丹德林出生於1794 年法國大革命時期，是個比利時軍事工程師。他曾參加 過拿破崙政權青年志願軍，也參與過 1830 年比利時獨立革命。他 1822 年在比利 時布魯塞爾皇家科學學院發表了一篇論文，以正圓錐模型和截面中間塞進兩個內 切球的方式(稱為 Dandelin Spheres)，解釋圓錐曲線的焦點性質。
第一節 解釋 Dandelin Spheres 內容
以橢圓為例，橢圓上每一點到兩焦點的距離和會是一個定值。如下圖所示，
丹德林在一正圓錐與一平面截出一橢圓 Г 的模型中，找出兩個與圓錐與截面皆相 切的球 和 。這兩顆內切球分別與圓錐切於圓 和 ，並與截面切於點 和 ( 和 即為橢圓 Г 的兩焦點)。圓錐頂 和橢圓上任意一點 連成的射線 ，交圓 和 於點 和 ，從圓錐模型可以明顯看出對於所有點 ， 的長度都是一樣的。
由於 和 都是 點對球 的切點，因此 = ；同理， 和 都 是 點對球 的切點，因此 = 。所以對於橢圓上任意一點 ，
+ = + = = 定值
即為從焦點出發的橢圓定義式。
P P
P
此外，丹德林的圓錐模型也可以呈現出橢圓的準線和離心率的意義。
如下圖，令橢圓上點 到圓 所在平面垂點為 ，因為圓錐頂 和圓 圓 心 O 的連線(稱為正圓錐的中心線)也垂直於圓 所在平面，所以
∆ ~∆ ，因此 / = / = cos α ， α 稱為正圓錐的圓錐角。
另一方面，令橢圓 Г 所在平面和圓 所在平面的交線為 l ，且兩平面的兩面角為 β ， 點到 l 的距離 d( ; l )，則 / d( ; l ) = sin β。
因此我們可以得到
d( ; l ) = / d( ; l )
/ = sin β
cos α= 常數 e
亦即 到焦點 之距離與 到線段 l 之距離之比為一常數 e ，我們將 l 稱為 橢圓的準線。當 β = 0 ，即截線是圓時， e = 0 。而在橢圓的情形因為 α + β < 90° ， 所以 0 < e < 1 。
O β
橢圓 Г 平面
l
d( ; l )
所在 平面
取一平面過橢圓焦點並與截平面垂直，而得一圓錐面之剖面圖如下： = 2a = 長軸 ， = 2c ，2c 為兩焦點之間距離。由上述討論知 / = e =
= = ，再由減比定理得 e =( ) ( ) = 。因此前述的常數 e 即橢 圓離心率之定義，而且相似的橢圓之間均有相同的離心率，正如所有的圓，離心 率均為0。(雙曲線的離心率會大於 1，拋物線的離心率為 1)
第二節 Dandelin Spheres 的應用
古人利用在地面上立一根竿子當作日晷，根據太陽照射竿子所造成的晷影來 判斷時間，由於這種日晷的軌面與地平面平行，因此將之稱為地平式日晷。假設 在同一天內，太陽直射地球的緯度都不改變，則因為地球自轉的關係，通過竿頂 的太陽光向量一天中會圍成一個正圓錐。如下圖，
X
地平面 地軸方向
因為太陽直射地球的緯度不變，因此太陽光向量與地軸方向夾角固定(銳角 部分即為上節的圓錐角)，此錐面之中心線會過竿頂並與地軸平行。而地平面就 如同一個截面，與錐面截出一圓錐曲線，即一日中竿頂在晷影上的位置所構成的 曲線(此曲線在地平面上)。我們可以藉由 Dandelin Spheres 中的圓錐角 α 和兩面 角 β 來推算出圓錐曲線的離心率，進而瞭解竿頂在晷影上的位置所構成的曲線是 圓、橢圓、拋物線還是雙曲線。
如下圖，假射有一天太陽直射地球北緯角度為 φ ，圓錐角 α 即為 90° − φ 。 對於位於北緯 θ 的某地來說，兩面角 β 即為地平面和赤道面的夾角，從圖中可看 出 β 即為 90° − θ。因此離心率 e = = ，可以以此判斷這一天在某地的 竿頂晷影軌跡圖型。
舉例說明，夏至時太陽直射北緯 23.5° ，將竿立在北極，竿頂在北極地平面 上移動的軌跡便是正圓。從 e = = . °° = 0 可以知道在北極的竿頂晷影的 軌跡的確是正圓沒錯。
地軸
赤道面
地平面 太陽直射緯度φ
太陽光 向量
θ β α
要是在夏至時將竿子逐漸南移，在 90° − φ = 66.5° < θ < 90° 時，e = =
( ° )< = 1，在這段緯度範圍的地區軌跡為橢圓；剛好 θ = 90° − φ = 66.5° 時， e = = ( ° ) = = 1 ，在這特定緯度的地區軌跡剛好是拋 物線；而當 θ < 90° − φ = 66.5° 時，軌跡就變成了雙曲線的其中一支。以位於 北緯 25° 的臺北為例，則 e = = . °° ≒ 2.27 ，因此夏至時臺北的竿頂晷影 軌跡為雙曲線的其中一支。
此外，在太陽直射北緯 23.5° 時，在赤道到南緯 66.5° 之間的地區，竿頂晷 影軌跡也是雙曲線的其中一支；而剛好南緯 66.5° 的地區正午時可以在地平正北 方向看到一瞬間的太陽以外，在南緯 66.5° 以上的地區夏至整天都看不到陽光，
因此在地面上是看不到晷影的。
在太陽直射北緯 φ 時各地區的竿頂晷影軌跡，我們將結果整理如下：
(1) 緯度為北緯 90° 的地區，也就是在北極， e = 0 ，軌跡為一正圓。
(2) 緯度在北緯 θ ，且 90° − φ < θ < 90° 的地區， 0 < e < 1 ，軌跡為一橢圓。
(3) 緯度在北緯 θ ，且 θ = 90° − φ 的地區， e = 1 ，軌跡為一拋物線。
(4) 緯度在北緯 θ 或南緯 θ ，且 θ < 90° − φ 的地區， e > 1 ，軌跡為一雙曲線的 一支。
(5) 緯度在南緯 θ ，且 θ = 90° − φ 的地區，太陽只會在正午的一瞬間在地平面 出現，沒有軌跡。
(6) 緯度在南緯 θ ，且 90° − φ < θ ≤ 90° 的地區，進入永夜時期，完全看不到太 陽，因此也沒有軌跡。
當太陽直射南半球的話，將上述結果南北對調即可。
參考文獻
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