上位概念，
顯示概念 7、概念 17、概念 19 皆為 A、B 受試者最缺乏之概念；而 概念 6 (能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵) 為 C 受 試者最缺乏之概念，其次才為概念 7、概念 17、概念 19。因此，若低 能力組的 C 受試者加強對概念 7、概念 17、概念 19 的理解，將有助 於 C 受試者在概念 6 達到更高的精熟度。
五、 概念 5 (能用通分作簡單異分母分數的比較與加減) 位居 A 受試者的 第二階層，顯示概念 5 對於 A 受試者屬於較容易理解之概念；反觀 B、
C 受試者，概念 5 則位居 B、C 受試者之第五階層。因此可知，通分 能力為高能力組的 A 受試者之基礎概念，但對於中、低能力組的 B、
C 受試者而言，則屬於較難理解之概念。
六、 概念 17 (能認識體積單位「立方公尺」，及「立方公分」、「立方公尺」
間的關係，並作相關計算)、概念 18 (能理解「長方體」、「正方體」的 體積公式)、概念 19 (能理解容量、容積和體積間的關係) 皆為體積部 份之內容，此三概念在 A、B、C 受試者的認知結構中，存在差異。
以高能力組的 A 受試者而言，概念 18 為概念 17、19 之下位概念，顯 示 A 受試者對概念 18 之理解程度愈高，將有助於學習概念 17、19，
換句話說，A 受試者在學習概念 17、19 時，能夠與概念 18 作連結；
反觀中、低能力組的 B、C 受試者，其概念 17、18、19 間皆無關係 指向，顯示雖然此三概念皆與體積內容相關，但 B、C 受試者卻無法 將此三個概念作連結。
七、 三位受試者的 ISM 圖中，各階層的概念數量與內容不盡相同，但整 體來說，B、C 兩位受試者概念間指向關係與 A 受試者相較之下，是 較為相近的。
八、 如表 4-4 所示，本研究整理不同能力值組在每一概念之平均通過率，
由表 4-4 可知，在 19 個數與量分年細目概念上，高能力值組受試者 的平均通過率高於中能力值組，而中能力值組受試者的平均通過率則 高於低能力值組。因此，對不同能力值的受試者而言，同一概念所在 的階層位置不能相互比較。例如：概念 15 位居低能力值組 C 受試者 ISM 圖的第五階層、中能力值組 B 受試者 ISM 圖的第六階層，此現 象並不代表概念 15 對於中能力值組受試者來說較難達到精熟，因為 從表 4-4 可觀察到，概念 15 在中能力值組的通過率大於在低能力值 組的通過率。
綜合上述可知，A、B、C 三位受試者的數與量 ISM 圖有所差異，且 各概念間的指向關係亦不盡相同。依據此研究結果，可作為教師對學童進 行個別化的認知診斷與補救教學之參考。
精熟度
表 4-4 不同能力值組在每一概念之平均通過率 平均通過率
概念
編號 所屬題號
全體 高能力值 中能力值 低能力值 1 2、4、18 .321 .591 .295 .158 2 2、10、15 .564 .829 .557 .317
3 19 .286 .595 .253 .113
4 8、12 .311 .530 .305 .113 5 3、12 .415 .869 .392 .044 6 3、8 .291 .625 .263 .069 7 6、8、11、18 .242 .461 .223 .100 8 13、17 .481 .750 .478 .213 9 1、7、14 .422 .746 .400 .183 10 7、13、17 .462 .718 .452 .238 11 5、12 .319 .595 .302 .106 12 1、4 .331 .625 .311 .113 13 2、11 .379 .679 .349 .200 14 17、18 .336 .571 .325 .138 15 6、16 .310 .667 .282 .069 16 15、16 .388 .738 .371 .100 17 4、14 .250 .524 .221 .094 18 9、14 .303 .619 .276 .094 19 4、9、14 .255 .532 .228 .088