第一章 阿波羅尼斯探討圓錐曲線
第一節 正圓錐
現有一根據定義 1 所定的正圓錐，一平面截此正圓錐的圖形為一橢圓記為 Г ， 將此截面與 E 的交線定為 l ，圓心 O 在 l 上的垂點定為 M ， OM 交圓於 C ， BC 為 圓上一直徑，因為 和 都是生成線，設截面交 、 於 P 和 P′ ，如圖。
Apollonius 將 ∆ABC 稱為軸三角形， P 、 P′ 皆在軸三角形上(以下簡稱軸三角形所 在的平面為軸三角形平面)。
B C M
A
P′
P
l
O
證明 1 P 、 P′ 和 M 三點共線。
因為 M 在 上， M 會與軸三角形共平面；又 M 在 l 上，所以 M 也落在截面上。
可推得 M 會位在軸三角形平面與截面的交線，也就是 PP′ 上，得證。
上述的結論是因為軸三角形平面與截面不平行或重合，因此交線是唯一的一 條。
證明 2 AM 垂直於 l 。
AO 垂直 BC 於 O ，又 垂直 l 於 M ，根據三垂線定理可知 AM 垂直於 l 。 利用證明 2 可以再更進一步發現 PP′ 也會垂直於 l 。
證明 3 PP′ 與 l 垂直。
軸三角形平面上能找到兩不平行向量 AM 和 BM 都與 l 垂直，可知軸三角形平面 與 l 垂直，又 PP′ 也在軸三角形平面上，因此得證。
在 Г 上作一條平行於 l 的弦 QQ′ ， QQ′ 交 PP′ 於 V ，如圖，由證明 3 可知 QQ′
垂直於 PP′ 。
B C M
A
P′
P
l Q
Q′
X
V Y O′
證明 4 V 為 QQ′ 中點。
在此將原本的圓稱作底圓，作 AQ 交底圓於 X 、 AQ′ 交底圓於 Y ， XY 為 ∆AXY 與
底面 E 之交線。 QQ′ 位於 ∆AXY 上， l 位於 E 上，又 QQ′ 平行於 l ，所以 QQ 是 ∆AXY 和 E 的共同向量，也就是說 ∆AXY 和 E 之交線 XY 會和 QQ′ 同向。因為 XY 與 QQ′ 和 l 都平行，所以 XY 也會垂直於 BC ，又因為 BC 是底圓的直徑，因此 XY 是底圓上一條被 BC 垂直平分的弦。再看 AV 交底圓於 O′ ，因為 AV 在軸三角形 平面上，可知 O 會落在 BC 上。又 AV 也在 ∆AXY 上，所以 O 也會再 XY 上，因 此 O 是 X 和 Y 的中點。因 QQ′ 平行 XY ， AV 交 XY 於 O′ ，而 O 是 X 和 Y 的中 點，推得 V 為 QQ′ 中點。
過 V 作一平行於 BC 之 TT′ ， TT′ 分別交 AB 、 AC 於 T 和 T ，如圖。
證明 5 Q 、 Q 、 T 和 T 四點共圓。
因為 QQ′ 與 l 平行、 TT′ 平行 BC ，可知 Q 、 Q 、 T 和 T 四點皆與 V 位於同一平 行於 E 的平面上，此平面同樣截圓錐於一圓，因此 Q 、 Q 、 T 和 T 四點都落在 此圓上，亦即四點共圓。
B C M A
P′
P
l Q
Q′
T
V T′
根據圓冪性質，可得：
QV ∙ Q V = TV ∙ T V
由證明 4 可知 QV = Q V ，因此將上式轉換為：
QV = TV ∙ T V
證明 6 ∙ 為一定值。(正圓錐所截橢圓的共軛直徑基本定理)
因為 ∆PTV~∆PBM ，可知 TV = PV ∙ ，同理因為 ∆P′T′V~∆P′CM ，可知 T′V = P′V ∙ ，因此 QV = TV ∙ T V = PV ∙ P V ∙ ∙∙ ，推得 ∙ = ∙∙ = 定值 。
由證明 6 可知， ∙ 對所有與 l 平行的弦 QQ′ 來說為一定值，不受 QQ′ 位 置影響，我們稱此比例為橢圓的一個共軛不變量 γ 。在正圓錐的情況下，根據證 明 3 和證明 4 能推得 QQ′ 被 PP′ 垂直平分，因此從對稱性可看出 PP′即橢圓之長 軸，而共軛直徑 KK′ 即短軸。實際上，證明 6 得到的結論跟現今橢圓坐標化後得 到的方程式型式是等價的。
證明 7 利用證明 6 推導橢圓坐標化後得到的方程式。
若 ∙ 為一定值 k ，令 P 為原點， PP′ 為 軸方向， PP′ = 2 ， PV = ，QV = Q V = y ，證明 6 的結果可換成 = (2 − ) = − + 2 ，經移項得到 + ( − ) = ，同除以 後變成 ( ) + = 1 。當 V 為 PP′ 中點 G 時亦為橢圓的中心，此時 QQ 為共軛直徑 KK′ ， KG = K G = 半短軸長 b ，因此 k = ∙ = ，代入前述方程式便會得到以 ( , 0) 為中心的橢圓標準式：
( ) + = 1 。
在 AO 不垂直於平面 E 但 AM 垂直於 l 時，如下圖，此類斜圓錐仍可適用第
所以在一般斜圓錐情形下， PP′ 可能不平行於 BC ，所以也不會與 l 垂直，QQ′ 與 PP′ 之間也未必是垂直的關係。我們同樣將 QQ′ 和 PP′ 的交點定為 V，如下圖。
B C M