第四章 數值分析
4.2 主結構系統之動力反應
上一節已表列出兩軸對稱圓形結構基礎之振動量，本節以參數分析考慮 SSI 效應之三自由度結構系統。採用參數如表 4.7 所示，無因次化樓版質量 m 與基礎 版質量m 皆為 1.25，無因次化樓版質量慣性矩0 J與基礎版質量慣性矩J 皆為0 0.078125，外力頻率ω 為2π ，即 6.283185 (rad sec)，X 方向與 Y 方向之結構組 尼比ξ 及x ξ 皆為 5%。 y
以單位無因次化外力作用在振動源結構基礎時，主結構基礎產生之位移 (即 上一節所求出之Δ2) 作為自由場位移，分析主結構系統之動力反應。首先，驗證 主結構系統之正確性，將主結構系統之無因次化結構水平勁度k 增大至x 1017，而 結構垂直勁度ky =kx / 10，意味著結構水平及垂直方向剛性皆很大，結構不產生 相對位移量，且結構高度h縮小至10−14(亦將結構高度無因次化)，即簡化成質量 為 2 倍之主結構基礎；另一方面，並將軸對稱圓形主結構基礎之質量亦增為 2
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倍，比較兩基礎之間數值結果，表 4.8 為僅有單位垂直力作用於振動源結構基礎 時的情況，表 4.9 為僅有單位力矩作用於振動源結構基礎時的情況，表 4.10 為僅 有單位水平力作用於振動源結構基礎時的情況，由表 4.8 至表 4.10 綜合可知：兩 者之基礎絕對振動量為相同的，驗證了三自由度結構系統模型之正確性。數值結 果亦呈現出結構相對於基礎各方向之振動量均為 0。
在振動源結構基礎各自由度上逐一施加單位無因次化外力，以此外力作用 下，主結構基礎產生之振動量Δ 作為自由場位移，計算作用於系統上之等值外2
力Pe = −Δ ω2Eg 2，將無因次化結構水平勁度k 逐漸增大，由 0.5 增大至 100000，x 取樣間隔為 0.5，無因次化結構高度h逐漸減小，分別取h=1.0、h=0.5、
10 1
h= − 、h=10−3、h=10−6等五種情況，以圖呈現結構相對位移及基礎絕對位移 隨著結構水平自然振動頻率變化之趨勢。
4.2.1 僅單位垂直力作用
首先，僅以單位垂直力作用於振動源結構基礎時之位移作為自由場位移，即
[ ]
T1 = 1 0 0
P ，圖 4.1 為結構垂直位移之變化趨勢，各情況之峰值出現於當
x 11.0rad sec
ω 時；圖 4.2 為結構翻轉角之變化趨勢，當h=1.0的情況，於
x 3.5rad sec
ω 時出現峰值，當h=0.5的情況，於ω x 5.5rad sec時出現峰值，
當h=10−1、h=10−3及h=10−6的情況，於ω x 7.0rad sec時出現峰值；圖 4.3 為 結構水平位移之變化趨勢，當h=1.0的情況，於ω x 0.8rad sec時出現峰值，當
0.5
h= 的 情 況 ， 於 ω x 2.0rad sec 時 出 現 峰 值 ， 當 h=10−1 的 情 況 ， 於
x 3.5rad sec
ω 時出現峰值，當h=10−3及h=10−6的情況，於ω x 3.8rad sec時 出 現 峰 值 ； 圖 4.4 為 基 礎 垂 直 位 移 之 變 化 趨 勢 ， 各 情 況 之 峰 值 出 現 於 當
x 11.0rad sec
ω 時；圖 4.5 為基礎翻轉角之變化趨勢，當h=1.0的情況，於
x 3.8rad sec
ω 時出現峰值，當h=0.5的情況，於ω x 5.5rad sec時出現峰值，
當h=10−1、h=10−3及h=10−6的情況，於ω x 6.8rad sec時出現峰值；圖 4.6 為 基礎水平位移之變化趨勢，當h=1.0的情況，於ω x 3.6rad sec時出現峰值，當
0.5
h= 的 情 況 ， 於 ω x 2.0rad sec 時 出 現 峰 值 ， 當 h=10−1 的 情 況 ， 於
x 3.6rad sec
ω 時出現峰值，當h=10−3及h=10−6的情況，於ω x 3.8rad sec時 出現峰值。
4.2.2 僅單位力矩作用
接著，僅以單位力矩作用於振動源結構基礎時之位移作為自由場位移，即
[ ]
T1 = 0 1 0
P ，圖 4.7 為結構垂直位移之變化趨勢，各情況之峰值出現於當
x 10.8rad sec
ω 時；圖 4.8 為結構翻轉角之變化趨勢，當h=1.0的情況，於
x 3.6rad sec
ω 時出現峰值，當h=0.5的情況，於ω x 5.8rad sec時出現峰值，
當h=10−1、h=10−3及h=10−6的情況，於ω x 7.0rad sec時出現峰值；圖 4.9 為 結構水平位移之變化趨勢，當h=1.0的情況，於ω x 0.5rad sec時出現峰值，當
0.5
h= 的 情 況 ， 於ω x 2.1rad sec 時 出 現 峰 值 ， 當 h=10−1 的 情 況 ， 於
x 3.5rad sec
ω 時出現峰值，當h=10−3及h=10−6的情況，於ω x 3.8rad sec時 出 現峰 值； 圖 4.10 為基礎垂直位移之變化趨勢，各情況之峰值出現於當
x 12.0rad sec
ω 時；圖 4.11 為基礎翻轉角之變化趨勢，當h=1.0的情況，於
x 3.5rad sec
ω 時出現峰值，當h=0.5的情況，於ω x 2.0rad sec時出現峰值，
當h=10−1、h=10−3及h=10−6的情況，於ω x 7.0rad sec時出現峰值；圖 4.12 為基礎水平位移之變化趨勢，當h=1.0的情況，於ω x 3.5rad sec時出現峰值，
當 h=0.5 的 情 況 ， 於ω x 2.0rad sec時 出 現 峰 值 ， 當 h=10−1 的 情 況 ， 於
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x 3.5rad sec
ω 時出現峰值，當h=10−3及h=10−6的情況，於ω x 3.8rad sec時 出現峰值。
4.2.3 僅單位水平力作用
最後，僅以單位水平力作用於振動源結構基礎時之位移作為自由場位移，即
[ ]
T1 = 0 0 1
P ，圖 4.13 為結構垂直位移之變化趨勢，各情況之峰值出現於當
x 11.5rad sec
ω 時；圖 4.14 為結構翻轉角之變化趨勢，當h=1.0的情況，於
x 3.5rad sec
ω 時出現峰值，當h=0.5的情況，於ω x 5.5rad sec時出現峰值，
當h=10−1、h=10−3及h=10−6的情況，於ω x 6.5rad sec時出現峰值；圖 4.15 為結構水平位移之變化趨勢，當h=1.0的情況，於ω x 3.5rad sec時出現峰值，
當 h=0.5 的 情 況 ， 於ω x 2.0rad sec時 出 現 峰 值 ， 當 h=10−1 的 情 況 ， 於
x 3.5rad sec
ω 時出現峰值，當h=10−3及h=10−6的情況，於ω x 3.8rad sec時 出 現峰 值； 圖 4.16 為基礎垂直位移之變化趨勢，各情況之峰值出現於當
x 12.0rad sec
ω 時；圖 4.17 為基礎翻轉角之變化趨勢，當h=1.0的情況，於
x 0.5rad sec
ω 時出現峰值，當h=0.5的情況，於ω x 2.0rad sec時出現峰值，
當h=10−1、h=10−3及h=10−6的情況，於ω x 6.6rad sec時出現峰值；圖 4.18 為基礎水平位移之變化趨勢，當h=1.0的情況，於ω x 3.5rad sec時出現峰值，
當 h=0.5 的 情 況 ， 於ω x 2.0rad sec時 出 現 峰 值 ， 當 h=10−1 的 情 況 ， 於
x 3.5rad sec
ω 時出現峰值，當h=10−3及h=10−6的情況，於ω x 3.8rad sec時 出現峰值。
由圖 4.1、圖 4.4、圖 4.7、圖 4.10、圖 4.13 及圖 4.16 可知，不論是結構或基 礎，垂直位移並不會隨著結構高度不同而有所變化；圖 4.2、圖 4.8 及圖 4.14 皆 為結構翻轉角，圖 4.3、圖 4.9 及圖 4.15 皆為結構水平位移，圖 4.5、圖 4.11 及
圖 4.17 皆為基礎翻轉角，圖 4.6、圖 4.12 及圖 4.18 皆為基礎水平位移，可由這 些圖看出，h=1.0、h=0.5及h=10−1的情況，至少有兩處產生急遽變化，但
10 1
h= − 的情況，有一處較不明顯。綜合以上，可歸納出當結構高度越大，急遽 變化之處越多，結構高度很小，則僅有一個急遽變化之處；除此之外，結構高度 越小，各振動量達到峰值時所對應之結構水平自然振動頻率會越大；不論是結構 或基礎，不同結構高度，對於翻轉角及水平位移影響較大，對於垂直位移則不影 響。值得注意的是，h=10−3與h=10−6的情況，兩者曲線重合，趨勢變化完全相 同，即表示結構高度減小至一定程度之後，不再對振動量造成影響。在結構水平 自然振動頻率甚大時，結構相對於基礎之各個振動量趨近於 0，也表示當結構剛 性很大時，幾乎不產生結構相對於基礎之位移。
隨著結構水平自然振動頻率逐漸增大，表列出主結構系統中結構相對位移及 基礎絕對位移在不同結構高度情況下之峰值，表 4.11 為僅以單位垂直力作用於 振動源結構基礎時，主結構系統中各振動量之峰值表；表 4.12 為僅以單位力矩 作用於振動源結構基礎時，主結構系統中各振動量之峰值表；表 4.13 為僅以單 位水平力作用於振動源結構基礎時，主結構系統中各振動量之峰值表，由於計算 過程中，各參數皆已無因次化，故各振動量亦以無因次化的方式呈現；綜合以上 表可知，不論是結構或基礎，垂直位移之峰值並未隨著結構高度不同而有所改 變；翻轉角之峰值變化較明顯，即隨著結構高度不同，出現峰值時對應的結構水 平自然振動頻率皆不同，結構高度越小，結構翻轉角峰值越小，基礎翻轉角峰值 則無規律變化；水平位移之峰值變化最為明顯，結構高度越小，結構水平位移峰 值越小，基礎水平位移峰值之變化亦無明顯規律。各振動量之峰值有其對應之結 構水平自然振動頻率，實際設計時應避免採用，如此一來，產生的振動量才不會 因結構本身因素 (如結構自然振動頻率) 而被放大。
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