國立臺中教育大學數學教育系
國民小學教師在職進修教學碩士學位班碩士論文
指 導 教 授：林原宏 博士
探討國小五年級數與量分年細目之概念
階層結構評量
研 究 生：顏佩懿 撰
中 華 民 國 九 十 八 年 六 月
摘要
本研究應用模糊取向的詮釋結構模式，分析國小五年級學童數與量分 年細目的概念結構圖。此分析法結合察覺的模糊邏輯模式與詮釋結構模 式，分析出個人化的概念結構。本研究以535位國小五年級學童為研究對 象，以自編數與量試題為研究工具，應用AISM軟體繪出個人化的數與量 分年細目概念結構圖，並進行圖形的分析與比較，研究結果如下： 一、 針對數與量分年細目概念之分析，模糊取向的詮釋結構模式是可行 的分析方法。 二、 不同能力值受試者的ISM 圖有所差異。 三、 答對題數相同但反應組型不同受試者ISM 圖有所差異。 四、 不同能力值受試者間ISM圖之相似性係數皆達顯水準差異。 五、 不能能力值受試者與專家ISM圖之相似性係數皆達顯著差異。 本研究結果有助於教師了解學童學習概念時的認知連結情形，並可提 供教師進行認知診斷、補教教學與課程設計之參考。另外，研究者根據研 究發現，提出對於未來研究的相關建議。 關鍵字：模糊理論、詮釋結構模式、數與量、分年細目Abstract
The purpose of this study is to use fuzzy approach interpretive structural model (FAISM) in analyzing concept structure of mathematics indicators on number and quantity for fifth graders. This method integrates algorithm of fuzzy logic model of perception (FLMP) and interpretive structural model (ISM) to analyze the individualized concept structure. In this study, there are totally 535 fifth graders as study, and the paper-pencil test on number and quantity is designed by the researcher as a study tool. By using the AISM software, we can get the diagram of individualized concept structure, and compare different ISM diagrams. The results of this study are as follows:
1. The FAISM is a feasible way for analyzing the concepts structures of mathematics indicators on number and quantity.
2. Examinees with different ability own varied ISM diagrams.
3. Examinees with the same total score but different response patterns own varied ISM diagrams.
4. The similarity coefficients of ISM diagrams are both significantly different among examinees of different ability.
5. Based on the comparisons with expert, examinees of different ability have significantly different similarity coefficients.
The results of this study can be provided as the references for cognition diagnosis, remedial teaching and courses design. In addition, accronding to the findings, some suggestions and recommendations for future research are provided.
Keywords: fuzzy theory, interpretive structural model, number and quantity, mathematics indicators.
目錄
第一章 緒論
... 第一節 研究動機... 第二節 研究目的... 第三節 名詞解釋...第二章 文獻探討
... 第一節 數與量... 第二節 試題反應理論... 第三節 模糊理論... 第四節 詮釋結構模式分析法...第三章 研究方法
... 第一節 研究架構... 第二節 研究對象... 第三節 研究流程... 第四節 研究工具... 第五節 資料處理...第四章 研究結果與討論
... 第一節 不同能力值ISM圖之比較... 第二節 答對題數相同但反應組型不同ISM圖之比較... 第三節 不同能力值組與專家間ISM圖之比較...第五章 結論與建議
... 第一節 結論... 第二節 研究限制... 1 1 3 4 7 7 16 20 23 35 35 36 37 38 43 47 47 53 64 67 67 69第三節 建議...
參考文獻
... 壹、中文部分... 貳、英文部分...附錄一
...附錄二
...附錄三
... 70 71 71 74 78 82 85表目錄
表 2-1 不同參數對數模式之數學函數與意義... 表 2-2 ISM 圖之矩陣整理範例與說明... 表 3-1 受試者正式施測資料一覽表... 表 3-2 五年級「數與量」概念屬性之編號與內容... 表 3-3 試題與概念屬性之矩陣... 表 3-4 預試施測之工具分析... 表 3-5 工具之正式施測分析... 表 3-6 試題與概念屬性之矩陣... 表 4-1 不同能力值組之差異情形... 表 4-2 三位不同能力值受試者之答題情形... 表 4-3 三位不同能力值受試者之概念的相鄰矩陣 A... 表 4-4 不同能力值組在每一概念之平均通過率... 表 4-5 六位答對題數相同但反應組型不同受試者之答題情形.... 表 4-6 高、中、低能力值組受試者之概念的相鄰矩陣 A... 表 4-7 不同能力值之差異情形... 表 4-8 不同能力值組受試者的相似性係數變異數分析摘要表.... 表 4-9 不同能力值組受試者的相似性係數事後比較摘要表... 表 4-10 不同能力值組別受試者的相似性係數事後比較摘要表.... 19 25 36 38 39 41 42 43 47 48 49 53 54 55 64 64 64 65圖目錄
圖2-1 ISM圖的繪製... 圖3-1 研究架構圖... 圖3-2 研究流程圖... 圖4-1 A受試者之數與量概念ISM圖... 圖4-2 B受試者之數與量概念ISM圖... 圖4-3 C受試者之數與量概念ISM圖... 圖4-4 高能力組D、E受試者之數與量概念ISM圖... 圖4-5 中能力組F、G受試者之數與量概念ISM圖... 圖4-6 低能力組H、I受試者之數與量概念ISM圖... 圖4-7 專家之數與量概念ISM圖 26 35 37 52 52 52 61 62 63 64第一章 緒論
本研究欲以九年一貫數學領域中，五年級「數與量」的分年細目為所 欲測量概念，運用模糊取向詮釋結構模式的分析法，繪製出受試者個別化 數與量概念之概念結構圖，並分析與比較個別受試者在此數與量主題下的 概念結構。本章共分為三節：第一節為研究動機，第二節為研究目的，第 三節為名詞解釋。第一節 研究動機
我國自九十學年度起逐年實施九年一貫課程，至今已落實在各個年 級。在九年一貫課程綱要中，數學學習領域的內容分為數與量、幾何、代 數、統計與機率、連結等五大主題，而數與量在國民教育的數學課程中具 有最重要的地位，其主要概念的形成以及演算能力的培養均奠基於國小階 段 (教育部，2003) 。故在國小階段的數學領域中，數與量是一個重要的 主題。 民國八十七年，在我國實施九年一貫課程的政策之前，為了符應民間 團體與教改會的建議，教育部遂推出小班教學精神計畫，期望能達到「校 校有小班、班班有小班教學精神」的目標。依教育部 (1998) 的目標，規 劃至民國九十六年將國中、小的班級學生人數均降至每班三十五人，以符 合所謂小班教學的精神與內涵。余東霖 (2003) 指出現今國小數學科以「多 元化」評量方式進行教學評量，而多元化評量方式更是九年一貫數學學習 領域中教學評量的趨向與精神。在小班教學精神的「個別化」與「適性化」 下，應以每個學生個別的評量為重，而改變傳統上大班團體的紙筆評量型 態，期能針對學童做個別化的補救教學，故「個別化」亦是現今教學評量 上的一項趨勢。但是，綜觀近年來的相關研究，若是以量化研究方式則難 以針對學童做個別化的評量，若是以質性研究方式則必須耗費較大的時間及資源，而只能針對少數個案來做研究。因此，實施九年一貫課程與小班 教學精神計畫後，在「適性化」、「多元化」與「個別化」的精神下，研究 者必須選擇適切的評量方法，既具有量化研究的便利性，同時亦能獲得學 童個別的概念結構，從而瞭解目前學童在數與量主題的表現情況。 目前根據九年一貫數學領域各年級的分年細目所設計的評量並不 多，鑑於量化的研究結果多以數據做為分析來源，本研究欲以概念結構圖 的分析方式對學童做個別化的評量與診斷。有關概念結構分析的方法有很 多，較常見的如概念構圖 (concept mapping)、次序理論 (ordering theory)、 試題關聯結構 (item relational structure) 等分析方法，其目的皆在於從元素 關係的資料中，有意義的呈現出受試者的概念結構。而詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, 簡稱 ISM) 亦是相當重要且有效的方法之 一。Warfield (1976) 提出 ISM 方法，其根據元素之間的關係矩陣，提出將 元素階層化表示的方法，但此分析法中的元素關係僅限於二元關係，且只 能得到整體受試者的概念結構圖，難以廣泛應用。基於此限制，林原宏 (2005) 提出模糊取向的詮釋結構模式，利用試題反應理論所分析的試題反 應機率，並結合模糊理論截矩陣 (α-cut) 以及察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception)，來改進傳統 ISM 方法受限於二元資料的限制， 並繪製出受試者個別化的概念結構圖。
然而，若運用概念結構分析法將每位受試者之概念結構圖一一呈現， 則過於冗長、累贅，所以本研究嘗試將全體受試者依能力值區分成高、中、 低三組，來了解不同能力值組受試者之概念結構圖的差異情形；另外，本 研究所利用之試題反應理論，乃改進傳統之古典測驗理論而來，古典測驗 理論忽略受試者的試題反應組型 (item response pattern) 與能力之關係，認 為答對題數相同則能力必定一樣，故本研究欲了解答對題數相同但試題反 應組型不同之受試者，其能力或概念結構圖之差異情形為何，此亦為本研 究目的之一。
R. E. Mayer 認為在教學的研究上，應著重適當的教學模式及教學策略 的使用，以協助學生由「生手」進入「專家」的狀態，教學歷程中，教師 需將教學策略與學生的學習策略相配合，並善加利用評量技術 (林清山， 1997) ，這是身為教育工作者的我們，所應該注意的趨勢之ㄧ。綜觀國內 外有關專家與生手的相關研究，其研究領域包括社會科學、物理學、棒球 知識、下棋、寫作、諮商 (陳均姝，2001；蔡銘津，2001；Chase & Simon, 1973；Chi, Feltovich, & Glaser, 1981；Splich et al., 1979；Voss et al., 1983) 等。而 Heller and Greeno (1979) 亦歸納出專家與生手在算術、代數、物理 和熱力學等方面的解題差異。陳新豐 (2002) 對國小學童知識結構作評量 分析，比較專家與生手在概念結構圖的差異，其研究領域為自然學科。楊 雅惠 (2004) 針對專家與生手的輔導知識結構來作測量，比較專家與生 手、不同經驗水準的生手在知識結構上的差異，其研究領域則為輔導科 學。然而，卻較少研究針對國小學童個別化的數學概念結構，來做專家與 生手的差異比較，面臨此現象本研究目的之ㄧ即針對專家學童與生手學童 來做概念結構的比較。 因此，本研究以國小五年級學童為對象，並以九年一貫五年級數與量 主題之分年細目為概念，運用林原宏 (2005) 所提出的模糊取向詮釋結構 模式的分析方法，欲繪製出受試者個別化的 ISM 圖，並針對不同受試者的 ISM 圖做比較與分析。
第二節 研究目的
基於上述之研究動機，本研究的目的如下： 一、探討高、中、低能力值的受試者，其數與量概念 ISM 圖之特徵與差異 情形。 二、探討答對題數相同但反應組型不同的受試者，其數與量概念 ISM 圖之特徵與差異情形。 三、分析高、中、低能力值受試者與專家間，其數與量概念 ISM 圖之差異。
第三節 名詞解釋
本研究所涉及的重要名詞，其說明分別如下：壹、九年一貫課程
由於新世紀需要新的教育思維與實踐，教育部認為民國八十二及八十 三年修正頒布之國民中小學課程標準在實施之際，可同時進行下一次課程 改革的計畫。歷經三個階段的課程修訂，在民國九十年公佈「國民中小學 九年一貫課程暫行綱要」，並於民國九十二年公佈「國民中小學九年一貫 課程綱要」(教育部，2003)，至今已落實在國民中小學各個年級。貳、小班教學精神計畫
民國八十七年，教育部推出小班教學精神計畫，期望能達到「校校有 小班、班班有小班教學精神」的目標，民國八十九年正式規劃將國中、小 的班級人數均降至每班三十五人 (教育部，1998)。此計劃的三項總體目標 為：一、尊重學生個別差異，提供適性教育機會。二、改善班級師生互動 關係。三、提高教師教學品質。參、數與量分年細目
本研究中的數與量概念，是指教育部 (2003) 公佈的國民中小學九年 一貫課程綱要中，國小五年級數與量的 19 個分年細目。而數與量的內容 則包含「整數」、「量與實測」、「有理數」、「估算」等四大子題。肆、試題反應理論
測驗理論 (test theory) 通常分為兩大學派：古典測驗理論 (classical test theory) 與當代測驗理論 (modern test theory)，而後者主要是以試題反
應理論 (item response theory, 簡稱IRT) 為架構。試題反應理論又稱為潛在 特質理論 (latent trait theory)，它是用機率來呈現受試者能力 (ability) 和試 題反應組型 (item response pattern) 間的關係，也就是將受試者在試題上的 作答反應機率和其潛在特質 (latent trait)，以數學函數來表示。
伍、模糊理論
1965 年由 L. A. Zadeh 提出模糊理論 (fuzzy theory)，其將元素與集合 之間的關係以隸屬度 (membership) 來表示，其隸屬度介於 0 和 1 之間， 此理論擴展了傳統集合論中二元邏輯的限制。
陸、詮釋結構模式
1976 年由 J. N. Warfield 提出的詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, 簡稱 ISM)，原是社會系統工學彙整訊息的建模方法，此方法將 一個系統內元素間的從屬關係，透過二維矩陣 (binary matrices) 的數學運 算，藉由電腦輔助執行繁複的運算過程，而產生出元素間的結構化階層圖。
柒、模糊取向的詮釋結構模式
2005 年由林原宏提出模糊取向的詮釋結構模式 (fuzzy approach of interpretive structure modeling)，利用試題反應理論所分析的試題反應機 率，並結合模糊理論截矩陣 (α-cut) 以及察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception)，來改進傳統 ISM 方法受限於二元資料的限制。將分 析所得的反應機率資料轉成概念屬性矩陣，再利用其發展的 AISM 軟體進 行α-cut 分析，即能繪製出受試者個別化的 ISM 圖。
第二章 文獻探討
本章將根據本研究所涉及之相關理論進行探討，共分為四節：第一節 為數與量，第二節為試題反應理論，第三節為模糊理論，第四節為詮釋結 構模式分析法。第一節 數與量
壹、數與量子題
教育部 (2003) 指出，我國國民中小學九年一貫課程綱要中，將數學 學習領域的內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」 和「連結」等五個主題。數與量在國民教育的數學課程中具有最重要的位 置，其主要概念的形成以及演算能力的培養均奠基於國小階段。 國小數與量的範圍較大，因此分為「整數」、「量與實測」、「有理 數」和「估算」等四個子題。有關數與量各子題的相關內容，根據教育部 (2003) 的說明，則整理如下： 一、整數 在國小階段，整數指的是非負整數，所處理的是離散量的計數與計 算。整數教學是國小數學的核心課程之一，而整數計算是一切數學學習的 基礎。流暢的計算能力，有如語文學習中，基本的文字駕馭能力，不僅可 以內化學童的數字感，並且是日後學習抽象運算及形式推導的基礎，這樣 的能力固然是學習科學所必須，也是能夠有效處理日常生活的基本能力之 一。 國小整數教學的課程目標在於： (一) 從計數開始，學習位值的約定與換算，並在演算中，逐步熟悉，最後 能掌握大數。 (二) 在二年級下學期，理解算術的樞紐—九九乘法，作為日後所有計算的基礎。 (三) 到四年級時，能夠不拘泥於位數，熟練加、減、乘、除的直式計算。 (四) 五年級時熟悉整數四則混合計算。 (五) 在六年級時，理解基本的因數分解與質數概念，並與分數運算相互加 強，建立完整的數字感。 二、量與實測 量與實測是國小數學的核心課程之一，教學中的量包含長度、重量、 容量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量。其中長度、容量、 角度、面積、體積屬於幾何 (視覺) 量，處理上可以依賴學生的幾何經驗， 比較容易。重量的認識，除了依靠身體的感覺，相當依賴測量工具，教學 上要注意處理。另外，時間在日常生活十分重要，在學習上卻完全仰賴計 時的約定，與其他六種量極為不同，故通常另外處理。 時間以外六種量的學習，大致上要經歷下列四個階段： (一) 初步概念與直接比較：首先，透過感官直接感覺該量，再對兩同類量 做直接比較，最後是量的複製，這是(二)的前置經驗。另外也包括用 測量工具之刻度直接描述一量。 (二) 間接比較與個別單位：對無法直接比較的兩同類量，能透過媒介量， 分別作直接比較，並利用比較結果，做出兩量之比較(涉及量的保留 概念與量的遞移律)。能做間接比較，便能使用個別單位作測量。 (三) 常用單位的約定：認識某類量之常用單位，並能運用此單位，作量的 比較、加、減、乘、除。 (四) 常用單位的換算：在測量時，首先能用大小單位的複名數來描述測量 結果。然後再學習使用單位換算的約定，來進行換算。 三、有理數 有理數是小學的核心課程之一，也是小學數學教育中，最有挑戰性的 教學主題。有理數教學的困難主要在於：它牽涉兩種非常不同的表現形
式—分數與小數；它的應用課題很廣—平分、測量、比例、比率、比值、 部分/全體，所以，有理數教學的基本共識是，學生需要較長的時間，來學 習掌握有理數的概念。 小學的有理數教學，必須釐清、練習並連結下述有理數的四種意涵， 最後歸結成日後數學學習中，有理數最核心的意涵—「除的意涵」： (一) 平分的意涵：學生在低年級認識人我分際之後，就會發展出強烈的公 平感，因此從平分入手學習分數，是一條比較容易的途徑，也比較容 易化解分數學習中常見的認知衝突。 (二) 測量的意涵：長度測量是低年級就發展的數學課題，在以個別單位度 量長度，為了解決剩下部分的「餘數」約定時，就能同時發展小數與 分數兩種課題。由於單位的強調，測量是調和「部分/全體」的意涵 與帶分數認知衝突中的重要工具。 (三) 比例的意涵：比的原理，是一種微妙的平分方式，因此學生比較容易 接受。即使學生尚未學習比例式，透過比的方式，仍然可以協助學生 解題。最後再透過比值的引入，一貫地解決比例的問題。 (四) 部分/全體的意涵：部分/全體雖然是分數的重要意義之一，但是由於 概念較為抽象，而且真分數的暗示過深(全體為1)，可能造成假分數或 帶分數學習上的困擾，必須透過單位的強調來解決其認知衝突。 四、估算 估算是過去數學教學中，較被忽略的課題。一般來說，數字感較好的 學生，通常都能夠使用估算的技巧，來協助計算、驗算與解題。而經由估 算課題的教學，也更能促使學生對數學概念、程序計算、解題三者間的連 結，有更深入的理解。 估算在國民教育中可粗分為離散量的估算(自然數四則運算的估算) 與連續量的估算。前者的教學，應在學生已經能掌握確算後再進行。而後 者的教學，應透過測量時量不盡的正常情境，與小數的教學共同開展，認
識小數之細分與精確度的要求乃是一體的兩面。最後，結合兩者，養成掌 握誤差、施行估算的能力。估算的教學主要為： (一) 先在計算與驗算中強調，讓學生能對不合理的答案，透過估算剔除。 (二) 能判斷應用問題對答案精確度的要求，並藉由過去的解題經驗，發展 正確的估算策略。 (三) 能針對問題與解答，發展估算策略，驗算解答的合理性。
貳、數與量概念之相關研究
由於數與量主題分為「整數」、「量與實測」、「有理數」和「估算」 等四個子題，有關各子題之相關研究如下： 一、整數 九年一貫五年級數與量主題中，分年細目 5-n-02「能熟練整數四則混 合計算。」與 5-n-03「能理解因數、倍數、公因數與公倍數。」皆屬整數 子題之概念，針對四則運算及因數，研究者做以下的相關文獻探討。 吳惠貞 (2006) 探討國小五年級學童整數四則運算概念學習表現及解 題錯誤類型與原因，研究發現其錯誤類型有：錯誤使用運算規則、算式或 答案不完整、粗心導致錯誤，例如計算錯誤、抄錯題目、列式錯誤、隨意 回答或空白等。而從錯誤類型當中，歸納以下結論：(一)學童在整數的四 則運算問題上，對於運算越複雜的題目，錯誤率明顯偏高，同時作答空白 率也偏高。(二)學童在兩步驟的四則運算類型中，以「含有括號」的錯誤 率最低，以「沒有括號之單一乘或除」的兩步驟類型為錯誤率最高；而在 三步驟的運算中，以「三步驟之加減和乘除」運算類型之錯誤率最高。(三) 將「先乘、除後加、減」的演算規則，類化並外推到其他的情境，認為在 運算時也要先算加法再算減法、先算乘法再算除法，因而做出錯誤推論， 形成運算上的錯誤。(四)無法區分算式等價與不等價的敘述，因此在演算 過程中無法正確完成，對四則運算的逐次減項的表示方式，仍有待改進。(五)在應用問題的錯誤原因可歸納為未遵守四則運算的規則，從簡單或容 易運算的部分先著手，將題目中所有的條件直接計算，使用他們慣用的知 識來解決問題。(六)在整份研究試題中，數字之計算錯誤與運算符號看錯 及筆誤是導致運算錯誤的一大原因，故學童審題與表達能力仍待加強。 王詩惠 (2003) 分析國小五年級學童因數的學習情況，將學童較易犯 的迷思概念整理如下：(一)認為因數一定比本身數字還要小，錯誤率達 51.4%。(二)無法了解因數的數字定義，錯誤率達 50.7%。(三)從字面上解 讀因數的意義，錯誤率達 23.1%。(四)以為最大公因數就是兩數中最大的 數，錯誤率達 15.9%。(五)以為比較的數字大，則最大公因數也會比較大， 錯誤率達 14.5%。另外，林珮如 (2002) 針對國小學童因數解題與迷思的 研究中，亦有上述類似發現：多數學童都忽略最大的公因數就是自己本 身、從字義聯想認為公因數的個數應該是兩個以上、數字比較大的最大公 因數相對的也會比較大等迷思概念。 二、量與實測 劉秋木 (1996) 認為像長度、重量、面積等，可以取物體的一部份作 為單位來比較兩個物體，稱為外延量 (extensive quantity) ；其它像密度、 利 率、 速 率 等， 則 是 兩個 量 之 間的 比 率 關係 ， 稱 為內 涵 量 (intensive quanity) 。而量在國小階段討論到的外延量有長度、面積、體積、容量、 時間和重量；內涵量有速率、利率及溫度等。按照量的特性，鍾靜 (1994) 認為量可以分成二類：(一)感官量：長度、重量、容量、角度、面積、體 積等存在於實體的量。(二)工具量：在小學階段就是時間教材。 潘亭蓉、曹雅玲 (2007) 對國小五年級學童面積概念加以研究，筆試 結果發現學童對於部分面積概念能需加強；從訪談三位學童的過程中則發 現：其中兩位較具備面積概念，能理解面積公式的涵義並正確使用，會利 用具體操作物來解題，而另一位學童則有部分迷思，包括因不理解公式涵 義而錯誤使用、不懂得在不同單位量之間做轉換，並且頗受視覺的影響，
即使提供操作物，仍然以視覺意識來解題。 陳鴻綸、曹雅玲 (2005) 研究國小學童在長方體的體積與表面積的解 題表現，探討學童是否了解比較、保存、分割與併合等四種特質。研究發 現：(一)在體積方面，研究對象皆能理解四種特質的題目。(二)在表面積方 面，其中一位學童能了解可比較性、保存性，但受視覺判斷影響，無法分 辨併合前後的差異，亦對分割性有所誤解。另一位學童僅能了解可比較 性，其保存性概念不足，且混淆體積和表面積的意義，對分割性和併合性 常錯誤的套用公式。然而，學童容易受視覺影響而造成判斷錯誤的情形， 譚寧君 (1998) 針對國小兒童面積迷思概念分析時，亦有此發現。 陳雅苓 (2008) 針對國小高年級在重量、容量與面積問題發展的表 現，來瞭解學童之概念發展，並藉由學童自身生活經驗發展出的數學題， 來探討學童常用的乘除法結構。研究結果發現：(一)「重量」、「容量」、「面 積」三種數學概念中，學生發展出正確的數學題以「重量」的題數為最多、 「面積」的題數最少且較為固化。(二)學生發展出的乘除題目會依不同的 數學概念而有不同的類型，「重量」概念集中在「比較型」的題型、「容量」 概念集中於「量數同構型」的題型、「面積」集中於「叉積型」的題型。(三) 學生發展情境大多集中於身邊人物，最常出現的場所也以學生最常去的場 所為主。「重量」概念情境多為身邊人物體重比較、「容量」概念情境大多 集中在計算飲料的容量、「面積」概念情境集中於計算土地大小。(四)重量、 容量、面積數學概念中，發展出的錯誤題數最多的為「面積」概念，且大 多發生在「邏輯不合」。(五)在食、行、育、樂中有關重量、容量、長度概 念的問題，是學生生活中最熟悉且最常接觸的事物。 朱振生 (2002) 探討國小五年級學生時間化聚的學習表現，並分析學 生解題時的錯誤解法與原因，結果發現在學生的學習表現上：(一)在「時 間單位高低階關係掌握」的表現，通過率為九成多，表現很好。(二)在「單 名數與單名數化聚」的表現，通過率為八成，優於「單名數與複名數化聚」
的六成多。(三)在「化」與「聚」的學習表現上，差異不大。而在學生錯 誤解法的原因上：(一)無法分辨時間單位高低階關係。(二)時間複名數概念 不足。(三)不了解時間化聚的意義。(四)受鐘面結構的影響。(五)受十進位 制的影響。(六) 24 與 60 進位混淆。(七)不同時間單位會造成的解題困難。 針對這些學習上的困難，可以利用補救教學如：(一)以「時間數線」幫助 學生了解複名數的意義。(二)以「錢幣化聚」幫助學生類化時間化聚的意 義。(三)加強學生「單位量」的概念，幫助學生掌握與判斷進位制。(四) 以「時間鈔票」為操作工具，幫助學生在時間化聚操作與形式運算產生聯 結。(五)以「簡化單位與數字」的策略，促進學生文字題解題。 三、有理數 分數概念有多種不同的使用情境及解釋，不同的解釋所使用的認知結 構也有所不同，所以學生需要漫長的時間來發展分數概念 (呂玉琴， 1991)。有關分數不同的使用情境及解釋，Kieren (1976) 認為分數具有以 下特性：(一)整數系的擴展。(二)具有稠密性、無窮可數性的數系。(三)可 代表測量的量或數線上的一點，能被用來相互比較及運算。(四)具有等值 分數特徵。(五)可用來代表比率、乘法的操作。而 Behr and Post (1988) 則 認為分數可解釋為：(一)「部分/全部」的概念。(二)比率，強調兩數的關 係。(三)比值，用一個值來代表兩個數量的關係。(四)兩數相除的結果。(五) 操作：強調分數是一種轉換。(六)線性座標，強調數線的距離長。(七)數線 上的一點。 Ning (1992) 將兒童分數詞意義區分為：(一)分數的前置概念：指兒童 雖具有數概念與分割活動，但其數概念只是序列性合成運思，分割活動的 結果，未能將子分割單位數值化。(二)起始單位分數：指兒童具有累進性 合成運思時的內嵌概念，但尚無子分割單位數值化的概念。(三)加法性分 數：指兒童具有子分割運思，與單向的部份/全體運思時的分數概念。(四) 巢狀分數：指兒童具有雙向的部份/全體運思，與具有子分割單位數值化的
分數概念。(五)有理數：兒童不只具有部分/全體雙向運思下的巢狀分數， 亦能以分數做為測量單位。李端明 (2001) 根據上述分數詞之子分割與部 分/全體關係為參考，以國小四年級兒童之個案研究，來瞭解兒童的分數概 念活動類型，研究結果發現兒童解題的活動類型具有以下性質：(一)能使 用分數詞表示兩量的並置關係。(二)子分割運思。(三)確定分數詞的算子意 義。(四)單向的部份/全體關係。(五)缺乏雙向的部份/全體關係。(六)缺乏 共測單位與分數的密度性。 王秀琲、胡豐榮與許天維 (2004) 針對國小五年級學童之分數概念作 分析，研究結果發現：(一)在分割活動上，連續量比離散量好。(二)在表徵 轉換上，以具體操作轉換符號為佳，以圖形轉換模式較不理想。(三)等分 和連續量的分割活動是學童最容易理解的概念。(四)等值、單位量及離散 量的分割則是學童最難理解的概念。 湯錦雲 (2002) 分析國小五年級學童在分數概念與運算發生錯誤的類 型與原因，其研究結果為：(一)整理出分數概念、整數加分數、分數減法、 整數乘分數及整數除整數的錯誤類型。(二)針對這些錯誤類型，分析錯誤 的形成原因有：不瞭解題意、過於依賴連續量的部份/全部模式、「分數是 數線上的一點」與「分數是數線上的線段長」的概念混淆、將先前知識做 錯誤的類推（十進位系統的類推、正整數的類推、帶分數的類推、小數的 類推）、語言的影響（受分數從分母讀起影響、受直式中文順序影響）、缺 乏先備知識（小數可以除以大數的概念、分數是一個數的概念、整數四則 運算的技能）、概念間缺乏連結（整數的倍數概念與分數的倍數概念的連 結、真分數倍的意義與乘法算式的連結、除法與分數的連結）、缺乏合理 性的檢驗策略、學生的自我想法（文字或圖形的解讀、依據猜測作答、錯 誤的簡易原則）。 Hiebert (1992) 認為小數概念可以具體分為三種知識：(一)記數系統 ( notation system) 的知識：知道什麼是小數的形式，什麼不是小數形式。(二)
運算規則 (rules) 的知識：主要包括如何正確產生答案的小數操弄規則， 例如小數加減時小數點要對齊、小數的四則運算規則等。(三)數量表示 (quantity) 的知識：能暸解小數表示的數量，包括小數運算時借位、移位、 相加減後數值變化的意義，能知道物體可以用一個單位測量，也可以用十 分之一的單位測量，或是百分之一的單位測量等。 劉曼麗 (2002) 將小數概念具體分為三個部份：(一)小數符號意義：包 含小數圖像表徵和小數與分數雙向連結兩類。(二)小數符號結構：包含小 數符號的辨識、小數的寫法、小數的讀法、小數的位值、小數的位名及小 數的化聚等六類。(三)小數應用：主包含小數單複名數轉換、小數的估測、 小數大小比較、小數的稠密性、小數的計算、小數的估算及文字題等七類。 杜建台 (1997) 探討國小中、高年級對小數概念的理解，研究主題包 括讀小數、寫小數、小數意義的理解、小數位值與位名的理解、小數十進 結構的理解、小數與數線對應的理解、比較小數大小的理解、小數稠密性 的理解及以上各小數概念正確理解百分比之比較。研究結果發現學童理解 小數的現象可歸納出以下之異同：(一)各年級學童對不同的小數概念理解 程度會有所不同。讀小數、寫小數及比較小數大小比較容易理解；小數意 義、小數的位值與位名、小數十進結構、小數與數線對應及小數的稠密性 概念等較難理解。(二)年級愈高的學童較能有正確的小數概念。(三)學童對 小數概念的理解方式雖然是多樣化的，但比例最高的理解方式中，各年級 有類似之處。(四)學童的小數概念會受先前經驗及課程內容所影響，但對 於小數理解，學童仍會建構出自己的獨特方式。 四、估算 支毅君 (1993，1996) 針對估算加以研究，其中包括探討學童估算概 念的發展情形及教師的估算教學。研究結果發現：大部分學童在計算過程 中，極少去發現不合理現象的存在，且使用估算的意願，似乎跟習慣有關。 另外還發現，學童的估算能力可分為以下層次：(一)瞭解「估算」的意義
和名詞。(二)知道使用估算來解題的時機。(三)能得到合理的估算值。(四) 使用適當的估算策略。(五)依數值的特色使用不同的估算策略。(六)能判斷 何者是最好的估算策略。而在估算的教學上，大多數教師聽過「估算」一 詞，在解連加題目時，最普遍使用的為「四捨五入法」；另有半數會使用 叢集策略，大部分的教師能判斷答案的合理性；有五分之四的教師認為估 算在日常生活中很重要，且認為應該在小學課程中加入估算課程。 而現今實施的九年一貫課程中，也的確將估算列為教學的主題之一， 整數的四則運算學童能掌握後，再加入小數的估算教學 (教育部，2003)。 例如：國小五年級數與量主題的分年細目中，就有 5-n-10「能用四捨五入 的方法，對小數在指定位數取概數，並做加、減、乘、除之估算。」的估 算內容，來加強學童在小數的估算能力。
第二節 試題反應理論
測驗理論 (test theory) 是一種解釋測驗資料間實證關係 (empirical relationships) 的有系統的理論學說，測驗理論學者通常把它劃分成兩大學 派：一為古典測驗理論 (classical test theory) ：主要是以真實分數模式 (true score model) (Gullikson, 1987; Lord & Novick, 1968) 為骨幹；另一為當代測 驗理論 (modern test theory)：主要是以試題反應理論 (item response theory, 簡稱 IRT) (Hambleton, Swaminathan, & Rogers, 1991; Lord, 1980) 為架構 (引自余民寧，1991)。
這兩派理論目前並行流通於測驗學界，但試題反應理論卻有後來居 上，逐漸凌駕古典測驗理論之上，甚至有取而代之的趨勢。然而，古典測 驗理論卻有以下先天的缺失 (Guion & Ironson, 1983; Wright, 1977)：
一、 採用的指標都是一種樣本依賴 (sample dependent)，指標的獲得會因 為受試樣本的不同而不同，所以同一份試卷很難獲得一致的難度、鑑
別度或信度。
二、 以相同的測量標準誤 (standard error of measurement)，作為每位受試 者的測量誤差指標，而沒有考慮到受試者的個別差異。
三、 意義的比較僅侷限於對相同測驗的前後測分數或複本測驗分數間。 四、 古典測驗理論對信度的假設，是建立在複本 (parallel forms) 測驗的假
設概念上，但這種假設往往不存在於實際測驗情境中，因此它的假設 是不合理、矛盾的。
五、 忽略受試者的試題反應組型 (item response pattern)，認為原始分數相 同者，其能力必定一樣，但事實卻不然。 綜合上述，為了克服古典測驗理論的先天缺失，因此才有當代測驗理 論的產生：試題反應理論。
壹、基本概念
Lord (1980) 提出試題反應理論，以機率來解釋考生能力與試題反應間 的關係，亦即利用一數學模式，來推估受試者的能力或潛在特質，此數學 模式稱為試題特徵函數 (Item Characteristic Function, 簡稱 ICF)。余民寧 (1992) 認為試題反應理論建立在兩個基本概念上：(一)考生 (examinee) 在某一測驗試題上的表現情形，可由一組因素來加以預測或解 釋，這組因素叫作潛在特質 (latent traits) 或能力 (abilities)；(二)考生的表 現情形與這組潛在特質間的關係，可透過一條連續性遞增的函數來加以詮 釋，這個函數便叫作試題特徵曲線 (item characteristic curve, 簡稱 ICC)。 若是把能力不同的考生得分點連接起來所構成的曲線，便是能力不同的考 生在某一測驗試題上的試題特徵曲線，把各試題的試題特徵曲線加總起 來，即構成所謂的試卷特徵曲線 (test characteristic curve, 簡稱 TCC)。
貳、基本假設
力和試題的特性所共同決定。因此，當以下這些假設都成立時，試題反應 模式才能用來分析所有的測驗資料 (余民寧，1992)。 一、單向度 (unidimensionality) 指測驗中的各試題都測量到同一種共同的能力或潛在特質，然而在實 際測驗情境裡，受試者在測驗上的表現情形也會被其他因素如：成就動 機、答題技巧、人格特質等影響。因此，試題反應理論中對測驗必須具有 單向度因素的基本看法，認為只要該測驗具有能夠影響測驗結果的一個 「主要成分或因素」 (dominant component or factor)，即符合單向度假設的 基本要求。 二、局部獨立性 (local independence) 當影響測驗表現的能力被固定不變時，受試者在任何一道試題上的反 應，以統計學而言是獨立的；換句話說，在考慮受試者的能力因素後，受 試者在不同試題上的反應間沒有任何關係存在。 三、非速度測驗 (non-speeded test) 測驗的實施不是在速度限制的情況下完成的；換句話說，受試者的答 題表現，是由於自身能力所決定，並非由於時間因素所造成。 四、知道—正確假設 (know-correct assumption) 若受試者知道某一試題的正確答案，他必然會答對該試題；換句話 說，受試者不會發生知道某一試題的答案，卻故意答錯或不作答的情況。
參、試題反應理論模式
試題反應理論以 ICC 呈現受試者能力和測驗反應之關係，常用的試題 反應模式，有以下三種：(一)單參數邏輯斯模式(one-parameter logistic model)。(二)雙參數邏輯斯模式 (two-parameter logistic model)。(三)三參數 邏輯斯模式 (three-parameter logistic model)。者，答對試題i或在試題i上正確反應的機率；e表示以底數為 2.718 的指 數；n表示該測驗的試題總數。 表 2-1 不同參數邏輯斯模式之數學函數與意義 模式與數學函數 意義 單參數邏輯斯模式： ) ( 1 1 ) ( i b i e P 1. 參數僅有試題難度參數 (item difficulty parameter) bi ，其與能力值同一量尺單 位。bi愈大，表示試題愈難。 2. 當受試者能力值小於試題難度時，則其答 對該試題的機率小於.5 (即bi 0)；反 之，當受試者能力值大於試題難度時，則 其答對該試題的機率大於.5(即bi 0)。 3. 此模式有 Rasch 模式之稱。
(Rasch, 1930; Wright & Masters, 1982)。 雙參數邏輯斯模式： ) ( 1 1 ) ( i i b a i e P 1. 將單參數邏輯斯模式中，加入一個試題鑑 別 參 數 (item discrimination parameter)
i a 。 2. 鑑別度參數ai愈大，表示試題鑑別度愈 大，愈能區分不同能力值受試者的答對機 率，且其試題特徵曲線愈陡；反之，ai愈 小則表示試題鑑別度愈小，較無法區分不 同能力值受試者的答對機率，且其試題特 徵曲線較平坦。 三參數邏輯斯模式： ) ( 1 1 ) 1 ( ) ( i i b a i i i e c c P 1. 將雙參數邏輯斯模式中，加入因猜測而答 對試題的猜測參數 (guessing parameter) i c 。 2. ci值是表示題目完全不會之受試者，其猜 題答對的機率。
第三節 模糊理論
壹、模糊理論
模糊理論 (Fuzzy Theory) 是 L. A. Zadeh (1965) 發表模糊集合 (Fuzzy Set) 的論文中所發展出來的，其首次提出表達事物模糊性的重要概念：隸 屬度 (membership)。藉由隸屬度可以表達一個模糊概念從「完全不屬於」 到「完全屬於」的過渡，其模糊概念以介於
0, 1 的隸屬度來定量。 有關模糊概念的發展歷程，在 1920 年由 J. L. Kasiewicg 提出多值邏 輯，他發現經典的二值邏輯只是理想的模型，而不是現實世界的模型，此 為建立正式的模糊理論跨出了關鍵的第一步；爾後，B. Russell 在 1923 年 寫出了有關「含模糊性」的論文，他認為所有的自然語言都是模糊的；相 隔幾十年後，M. Black 在 1937 年深入地研究「含模糊性」的問題，並提 出「輪廓一致」的新概念，此概念完全可以視為後來 L. A. Zadeh 所提出隸 屬度概念的思想萌芽 (馮國臣，2007)。 所謂的「模糊」是指介於 0%到 100%之間的灰色地帶，事實上，這世 界確實並非「非黑即白」，大多數的概念都是模糊的，因為它們沒有明確 的界線 (陳雅雲，2004)。在真實世界中，對於有效處理蘊含著「模糊」與 「不確定性」的資料，模糊理論經常扮演重要的角色 (Zimmermann, Zadeh, & Gaines, 1984; Zopounidis & Doumpos, 1998)。在實務應用上，亦有愈來愈 多的研究證實了模糊理論的價值 (林原宏，2001)。 自模糊理論發表以來，全球漸漸以美國、日本、中國大陸三國為主要 的研究陣營，其他如德國、法國、西班牙對模糊理論的研究也不遺餘力， 在亞洲國家，除了中國大陸與日本外，我國、韓國、新加坡等國也正急起 直追，亦已有了初步成果 (王文俊，2001)。模糊理論的應用研究包羅萬象， 舉凡影像辨識、自動控制、教學評量、心理分析、財經管理等，均是模糊 理論的應用範圍。有關模糊隸屬度函數和截集 (-cut) 的定義如下： 【定義一】令U表示全域集 (universal set) ，U
x1,x2,x3,,xn
，為一 函數，即:U
0,1，則U 之模糊子集A的隸屬度函數記為
x A ，表示元素x隸屬於模糊集合A的程度。 一、在離散 (discrete) 的情形下，A可表示為：
n i i i A n n A A A x x x x x x x x A 1 2 2 1 1) ( ) ( ) ( ) ( 二、在連續 (continuous) 的情形下，A可表示為：
U x A x x A ( )【定義二】截集是把模糊集合 (fuzzy set) 轉換為明確集合 (crisp set)， 模糊子集A的截集定義為：
x x A A ，01 A的截集的隸屬度函數 A
x 為：
x x x A A A , 0 , 1貳、模糊關係矩陣與模糊截矩陣
兩個集合元素之間的相似程度稱為模糊關係，可用模糊相關矩陣 (fuzzy relation matrix) 來表示。設集合X 有m個元素，集合Y有n個元素，則兩集合元素X 和Y之間的關係程度可用模糊關係矩陣
n m ij r R 表示：
ij mn mn n r r r r R rm1 1 11 其中rij R(x,y):XY
0,1 在給定值之情形下，可進行模糊關係矩陣之運算截矩陣。亦即：
rij m n R 且 ij ij ij r r r , 0 , 1 ，其中01參、察覺的模糊邏輯模式
察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic of perception, 簡稱 FLMP) 係描述 心理運作過程中，在某些向度因子組合下，判斷各刺激 (stimulus) 的特徵 之組合，其與典型 (prototype) T 之間的符合機率程度 (Massaro & Cohen, 1993)。
假設在二因子向度C與O的組合下，其中C有I 個水準且O有J 個水
準，並以C
C1,C2,,CI
及O
O1,O2,,OJ
表示。Ci與Oj所對應的模糊真實值 (fuzzy truth value) 分別為ci與oj，且0ci,oj 1。所謂模糊真
實值ci與oj，係分別表示Ci與Oj支持典型T的程度。因此，自 Luce (1959)
衍 生 的 選 擇 規 則 (choice rule) 觀 點 及 根 據 相 對 適 合 度 準 則 (relative goodness rule, 簡稱 RGR)，(Ci,Oj)被歸為典型T 的機率為 (Massaro & Friedman, 1990)： ) 1 )( 1 ( ) , ( j i j i j i j i o c o c o c o c p 有 關 察 覺 的 模 糊 邏 輯 模 式 在 心 理 學 的 實 證 應 用 為 數 不 少 ， 例 如 Massaro (1987) 在視覺與聽覺刺激的口語研究，以及 Oden (1979) 和 Massaro and Hary (1986) 的 字 母 辨 識 研 究 等 方 面 ， 另 外 ， Crowther, Batchelder, and Hu (1995) 從數學的性質導出察覺的模糊邏輯模式與心理 測驗的 Rasch 模式是等價的，即兩種模式是相通的，但仍各有其特色 (Fisher, 1995) 。因此，察覺的模糊邏輯模式除了應用於人類訊息處理的領 域外，亦被拿來與其他模式做比較。
第四節 詮釋結構模式分析法
壹、詮釋結構模式
詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, 簡稱ISM) 是1976年， 由J. N. Warfield所提出的，原是社會系統工學彙整訊息的建模方法。此方 法將一個系統內元素間的從屬關係，透過二維矩陣 (binary matrices) 的數 學運算，呈現出一個系統內全部元素間的關聯性，藉由電腦輔助執行繁複 的運算過程，而產生出一個完整的多層級結構階層 (multilevel structural hierarchy)，稱之為「地圖 (map)」，使決策者可以有系統且清楚的組織所 得到的資訊及和概念，以改善對問題各層面的了解 (Warfield, 1973, 1974, 1977)。 而在 J. N. Warfield 提出詮釋結構模式之前，Malone (1975) 亦提到詮 釋結構模式主要是一個群體學習的流程 (group learning process)，也適用在 單一專家，此流程將定義不明確、表達能力差的模型，轉換成清晰、定義 良好的系統；詮釋結構模式亦是一個相互作用 (interactive) 的學習流程， 有系統的利用圖解表達基本的概念、理論與計算，闡釋變數間複雜的關 係。之後，Sage (1977) 則認為詮釋結構模式是一套建構良好的方法，此思 維在 Jharkharia and Shankar (2004) 與 Ravi, Shankar, and Tiwari (2005) 的研 究中皆有提及。Sage 認為詮釋結構模式以有系統及具邏輯的思考來考量複 雜的議題，以定義問題或議題架構中各個變數間的關係為基礎，來建置整 體的系統架構。 一、ISM 分析法 傳統的詮釋結構模式分析法可系統化地表示整體元素之間的階層結 構關係，若欲分析的系統內有K個元素，且已知其中任意兩元素Ai與Aj的 二元關係，以A )(aij KK表示。若aij 1，表示Ai從屬於Aj，即Ai為Aj的
下階元素；若aij 0，表示Ai不為Aj的下階元素。詮釋結構模式的分析方 法要點如下 (許天維、林原宏，2004)： (一) 矩陣的運算 兩個矩陣A的運算的結果定義為： ij K K KK K K K K a a a a a a a a a a A ( (2)) ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 22 ) 2 ( 21 ) 2 ( 1 ) 2 ( 12 ) 2 ( 11 2 2 A 矩陣內的元素： i j i j ik kj K k kj ik ij a a a a a a a a a
1 1 1 2 2 ) 2 ( 上式中的和的運算，定義如下： 1 1 , 1 , 0 y and x if else y x else y and x if y x , 1 0 0 , 0 (二) 傳遞閉包(transitive closure) 定義 P A A A A A 3 2 ，且矩陣 ^ A稱為傳遞閉包。 (三) 可到達矩陣(reachability matrix) 定義 P P I A I A A A A I A 2 3 ( ) ，其中I 表示KK階的單 位矩陣。把如下的矩陣R，稱為可到達矩陣。 I A A A A A I A I A I A A A A I A R P P P P 1 3 2 1 P 3 2 ) ( ) ( (四) ISM 圖的繪製 以A1至A5元素為例 (佐藤隆博，1987)。這五個元素之關係，假設可用 矩陣A表示；經過上述的傳遞包閉運算後，則相對應的可到達矩陣為R，分別為： 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 A 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 R 為便於繪製 ISM 圖，將矩陣整理如表 2-2 所示： 表 2-2 ISM 圖之矩陣整理範例與說明 k A R(Ak) 1 A A1 0 0 0 0 2 A A1 A2 A3 A4 A5 3 A A1 0 A3 A4 A5 4 A A1 0 A3 A4 A5 5 A A1 0 0 0 A5 ) (Ak R ：是A的可到達矩陣，在可到達矩陣中， 若元素為 1，則填上表示被指向的元素代號； 在可到達矩陣中，若元素為 0，則保持為 0。 k A M(Ak) 1 A A1 A2 A3 A4 A5 2 A 0 A2 0 0 0 3 A 0 A2 A3 A4 0 4 A 0 A2 A3 A4 0 5 A 0 A2 A3 A4 A5 ) (Ak M ：就R(Ak)矩陣中，M(Ak)的每一列表 示指向該元素的所有其他元素。 k A R(Ak)M(Ak) 1 A A1 A1 A1 A1 A1 2 A 0 0 0 0 0 3 A 0 0 0 0 0 4 A 0 0 0 0 0 5 A 0 0 0 0 0 ) ( ) (Ak M Ak R ：是R(Ak)和M(Ak)兩矩陣的交 集，兩矩陣相對應位置若同時存在該元素，則 填出該元素；否則填上 0。 而製作 ISM 圖的方法步驟為： 【步驟一】針對R(Ak)和R(Ak)M(Ak)的每一列，找出列相等的元素。在 上表中，先找到相對應的第一列A1，在R(Ak)、R(Ak)M(Ak)中
1 A所在的行 (column) 的列 (row) 全部刪掉，刪除後的列與行 則不再比較和尋找。 【步驟二】以相同方法再找到第五列A5，以此類推，我們再次得到A3、A4 一組元素和A2元素。 【步驟三】將找到的元素依序列出高低層級，並依A中的元素關係，劃上 箭頭，如圖 2-1 所示，圖 2-1 中A3、A4是對等元素。在此，完 成 ISM 圖的繪製。若 ISM 圖形元素多而箭頭關係複雜，則可 視研究者所需而進行圖形簡化。 圖 2-1 ISM 圖的繪製 二、ISM 在教育上的相關研究 有關 ISM 在各領域上的應用，分別涵蓋了教育學、行政學、社會學、 心理學等 (Warfield, 1982) 。然而，在教育的領域上，許天維、林原宏 (1994) 提出了 ISM 分析法在教育上的用途，主要可分為三方面：教材內容的結構 化、編授教材內容及學習者學習內容的結構化。此三種用途之內容與相關 研究如下： (一)教材內容的結構化 先分析教材目標，由上而下 (top down) 再找出子目標，而決定出年級 1 A 5 A 3 A A4 2 A 1 A 5 A 3 A A4 2 A
間或單元間教材內容的結構。 吳信義 (1998) 應用 ISM 分析法於「基本電學」科目，獲得教學單元 之要素階層關係圖，建立職業教育課程設計教材之模式，並利用電腦化來 減輕課程設計之負擔。鄭麗娜 (2004) 在社會領域地理概念的研究上，應 用 ISM 法繪出課程領域的地理概念階層圖，且規劃了地理概念學習的最 佳路徑與群組概念。賴宛靖 (2005) 應用 ISM 分析法，將數學與高中物理 課程中，互為相關的單元細分成學習目標，來進行內容分析，而所形成的 課程內容概念結構圖，可以提供教師進行跨學科、相關主題統整時的參考 依據。吳聖煒 (2006) 利用專家訪談的方式，分析國小一至六年級之學習 單元與內容，並利用 ISM 分析法將教材學習路徑繪製出來，讓使用各版本 之學校教師可利用此學習路徑圖，找出學生所需的先後概念何在。 (二)編授教材內容 教學者決定教材內容的目標層次關係，由下往上 (bottom up) 累積元 素關係，幫助教學者了解目標間的順序關係與發展。 蔡曉信 (1993) 應用 ISM 分析法，針對在職進修教師對清潔劑所表達 的開放性觀點進行研究，結果顯示 ISM 方法能有效提升有關 STS (science-technology society) 教學的看法和觀點。鍾靜蓉 (2002) 針對經濟學中「需 求與供給」單元為實例，以 ISM 方法進行學習單元的結構分析，利用電 腦軟體建構出 學習 單元的「學習 地圖 (learning map)」與 「學習路徑 (learning path)」，繪製出要素間的關聯及高低階層關係，並檢核是否與先 前潛藏在人類認知中的「心智模式」相符。王素賢 (2003) 運用 ISM 分析 法設計適性化之高中數學補救教學教材，進行結構化補救教學之實證研 究，研究過程中發現，透過 ISM 設計數學科補救教學教材，可具體化呈現 概念構圖之思考脈絡，支援教師教學效能、縮短教師備課時間，圖像式的 呈現 ISM 結構化教材，可使教師更明確掌握學習順序、幫助學生進行補 救學習。
彭淑珍 (2004) 應用 ISM 法，將特殊教育高職部職業教育課程中，有 關於「洗車」和「廁所清潔」兩職種的職業認知、職業技能及職業態度， 設計並規劃結構化的課程。黃信源 (2005) 運用 ISM 分析法設計國小數學 領域分數概念教材，研究者發現依 ISM 方法建構之分數概念學習階層圖， 編製學習概念圖，可幫助教師更了解概念間的關係與教學順序，另外，階 層式的 ISM 結構化教材，更可幫助學童學習分數概念。李淑芳 (2007) 鑒 於國中數學不同版本所造成的銜接問題，運用 ISM 分析法和專家諮詢，分 析並建立國中數學科「數與量」、「代數」、「幾何」和「統計與機率」等四 大主題的學習路徑與學習地圖，並建製國中數學科「因數與倍數」單元的 教學內容設計與學習單。 (三)學習者學習內容的結構化 學習者本身知識的概念結構，可能不同於教材內容，經過測驗或晤談 來確定概念元素兩兩之間的關係，則可運用 ISM 分析法，得到學習者整體 概念的結構圖。 黃淑芬 (2007) 運用 ISM 分析法所繪得的 ISM 圖，探討國小六年級學 童的國語及數學能力的學習模式，以協助教師了解學生的概念結構。林輝 泉 (2003) 運用 ISM 的階層有向圖 (hierarchical digraph) 理論，描述參與 資訊融入教學之教師，其資訊素養各要素之前後順序。
ISM 分析法在教育上的相關文獻，除了上述三種用途外，在教育的決 策與評估上，Hawthorme and Sage (1975) 將 ISM 分析法應用在高等教育課 程計畫，並將不同團體的意見整合，此方法能有效的呈現各實施方案的階 層順序性。唐復 (2002) 運用 ISM 理論於推動教育視導網路化之需求評估 及發展策略的研究中，透過其數學運算方式，獲得分析要素間的順位、需 達成率、結構圖等。呂福綠 (2003) 為了推動資訊融入教學，導入 ISM 理 論來分析要素間的因果關係，並運用繪製出的概念階層圖為輔助工具，進 而對資訊融入教學進行需求評估與策略發展之擬定。
貳、模糊取向的詮釋結構模式
一、FAISM分析法
林原宏 (2005) 提出之模糊取向的詮釋結構模式 (fuzzy approach of interpretive structural model, 簡稱FAISM)，乃結合察覺的模糊邏輯模式 (FLMP) 和試題反應理論 (IRT) ，其改進傳統ISM方法受限於二元資料的 限制，而能計算不同能力值受試者概念間的模糊關係矩陣，並將其模糊關 係矩陣進行截矩陣，依據概念屬性截矩陣繪製出該能力值受試者之個別 化的概念ISM圖，其模糊取向的詮釋結構模式分析步驟如下 (引自林原 宏，2005)： 【步驟一】確定所分析的元素單位為試題或概念，假設共有M個試題或所 有試題所測量的概念總數為L個。 【步驟二】在選定的試題反應理論模式下，能力值k受試者在第m題的答 對機率為Pm(k)，依察覺的模糊邏輯模式，計算該受試者的模 糊關係矩陣如下： (一) 若所欲分析的元素單位為試題，則能力值k受試者的模糊關係 矩陣為
M M k ij k p D() () ，pij(k)為符合概念i指向概念 j的機 率 。 依 察 覺 的 模 糊 邏 輯 模 式 意 義 ， 令 ci Pi(k) 且 ) ( 1 j k j P o ，所以可得：
1 ( )
1 ( )
( ) ) ( ) ( 1 ) ( ) 1 )( 1 ( ) , ( ) ( k j k i k k i k j k i j i j i j i j i k ij P P P P P P o c o c o c o c p p j (二) 若所欲分析的元素單位為概念，則能力值k受試者的模糊關係 矩陣為
L L k ij k p D() () ， pij(k)為符合概念i指向概念 j的機率。依每一試題測得該概念與否的關係，設概念個數為L個， 可 形 成 一 個 二 元 關 係 的 概 念 屬 性 矩 陣 (attribute matrix) L M ml a A( ) ，aml 1表示第m題包含概念l，亦即有測到概念l； 0 ml a 表示第m題沒有包含概念l，亦即沒有測到概念l。令 L L M m ml a a SA
1 1 1 1 ) ( ) ( 表示每一概念被測得出現的總數之矩 陣 。 因 此 ， 能 力 值k 之 受 試 者 在 每 個 概 念 精 熟 的 機 率 為
m k
M ml
M L
l k
L k P a a ma MA() ()1 / 1 ()1。依察覺的模糊邏 輯模式意義，令ci mai(k)且oj 1maj(k)，所以可得：
1 ( )
1 ( )
( ) ) ( ) ( 1 ) ( ) 1 )( 1 ( ) , ( ) ( k j k i k k i k j k i j i j i j i j i k ij ma ma ma ma ma ma o c o c o c o c p p j 【步驟三】選定值且01，將模糊關係矩陣為
M M k ij k p D() () 或
ij k
L L k p D() () 進行截矩陣分析。例如分析的單位為試題， 則：
ij k
M M k p D() () 且 ) ( , 0 ) ( , 1 ) ( k ij k ij k ij p p p ，其中01 【步驟四】將步驟三所得的模糊關係截矩陣進行 ISM 分析，為提供圖形可 讀性，可進行 ISM 圖簡化，假設元素Ai指向元素Aj有多條路 徑 (path)，則去除直接指向並保留間接指向的路徑。例如：【步驟五】在給定值，可獲得能力值k之受試者的 ISM 圖。因此，可獲 得不同能力值之個人化試題或概念的 ISM 圖。 二、FAISM之相關研究 林原宏 (2005) 應用模糊取向的詮釋結構模式，以網路化分數減法施 測系統對852位國小高年級學童進行施測，研究結果發現不同能力值的受 試者在分數減法概念結構上各具特色；傳統計分相同的情況下，各學童之 分數減法概念結構亦有所不同。陳紹銘 (2006) 應用模糊取向的詮釋結構 模式，分析國小六年級學童的等量公理概念之階層結構，其研究結果發 現：(一)模糊取向的詮釋結構模式分析法，對等量公理知識概念分析是可 行的分析方法。(二)國小學童等量公理的知識結構具有階層特性。(三)受試 者之等量公理概念結構圖因能力值的不同而有明顯的差異存在。(四)傳統 計分之總分相同但反應組型不同的受試者，其知識結構亦不盡相同。 祝淑梅 (2007) 針對國小高年級1167位學童的小數知識，進行FAISM 之分析，其研究結果發現：(一)學童的概念結構因能力值的不同而有明顯 的差異。(二)個別化概念結構圖間的連結指向關係，可具體提供教學者規 劃分組教學或補救教學的參考。(三)以專家的概念結構圖為參照標準，低、 中、高能力值受試者的概念結構圖皆與專家的概念結構圖有明顯差異。紀 順雄 (2007) 應用模糊取向的詮釋結構模式，分析國小六年級學童的分數 m A Aj l A Ak i A m A Aj l A Ak i A 簡化
加法概念結構，研究結果發現：(一)不同能力值的受試者間，其分數加法 概念結構圖是有差異的。(二)高、中、低能力組間的分數加法概念結構之 相似性係數達統計上的顯著差異。(三)高、中、低三組的分數加法概念結 構圖中，高能力組和專家概念結構圖之相似性係數沒有差異；中、低能力 組和專家概念結構圖之相似性係數則有顯著差異。 黃鈺婷 (2007) 應用FAISM，分析我國高中資優學生在亞太數學奧林 匹亞競賽的數學概念之階層結構，研究結果發現：(一)我國高中資優生在 大多數年度APMO的競賽中，在「代數」概念的成績較為理想。(二)大多 數年度APMO競賽高、中、低分群學生之ISM概念圖有階層的差異存在， 而且各階層概念也不盡相同。(三)各年度APMO競賽高、中、低分群學生 之ISM概念圖有連結關係的差異存在。(四)大多數年度APMO競賽高、中分 群學生最熟悉的概念為「代數」，較難以熟悉的概念為「不等式」和「組 合」，而低分群學生的概念則較無共通性。(五)高分群學生在概念之間有連 結關係的程度最高，低分群學生有連結關係的程度則最低。 吳育楨 (2007) 應用模糊詮釋結構模式分析法，進行國小六年級學童 因數與倍數概念階層結構之探討，以提供數學教材、教學及補救教學之參 考。蕭丞凱、陳秋佑、林原宏 (2007) 以國小二年級幾何內容為實證分析， 應用FAISM分析法建置圖形化取向的網路即時診斷評量系統，提供教師快 速且方便的工具，來檢驗學童在數學領域分年細目指標下，其學習評量和 認知診斷結果。黃雅琦、易正明、林原宏 (2008) 應用FAISM進行「電腦 化數感診斷測驗」以檢測六年級學生在分數及小數的數感發展，研究結果 發現數感能力的概念具有階層性，概念間具關聯性及方向性，高分組受測 者的概念間存在縝密的關聯結構，但是低分組受測者的概念間存在的關聯 性則較薄弱。 從上述研究可知，應用模糊取向的詮釋結構模式來描述知識或概念的 從屬關係，是一個可行的方法。另外，此分析方法不但可以獲得個人化的
概念結構，並可提供教師做為認知診斷之參考 (Lin, Hung, & Yu, 2007; Yih, Lin, & Hung, 2007) 。因此，本研究即應用模糊取向的詮釋結構模式，分 析國小五年級學童數與量分年細目概念的認知結構，進而了解學童概念的 連結情形，來作為教師進行認知診斷、補教教學與課程設計之參考。
