一、書的介紹
成書於公元前一世紀的《九章算術》是我國最重要的數學經典之一，它 集先秦到西漢數學知識之大成，集中體現了當時中國數學領域的最高發展水 平。全書以計算為中心，基本上採取算法統率應用問題的形式。它的許多成 就居世界領先地位，對中國後世的數學發展和數學教育產生了深遠的影響，
奠定了此後中國數學居世界前列千餘年的基礎。《九章算術》成書後，注家 峰起，並有諸多創造。魏晉時期數學泰斗劉徽的《九章算術》注貢獻最大，
影響深遠。《九章》及其歷代注釋者在數學教育領域，內有許多值得我們學 習的重要內容和見解。一般地說，《九章》並非當時的一本數學啟蒙教育著 作，其內容遠遠超過了今天小學六年的教學要求。
二、＜九章算術＞的注釋者~劉徽介紹(約西元 220 年)─
中國古代的數學泰斗劉徽是中國古代最偉大的數學家，出生於三國時 代，生平事蹟不見於史傳。他最為人所熟悉的莫過於為「九章算術」作注定 (對書本內容作更詳盡的解釋)以及利用割圓術求圓周率。劉徽從小的時候便 開始拜讀「九章算術」，長大後更加詳細研究，遂領悟其中奧妙，並且採用 自己的見解，為此書作注。劉徽全面證明了「九章算術」的公式、解法，並 彌補了「九章算術」的不足，在數學方法及理論上頁獻卓越，奠定了中國古 代的理論基礎。
三、長方形面積概念：
在《九章》方田章及其劉徽注中講得很生動。"方田術曰，廣從步數相 乘得積步"。"方田"即長方的田，"廣"指長方形的底，"從"(即縱)指長 形的高，"步"是長度的單位，所以長方形的面積等於底乘高。
四、三角形面積計算：
"圭田術曰，半廣以乘正從"。三角形的田，古稱"圭田"，"正從"是指垂 直於底的那個高，所以三角形的面積等於底乘高的一半。
五、梯形面積的計算：梯形的田稱"箕田"，同樣給出其面積等於上、下底相 加與高相乘的一半。
教學小秘訣：教導九章算術，讓孩子知道原來兩千多年前就在算跟他們現 在一樣的課程。
六、以盈補虛
《九章》及其劉徽注中關於三角形、梯形面積公式借助於傳統的出入相補 原理作出的。所謂出入相補，劉徽稱之為以盈補虛，按現代的說法，即：一 個平面圖形移動前後，面積不變；一個平面圖形割成若干塊，各塊面積之和 等於原圖形面積(立體也同樣)。三角形和梯形面積的公式都可根據長方形面 積公式，利用出入相補原理而得到如：
三角形面積=1/2×底×高
梯形面積=1/2×(上底+下底)×高=中廣×高
出入相補原理是中國古代用於處理面積、體積問題以及可以化為面積和 體積問題的一種傳統方法，應用十分廣泛，方法直觀、巧妙，相當於給出証 明，適應小學生的接受能力和心理特點，這對小學教學很有指導意義。
六、本書的內容簡介
1.十進位置值制記數法(大約提起或配合課程)
我國是世界上最早產生並確立完善的十進位置值記數法的國家。早在四 五千年前就有了數目字，商朝已掌握了 3 萬以內十進數目，以位置制記錄，
這種記數法比古巴比倫的 60 進制、瑪雅人的 20 進制、羅馬人的 5-10 進制 以及古埃及和希臘的十進非位置制優越得多。十進位置制記數法被馬克思譽 為人類文明進程中"最美妙的發明之一"。劉徽在此基礎上創造了十進小數，
外國直到 14、15 世紀才出現十進小數，小數點直至 17 世紀才開始使用。
2.計算工具的發明(大約提起或配合課程)
算籌是古代數學的一種獨特的計算工具，"算術"的意義即是運用算籌的 技術，這恰當概括了古中國數學使用算器、以算為主的特點。《九章》是以 算籌為算具的數學教科書，算籌作為當時世界最靈巧的計算工具，使用起來 既方便又準確，成為在歷史上延續了 1500 年以上的科學傳統。元朝以後發 展的珠算是籌算制的發展、改革和繼續。教師應認識籌算和珠算在世界數學 發展史中的地位和作用，並具體在教學中發揮其獨特的教育功能。籌算在沒 有形成完備的口訣之前，主要是操作和擺數，籌算的這一特點，決定了其傳 授過程中最簡便、最直接的方法就是"做中學"，這特別適合於兒童以演示、
操作指導為主的教學方法，符合兒童動作思維的心理特點，加之數學歌訣有 著悠久的歷史，利於兼用"唱"、"遊"式的教學方法。數學歌訣的流行和不斷 發展，對算法和算具的不斷改進，不僅推動了小學數學教育的發展，而且也 直接影響著珠算的產生和發展。作為中華文化寶庫中"貨真價實"的珍品--珠算和算盤，既是一種優越的計算工具，又是一種好的教具和學具，相比於 外國用計算板、計算塊及小棒認識數和計算數，能夠更好地起到從具體到抽 象的中介作用，有助於學生形成數位須序及數位大小等清晰的表象，從而提 高學生認識數的能力。
3.分數四則運算及其應用
《九章》中的分數知識(包括約分、通分和加減乘除法則)已是當時世界上最 系統、最完備的分數理論。在方田章中已有明確的分數運算法則，其他各章 還有很多分數應用題。
(1)分數加減法
分數加法稱為合分；分數減法稱為減分。其法則為：以分數分子、分母 交叉相乘，乘積相加減後的結果作為"實"，以分母相乘作為"法"，"實如法 而一"，用今天的符號表示就是。如方田章第 8 題。這裡用到了通分，但沒 有用到最小公分母，而是相加減後再約分，顯得比較繁瑣。少廣章則進了一 步，其程序可以求出較小的公倍數，有的甚至就是最小公倍數。
(2)分數乘除法
分數乘法稱為乘分，其法則是：以分母的乘積為分母，以分子的乘積為 分子，同今天方法一樣：。分數除法稱為經分，其法則是把實和法通分，然 後讓分子相除：；後來劉徽又補充了一個更為簡便的法則：將法的分母、分 子顛倒，與實相乘：，這就是今天小學數學教材中的顛倒相乘。
(3)分數約分法則
先進行觀察，若分子、分母都是偶數，則先除以 2，否則將分子、分母
"以少減多，更相減損"，最後得到"等數"，此為原分子、分母的最大公約數。
用等數約之，即把數化簡了。這種求等數的方法與歐幾里得求最大公約數的 方法是一致的，現代算術教科書中的輾轉相除法即由此而來。應該指出，古 人的計算方式是籌算而不是上述的現代筆算，例如，方田章第 6 問約簡，先 用籌算求得"等數"7，以 7 除分子、分母，得最簡分數
以上是世界上最早的分數運算法則。大約 15 世紀歐洲才通行分數算法，印 度到七世紀才有與中國相同的分數四則運算法則。了解我國古代的分數理論 及其成就，教師可以從中吸取營養，來豐富自己的教學是很有益的，特別是 分數乘法和除法法則的理由對今天小學教學仍有重要的指導意義。歷史上的 分數概念及其運算的產生都先於小數，中外一理。而在教學順序上則小數先 於分數，這是由於小數運算接近整數，較分數方便。安排教學程序則以可接 受性優先，教師應心中有數。
4.各種比例算法
《九章》粟米中的今有術，是完整的比例算法：已知所有數、所有率和 所求率，則所求數=所有數×所求率÷所有率這個方法傳到印度和西方，叫做"
三率法"(rule of three)。在《九章》中，今有術所屬例題都是粟米互換問 題。比如，己知粟率 50，糠米率 30，"今有粟一斗，欲為糠米，問得幾何？
"這裡 1 斗是所有數，50 和 30 分別是所有率和所求率，按今有術，得糠米：
10 升×30÷50=6 升。這個問題就是現在小學課本中的比例問題，按現在的解 法是：設所求的米為 x 升，則有比例式 50：10=30：x，所以 x=(10×30)÷50，
即 x=6。
5.幾何初步知識(五下數學第三單元圖形的面積)
(1)長方形面積概念：在《九章》方田章及其劉徽注中講得很生動。"方田術 曰，廣從步數相乘得積步"。"方田"即長方的田，"廣"指長方形的底，"從"(即 縱)指長形的高，"步"是長度的單位，所以長方形的面積等於底乘高。
(2)三角形面積計算："圭田術曰，半廣以乘正從"。三角形的田，古稱"圭田
"，"正從"是指垂直於底的那個高，所以三角形的面積等於底乘高的一半。
(3)梯形面積的計算：梯形的田稱"箕田"，同樣給出其面積等於上、下底相 加與高相乘的一半。
《九章》及其劉徽注中關於三角形、梯形面積公式借助於傳統的出入相 補原理作出的。所謂出入相補，劉徽稱之為以盈補虛，按現代的說法，即：
一個平面圖形移動前後，面積不變；一個平面圖形割成若干塊，各塊面積之 和等於原圖形面積(立體也同樣)。三角形和梯形面積的公式都可根據長方形 面積公式，利用出入相補原理而得到如：
三角形面積=1/2×底×高
梯形面積=1/2×(上底+下底)×高=中廣×高
出入相補原理是中國古代用於處理面積、體積問題以及可以化為面積和 體積問題的一種傳統方法，應用十分廣泛，方法直觀、巧妙，相當於給出証 明，適應小學生的接受能力和心理特點，這對小學教學很有指導意義。
(4)圓面積的計算：(配合六下課程)
《九章》圓田術即給出圓面積公式。"圓田術曰，半周、半徑相乘得積步
"。即圓面積等於π×r×r，但當時的周徑比率取"周三徑一"由此得出的結果 不精確。劉徽的割圓術不僅給出了圓面積公式的証明，而且在世界上第一次 提出了計算圓周率精確近似值的程序和計算方法，他求得π≒3.1416。據推 測，袓沖之就是在此基礎上進一步將π值精確到 8 位有效數字的，領先世界 千年之久，成為廣大炎黃子孫的自豪和驕傲。
(5)《九章》商功章已有許多立體體積計算的"術"，如方柱、方錐，圓柱、
圓錐等等都給出了體積公式，劉徽採用了"勾股術"、"出入相補"、"損廣補 狹"等多種思想和方法給予解釋和証明，充分體現了古中國數學家處理幾何
圓錐等等都給出了體積公式，劉徽採用了"勾股術"、"出入相補"、"損廣補 狹"等多種思想和方法給予解釋和証明，充分體現了古中國數學家處理幾何