第一章 阿波羅尼斯探討圓錐曲線
第三節 以線性變換的縮放補充共軛直徑的定義及基本性質 15
1.圓的共軛直徑
對一個圓來說，給定一條直徑，直徑的兩端點的兩條切線與此直徑垂直(所 以這兩條切線會互相平行)，且與兩條切線平行的弦皆會被此直徑平分，如果剛 好與切線平行的弦通過圓心，則此弦也是圓的一條直徑，這兩條直徑之間的關係 互為彼此的共軛直徑。
另一方面，如果給定一條直徑，所有與此直徑平行弦的中點會連成一條直線，
且此直線因為也過圓心因此也是圓的另一條直徑，這兩條直徑一樣會互相垂直且 互為對方的共軛直徑。
由於兩條共軛直徑端點的兩組切線互相垂直，很容易便可看出這兩組切線所 圍出的面積是定值，此定值其實就是圓直徑長度的平方。
2.橢圓的共軛直徑
換到橢圓的情形時，想像把圓的鉛垂方向不變，水平方向拉長某個倍數，則 原本互相垂直的兩條直徑之間的角度就可能不會再保持垂直，但是不會影響直線 與橢圓之間的切線關係和兩條直線之間的平分關係和平行關係，簡單的說就是原 本直徑的兩端點切線在圓的情形一定會與直徑垂直，伸縮後直徑會變成橢圓上的 一條直徑，切線仍然是橢圓的切線，直徑兩端點的切線還是維持互相平行，而與 這兩條切線平行的弦也都會被此直徑平分，當此平行弦過直徑中點即橢圓中心時，
此一過中心的平行弦便是原本直徑的共軛直徑。
同理，給定橢圓的一條直徑，將所有與直徑平行的弦中點連線。我們已經知 道伸縮前，在圓的情形時這是一條與原本直徑端點切線平行的直徑，而這條直徑
的切線也和原直徑互相平行。伸縮後這條直線與原本直徑端點切線保持互相平行 且通過橢圓中心，因此也會是橢圓中原直徑的的共軛直徑，只是兩條共軛直徑之 間的關係不一定會互相垂直。(根據證明 10，兩條直徑分別是長短軸時才會互相 垂直。)
而橢圓共軛直徑的兩組平行切線所圍成的平行四邊形，伸縮前後的面積比例 一樣會是固定的，根據前述已知伸縮前的面積是定值，所以伸縮後的面積仍然會 是定值，此定值即為長軸長乘以短軸長。
另外，橢圓的直徑和其共軛直徑的平行弦，還原成伸縮前圓的情形時，會是 圓的一條直徑和被此直徑垂直平分的弦。由於在圓的情形下，可根據相似直角三 角形的關係知道，弦長一半的平方除以直徑被此弦所截割的兩條線段長之積的值，
不受平行弦位置影響皆為定值1。因此從圓伸縮成橢圓後，對於這組平行弦伸縮 的比例固定，由此推得共軛直徑基本定理。
總結橢圓共軛直徑的基本性質如下：
ⅰ.直徑兩端點的切線會互相平行，且所有與切線平行的弦會被此直徑平分，當 平行弦過中心時即為共軛直徑。
ⅱ.給定一直徑，所有與直徑平行的弦的中點會連成共軛直徑，且此直徑的共軛 直徑兩端點的切線會與原直徑平行。
ⅲ.一組共軛直徑的兩組平行切線所圍成的平行四邊形面積是定值，此定值為長 軸長乘以短軸長。
第四節 橢圓的共軛直徑
前兩節是討論圓錐與截面所交出的橢圓得到共軛直徑基本定理；本節則是假 設現有一橢圓、任意一條直徑和一條與此直徑的共軛直徑平行的弦，在沒有斜圓 錐和截面的情況下，仍然可以證明出共軛直徑基本定理。
首先，現有一橢圓 Г 和直徑 PP′ 和一條與此直徑的共軛直徑平行的弦 QQ′ ， 在橢圓所在平面外找一點當作 A ， A 和橢圓 Г 上各點連線形成生成線， AP 和 AP′ 形成軸三角形平面，將 PP′ 延長取一點 M ，過 M 作平行於 QQ′ 之直線即為 l ， 可以在軸三角形平面上找到過 M 且與 l 垂直之直線，令此直線與 AP 交於 B ，與 AP′ 交於 C 。
證明 11 在軸三角形平面上可以找到過 M 且與 l 垂直之直線。
若軸三角形平面與 l 垂直則可知 PP′ 為橢圓長軸或短軸(根據證明 10)，由第一節 M
B
C
A
P′
P
l Q Q′
V
已知符合共軛直徑基本定理。若軸三角形平面不與 l 垂直，則過 M 且與 l 垂直的 平面和軸三角形平面不可能平行，此兩平面必有一交線，此交線即為所求直線。
如圖，包含 l 及 BC 之平面我們將其當做底面，此底面會和斜圓錐截出一底 橢圓 Г′ ， BC 會是此底橢圓的長軸或是短軸。
證明 12 BC 會是此底橢圓 Г′ 的長軸或是短軸。
同樣作 AQ 交底橢圓於 X 、 AQ′ 交底橢圓於 Y，方法同證明 4 可知 XY 被 BC 垂直 平分，再根據證明 10 的結論便可得證。
假設 PP′ 和 QQ′ 的交點為 V ，同樣再過 V 作一平行於 BC 之 TT′ ， TT′ 分別 交 AB 、 AC 於 T 和 T ，如圖，Q 、 Q 、 T 和 T 四點都位在與底橢圓平行的平 面上，且此平面同樣截斜圓錐於一個與底橢圓相似的橢圓 Г"。
M B
C
A
P′
P
l Q Q′
X
V O′ Y
證明 13 ∙ 為一定值。
根據證明 9 已知 ∙ 為一定值，又橢圓 Г"與底橢圓相似，可推得 ∙ 也是一 定值。因為 ∆PTV~∆PBM ，可知 PV = TV ∙ ，同理因為 ∆P′T′V~∆P′CM ，可知
P′V = T′V ∙ ，因此得 ∙ = QV /( TV ∙ ∙ T′V ∙ ) = ∙ ∙ ∙∙ = 定值 。
M B
C
A
P′
P
l Q Q′
X O′ Y T′ V T