二階梁理論及其在側向-扭轉挫屈的應用(II)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

二階梁理論及其在側向-扭轉挫屈的應用(2/2)

計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC93-2211-E-009-010- 執行期間： 93 年 08 月 01 日至 94 年 07 月 31 日 執行單位： 國立交通大學機械工程學系(所) 計畫主持人： 蕭國模 計畫參與人員： 陳弘虎、劉峰成、楊禮龍 報告類型： 完整報告 報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 94 年 8 月 24 日

行政院國家科學委員會專題研究計畫

成果報告

二階梁理論及其在側向-扭轉挫屈的應用

(2/2)

計畫類別：

■

個別型計畫

計畫編號：NSC 93－ 2211 －E－ 009 － 010 －

執行期間： 2004 年 08 月 01 日至 2005 年 07 月 31 日

計畫主持人： 蕭國模

計畫參與人員： 陳弘虎、劉峰成、楊禮龍

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：■完整報告

處理方式：本計畫可公開查詢

執行單位：國立交通大學機械工程學系

中 華 民 國 94 年 8 月 30 日

二階梁理論及其在側向

-扭轉挫屈的應用(2/2)

A Second Order Beam Theory and Its Application In Lateral-Torsional

Buckling (2/2)

計畫編號：NSC 93-2211-E-009-010

執行期限：2004 年 08 月 1 日至 2005 年 07 月 31 日

主持人：蕭國模 國立交通大學機械工程學系

計畫參與人員：陳弘虎、劉峰成、楊禮龍

中文摘要：

本 研 究 的 主 要 目 的 在 利 用 二 階 梁 理 論 (Second order beam theory) 共 旋 轉 法 (corotational formulation)來探討三維尤拉梁在軸力及彎矩同時作用下的非線性側向-扭轉 挫屈分析。 在分析時將梁結構分成很多小段，每一小段稱為一個梁元素。然後在每個梁元素變 形後的最新位置上建立一個元素座標系統，並在其上描述梁元素的變形、建立平衡方程 式與構成方程式。用虛功原理與幾何非線性梁理論完全一致二次線性化推導出梁元素的 平衡方程式與構成方程式，然後利用二階梁理論之平衡方程式與構成方程式推導出梁在 軸力及彎矩同時作用下之主要平衡路徑的統御方程式，並以數值解法求得主要平衡路徑 之精確解。 本研究為了求得梁的側向-扭轉挫屈分析之統御方程式，先在主要平衡路徑加上擾 動位移與擾動旋轉向量，元素座標受擾動後對應到新的位置上，並在受擾動後的元素座 標上建立素節點擾動位移與元素擾動旋轉參數間關係。然後以一次線性化推導出梁的側 向-扭轉挫屈分析之統御方程式。接著以級數解求出空間梁在軸力及不同彎矩型式同時 作用下所造成的挫屈彎矩。本為最後以數值例題驗證本文中提出的方法的正確性及有效 性，並探討空間梁在不同軸向壓力作用下，對其挫屈彎矩的影響。 關鍵詞: 梁, 幾何非線性, 共旋轉法, 虛功原理,側向-扭轉挫屈

Abstract.

In this study, a consistent co-rotational formulation of second order beam theory is employed for the nonlinear lateral-torsional buckling analysis of three-dimensional elastic Euler beam under axial force and bending moment.

The beam structure is divided into several segments, called beam element for convenience. A set of element coordinate system is constructed at the current configuration of the deformed beam element. The deformations, equilibrium equations, and constitutive equations of the beam element are defined in the element coordinates. The principle of virtual work and the consistent second order linearization of the fully geometrically nonlinear beam theory are used to derive the equilibrium equations and constitutive equation of the beam element. The governing equations for primary equilibrium path for beam under axial force and uniform bending moment is derived using equilibrium equations and constitutive equation of the second order beam theory. The exact solution of the primary path is solved using an analytical and numerical combined method.

To derive the governing equations for laternal-torsional buckling analysis, disturbing nodal displacement and rotation vectors are applied to the primary path of beam elements. Then element coordinates corresponding to this disturbance can be constructed, and element nodal rotation parameters defined in this element coordinates can be determined in terms of the disturbing nodal displacement and rotation vectors. The governing equations for laternal-torsional buckling analysis are derived in this element coordinates by using the first order linearization. A power series solution method is used to solve the buckling moment for spatial beams under axial force and different types of end moment to demonstrate the accuracy and effectiveness of the proposed method. Numerical examples are studied to investigate the effect of compressive force on the buckling moment of spatial beams.

Keywords: Beam, Geometrical Nonlinearity, Co-rotational Formulation, Virtual Work

目 錄 中文摘要 ... Ⅰ 英文摘要 ... Ⅰ 目錄 ... Ⅲ 表目錄 ... Ⅴ 圖目錄 ... Ⅶ 第一章 緒言 ... 1 第二章 理論推導 ... 3 2.1 基本假設 ... 3 2.2 座標系統 ... 3 2.3 旋轉向量 ... 4 2.4 梁元素之變形描述 ... 4 2.4.1 梁元素形心軸的位移 ... 4 2.4.2 元素座標與元素截面座標之關係 ... 5 2.5 梁元素之位移與應變 ... 6 2.6 平衡方程式及構成方程式 ... 10 第三章 挫屈分析 ... 16 3.1 問題描述 ... 16 3.2 主要平衡路徑的統御方程式及其解法 ... 17 3.3 梁結構之次要平衡路徑 ... 21 3.3.1 擾動後的元素座標及變形參數 ... 21 3.3.2 梁元素在次要平衡路徑之統御方程式 ... 24 3.3.3 擾動位移的級數解 ... 27 3.3.4 梁元素在次要平衡路徑的節點內力 ... 33 3.3.5 梁結構的邊界條件 ... 36 3.4 挫屈負荷 ... 38 第四章 數值例題 ... 40 第五章 結論與展望 ... 42 參考文獻 ... 43 附表 ... 45 附圖 ... 69 附錄 A 簡支梁受軸向拉力時之主要平衡路徑 ... 80 附錄 B 懸臂梁之主要平衡路徑 ... 82 附錄 C 擾動後的元素座標及節點旋轉參數 ... 83 附錄 D 梁元素的節點內力 ... 87 附錄 E 橢圓及 W 型鋼之斷面常數 ... 90

附錄 F 簡支梁及懸臂梁的挫屈軸力 ... 94 附錄 G 簡支梁及懸臂梁之線性挫屈彎矩 ... 95

表目錄 表一 簡支梁挫屈彎矩M_B的收斂分析(斷面 1,BC3)... 45 表二 簡支梁挫屈彎矩M_B的收斂分析(斷面 3,BC3)... 46 表三 懸臂梁挫屈彎矩M_B的收斂分析(斷面 1,抑制翹曲 ST) ... 47 表四 懸臂梁挫屈彎矩M_B的收斂分析(斷面 3,抑制翹曲 ST) ... 48 表五 簡支梁挫屈彎矩M_B的收斂分析(斷面 1,BC1~BC4) ... 49 表六 簡支梁挫屈彎矩M_B的收斂分析(斷面 3,BC1~BC4) ... 50 表七 懸臂梁挫屈彎矩M_B的收斂分析(斷面 1,六種邊界條件) ... 51 表八 懸臂梁挫屈彎矩M_B的收斂分析(斷面 3,六種邊界條件) ... 52 表九(a) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(本文分析結果)... 53 表九(b) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(文獻[21]分析結果)... 53 表十(a) 簡支梁挫屈彎矩M_B(斷面 1,斷面 2,BC1) ... 54 表十(b) 簡支梁挫屈彎矩M_B(斷面 1,斷面 2,BC2) ... 54 表十(c) 簡支梁挫屈彎矩M_B(斷面 1,斷面 2,BC3) ... 55 表十(d) 簡支梁挫屈彎矩M_B(斷面 1,斷面 2,BC4) ... 55 表十一(a) 簡支梁挫屈彎矩M_B(W 斷面,L=300in,BC1)... 56 表十一(b) 簡支梁挫屈彎矩M_B(W 斷面,L=600in,BC1)... 56 表十二(a) 簡支梁挫屈彎矩M_B(W 斷面,L=300in,BC2)... 57 表十二(b) 簡支梁挫屈彎矩M_B(W 斷面,L=600in,BC2)... 57 表十三(a) 簡支梁挫屈彎矩M_B(W 斷面,L=300in,BC3)... 58 表十三(b) 簡支梁挫屈彎矩M_B(W 斷面,L=600in,BC3)... 58 表十四(a) 簡支梁挫屈彎矩M_B(W 斷面,L=300in,BC4)... 59 表十四(b) 簡支梁挫屈彎矩M_B(W 斷面,L=600in,BC4)... 59 表十五(a) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(斷面 1,斷面 2,抑制翹曲 QT-1) ... 60 表十五(b) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(斷面 1,斷面 2,自由翹曲 QT-1) ... 60 表十六(a) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(斷面 1,斷面 2,抑制翹曲 QT-2) ... 61 表十六(b) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(斷面 1,斷面 2,自由翹曲 QT-2) ... 61 表十七(a) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(斷面 1,斷面 2,抑制翹曲 ST) ... 62 表十七(b) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(斷面 1,斷面 2,自由翹曲 ST)... 62 表十八(a) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(W 斷面 L=300in,抑制翹曲 QT-1)... 63 表十八(b) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(W 斷面,L=600in,抑制翹曲 QT-1)... 63 表十九(a) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(W 斷面 L=300in,抑制翹曲 QT-2)... 64 表十九(b) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(W 斷面,L=600in,抑制翹曲 QT-2)... .. 64 表二十(a) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(W 斷面 L=300in,抑制翹曲 ST) ... 65 表二十(b) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(W 斷面,L=600in,抑制翹曲 ST) ... 65 表二十一(a) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(W 斷面 L=300in,自由翹曲 QT-1)... 66 表二十一(b) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(W 斷面,L=600in,抑制翹曲 QT-1)... 66

表二十二(a) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(W 斷面 L=300in,自由翹曲 QT-2)... 67

表二十二(b) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(W 斷面,L=600in,抑制翹曲 QT-2)... 67

表二十三(a) 懸臂梁挫屈彎矩M_B(W 斷面 L=300in,自由翹曲 ST) ... 68

圖目錄 圖一 元素座標與元素截面座標 ... 69 圖二 旋轉向量 ... 70 圖三 作用於梁元素中任一小斷的端點負荷 ... 71 圖四 簡支梁兩端承受彎矩及軸力之結構圖 ... 72 圖五 懸臂梁兩端承受彎矩及軸力之結構圖 ... 73 圖六 QT-1，QT-2，及 ST 型彎矩示意圖... 74 圖七 梁之有限元素分割 ... 75 圖八 簡支梁之主要平衡路徑圖 ... 76 圖九 梁元素在主要平衡路徑的自由體圖 ... 77 圖十 梁元素之角度示意放大圖 ... 78 圖十一(a) 長度 L 懸臂梁之主要平衡路徑示意圖 ... 79 圖十一(b) 長度 2L 懸臂梁之主要平衡路徑示意圖 ... 79 圖十一(c) 長度 2L 之等效簡支梁主要平衡路徑示意圖 ... 79

第一章 緒 言 梁在結構工程系統中，長久以來一直扮演著非常重要的角色，在機械、航空太空、 建築、車輛及土木工程中皆有很廣泛的應用。有很多梁結構在使用中，需能承受大位 移及大旋轉。有些結構如飛機、太空船、船舶等，為了減輕重量而使用了高強度材料 及薄壁斷面。當梁斷面為開口薄壁斷面時，其撓曲、扭曲及軸向變形間的耦合效應就 不能忽略，否則無法求得挫屈負荷。因線性梁理論無法考慮這些耦合效應，薄壁梁的 挫屈的統御方程式都需使用非線性梁理論推導[1-22]，即使是線性挫屈分析的統御方程 式[7]，也必需是由非線性梁理論的一致線性化推導[5,7,8,10,21,22]才能得到正確的統御 方程式及結果。為考慮各種變形間的耦合效應，在非線性梁理論中最少要保留到變形 參數的二次項。文獻中一般的非線性梁理論[1-22]都僅保留到變形參數的二次項，故本 文稱之為二階梁理論(second order beam theory)。但是文獻上有關變形間的耦合效應大 都不是以梁之正確的變形機制(Kinematics)及二階的一致線性化(consistent second order linearzation)推導[5,7,8,21,22]，文獻上有些二階梁理論僅就幾何變形上所能觀察到會影 響應變或平衡方程式的部分加入原先傳統之線性推導中，或是在推導的過程中太早對 梁的變形機制作線性化，故文獻中梁的平衡微分方程式有很多都無法考慮到完整的耦 合效應，僅適用於特定的問題，而且文獻上對斷面主軸方向之力矩與曲率的關係及扭 矩與扭率的關係也都採用線性分析所採用的構成方程式(constitutive equation)而不是由 二階梁理論推導出來的，所以文獻上的方法有很多無法求得含完整耦合效應之統御方 程式，故其分析的結果和結論有很多是不合理的或是錯誤的。 文獻上似乎仍沒有一個以完整的二階梁理論推導的平衡微分方程式及統御方程 式 ， 故 本 人 在 國 科 會 計 畫 （ 二 階 梁 理 論 及 其 在 側 向 - 扭 轉 挫 屈 的 應 用 （ I ） NSC91-2212-E009-041）中用共旋轉法推導出一個二階梁理論之平衡微分方程式及構成 方程式，以添補文獻上的不足，並提供一個分析三維尤拉梁結構之各種非線性挫屈行 為正確及有效的理論工具。 梁同時受軸力與彎矩矩的情況在各種梁柱結構及機構上經常發生，其側向-扭轉挫 屈分析文獻上很多[1-4, 9-15, 19,21]，有些文獻中[1, 3, 4, 14]雖然考慮了挫屈前的變形， 但僅考慮挫屈前的曲率並未考慮到完整的挫屈前的變形，且皆採用線性分析所採用的彎 矩與曲率的構成方程式，而不是由二階梁理論推導的構成方程式。故本研究的目的是將 利用本人提出之二階梁理論的平衡微分方程式及斷面合力與變形間的構成方程式探討 三維梁同時受軸力與彎矩的側向-扭轉挫屈分析，本研究擬將梁分成數段，利用本人提 出之二階梁理論的平衡方程式及構成方程式來推導在軸力及彎矩作用下每段梁之主要 平衡路徑之統御方程式，先求得每段梁之解析解，再由共同節點有相同曲率及邊界條 件，可求得主要平衡路徑之正確解，將求得之主要平衡路徑之正確解加上擾動位移後， 代入二階梁理論的平衡微分方程式及構成方程式並以一致性一階線性化來推導梁之次 要平衡路徑之統御線性微分方程組。因該微分方程組應為變係數之微分方程組，本研究 將提出一級數解法，求得擾動位移的正確級數一般解。由主要平衡路徑之正確解及擾動 位移可推導出每一段梁受端點擾動位移後的局部座標與端點擾動位移及端點變形參數 的關係，再由邊界條件及內部節點的平衡求得其挫屈彎矩及挫屈模態的統御方程組，因

該統御方程組應為一非線性代數方程式，故本研究擬再以二分法求行列式值得零根，即 非線性挫屈彎矩。因挫屈前之主要平衡路徑含斷面主軸方向的側位移，故其受端點擾動 位移後，擾動前後的局部座標與端點變形參數及擾動位移間的關係之推導將很複雜，在 梁元素受端點有限位移及旋轉時，本人在[5]中提出一個決定元素局部座標及端點變形參 數的程序，可以正確的決定元素局部座標及端點變形參數，本研究擬利用[5]中提出的程 序及一致性一階線性化，推導擾動前後的元素局部座標間的關係。 本研究將以數值例題探討不同斷面及軸力對三維梁之側向扭轉挫屈的挫屈彎矩之 影響，以說明本研究提出之方法的正確性及有效性，並驗證文獻上之線性挫屈彎矩之正 確性。

第二章 理論推導 本文對梁變形的假設，梁變形機制的描述及梁的統御方程式，構成方程式的推導 方式敘述如下： 2.1 基本假設 在本文的推導中對梁所作的基本假設如下： (1) 梁為等斷面且為細長桿件。 (2) Euler-Bernoulli 假說成立。 (3) 斷面形心與剪力中心重合。 (4) 梁斷面變形前後，斷面形狀不變且斷面內的應變可略。 (5) 斷面軸向之翹曲位移量( Warping Displacement )為扭率與該斷面 Saint Venant 翹曲函數之乘積。 (6) 梁應變均為小應變。 由假設(2)與假設(4)可知梁元素的變形可由其形心軸的位移、斷面的方向(即斷面座 標)及其翹曲來決定。 2.2 座標系統

本研究用 Corotational Total Lagrangian Formulation 來描述梁結構之變形。即在分析 時將梁結構分成很多小段，每一小段梁稱為梁元素，然後在梁元素變形後的位置建立其 平衡方程式。對梁元素與梁元素形心軸之交點稱作節點，並假設外加負荷均為集中負荷 且作用於節點上。為了描述整個系統的變形，本文中定義了以下三個座標系統： (a) 固定座標系統︰X_i(i=1,2,3)

為一總體座標系統(global coordinate system)，結構體所有節點的座標，系統的邊界 條件與平衡方程式及其他座標系統之基底，如元素座標、元素截面座標等，均在此座標 系統上定義。 (b) 元素座標系統︰x_i(i =1,2,3) 此座標系統是建立在每段梁元素變形後的最新位置上，如圖一所示，座標原點為節 點 1 ，x₁軸方向由節點 1 指向節點 2 ，x₂及x 軸方向在元素變形前為元素斷面的主₃ 軸方向，至於變形後其方向的決定方式是分別將位於節點 1，2 變形後的斷面繞一個與 該斷面之法線及x₁軸垂直的旋轉軸旋轉一角度使斷面之法線方向與x₁軸方向一致(此時 並不考慮斷面之翹曲變形，否則斷面的法線方向無法定義)，然後再以兩斷面主軸方向 的角平分線作為x₂軸及x 軸的方向。本文中梁元素之變形及其統御方程式、平衡方程₃ 式均在此座標系統上定義。 (c) 元素截面座標系統︰x_is(i=1,2,3) 此座標系統是建立在梁元素任一變形後的截面上，如圖一所示。但翹曲變形部分不 予考慮。其中x₁s軸垂直且通過截面的形心，而x₂s軸與x₃s軸則分別與該截面之主軸重合。 本文中軸向扭轉所導致的翹曲變形，是先在此座標系統定義，再利用座標轉換關係轉換 到元素座標系統上。

2.3 旋轉向量 為便利後續的說明起見，在此定義“旋轉向量＂代表一有限旋轉。圖二所示為對一 向量b施以一旋轉向量φa而使向量b旋轉到一個新的位置向量b′，則b與b′存在有以下 的關係[23] b a a a b + b

b′=cosφ (1-cosφ)( ⋅ ) +sinφ × (2.3.1)

其中

φ

表逆時鐘方向旋轉角，a表旋轉軸的單位向量; '

.

'和'

×

'表向量的內積和外積。 2.4 梁元素之變形描述 本文是在元素座標上，描述梁元素的變形，由 2.1 節中的基本假設可知，梁元素的 變形可以由其形心軸的單位長度伸長量(unit extension)、側向位移及其截面繞形心軸的 旋轉決定。所以本文在描述梁元素的變形前，先描述其形心軸的位移及其斷面的旋轉。 本文中{ 代表行矩陣，} ( )_,s =( )′代表對 s 的微分。 2.4.1 梁元素之形心軸的位移 圖一中 P 為梁元素形心軸上的任一點，令其變形前後在元素座標上的位置向量分別 為{x 0 0}及r_p ={x_c(s) v(s) w(s)}，其中 s 為節點 1 量至 P 點間的形心軸在變形 後的弧長，v(s), w(s) 為 P 點在

x

₂

, x

₃軸方向的位移。P 點在

x

₁軸方向的位移 u 可表 示成 x s x u = _c( )− (2.4.1) 在本文中x_c(s)以下式表示 s d s x_c =

∫

s _n 0cos ) ( θ (2.4.2) 其中 cosθ_n =(1−θ2₂−θ₃2)1/2 (2.4.3) s d s w d ( ) 2 =− θ (2.4.4) s d s v d ( ) 3 = θ (2.4.5) 在變形後的形心軸上，P 點之單位切線向量可表示成 } cos { θ θ₃ −θ₂ = = p _n ds dr t (2.4.6) 由單位長度伸長量的定義，形心軸的單位長度伸長量

ε

₀可寫成

1 0 = − x s ∂ ∂ ε (2.4.7) 2.4.2 元素座標與元素截面座標之關係 令e 與_i e_is(i=1,2,3)分別代表元素座標x 方向的單位向量與元素截面座標_i x 軸_is 方向的單位向量。由座標系統的定義可知，在變形前x_i 軸與x 軸是一致的，而且變形_is 後e₁s是與(2.4.6)式的 t 重合。所以在本文中假設變形後的單位向量e₁s(i=1,2,3)，是由 以下兩個旋轉向量連續作用於單位向量e_i(i=1,2,3)來決定[5]： n θ_n =θ_n (2.4.8) t θ_t =θ₁ (2.4.9) } 0 { } ) ( ) ( 0 { _{2 2}2 ₃2 12 _{3 2}2 ₃2 12 _{2 3} 1 1 _{= + + = n n} × × = θ θ θ θ θ θ t e t e n (2.4.10) 其中n 為垂直e₁和t 的單位向量，θ_n為e₁和t 的夾角，θ₁ 為繞 t 軸的轉角。 旋轉向量θ 作用在_n e 上，將其轉至一中繼位置_i e′，此時_i e′₁與t 重合，再將θ 作用在_t i e′，將其轉至 s i e 。若e 、_i θ 以及_n θ 已知，則元素截面座標_t s i e 就唯一決定；反之，若e 、_i s i e 已知，則旋轉向量θ 與_n θ 亦唯一決定。 _t 由(2.3.1)式、(2.4.6)式及(2.4.8)～(2.4.10)式可得e 與_i s i e 的關係可表示如下[5]： es_i =Re_i (2.4.11) R =[t R₁ R₂] (2.4.12) R₁ =cosθ₁R_a +sinθ₁R_b (2.4.13) R₂ =−sinθ₁R_a +cosθ₁R_b (2.4.14) R_a ={−θ₃ cosθ_n +(1−cosθ_n)n₂2 1−cosθ_nn₂n₃} (2.4.15) R_b ={θ₂ (1−cosθ_n)n₂n₃ cosθ_n+(1−cosθ_n)n₃2} (2.4.16) 其中(2.4.11)式中的 R 是一般所謂的旋轉矩陣同時也是元素座標和元素截面座標間的轉

由(2.4.8)～(2.4.10)式可以發現θ 與_n θ 均由_t θ_i(i=1,2,3)決定，同樣地，(2.4.11)式 中的矩陣R 亦為θ_i的函數，所以本文稱θ_i為旋轉參數，θ={θ₁ θ₂ θ₃}為旋轉參數向 量。當θ有一微小變量δθ={δθ₁ δθ₂ δθ₃}時，截面座標會旋轉至一個新的位置，此 一新的位置可由截面座標繞x_i(i =1,2,3)軸分別作微小旋轉δφ={δφ₁ δφ₂ δφ₃}而 得。δθ={δθ₁ δθ₂ δθ₃}與δφ={δφ₁ δφ₂ δφ₃}之關係可表示如下[5]： θ T θ t t t t t θ δ δ δ =[ ₁+a ₂ +b ] = (2.4.17) 其中 } cos / cos / ) 1 ( { _{3 3}2 _{2 3} 1 = −θ −θ θn θ θ θn t t₂ ={θ₂ θ₂θ₃/cosθ_n (1−θ₂2)/cosθ_n} a=θ₃(1−cosθ_n)/(θ₂2 +θ₃2) b=−θ₂(1−cosθ_n)/(θ₂2 +θ₃2) (2.4.17)式的反函數可表示如下 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = φ θ cos 0 0 cos 1 2 3 δ θ θθ θ δ n n b a 1 − T δφ (2.4.18) 當旋轉參數θ₂與θ₃很小時，(2.4.18)式中的T 矩陣可近似如下式 −1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − 1 0 0 1 2 2 1 2 3 2 3 1 θθ θ θ T (2.4.19) 2.5 梁元素之位移與應變 圖一中 Q 點為梁元素中的任意點，P 點為 Q 點在形心軸上的對應點，即 P 點與 Q 點位於同一斷面上。在元素座標上，Q 點在梁元素變形前後的位置向量可分別表示如下 3 2 1 0 e e e r =x +y +z (2.5.1) 和 s s s s c s v s w s y z x ( )e₁ ( )e₂ ( )e₃ e₂ e_{3 1,} e₁ r= + + + + +θ ω (2.5.2)

其中x_c(s)、v(s)以及w(s)分別是 P 點在 x_i(i=1,2 ,3) 軸上的座標，θ_1,s是沿變形後

的形心軸的斷面之軸向扭轉率，ω=ω(y,z)為該截面之 Saint Venant 翹曲函數，y、z 分

別是 Q 點在x₂s軸與

x

₃s軸的座標。 本文的應變採用工程應變。為了推導上的方便。本文中先推導出 Green Strain ) 3 , 2 , 1 , (i j = ij ε 。再由 Green Strain 求得與其對應之工程應變。由基本假設(4)，本文 僅考慮ε₁₁ , ε₁₂及ε₁₃。如果將 x,y,z 當作獨立變數，則依 Green Strain 的定義 13 12 11 ,ε ,ε ε 可表示成 1 ) ( ) ( 2 1 11 = ⋅ − x x ∂ ∂ ∂ ∂ ε r t r _(2.5.3a) ( ) ( ) 2 1 12 y x ∂ ∂ ∂ ∂ ε ₌ r t_⋅ r _(2.5.3b) ) ( ) ( 2 1 13 z x ∂ ∂ ∂ ∂ ε ₌ r t_⋅ r _(2.5.3c) 將(2.5.2)式代入(2.5.3)式，再利用 Chain rule 及 1 ε₀ ∂ ∂ _{= +} x s _{((2.4.7)式)，並保留} 0 ε 、 旋轉參數以及旋轉參數之微分項至二次項可以得到下式 2 , 1 2 , 1 0 2 0 0 11 2 1 ) 2 1 ( 2 ε ωθ ss ω θ ss ε ε ε = + + + + +y(−θ_3,s −2ε₀θ_3,s +θ₁θ_2,s−ωθ_3,sθ_1,ss) +z(θ_2,s +2ε₀θ_2,s +θ₁θ_3,s +ωθ_2,sθ_1,ss)−yzθ_2,sθ_3,s ( ) 2 ) ( 2 2 , 3 2 , 1 2 2 , 2 2 , 1 2 s s s s y z _{θ θ θ θ} + + + + (2.5.4a) ss s y s y s s 3, , 1, 0 , 1, 1, , 1 12 2 1 ) 1 ( 2 1 2 1_{ωθ θ ω θ ε ωω θ θ} ε = + + + ) ( 4 1 ) 1 ( 2 1 [ 2 1 , 3 2 , 2 3 0 , 1 , , 3 , 1s s y z s s s yθ θ ω + − θ +ε − θ θ −θ θ − ] 2 1 , , 2 , 1sθ sω y θ + (2.5.4b)

ss s z s z s s 2, , 1, 0 , 1, 1, , 1 13 2 1 ) 1 ( 2 1 2 1_{ωθ θ ω θ ε ωω θ θ} ε =− + + + ( ) 4 1 ) 1 ( 2 1 [ 2 1 , 3 2 , 2 3 0 , 1 , , 2 , 1s s z y s s s zθ θ ω + θ +ε + θ θ −θ θ + ] 2 1 , , 3 , 1sθ sω z θ − (2.5.4c) Green Strain ε₁₁,ε₁₂,ε₁₃ 與工程應變 e₁₁,γ₁₂ ,γ₁₃ 間的關係如下： 1 ) 2 1 ( ₁₁ 1/2 11= + ε − e (2.5.5a) 2 / 1 22 2 / 1 11 12 12 ) 1 ( ) 1 ( 2 sin e e + + = ε γ (2.5.5b) 2 / 1 33 2 / 1 11 13 13 ) 1 ( ) 1 ( 2 sin e e + + = ε γ (2.5.5c) 當應變很小時(2.5.5)式可以用下列近似式代替 2 11 11 11 2 1_ε ε − = e (2.5.6a) 11 12 12 12 2ε ε ε γ = − (2.5.6b) 11 13 13 13 2ε ε ε γ = − (2.5.6c) 因(2.5.4)式中 Green strain 僅保留到旋轉參數的二次項，所以本文中工程應變亦僅 保留到旋轉參數的二次項。由(2.5.4)式及(2.5.6)式，並保留ε₀、旋轉參數及其微分項到 二次項可得 s s s y z e₁₁=ε₀+ θ_2, − θ_3, +ωθ_1, ( ) ( ) 2 1 , 3 0 , 2 1 2 2 2 , 1s y z yθ θ s ε θ s θ + + − + +z(ε₀θ_2,s+θ₁θ_3,s)+ε₀ωθ_1,ss (2.5.7a) 2 , 2 , 1 2 , , 1 , 1 12 z s s y z s s θ θ ω θ θ γ =− + + 2 2 , , 1 , 1 , , 1 0 , 3 , 1 y ss s y s s s ω θ ωθ ω θ ε θ ωθ + + + ) 2 2 2 2 2 ( ₀ 1,s ₃ 2,s ₂ 3,s _1,s 1,ss _{1,s 2,s} ,y z −ε θ −θ θ +θ θ +ωθ θ +θ θ ω + ) 2 2 ( z _1,s 3,s _{1,s 3,s} ,y y − θ θ −θ θ ω + (2.5.7b)

2 , 3 , 1 2 , , 1 , 1 13 y s s z y s s θ θ ω θ θ γ = + + 2 2 2 , , 2 , 1 , , 1 , 1 , , 1 0 , 2 , 1s s s z s ss z z s s z ω θ θ ω θ ωθ ω θ ε θ ωθ + + + − 2 2 2 2 2 ( ₀ 1,s ₃ 2,s ₂ 3,s _1,s 1,ss _{1,s 3,s} ,z y ε θ +θ θ −θ θ −ωθ θ −θ θ ω + 2 , 2 , 1s s zθ θ − (2.5.7c) 將(2.5.7)式中之 e₁₁,γ₁₂ ,γ₁₃ 分別作變分可以得到下式 s s s y z e₁₁ δε₀ δθ_2, δθ_3, ωδθ_1, δ = + − + +(θ₁y+ε₀z)δθ_2,s+(−ε₀y+θ₁z)δθ_3,s+θ_1,s(y2+z2)δθ_1,s +(yθ_2,s+zθ_3,s)δθ₁+ε₀ωδθ_1,ss+(zθ_2,s −yθ_3,s+ωθ_1,ss)δε₀ (2.5.8a) s y z _{, 1,} 12 ( ω )δθ γ δ = − + 2, ₃ 3, ₂ 1, _1, , ) ₀ 2 2 ( ) 2 ( ) 2 (−zθ s δθ + zθ s δθ + −zθ s +θ _sω y δε + 2 2 ( ) 2 2 (ωzθ1,s +ωθ_1,sω,y δθ_1,ss+ θ₂ z +ωθ_1,s−yzθ1,s + y _1,s ,y _{3,s 3} z z2 1,s z _1,s ,y) _2,s 2 2 2 ( ) 2 δθ ω θ θ θ θ δ ω θ + − + + − 2 2 2 2 2 (−ε₀ z+z2θ2,s +ωθ_3,s−yzθ3,s +ω zθ1,ss +ε₀ω,y + z _2,s ,y y _3,s ,y _1,ss ,y) _1,s 2 2 2 δθ ω ωθ ω θ ω θ − + + (2.5.8b) s z y _{, 1,} 13 ( ω )δθ γ δ = + 2, ₃ 3, ₂ 1, _1, , ) ₀ 2 2 ( ) 2 ( ) 2 (yθ s δθ + −yθ s δθ + yθ s +θ _sω z δε + ) 2 2 2 ( ) 2 2 (−ω yθ1,s +ωθ_1,sω,z δθ_1,ss+ −θ₂ y+y2θ1,s −yθ_1,sω,z + _{3,s 3} y _1,s yz 1,s z _1,s ,z) _2,s 2 2 2 (θ ωθ θ θ ω δθ θ δ + − − +

2 2 2 2 2 (ε₀ y+y2θ3,s −ωθ_2,s−yzθ2,s +ωyθ1,ss +ε₀ω,z + z _2,s ,z y _3,s ,z _1,ss ,z) _1,s 2 2 2 δθ ω ωθ ω θ ω θ − + + (2.5.8c) 由(2.4.1)~(2.4.3)式及(2.4.7)式可得 0 2 / 1 2 3 2 2 , 1 1 ) 1 ( ε θ θ + − − − = − = ds dx ds dx u_s c (2.5.9) 將上式變分可得 0 2 0 3 3 2 2 2 1 2 3 2 2 , (1 ) ( 2 2 ) (1 ) 2 1 _{θ θ θ δθ θ δθ ε δε} δ u_s = − − − − − + + − (2.5.10) 將(2.5.10)式級數展開並保留至一次項可得 s u_, 0 3 3 2 2 0 θ δθ θ δθ (1 2ε )δ δε ≈ + + + (2.5.11) 2.6 平衡方程式及構成方程式 本文利用虛功原理在元素座標上推導梁元素的統御方程式及構成方程式。圖三所示 為梁元素中的一小段，點 a、b 分別表示這一小段梁元素的端點，s 為形心軸弧長。本文 採用形心軸在x_i(i=1,2 ,3)軸方向的位移量u_i(u₁ =u ,u₂ =v ,u₃ =w)，旋轉參數 ) 3 , 2 , 1 (i= i θ ，及θ_1,s作為廣義位移。在斷面上與廣義位移對應之廣義合力為在 ) 3 , 2 , 1 (i= x_i 軸方向的力F_i(i=1,2,3)，廣義力矩M_iθ(i=1,2,3)及廣義雙力矩 (Bimoment)B 。廣義力矩與傳統力矩θ M_i(i=1 ,2 ,3)(即繞

x

_i軸旋轉的力矩)間的關係可 以由(2.4.18)式及 Controgradient Law[24]求得，並可表示如下︰ θ M T M₌ −t _(2.6.1) } {M₁ M₂ M₃ = M (2.6.2) } { ₁θ ₂θ ₃θ θ M M M = M _(2.6.3) 其中T 為(2−t .4.18)式中_{T 之轉置矩陣。} −1 若給予端點 a 及 b 一個虛廣義位移(δ u_i)_j , (δθ_i)_j , (δθ_1,s)_j , (i=1,2, ) , , 3 j=a b ，其中( )_j表 )( 在端點

j

之值，則由虛功原理可知對應於虛位移，內力所作

的虛功δW_int等於外力所作的虛功δW_ext，即 ext nt i W W δ δ = (2.6.4) 因本文假設梁元素間無外加負荷，所以δW_ext即為端點 a、b 上內力之廣義合力所作 的虛功，δW_ext可以表示成 b a s t t ext B W [ δ ( ) δ δθ_1, ] δ = F u+ Mθ θ+ θ (2.6.5) 其中 } {F₁ F₂ F₃ = F (2.6.6) } { } {δu₁ δu₂ δu₃ δu δv δw δu= = (2.6.7) } {δθ₁ δθ₂ δθ₃ δθ= (2.6.8) (2.6.5)式表示[ ]內各項在端點 b 之值減掉各項在端點 a 之值。δW_ext可表示成以下的積 分式 ds B ds d ds d ds d W b a s t t ext =

∫

[ ( δ )+ [( ) δ ]+ ( δθ1, )] δ F u Mθ θ θ b _s a[M1,sδθ1 M2,sδθ2 M3,sδθ3 (M1 B,s)δθ 1, θ θ θ θ θ

∫

+ + + + = +M₂θδθ_2,s+M₃θδθ_3,s+Bθδθ_1,ss+F_1,sδu+F_2,sδv +F_3,sδ w+F₁δu_,s+F₂δθ₃−F₃δθ₂]ds (2.6.9) 由基本假設(4)，本文僅考慮 e₁₁, γ₁₂,γ₁₃ ，所以(2.6.4)式中內力所作的虛功可表示 成 dV dV e W b a b a

∫

∫

+ + = _{11 11} ( _{12 12 13 13}) int σ δ σ δγ σ δγ δ (2.6.10) 其中 σ₁₁ ,σ₁₂, σ₁₃ 為工程應力，V 為端點 a , b 間梁元素變形前的體積 ) 1 /( +ε₀ = dAds dV 。又本文假設材料為彈性材料，所以應力與應變有如下的關係 11 11=Ee σ (2.6.11a) 12 12 γ σ =G (2.6.11b) 13 13 γ σ =G (2.6.11c)

其中 E 為楊氏模數，G為剪力模數。 將(2.6.11)式代入(2.6.10)式中可得 dV G dV e e E W b a b a

∫

∫

+ + = _{11 11} ( _{12 12 13 13}) int δ γ δγ γ δγ δ (2.6.12) 將(2.5.7)式及(2.5.8)式代入(2.6.12)式中，經整理後(2.6.12)式的第一個積分式可寫成 V d e Ee b a

∫

11δ 11 b _{s p s y s z} a A A I I I E _{0 0 0}2 ₁2_, 2_2, 2_3, 2 1 [ {δε ε −ε + θ +θ +θ =

∫

+θ_1,ss(1+ε₀)A_ω +2θ_2,sθ_1,ssΩ_z−θ_3,sθ_1,ssΩ_y+θ ₁2_,ssA_ωω] +δθ₁[θ_2,sθ_3,s(I_y−I_z)+θ_2,sθ_1,ssΩ_y+θ_3,sθ_1,ssΩ_z] ( ) ( ) 2 1 [ _{0 1, 4 1}3_{, 1, 2, 1, 3,} , 1s ε θ sIp I θ s θ sθ s αyz αz θ sθ s αy αzy θ δ + + + − + + +θ_1,sθ_1,ssΩ_p]+ _{1,ss 0}A + ₁2_,sΩ_p+ _{1 2,s}Ω_y 2 1 [ε θ θ θ θ δ _ω +θ_2,s(1+ε₀)Ω_z−θ_3,s(1+ε₀)Ω_y+θ₁θ_3,sΩ_z +θ_1,ss(1+ε₀)A_ωω] ( ) ( ) 2 1 ) 1 ( [ _{2, 0 1}2_{, 1 3,} , 2s s + Iy+ s yz+ z + s Iy−Iz +δθ θ ε θ α α θθ +θ₁θ_1,ssΩ_y+θ_1,ss(1+ε₀)Ω_z] _{s s} I_y I_{z s}( _{y zy}) (1 )I_z 2 1 ) ( [ _{1 2, 1}2_{, 3 0} , 3 θ θ θ α α θ ε θ δ − − + + − + − +θ_1,ss(1+ε₀)Ω_y−θ_1,sθ_1,ssΩ_z]}ds (2.6.13) (2.6.12)式的第二個積分式可寫成 V d G b a

∫

(γ₁₂δγ₁₂+γ₁₃δγ₁₃) =

∫

b + + − − a sJ s sJ s J s sJz s sJ G _{0 1}2_{, 1, 1, 2, 3 1, 2,} 2 _{1, 2, 1} 2 1 ( ) 2 1 ( {δε θ δθ θ θ θ θ θ θ θ ) ( ) 2 1 2 _{1, 3, 2 2 3, 1, 1, 1, 1}2_, , 3 , 1 θ θ θ θ θ θ θ ω δθ θ ω θ _{s s}J_y+ _{s s}J − _sJ − _{s ss}J − _{ss s}J + ) 2 1 2 1 ( ) 2 1 ( _{1, 3, 2, 1, 3 1}2_{, 1}2_{, 1} 2 θ sθ sJ δθ s θ sθ J θ sJz θ sJ δθ + − − −

_{s s}J _{s s} J _sJ_{y s}J )}ds 2 1 2 1 ( ) 2 1 ( _{1, 2, 3, 1, 2 1}2_{, 1}2_{, 2} 3 θ θ δθ θ θ θ θ δθ + − + + + (2.6.14) 其中

∫∫

+ + − = y z yw zw dA J ( 2 2 _{,z ,y})

∫∫

∫∫

+ =− − + + + = y dzdy z z y dydz J₁ [ω( ω_,z)] [ω_,y( ω_,y) ω_,z( ω_,z)]

∫∫

∫∫

− + =− − + + + = z dydz y z y dydz J₂ [ω( ω_,y)] [ω_,y( ω_,y) ω_,z( ω_,z)]

∫

∫

∫

= = + = + = z dA I y dA I I I I y z dA I_y 2 , _z 2 , _{p y z} , ₄ ( 2 2)2

∫

∫

= = y dA _yz y zdA y 3 , α 2 α , α_z =

∫

z3dA , α_zy =

∫

z2ydA

∫

∫

Ω = = Ω_y yωdA , _z zωdA , A_ω =

∫

ωdA , A_ωω =

∫

ω2dA zz yy p zz yy = y dA Ω = z dA Ω =Ω +Ω Ω

_∫

2ω ,

_∫

2ω ,

∫

+ − − = y y z dA J_y ( 2 2 ω_,2_y ω_,2_z)

∫

+ − − = z y z dA J_z ( 2 2 ω_,2_y ω_,2_z)

∫

+ − − = y z dA J_ω ω( 2 2 ω_,2_y ω_,2_z) 如斷面為雙軸對稱，則J₁ , J₂ ,α_y ,α_z ,α_yz ,α_zy ,Ω_y ,Ω_z ,Ω_yy ,Ω_zz w p , J , Ω ,J_y , J_z , A_ω 在斷面上的積分值均為零，所以(2.6.13)式與(2.6.14)式可分別簡 化如下 V d e Ee b a

∫

11δ 11 =

∫

b − + + + + a A Ip s Iy s Iz s ssA E ] 2 1 ) 1 ( [ {δε₀ ε₀ ε₀ θ₁2_, θ₂2_, θ₃2_, θ₁2_{, ωω} ) 2 1 ( ) ( _{2, 3, 1, 0 1, 4 1}3_, 1 Iy Iz θ sθ s δθ s ε Ipθ s I θ s δθ − + + + +δθ_1,ss[θ_1,ssA_ωω(1+ε₀)]+δθ_2,s[θ₁θ_3,s(I_y−I_z)+θ_2,sI_y(1+ε₀)]

+δθ_3,s[θ₁θ_2,s(I_y −I_z)+θ_3,sI_z(1+ε₀)]}ds (2.6.15) V d G b a( 12 12 13 13)

∫

γ δγ +γ δγ _{0 1}2_, 2 1 { _s b a GJ

∫

δε θ = ] 2 1 2 1 [ _{1, 2, 3 2 3,} , 1s θ s θ sθ θ θ s δθ + − + _{2 1,s 3,s} 2 1_{θ θ} θ δ − _{2, 1, 3} 2 1_{θ θ} δθ _{s s} + _{s s s s} }ds 2 1 2 1 2 , 1 , 3 , 2 , 1 3 θ θ δθ θ θ δθ + + (2.6.16) 將(2.5.11)式代入(2.6.15)式及(2.6.16)式，則δW_int可寫成下式 V d G V d e Ee W b a b a 11 11 ( 12 12 13 13) int =

∫

δ +

∫

γ δγ +γ δγ δ ) 2 1 ( ) ( { _{,s 0 1 y z 2,s 3,s 1,s 0 p 1,s 4 1}3_,s b a u A I I I I E δ ε +δθ − θ θ +δθ ε θ + θ =

∫

+δθ_1,ss[θ_1,ssA_ωω(1+ε₀)]+δθ₂θ₂Aε₀ +δθ_2,s[θ₁θ_3,s(I_y −I_z)+θ_2,sI_y(1+ε₀)]+δθ₃θ₃Aε₀ +δθ_3,s[θ₁θ_2,s(I_y −I_z)+θ_3,sI_z(1+ε₀)]}ds ] 2 1 2 1 [ 2 1 { _{,s 1}2_{,s 1,s 1,s 2,s 3 2 3,s} b a u GJ δ θ +δθ θ + θ θ − θ θ +

∫

_{s s s s s s s s} }ds 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 , 3 , 2 , 1 3 3 , 1 , 2 , 3 , 1 2 θ θ δθ θ θ δθ θ θ δθ θ θ δθ + + − − (2.6.17) 其中 ] 2 1 ) 1 ( [ 1 2 , 1 2 , 3 2 , 2 2 , 1 0 0 0 ε ε θ θ θ θ ωω ε A I I I A A + + p s+ y s + z s + ss = 對一斷面為雙軸對稱之梁，由(2.6.4)式、(2.6.9)式與(2.6.17)式可得下列方程式： s s z y s E I I M₁θ_, = ( − )θ_2, θ_3, (2.6.18) s s s F F C M_{2, 3 1 2 1, 3,} 2 1 _{θ θ} θ θ _{− = − (2.6.19)} s s s F F C M_{3, 2 1 3 1, 2,} 2 1 _{θ θ} θ θ _{+ = + (2.6.20)} 0 , 3 , 2 , 1s =F s =F s = F (2.6.21)

3 , 1 4 , 3 2 3 , 2 , 1 , 1 0 , 1 2 1 ] 2 1 2 1 [ _{s s s s} s p s E I C EI B Mθ + θ = ε θ + θ + θ θ − θ θ + θ (2.6.22) 3 , 1 , 3 1 0 , 2 2 2 1 )] ( ) 1 ( [θ ε θ θ θ θ θ s z y s y sI I I C E M = + + − + (2.6.23) 2 , 1 , 2 1 0 , 3 3 2 1 )] ( ) 1 ( [θ ε θ θ θ θ θ s z y s z sI I I C E M = + + − − (2.6.24) ) 1 ( ₀ , 1 1θ ε θ _{= +} ss C B (2.6.25) 2 , 1 0 1 2 1 s C EA F = ε + θ (2.6.26) 其中 (2.6.19) 與 (2.6.20) 式 中 之 F1為 (2.6.26) 式 的 F₁，C₁=EAωω 為 翹 曲 剛 度 ( warping

rigidity )，C=GJ為扭轉剛度( torsional rigidity ) 。

(2.6.18)~(2.6.26)式中保留變形參數的全部一次項、二次項和部份三次項(含底線 項)。(2.6.18)~(2.6.21)式可視為平衡方程式，(2.6.22)~(2.6.26)式可視為構成方程式。因此， 由(2.6.1)式，(2.6.22)~(2.6.26)式即可得傳統力矩在元素座標上的構成方程式。由(2.4.11) 式，將在元素座標上的傳統力矩轉換到元素截面座標上，即可求得傳統力矩在截面主軸 上的構成方程式。由(2.6.18)~(2.6.26)式也可發現如果僅保存變形參數的一次項，則(2.6. 18)~(2.6.26)式就變成一階梁理論用的平衡方程式及構成方程式。

第三章 挫屈分析 3.1 問題描述 如圖四所示之簡支梁在 B 點先受一軸向保守力 P 作用，然後在 A,B 兩端各加上一 保守力矩 M 。如圖五所示之懸臂梁在其自由端先加上一軸向保守力 P ，然後在加上一 保 守 力 矩 M ， 當 M 超 過 某 一 值 時 ， 會 引 起 結 構 的 側 向 扭 轉 挫 屈 (Later-torsional buckling)，該值則稱為挫屈彎矩(Buckling moment)。本文中將探討軸力 P 的大小對挫屈 彎矩的影響。 本章中取梁變形前的形心軸為總體座標的X₁軸，兩個梁截面的主軸為X₂及X 。₃ 令I_y、I_z分別代表斷面對X₂及X 軸的二次矩，為了方便說明起見，假設₃ I_y>I_z。軸 向力 P 為施加於X 軸方向的保守力，彎矩 M 為施加在₁ X₁ X 平面上。彎矩的施加方式₃ 是假設在自由端上有一剛性相接之剛體圓盤，且圓盤面是在X₁X 平面上，圓盤重量不₃ 計。此時二個作用無窮遠處，大小相等，方向相反的保守力透過二條環繞於圓盤上的繩 索施加一彎矩。

如果作用在無窮遠處的保守力平行於X 軸的方向則稱此彎矩為 first kind Quasi ₁

Tangential Moment 或簡稱為 QT-1 型彎矩(圖六(a))。同樣地，如果作用在無窮處的保守

力平行於X 軸方向則稱此彎矩為 second kind Quasi Tangential Moment 或簡稱 QT-2 型₃

彎矩(圖六(b)) 。如果 QT-1 和 QT-2 同時作用，則稱此彎矩為 Semi- Tangentia Moment 或 簡稱 ST 型彎矩(圖六(c))。無論是 QT-1、QT-2、ST 型的彎矩都可表示成力矩的向量形式 } 0 0 { M g ₌ M ，其中M =2rF其中 r 為圓盤之半徑， F 為保守力大小，上標

g

代表 總體座標系統。 如果在一自由端施加一δφg ={δφ₁g δφ₂g δφ₃g}的微小擾動時(δφ_ig代表繞X 軸的_i 微小旋轉)對 QT-1 型的彎矩而言，其端點處力臂 } 0 0 { r = r 之變化量為 = r δ _δφg _{{ 0}} 1 2 g g r rδφ δφ = × r (3.1.1) 而力矩變化量為 } 2 0 0 { } 0 0 { } 0 { 2 2 1 1 2 g g g g rF F r r δφ δφ δφ δ = × = × = ∆M r F 或是寫成 } 0 0 { ₁g g _{= Mδφ} ∆M (3.1.2)

所以，QT-1 型的彎矩在端點受到δφg的擾動後，其端點所承受的負荷變成 } 0 { ₁g g g _{+ M∆ = M Mδφ} M (3.1.3) 同理，QT-2 型的彎矩在端點受到δφg的擾動後，其端點所承受的負荷變成 } 0 { M ₃g M g g _{+ M∆ = δφ} M (3.1.4) 同理，ST 型的彎矩在端點受到δφg的擾動後，其端點所承受的負荷變成 } 2 1 2 1 { ₃g ₁g g g _{+ M∆ = Mδφ M Mδφ} M (3.1.5) 當負荷小於挫屈負荷時，滿足平衡方程式的變形只有主要平衡路徑，但當負荷等於 挫屈負荷時滿足平衡方程式的變形除了主要平衡路徑還有次要平衡路徑。 為了求得挫屈負荷，本文先求出梁結構在某一大小的 P 和 M 作用下的主要平衡路 徑，然後在該平衡位置上加上擾動位移，使其到達一新的變形位置，若此新的變形位置 也能滿足平衡方程式，則該負荷即為挫屈負荷。本文在分析時將梁分成N 個元素(圖 七)，共有N+1個節點。每個元素在其元素座標上都需滿足平衡方程式及構成方程式 ((2.6.18)~(2.6.26)式)，相鄰兩元素在共同節點上都需滿足變形的相容條件及力的平衡條 件，即有相同的位移、旋轉、曲率、軸向扭轉率、合力、合力矩及廣義雙力矩。梁元素 在結構的兩端點都需滿足外加的位移和力的邊界條件。 3.2 主要平衡路徑的統御方程式及其解法 本節中僅探討簡支梁受端點彎矩及軸向壓力的情況。簡支梁受軸向拉力及懸臂梁的 情況在附錄(A)和(B)中說明。 如圖八所示之簡支梁在挫屈前主要平衡路徑的變形僅有在X₁X₃平面上的位移，即 0 1= = = θ ds dv v ，所以任一元素在其元素座標上的旋轉參數向量可以表示成 } 0 0 { ₂0 0 _{= θ} θ (3.2.1) ds dw − = = ϕ θ₂0 sin (3.2.2) 其中ϕ為梁的切線和其元素座標之x 軸的夾角，₁ w為在x 軸方向的位移。₂ 令 ds dϕ κ = 表示梁的曲率，當ϕ<<1時，利用近似式 0 2 ≈θ ϕ 及將(3.2.2)式微分一次可 得

2 2 0 2 ds w d ds d − = = θ κ (3.2.3) 將(3.2.1)式代入(2.6.19)、(2.6.23)及(2.6.26)式並採用近似式1+ε₀ ≈1可得 0 2 1 3 2 _{F Fθ} ds dM = − (3.2.4) 0 , 2 2 EI s M = θ (3.2.5) 2 0 , 2 0 1 AE EIy( s) F = ε + θ (3.2.6) 其中 e P F₁ =− cosφ (3.2.7) e φ 表示元素座標x 軸和₁ X 軸的夾角₁ (見圖九)。 將(3.2.3)式代入(3.2.5)式可得 y EI M₂ = κ (3.2.8) 將(3.2.4)式微分一次，並將(3.2.2)式、(3.2.5) 式、(3.2.7) 式及(2.6.21)式代入其中可得 0 cos 2 2 4 4 = + ds w d P ds w d EI_y φe (3.2.9) (3.2.9)式為梁元素在主要平衡路徑的統御方程式。 令 2 1 − = S s ζ 其中S為梁元素的弧長， 2 1 2 1 ≤ ≤ − ζ ，則 ds d 可表示成 ζ ζ ζ d d S d d ds d ds d 1 = = (3.2.10) 將(3.2.10)式代入(3.2.9)式中可將其無因次化成 cos 0 2 2 4 4 2 _ζ + φ _ζ = d w d P d w d S EI_{y e} (3.2.11) (3.2.11)式的通解可表示成 0 ) ( ) (ζ Nt ζ q w = (3.2.12) N(ζ)={sinaζ cosaζ ζ 1} (3.2.13) q0 ={D₁ D₂ D₃ D₄} (3.2.14)

12 2 ) cos ( y e EI PS a= φ (3.2.15) 其中D_i(i=1~4)為未定係數，其值必須由邊界條件決定。 圖九中梁元素之兩端節點 j( j=1,2)的邊界條件可表示如下 w(ζ₁)=w(ζ₂)=0 (3.2.16) ) ( 1 , ) ( 1 2 , 2 2 1 , 2 1 ζ κ ζ κ _ζζ w_ζζ S w S − = − = (3.2.17) 其中 2 1 1 =− ζ , 2 1 2 = ζ , 1 κ , 2 κ 分別為梁在 1 ζ 和 2 ζ 的曲率。由(3.2.8)式可知 y y EI M EI M ₂₂ 2 21 1 = , κ = κ (3.2.18) 其中 j M₂ ( j =1,2)為 2 M 在節點 j 之值 將(3.2.12)式代入(3.2.16)及(3.2.17)式可以得到 q0 =Tκ (3.2.19) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 1 1 2 2 2 cos 1 2 cos 1 2 sin 1 2 sin 1 2 2 2 _{a a} a a a S T (3.2.20) κ={κ₁ κ₂} (3.2.21) 將(3.2.19)式代入(3.2.12)式可得 w(ζ)=Nt (ζ)Tκ =Nt_w(ζ)κ (3.2.22) 由圖九可知梁元素在節點 j( j=1,2)的切線和水平線(X 軸)的夾角可表示成 ₁ φ_tj =φe−ϕ j (3.2.23) 其中φe在(3.2.7)式中已定義，ϕj為(3.2.2)式中的ϕ在節點 j 之值。 由圖九的自由體圖，節點 1 的合力矩為 0 及(3.2.18)式可得 ) ( sinφ = κ₂ −κ₁ Pl EI_y e (3.2.24)

(3.2.24)式中l為梁元素的弦長，當ϕ <<1時，利用近似式ϕ ≈sinϕ，(3.2.2)式及(3.2.22) 式可得 N_wtκ ds dw _′ − = − = ϕ (3.2.25) 由(3.2.25)式可得 ϕj =−N′_wt(ζ _j)κ (3.2.26) 因梁元素在共同的節點上有相同的切線，所以由圖十及(3.2.23)式可以得到 F_i =φ_t2_(i−1) −φ_t1_(i) =0 i=2,3,...N (3.2.27) j i e i j i t,() φ() ϕ() φ = − (3.2.28) 其中下標 )(i 表示第(i 個元素，下標)

i

表示系統之第 i 個節點，上標 j( j =1,2)表示該元 素 的 節 點 j ， 因 梁 元 素 在 共 同 的 節 點 上 有 相 同 的 曲 率 ， 所 以 在 系 統 節 點 ) 1 , , 3 , 2 , 1 (i = N + i _K 的曲率可用κ_i表示。由(3.2.24)及(3.2.26)式可知元素( i 之) φ₍e_i)及 j i) ( ϕ 都是κ_i,κ_i+1 i=1,2,_K,N的函數。 我們可以將(3.2.27)式寫成如下的向量形式 ψ (C)=F(C)=0 (3.2.29) C={κ₂,κ₃,...κ_N} (3.2.30) (3.2.30)式即為梁結構在主要平衡路徑的統御方程式。因本題中 y N EI M = = ₊₁ 1 κ κ 為 已知，所以不包括在(3.2.30)式中。(3.2.30)式為N−1個N−1元的非線性聯立代數方程式。 令 f ={−φ_t1 φ_t2} (3.2.31) 其中φ_tj已在(3.2.23)式中定義。若將 f 視為元素的節點內力則(3.2.29)式中的 F 可視 為系統的節點內力，且可以和一般有限元素法一樣由f 組合而成；(3.2.29)式中之 ψ 可視 為系統的不平衡力。 當軸向壓力 F 和端點的彎矩 M 為已知時，系統在節點 i 的曲率可以由(3.2.29)式決 定。本文中採用牛頓法解(3.2.29)式，本文中以一個元素(即N =1)的解析解，作為牛頓法 的初解(Predictor)。將(3.2.22)式代入(3.2.3)式，及S =L, cosφe =1代入(3.2.15)式，可得 1 = N 時的曲率如下 2 cos cos a a EI M k y ζ = (3.2.32)

12 2 ) ( y EI PL a= (3.2.33) 牛頓法中C的改正量可表示成 1 − − = K_T C δ ψ (3.2.34) C F K ∂ ∂ = T (3.2.35) 其中K 可視為系統的切線剛度矩陣。_T K 可以由元素的剛度矩陣 k 利用直接勁度_T

法(direct stiffness method)組合而成。元素的剛度矩陣 k 可以由 (3.2.31)式對 κ (3.2.21)式微分求得，並可表示如下 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = = 22 21 12 11 k k k k κ ∂ ∂ f k (3.2.36) 其中 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 , 22 2 1 , 21 1 2 , 12 1 1 , 11 ζ ζ ζ ζ φ φ φ φ w w w w N k k N k k N k k N k k ′ − = ′ − − = ′ + − = ′ + = e y Pl EI k φ φ cos = (3.2.37) k w N′ 表示_, w N′ (3.2.25)式中之第k(k =1,2)個元素 3.3 梁結構之次要平衡路徑 3.3.1 擾動後的元素座標及變形參數 本節中的推導考慮了簡支梁和懸臂梁兩種情況。當梁結構由 3.2 節中求得之 主要平衡路徑上受到擾動位移作用時會達到一個新變形位置。令梁元素節點 ) 2 , 1 ( j= j 在總體座標上的擾動位移及旋轉向量為 } , , { g_j g_j g_j g j = u v w u (3.3.1) } , , { ₁g_{j 2}g_{j 3}g_j g j = φ φ φ φ (3.3.2) 其中( )g代表 )( 是在總體座標上定義的，φ_ijg為梁元素截面在節點 j 繞X 軸的擾動_i 旋轉。梁元素節點 j( j=1,2)在總體座標上形心軸的擾動扭轉率為β_j。

由圖九知，在擾動前的平衡位置，元素座標

x

_i和總體座標 i X 的關係表示成 x A X _ge e e e e x x x X X X = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = 3 2 1 3 2 1 cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos φ φ φ φ (3.3.3) 其中φe為X 軸和_i x 軸的夾角，由(3.3.3)式可得 _i j ge g j A u u = (3.3.4) g j φ =A_ge φ_j (3.3.5) 其中u_j ={u_j ,v_j ,w_j }、φ_j ={φ_1j ,φ_2j ,φ_3j }為元素節點 j( j=1,2)在元素座標x_i 上的擾動位移及旋轉向量，節點扭轉率的擾動量與座標系統無關，故在元素座標仍為 j β 。 當元素節點受到u 及_j φ 擾動後，利用文獻[5]中的方法，可以決定擾動後的元素座_j 標 i x 及節點旋轉參數θ_ij，其推導過程在附錄 C 中有詳盡的說明。梁元素受擾動後在任 意截面的旋轉向量可表示成 } {θ₁ θ₂0+θ₂ θ₃ = θ (3.3.6) 在 (3.3.6)式 中θ₁,θ₂,θ₃是由所施加的擾動量造成的，故為極 小 量 (infintesimal quantity) 即 θ_i →0 (i=1,2,3) 而 θ0₂ 為 擾 動 前 的 旋 轉 參 數 為 一 有 限 量 (finite quantity)。 由 元 素 座 標 的 定 義 可 知 ， 當 梁 元 素 的 數 目 取 的 夠 多 時θ0₂為 一 微 小 量 (small quantity)，即θ0₂<<1，但仍為一有限量 。由以上討論可知(2.6.18)~(2.6.26) 式在任一元素上都能適用。在本文的推導過程中因θ_i (i=1,2,3)為極小量，所以 僅保留θ_i (i=1,2,3)及其微分至一次項，而θ₂0為有限量，故θ₂0及其微分項都全 部保留。 由 (2.6.18)~(2.6.26)式 中 可 發 現 當 僅 保 留 至θ_i及 其 微 分 的 一 次 項 時 ， 僅θ₁ 和 3 θ 有偶合關係。且由附錄 C 中可發現 _j 1 θ 和 _j 3 θ 僅和擾動位移v_j ,φ_1j ,φ_3j ( j=1,2)有