範例 1
練習
範例 2
練習
★ 教學提示
【範例 1】及【練習】
一、 教學目的：能使用指數簡記同一數連乘。
二、 教學注意事項：
1. 說明指數的記法及相關的名詞。
2. 【範例 1 第 1 題、第 2 題】是指數的的記法，
【範例 1 第 3 題】及【練習第 3 題】是指數記法的推廣。
其意義如下：
−7×7×7×7×7 ＝− (7×7×7×7×7)
＝ − (75) = −75
−(−5)× (−5)×(−5)×(−5) ＝ −﹝(−5)× (−5)×(−5)×(−5)﹞
＝ −﹝(−5) 4﹞
＝ − (−5) 4
【範例 2】及【練習】
一、 教學目的：將指數恢復成連乘並求他們的積。
二、 教學注意事項：
1. 指數的運作對學生而言是全新的學習，需要一些時間認識符號的 意義及在數學上的規定。
2. 對於指數所表示的意義，教師可利用下列三題比較其異同。
(1) (−7)3 ＝ (−7) ×(−7)×(−7) (2) (−73) ＝ (−7×7×7)
(3) −73 ＝ −7×7×7
3. 任何一個不為 0 的 0 次方規定它的值為 1。例 (−5)0 ＝ 1
▲ 錯誤類型與指導策略：
一、 錯誤類型：−52 ＝ 25 (−1)8＝− 8 09 ＝ 1
−72 ＝ 49
二、 指導策略：用指數的意義說明如下：
−52＝−5×5＝− 25
(−1)8＝(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)×(−1)＝1
9
範例 3
練習
計算下列各式的值：(此題目的在熟練指數的意義) 1. 23＋33 2. 24－（－52）
Ans：35 Ans：41
3. （－2）3 × 54 4. 63 ÷ 32
Ans：－5000 Ans：24
計算下列各式的值：
1. （－23）＋33－13 2. 43－62
Ans：18 Ans：28
3. 23＋23 4. 43 ×（－5）2
★ 教學提示
一、 教學目的：熟練指數律的意義 二、 教學注意事項：
1. 用不同底數的數作四則運算，在過程中需將每一個指數的值先求 出，再做合併。
2. 為了防止學生濫用指數律，因此學習指數律之前，應從求指數的 求值中，奠定指數學習的基礎。
▲ 錯誤類型與指導策略：【練習第 3 題】
一、 錯誤類型：錯用指數律。
23＋23 ＝ 26 ＝ 64 二、 指導策略：先求 23 的值。
23 ＝ 2×2×2 ＝ 8 23＋23 ＝ 8＋8 ＝ 16
範例 1
B1-1-4-2：指數律 填充：
1. 23×24＝2×2×2 × 2×2×2×2＝2□＋□＝2□ Ans：2 3 + 4 ＝ 2 7
2. (－3)2×(－3)3＝(－3)×(－3) × (－3)×(－3)×(－3)＝(－3) □ Ans：(－3)5
3. 57×512＝5□ 4. (－8) ×(－8)10＝(－8) □
Ans：5 19 Ans：(－8) 11
5. a4×a4＝ a×a×a×a × a×a×a×a＝a□ Ans：a 8
6. xm‧ xn＝x□ Ans：x m+n 7. 85÷83＝
8 8 8
8 8 8 8 8
＝8□－□＝8□
Ans：8 5 3 ＝ 8 2
8. (－5)6÷(－5)3＝(－5)□ 9. 127÷125＝12□
Ans：(－5) 3 Ans：12 2
10. a 5÷a3＝ a a
3 5
＝ a a a a a a a a
＝a□ (a≠0)
23×24共有幾個 2 乘在一起？
85÷83可以約分，剩下 幾個8乘在一起？
★ 教學提示
一、 教學目的：能了解 am × an = am+n am÷an = am-n
二、 教學注意事項：
1. 由觀察同底數的兩指數相乘得 am× an = am+n 2. 由觀察同底數的兩指數相除得 am÷an = am-n 3. 此題的教學重點在從觀察中得到指數律
am × an = am+n ，am÷an = am-n (a≠0)，應重視過程的學習。
練習 填充：
1. 67×65＝6×6×6×6×6×6×6 × 6×6×6×6×6＝6□ Ans：6 12
2. (－10)4×(－10)2＝(－10)□ Ans：(－10) 6
3. 73×77×72＝7□ Ans：7 12
4. 93×93×93×93＝9□ Ans：9 12
5. (－4)4×(－4)5×(－4) ×(－4)2＝(－4)□ Ans：(－4) 12
6. 1011÷107＝10□ Ans：10 4
7. (－5)10÷(－5)＝(－5)□ Ans：(－5) 9
8. a100÷a 70＝a□ (a≠0)
★ 教學提示
一、 教學目的：能了解並應用 am × an = am+n am÷an = am-n
二、 教學注意事項：
應用 am × an = am+n ，am÷an = am-n (a≠0)，解連乘除問題時，應注 意由左而右的順序原則。
範例 2 填充：
1. (23)4＝23×23×23×23＝2 □ × □＝2 □ Ans：2 3 ×4 ＝2 12
2. 〔(－3)2〕3＝(－3)2 × (－3)2 × (－3)2＝(－3) □ Ans：(－3) 6
3. (92)5＝9□ Ans：9 10
4. ( a4)5＝a4×a4×a4×a4×a4＝a □ × □＝a □ Ans：a 4 × 5 ＝a 20
5. 83×33＝8×8×8×3×3×3＝(8×3)×(8×3)×(8×3)＝24×24×24 ＝( )3 Ans：( )＝24
6. (－5)5×25＝ (－5)×(－5)×(－5)×(－5)×(－5)×2×2×2×2×2＝ ( ) □ Ans：( )＝－10、□＝5
7. a4‧b4＝a‧a‧a‧a‧b‧b‧b‧b＝ ( ) □
(23)4共有幾個 2 乘在 一起？
★ 教學提示 一、 教學目的：
1. 由 am × an ＝ am+n擴展成(am )k ＝ amk。 2. 由交換律擴展 am × bm ＝ (a× b)m。
二、 教學注意事項：
1. 先由數的觀察，並利用【範例 1】所得的方式 am × an ＝ am+n，做 為基礎逐漸推廣成(am )k ＝ amk
2. 由交換律推得 am × bm ＝ (a× b)m，教學開始以數量的運算得在規 律，再進一步以符號說明。
3. 此題的教學不宜冒然從代數符號進行說明( a m ) k ＝ a mk， a m × b m ＝ (a×b)m。
練習 填充：
1. (65)4＝65×65×65×65＝6□ Ans：□＝20
2. ( x3)5＝x3‧x3‧x3‧x3‧x3＝x□ Ans：□＝15
3. (73)6＝7□ Ans：□＝18
4. 〔(－10)5〕7＝(－10) □ Ans：□＝35
5. 74×54＝7×7×7×7×5×5×5×5＝( ) □ Ans：( )＝35、□＝4
6. 89×109＝( ) □ Ans：( )＝80、□＝9
7. 34×26×56＝34 ×( ) □＝
★ 教學提示 一、 教學目的：
1. 由數的運算知道 (am )k ＝ a mk是由 am × an ＝ a m+n 擴展而成。
2. 由數的運算知道 am × bm ＝(a× b) m是由交換律運算而得。
二、 教學注意事項：
應用公式時，應先觀察指數與底數的特徵，再決定使用的指數 律。
練習
範例 2
練習 範例 1
B1-1-4-3：指數律的運算
1. (1) 4＝2□；□＝ 2 (2) 8＝2□；□＝ 3 (3) 16＝2□；□＝ 4
2. (1) 43＝2□；□＝ 6 (2) 82＝2□；□＝ 6 3. (1) 2×43＝2a， a＝ 7 (2) 82÷16＝2b，b＝ 2
1. (1) 9＝3□；□＝ 2 (2) 81＝3□；□＝ 4 2. (1) 92＝3□；□＝ 4 (2) 812＝3□；□＝ 8 3. (1) 3×92＝3a， a＝ 5 (2) 812÷27＝3b，b＝ 5
計算下列各式：
1. 9－52＋（－42） 2. （－5）2×4－3
Ans：－32 Ans：97
計算下列各式：
★ 教學提示
【範例 1】及【練習】
一、 教學目的：透過數的計算瞭解指數律的運用。
二、 教學注意事項：
1. 題目難度較高，但對指數律的瞭解很有幫助。
2. 在例題中已將題目分成小題以降低難度。
3. 底數交換：
例：教學上，先算：(1) 8 是 2 的幾次方？
(2)再進一步求 82 = (23)2 = 26 。
【範例 2】及【練習】
一、 教學目的：整數的四則運算中加入指數。
二、 教學注意事項：
1. 在指數中，如【練習第 1 題】：（－32）÷9－6 中，指數(−32)常讓學 生誤以為是(−3) 2。
2. −32如果不在式子中一般是不會加上括號的，若在式子中加入括號 就容易造成錯誤。
▲ 錯誤類型與指導策略：【練習第 1 題】
一、 錯誤類型 I：都集中在將(−32)看成(−3) 2。 指導策略：說明(−3) 2 = (−3)×(−3) = 9
−32= −3×3 = −9 (−32)= (−3×3)= (−9)
二、 錯誤類型 II：（－32）÷ 9－6，先作（－32）÷ 9。
指導策略：說明四則運算的順序及指數的意義，其中指數最優先 處理。
範例 1
練習
B1-1-4-4：負指數的意義 填充：
1. 2＝ 22
1 ＝ 0.25 2. 3＝ 3
1＝ 0.33
3. 10＝ 103
1 ＝ 0.001 4. 10-5＝ 105
1 ＝ 0.00001
5. 0.1＝
10
1 ＝10□；□＝ －1 6. 0.01＝
102
1 ＝10 □；□＝－2
7. 0.001＝10 □ ； □＝ －3 8. 0.0001＝10 □； □＝ －4
填充：
1. 3＝_____ 2. 4＝_____
Ans： 4 3
1 Ans：
4 1
3. 10＝_____ 4. 10＝_____
Ans： 2 10
1 Ans： 4
10 1
5. 2－2＝_____
Ans：4 1
6. 1.2×10＝1.2×________＝________
Ans： 3 10
1 、0.0012
7. 0.00001＝10 □ ；□＝
2是 22的倒數。
★ 教學提示
一、 教學目的：利用正指數的倒數說明負指數。
二、 教學注意事項：
1. 此處教學重點在以 10 為底的負指數，為後一節的〝科學記號〞做 準備。
2. 當 0.0001 寫成 10
1
4時，即可記為 10。
綜合練習
1.（ C ）下列哪一個選項的數值最小？
(A)（－10）7 (B)（－10）8 (C)（－10）9 (D)（－10）10 2.（ D ）計算（－2）4－（－4）2之值與下列哪一個選項相等？
(A) 22 (B)（－2）2 (C) －32 (D) 0
3.（ B ）下列選項中的算式，何者錯誤？
(A)（－2）3＝（－23） (B)（－2）4＝（－24）
(C)（－2）0＝（－3）0 (D)（－10）7 ×（－10） ＝1
4. 計算下列各式的值：
(1) 23＋52＝ 33 (2) 32 × 24＝ 144 (3) 72＝ 49 。 (4) （－4）＝
1
16 。 5. 在下列空格中填入適當的數：
(1) 56× 52＝5□，□＝ 8 (2) 38÷ 33＝3□，□＝ 5 (3) （25）2× 23＝2□，□＝ 13 (4) 26× 56＝□6，□＝ 10 6. 計算下列各式的值：
(1) 〔（－23）×5＋（－3）2〕× 2 Ans：－62
筆 記 欄
範例 1