主要平衡路徑的統御方程式及其解法

0

{ ₁^g

g

g + M∆ =

M M δφ

M (3.1.3)

同理，QT-2 型的彎矩在端點受到

δ

φ^g的擾動後，其端點所承受的負荷變成 }

0 {

M

₃^g

M

g

g + M∆ =

δφ

M (3.1.4)

同理，ST 型的彎矩在端點受到

δ

φ^g的擾動後，其端點所承受的負荷變成

2 }

1 2

{ 1

₃^g ₁^g

g

g

+ M ∆ = M

δφ

M M

δφ

M

(3.1.5)

當負荷小於挫屈負荷時，滿足平衡方程式的變形只有主要平衡路徑，但當負荷等於 挫屈負荷時滿足平衡方程式的變形除了主要平衡路徑還有次要平衡路徑。

為了求得挫屈負荷，本文先求出梁結構在某一大小的 P 和 M 作用下的主要平衡路 徑，然後在該平衡位置上加上擾動位移，使其到達一新的變形位置，若此新的變形位置 也能滿足平衡方程式，則該負荷即為挫屈負荷。本文在分析時將梁分成

N

個元素(圖 七)，共有

N + 1

個節點。每個元素在其元素座標上都需滿足平衡方程式及構成方程式 ((2.6.18)~(2.6.26)式)，相鄰兩元素在共同節點上都需滿足變形的相容條件及力的平衡條 件，即有相同的位移、旋轉、曲率、軸向扭轉率、合力、合力矩及廣義雙力矩。梁元素 在結構的兩端點都需滿足外加的位移和力的邊界條件。

3.2 主要平衡路徑的統御方程式及其解法

本節中僅探討簡支梁受端點彎矩及軸向壓力的情況。簡支梁受軸向拉力及懸臂梁的 情況在附錄(A)和(B)中說明。

如圖八所示之簡支梁在挫屈前主要平衡路徑的變形僅有在

X

₁

X

₃平面上的位移，即

1=0

=

=

θ

ds

v dv

，所以任一元素在其元素座標上的旋轉參數向量可以表示成

} 0 0

{

₂⁰ 0

=

θ

θ

(3.2.1)

ds

−

dw

=

=

ϕ

θ

₂⁰ sin (3.2.2)

其中

ϕ

為梁的切線和其元素座標之

x 軸的夾角，

₁

w

為在

x 軸方向的位移。

₂ 令

ds

d ϕ

κ

= 表示梁的曲率，當

ϕ

<<1時，利用近似式 ⁰

≈

θ

2

ϕ

及將(3.2.2)式微分一次可 得

2 0 2

2

ds w d ds

d

=−

=

θ

κ

(3.2.3)

將(3.2.1)式代入(2.6.19)、(2.6.23)及(2.6.26)式並採用近似式1+

ε

₀ ≈1可得

0 1 2 2

F

3

F θ ds

dM − =

(3.2.4)

0 , 2

EI

2 s

M =

θ (3.2.5)

2 0

, 0 2

1

AE EI

_y

(

_s

)

F =

ε

+

θ (3.2.6)

其中

P

e

F

₁ =− cos

φ

(3.2.7)

φ

e表示元素座標

x 軸和

₁

X 軸的夾角(見圖九)。

₁ 將(3.2.3)式代入(3.2.5)式可得

EI

y

M

₂

κ

= (3.2.8)

將(3.2.4)式微分一次，並將(3.2.2)式、(3.2.5) 式、(3.2.7) 式及(2.6.21)式代入其中可得

0

cos

2

2 4

4

+ =

ds w P d

ds w

EI

_y

d

φ^e (3.2.9)

(3.2.9)式為梁元素在主要平衡路徑的統御方程式。

令 2

−1

=

S

ζ s

其中

S

為梁元素的弧長，

2 1 2

1 ≤ ≤

−

ζ

，則

ds

d

可表示成

ζ ζ

ζ

d d S d

d ds d ds

d

1

=

= (3.2.10)

將(3.2.10)式代入(3.2.9)式中可將其無因次化成

cos 0

2 2 4

4

2 + =

φ ζ

ζ d

w P d

d w d S

EI

_{y e}

(3.2.11) (3.2.11)式的通解可表示成

) 0

( )

(

ζ

N^t

ζ

q

w

= (3.2.12)

N (

ζ

) = { sin a

ζ

cos a

ζ ζ

1 }

(3.2.13) q⁰ ={

D

₁

D

₂

D

₃

D

₄} (3.2.14)

²

將(3.2.12)式代入(3.2.16)及(3.2.17)式可以得到

q⁰ =Tκ (3.2.19)

將(3.2.19)式代入(3.2.12)式可得

w ( ζ ) = N

^t

( ζ ) Tκ = N

^t_w

( ζ ) κ

(3.2.22)

(3.2.24)式中

l

為梁元素的弦長，當

ϕ

<<1時，利用近似式

ϕ

≈sin

ϕ

，(3.2.2)式及(3.2.22) 式可得

N_w^tκ

ds

dw

=− ′

−

ϕ

= (3.2.25)

由(3.2.25)式可得

ϕ

^j =−N′_w^t(

ζ

_j)κ (3.2.26)

因梁元素在共同的節點上有相同的切線，所以由圖十及(3.2.23)式可以得到

F

_i

= φ

_t²_(i−1)

− φ

_t¹_(i)

= 0 i = 2 , 3 ,... N

(3.2.27)

j i e

i j

i

t,()

φ

()

ϕ

()

φ = −

(3.2.28)

其中下標 )(

i 表示第

(

i 個元素，下標

)

i

表示系統之第 i 個節點，上標

j

(

j

=1,2)表示該元 素 的 節 點 j ， 因 梁 元 素 在 共 同 的 節 點 上 有 相 同 的 曲 率 ， 所 以 在 系 統 節 點

) 1 , , 3 , 2 , 1

(

i

=

N

+

i

K 的曲率可用

κ

_i表示。由(3.2.24)及(3.2.26)式可知元素( i 之)

φ

₍^e_i)及

j i)

ϕ

( 都是

κ

_i,

κ

_i+1

i

=1,2,K,

N

的函數。

我們可以將(3.2.27)式寫成如下的向量形式

ψ (C)=F(C)=0 (3.2.29)

C={

κ

₂,

κ

₃,...

κ

_N} (3.2.30)

(3.2.30)式即為梁結構在主要平衡路徑的統御方程式。因本題中

y

N

EI

=

M

= ₊₁

1

κ

κ

為

已知，所以不包括在(3.2.30)式中。(3.2.30)式為

N − 1

個

N − 1

元的非線性聯立代數方程式。

令

f = { −

φ_t¹ φ_t²

}

(3.2.31)

其中

φ

_t^j已在(3.2.23)式中定義。若將 f 視為元素的節點內力則(3.2.29)式中的 F 可視 為系統的節點內力，且可以和一般有限元素法一樣由f 組合而成；(3.2.29)式中之 ψ 可視 為系統的不平衡力。

當軸向壓力 F 和端點的彎矩 M 為已知時，系統在節點 i 的曲率可以由(3.2.29)式決 定。本文中採用牛頓法解(3.2.29)式，本文中以一個元素(即

N = 1

)的解析解，作為牛頓法 的初解(Predictor)。將(3.2.22)式代入(3.2.3)式，及

S

=

L

, cos

φ

^e =1代入(3.2.15)式，可得

= 1

N

時的曲率如下

2 cos

cos

a a EI

k M

y

=

ζ

(3.2.32)

² 法(direct stiffness method)組合而成。元素的剛度矩陣 k 可以由

(3.2.31)式對 κ (3.2.21)式微分求得，並可表示如下

在文檔中 二階梁理論及其在側向-扭轉挫屈的應用(II) (頁 26-30)