2.2 2.2
2.2 久留島義太 久留島義太 久留島義太 久留島義太之 之 之前日本 之 前日本 前日本 前日本數學 數學 數學發展 數學 發展 發展與籌算的演進 發展 與籌算的演進 與籌算的演進 與籌算的演進
由於久留島義太的算學研究與關流關係密切，並且與同時代的和算家皆互有 往來，也相互影響。因此，此處先介紹久留島之前的關流與相關流派代表人物及 其成就。並且探討此一時期，從中算到和算，運算方式由籌算到筆算的演進。
關孝和（Seki Kowa，約 1642～1708 年）：
圖 13 關孝和與西元 1992 為關孝和發行的紀念郵票17
字子豹，日本數學家。1642 年生于江戶小石川（一說西元 1637 年生于上野 國藤岡），1708 年 10 月 24 日卒于江戶。出身于武士家庭，據載曾隨數學名家高 原吉種學過數學，人稱數學神童。後長期在江戶任貴族家府家臣，掌管財賦，直 到西元1706 年退職。他是日本古典數學（和算）的奠基人，也是關氏學派（或 稱關流）的創始人，在日本被尊稱爲算聖。生前僅有一部《發微算法》（西元1674 年）出版，逝世後又由學生荒木村英（西元1640～1718 年）整理出版了一部遺 稿《括要算法》（西元1712 年）。另有多種學派內部秘傳的抄本著作，如《三部 抄》（《解見題之法》、《解隱題之法》（西元1685 年）、《解伏題之法》（西元 1683 年））、《七部書》（《開方翻變》、《病題明致》、《題術辯議》等）。
關孝和的主要成就有：改進了朱世傑《算學啓蒙》（西元1299 年）中的天元 術算法，開創了和算獨有的筆算代數；完善了中國傳入的數字方程的近似解法；
發現方程正負根存在的條件；對勾股定理、橢圓面積公式、阿基米德螺線、圓周 率的研究；開創「圓理」（徑、弧、矢間關系的無窮級數表達式）研究；幻方理 論；連分數理論等等。他還寫過數種天文曆法方面的著作，如《授時曆經立成》
17 此圖出自關孝和日本維基百科
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E5%AD%9D%E5%92%8C
四卷、《授時曆經立成立法》（西元1681 年）、《授時發明》、《四余算法》（西元 1697 年）以及《星曜算法》等。
關孝和去世以後，他所有的書稿應為其養子關新七以及兩高徒荒木村英與建 部賢弘所繼承。所不幸的是新七不成器，未來繼承父業。至於建部賢弘任職於幕 府，深受將軍吉宗重用，大概無暇顧及關流日常事物。不難想像，這可能是荒木 村英成為關流宗統傳人的重要原因之一。18
關孝和數學成就由弟子建部賢弘繼承和應用，對日本數學的發展産生重要影 響。建部賢弘（Katahiro Takebe，西元 1664～1739 年），號不休，通稱彥次郎。
十三歲起入關流門下學習數學，二十二歲時對關孝和《發微算法》作注，著有《發 微算法演段諺解》四冊，頗具數學才能。
關流人物以外有井關知辰（Izeki Tomotoki）通稱十兵衛，生卒年及平生均 不詳。隨島田尚政學算學，元祿三年(西元 1690 年)著《算法發揮》，這是世界數 學史第一本關於行列式展開研究的出版物，而且首次採用 Vandermonde 展開法。
在西方，關於行列式的最初出版物是西元 1750 年的 Cramer 的 Introductiona l’analyse des Ligues courbes algebrique(Geneve, 西元 1750 年)。
Vandermonde 創制的 Vandermonde 展開法是西元 1772 年，他們均比《算法發揮》
晚。19（參見圖 14）
圖 14 《算法發揮》
《算法発揮 / 井関知辰 / 元禄 3 年 / 3 / 狩野 / 7.20306.1 / 画像あり》
18 烏云其其格，《和算的發生─東方學術的藝道化發展模式》，上海：上海辭書出版社，2009 年，頁174。
19徐澤林，《和算選粹》，北京：科學出版社，2008 年，頁297。
另外，在幕府八代將軍吉宗（1716 年～1745 年）發佈緩禁令之後，與西方 算學有關的中國書籍《曆算全書》、《割圓八線之表》、《曆象考成》、《御制數理精 蘊》等傳在日本，三角法、對數、圓錐曲線等知識傳入日本，但是歐幾里得幾何 邏輯演繹的證明法，並沒有引起和算家的注意。和算家對這些漢譯著作也有研究，
其中《數理精蘊》和《曆象考成》的影響比較明顯。
由於吉宗鼓勵學習荷蘭語，造成「蘭學」興盛。「蘭學」注重實利實用，所 以在純粹數學方面非常微弱，僅引入了三角法和測量學，其中包括三角函數表、
對數表、航海表、彈道表、各類曲線等內容。
在這裡，筆者還想談一談籌算的演進，由於久留島義太的算式頗為複雜。中 國的籌算已不足應付如此龐大的運算。由籌算到筆算的進步是可以想見。
圖 15 陝西省旬陽縣出土的象牙算籌（漢）20
中國的數碼由籌算擺法而來。把擺出的數目用筆照樣記錄下來的就是籌碼。
中國在宋元以後，流行於印度、阿拉伯、歐洲的筆算（格子算）傳入中國。吳敬 把它稱為「寫算」以便於籌算和珠算相區別。在明末《算法統宗》中記載有寫算，
又叫鋪地錦，初見於吳敬《九章算法比類大全》，是一種在預先畫好的格子中用 筆算進行乘、除運算的方法。21李迪在《對中國傳統筆算之探討》認為在明代時 期，珠算非常普及，而籌算已完全退出歷史舞台。22 由圖 16 中，筆者認為在《算 法統宗》中，籌算與筆算是交互運用的。
20 張沛，《再論籌算向珠算的演變—從唐長安西市遺址出土的釉陶算珠說起》，咸陽師範學院 學報，第 25 卷第 6 期，2010 年 11 月，頁79
21 陳威男，《明代算書《算法統宗》內容分析》，台北：國立台灣師範大學數學系所碩士論文，
2002 年，頁110。
22 李迪，《對中國傳統筆算之探討》，數學傳播26 卷 3 期民 91 年 9 月，頁65
圖 16 程大位，《新編直指算法統宗》，北京大學圖書館
中國第一部自著的筆算數學是明末的孫元化（？～西元 1632）寫的《太西 算要》23，運算方式是受西法影響的中國式筆算，以中國漢文數字代替西方的印 度-阿拉伯數碼。他比較了中國的珠算與西方的筆算之便與不便，結果是「算愈 難而西法愈顯」。24由圖 17，可以看出到了當時筆算的雛形。
圖 17 孫元化的筆算乘法算式25
傳至關孝和以後，由建部賢弘《發微算法諺解》（參見圖 18）的計算可見，
若用算籌幾乎不可能排出那麼複雜的籌式，除非帶著大量的算籌，那會是很累人 的事。所以筆者認為，若是如此繁雜的算式中使用籌算，將非常困難排出那麼多 的代數符號，也難以進行數十個符號的代數運算。
23 此書只有寫本，影印入《徐光啟著譯集》，上海，上海古籍出版社，1983，第 10 冊。
24 李迪，《對中國傳統筆算之探討》，數學傳播26 卷 3 期民 91 年 9 月，頁65
25 此圖出自李迪，《對中國傳統筆算之探討》，數學傳播26 卷 3 期民 91 年 9 月
圖 18《発微算法演段諺解》26
26 此圖出自建部賢弘，《発微算法演段諺解 / 建部賢弘 / 貞享 2 年 / 4 / 林文庫 / 38 / 画像あ り》，貞享 2 年（西元 1685 年）。
2.3 2.3 2.3
2.3 久留島義太同 久留島義太同 久留島義太同時代 久留島義太同 時代 時代的 時代 的 的和算 的 和算 和算家 和算 家 家 家
久留島義太乃是自學出身，但是受到同時代的和算家相互影響，與中根元圭、
山路主住、松永良弼來往密切。筆者以為這也是不同於關孝和與建部賢弘的地方，
他們四人彼此啟發，研究所得彼此分享，至此激盪出輝煌燦爛的火花，將承繼於 關孝和與建部賢弘以來的和算更加地深化其算法技能。故在此節內介紹與久留島 同時代的和算家。
18 世紀 30 年代至 18 世紀末，和算繼續蓬勃發展，流派林立，名家輩出。
優秀的和算家大都是各籓的役人，從事與數學相關的工作，精力主要放在數學研 究與教授弟子上，他們的創造能力雖不及關孝和、建部賢弘等人，但在藝道盛行 的文化環境中，很好地繼承並充實了關孝和、建部賢弘等人所開拓的算學知識，
並有意識地將這些算學知識系統化，把數學知識的承傳加以制度化。
而久留島義太在此時期與各個和算家的關係匪淺，烏雲其其格《和算的發生
─東方學術的藝道化發展模式》裡更充分說明久留島義太在此一時間的重要性。
荒木村英因年邁未及整理關氏遺稿便傳給松永良弼。松永良弼繼承並發展了關孝 和的數學思想，被視為關流的第二代宗統傳人；而另一方面，建部賢弘及其高徒 中根元圭、彥循父子則在繼承關氏思想的基礎上逐漸形成建部中根派，但是建部 中根派被視為關流旁系。目前和算史普遍認同的關流歷代宗統傳承示意圖如下：
圖 19 關流歷代宗統傳人示意圖27
在荒木派與建部派之間有一個非常重要的人物---久留島義太。久留島生性 放浪不羈，且嗜酒如命，嘗在內藤政數面前酒醉而酣睡，深得內藤賞識。久留島 並非荒木派中算家也非建部一派算家，或者說他根本就不是關流中人，然而他卻 是聯繫兩派之間的代表人物。久留島的卓越的數學才能為中根元圭發現，因而盡 得建部一派家學，而另一方面，久留島又與松永良弼是親密的朋友，他們經常共
27 烏云其其格，《和算的發生─東方學術的藝道化發展模式》，上海：上海辭書出版社，2009 年，頁174。
同探討問題，交換彼此的想法。28
由上面烏雲其其格所言之中，我們可以想見久留島義太與各個和算家交好，
至此和算進入百家爭鳴的時期。久留島義太在中根元圭與松永良弼這兩派關流影 響下，充分吸收關流和算資產，也基於自己本身的數學才能，由此激發出更成熟 的和算運算與技能。
圖 20 關流承傳關係29
與此時期主要代表人物有：
圖 21 久留島義太同時代的和算家
以下依序介紹其生平傳略。
中根元圭
中根元圭（Nakane Genkei, 西元 1662 年～1733 年），名璋，通稱丈右衛門，
字元圭或元珪，號律襲，近江國淺井郡（今滋賀縣淺井町）人，因住京都白山町，
人稱白山先生，為京都銀座役人，還曾師從澀川春海學習曆法，且以『精天文』
而出名。30，精通律學、音韻學、文字學，博學強記。他的算學原學於田中由真，
曾於京都白川町開塾。享保六年（西元1721 年）在建部賢弘的舉薦下，受招於
28 烏云其其格，《和算的發生─東方學術的藝道化發展模式》，上海：上海辭書出版社，2009 年，頁175。
29 徐澤林，《和算選粹》，北京：科學出版社，2008 年，頁 32。
30 烏云其其格，《和算的發生─東方學術的藝道化發展模式》，上海：上海辭書出版社，2009 年，頁176。
幕府，為幕府曆學顧問。此人漢學功底深厚，名聲很大。
八代將軍德川吉宗（西元1684 年～1751 年）執政時期，十分重視天文和數
八代將軍德川吉宗（西元1684 年～1751 年）執政時期，十分重視天文和數