《久留島極數》與《平方零約術》探究

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：指導教授：洪萬生博士左台益博士. 《久留島極數》久留島極數》與《平方零約術》平方零約術》探究. 研究生：研究生：莊耀仁撰. 中. 華. 民. 國. 一. ○. 二. 年. 七. 月.

(2) 論文摘要論文摘要. 久留島義太（Kumushima Yoshihiro, ?～1757）是靠自學而成和算家。他自學於《新篇塵劫記》，後與中根元圭（Nakane Genkei, 1662～1733）、山路主住（Yamaji Nushiumi, 1704～1773）、松永良弼（Matsunaga Yoshisuke, ?～1744）相交流，承襲關孝和、建部賢弘以來的數學研究，並加以深究發展，豐富關流和算的內容。由於久留島是個散漫的人，而且也沒有形成自己的門派，所以，他沒有他自己的著作，大都以稿本形式流傳。筆者參考徐澤林所著《和算選粹》並且與日本東北文庫藏書中，比較各版本的差異，試圖還原文本。建部賢弘在「探直堡極積術」中，首次利用「適盡方級法」求多項式函數極值，開和算極數術研究之先河。這一個開拓性研究，為後來的久留島義太所繼承，從而建立了一個新的和算知識領域---極數術。《平方零約術》則是久留島對關孝和等人的零約術的進一步發展，處理的是二次無理數（有理數域上二次不可約多項式的根）的連分數展開問題。. 關鍵字：久留島義太、極數、零約術、二次不定方程. I.

(3) 致謝. 首先，我要謝謝家裡父母的支持，若沒有他們的支持，我想在工作之餘，很難堅持下去，完成碩士學位。接下來要感謝我的指導教授洪萬生教授，帶領我進入數學史的知識領域，讓我一窺堂奧，終能完成自己的研究。口試老師林炎全老師、左台益老師的指導也讓我受益不少。就讀教學碩士班時，洪有情老師、曹博盛老師、謝豐瑞老師是這三年的導師，在課業上的指導也讓我在師大的學習中更快能適應。趙文敏老師、李恭晴老師、楊凱琳老師是這三年的授課老師，幾位老師的授課都給我很豐碩的收穫。陳昭地老師、黃文達老師、陳創義老師、蔡蓉青老師、呂翠珊老師、郭君逸老師都曾為我上過課，於數學專業知識與教學技能上都給我莫大的幫助。此外，數學史的研究團隊也給我很大的支撐與協助，俊瑋的在論文寫作上指導和建宏、傑成、裕仁、燕華、美倫、美杏、佩瑜以及佳維、芳羽、政宏、功翰的共同學習與彼此砥礪都讓我銘感五內。最後我要感謝教學碩士班同學玉芬、文傑、志銘、宜楓、鈺祺、建霖、介民、友民、耀堂、慧鈴、淑惠、俊賓、慧珍、芳儀、信宏、志錩、耀文、順良，教學碩士班同學的認真與勤奮，是激勵我突破自我的最大動力。同學對課業的專注與全力以赴，在這三年的學習是最令我難忘，暑假上課期間裡每天的熬夜奮戰，為了報告的更完美，大家都擠出最大的努力與成果。那共患難的情誼，是我最珍惜的。僅只一頁不足讓我表達這三年的感謝。最後謝謝這三年曾經幫助過我的人！. 莊耀仁 2013 年 7 月 16 日. II.

(4) 目錄論文摘要 .................................................................................................................................... I 致謝 ........................................................................................................................................... II 目錄 .......................................................................................................................................... III 圖目錄 ...................................................................................................................................... VI 表目錄 ...................................................................................................................................... IX 第 1 章緒論 ............................................................................................................................. 1 1.1 研究動機 ........................................................................................................................ 1 1.2 文獻探討 ........................................................................................................................ 2 1.3 研究方法 ........................................................................................................................ 9 第 2 章久留島義太生平與背景介紹 ................................................................................... 10 2.1 江戶時代的歷史背景 .................................................................................................. 10 2.1.1 江戶時代政治與經濟的演變 ............................................................................... 10 2.1.2 江戶時代文化與社會的變遷 ............................................................................... 12 2.1.3 江戶時代前的數學發展 ....................................................................................... 13 2.2 久留島義太之前日本數學發展與籌算的演進 .......................................................... 14 2.3 久留島義太同時代的和算家 ...................................................................................... 19 2.4 久留島義太生平介紹 .................................................................................................. 23 第 3 章《久留島極數》發展背景與內容分析 ................................................................. 28 3.1 《久留島極數》發展背景 .......................................................................................... 28 3.2 建部賢弘的「求直堡極積」問題與《久留島極數》著述提要 ............................... 29 3.3 《久留島極數》內容探究 .......................................................................................... 34 第一題 ............................................................................................................................. 34 第二題 ............................................................................................................................. 36 第三題 ............................................................................................................................. 43 第四題 ............................................................................................................................. 46 III.

(5) 第五題 ............................................................................................................................. 48 第六題 ............................................................................................................................. 50 第七題 ............................................................................................................................. 53 第八題 ............................................................................................................................. 57 第九題 ............................................................................................................................. 60 第十題 ............................................................................................................................. 63 第十一題 ......................................................................................................................... 65 第十二題 ......................................................................................................................... 67 第十三題 ......................................................................................................................... 72 第十四題 ......................................................................................................................... 74 第十五題 ......................................................................................................................... 77 本章小結 ............................................................................................................................. 78 第 4 章《平方零約術》發展背景與內容分析 ................................................................. 80 4.1《平方零約術》發展背景 ............................................................................................ 80 4.1.1 中國傳統曆法的發展與數學的關係 .................................................................... 80 4.1.2 日本曆法的發展與數學的關係 ............................................................................ 88 4.2《平方零約術》著述提要 ............................................................................................ 95 4.3《平方零約術》內容探究 ............................................................................................ 98 第一題 ........................................................................................................................... 100 第二題 ........................................................................................................................... 109 第三題 ........................................................................................................................... 112 第四題 ........................................................................................................................... 117 第五題 ........................................................................................................................... 121 第六題 ........................................................................................................................... 124 第七題 ........................................................................................................................... 126 附錄五條 ....................................................................................................................... 129 本章小結 ........................................................................................................................... 134 IV.

(6) 第 5 章結論 ....................................................................................................................... 138 附錄 ....................................................................................................................................... 141 1.. 連分數 ...................................................................................................................... 141. 2.. 連分數的應用：π .................................................................................................... 142. 3.. 連分數的重要定理（一）Dirichlet 定理 ............................................................... 143. 4.. 連分數的重要定理（二）（Legendre, 1893） ...................................................... 144. 5.. 連分數的重要定理（三） ...................................................................................... 144. 6.. Pell 方程 .................................................................................................................. 145. 參考文獻 ............................................................................................................................... 147 中國古籍 ........................................................................................................................... 147 日本東北大學圖書館史料： ........................................................................................... 147 專書 ................................................................................................................................... 149 期刊論文 ........................................................................................................................... 149 碩士論文 ........................................................................................................................... 152 網路資源 ........................................................................................................................... 152. V.

(7) 圖目錄圖 1 久留島先生極数十五問封面。此圖出自《久留島先生極数十五問岡本写 433 画像あり》 .................................................................. 3 圖 2 久留島先生極数十五問內文。出自《久留島先生極数十五問岡本写 433 画像あり》 .......................................................................... 3 圖 3 久氏極数十五問之解 ......................................................................... 3 圖圖圖圖. 4 不朽算法成書年代 ............................................................................. 4 5 平方零約諺解...................................................................................... 5 6 平方零約諺解成書年代...................................................................... 5 7 《平方零約術解》此圖出自《平方零約術解安島直円編岡本写 285. 画像あり》............................................................................................ 6 圖 8《平方零約術解》成書年代與附錄用法五條之來由 ........................ 6 圖 9 平方零約術岡本写 300 ....................................................................... 7 圖圖圖圖. 10 11 12 13. 平方零約術岡本写 300 成書年代 .................................................... 7 平方零約術附錄為武田保勝所述 .................................................... 7 新編塵劫記 ..................................................................................... 13 關孝和與西元 1992 為關孝和發行的紀念郵票 ........................... 14. 圖圖圖圖. 14 15 16 17. 《算法發揮》 ................................................................................. 15 陝西省旬陽縣出土的象牙算籌（漢） ......................................... 16 程大位，《新編直指算法統宗》，北京大學圖書館 ................. 17 孫元化的筆算乘法算式 ................................................................. 17. 圖圖圖圖圖. 18《発微算法演段諺解》 ................................................................... 18 19 關流歷代宗統傳人示意圖 ............................................................. 19 20 關流承傳關係 .................................................................................. 20 21 久留島義太同時代的和算家 .......................................................... 20 22 鳴海風『美しき魔方陣-久留島義太見参！』 ............................ 23. 圖 23 《山路君樹先生茶話林文庫 2916 画像あり》 ........... 24 圖 24 綴術算經，第六，探直堡極積術 ................................................. 29 圖 25 小川束在《建部賢弘的極值計算》所使用的方法 ..................... 31 圖圖圖圖圖. 26 27 28 29 30. 和算極數術的中算基礎 ................................................................. 32 久留島先生極数十五問第一題 ................................................... 34 久留島先生極数十五問第二題之一 ........................................... 36 久留島先生極数十五問第二題之二 ........................................... 39 久留島先生極数十五問第二題之三 ........................................... 40. 圖 31 久留島先生極数十五問第二題試數 ......................................... 42 圖 32 久留島先生極数十五問第三題小圖 ............................................ 43 VI.

(8) 圖 33 久留島先生極数十五問第三題 ................................................... 44 圖圖圖圖. 34 久留島先生極数十五問第四題小圖 ............................................ 46 35 久留島先生極数十五問第四題 ................................................... 46 36 久留島先生極数十五問第五題 ................................................... 48 37 久留島先生極数十五問第六題 ................................................... 50. 圖圖圖圖. 38 久留島先生極数十五問第五題試數 ......................................... 51 39 久留島先生極数十五問第七題小圖 ............................................ 53 40 久留島先生極数十五問第七題 ................................................... 53 41 久留島先生極数十五問第五題之一 ........................................... 54. 圖圖圖圖. 42 43 44 45. 久留島先生極数十五問久留島先生極数十五問久留島先生極数十五問久留島先生極数十五問. 第七題之二 ........................................... 55 第八題之一 ........................................... 57 第八題之二 ........................................... 58 第九題之一 ........................................... 60. 圖 46 久留島先生極数十五問第九題之二 ........................................... 61 圖 47 久留島先生極数十五問第十題 ................................................... 63 圖 48 久留島先生極数十五問第十一題 ............................................... 65 圖圖圖圖. 49 50 51 52. 久留島先生極数十五問久留島先生極数十五問久留島先生極数十五問久留島先生極数十五問. 第十二題小圖 ....................................... 67 第十二題之一 ....................................... 68 第十二題之二 ....................................... 69 第十三題 ............................................... 72. 圖圖圖圖圖圖. 53 54 55 56 57 58. 久留島先生極数十五問第十四題 ............................................... 74 久留島先生極数十五問第十五題 ............................................... 77 唐開元占經·卷一百二~卷一百五_玄始曆段 ................................. 83 和算中的「諸約術」與現代數學的關係 ..................................... 89 諸約之法的零約術 ......................................................................... 89 括要算法中的零約術 ..................................................................... 89. 圖 59 括要算法中的零約術 ..................................................................... 90 圖圖圖圖圖圖. 60 61 62 63 64 65. 《綴術算經》-內閣本 .................................................................... 91 不朽算法 ......................................................................................... 97 平方零約術 ..................................................................................... 99 平方零約術第一題 ...................................................................... 100 平方零約術第二題 ..................................................................... 109 平方零約術第三題 ..................................................................... 112. 圖 66 平方零約術第四題 ..................................................................... 117 圖 67 平方零約術第五題 ..................................................................... 121 圖 68 平方零約術第六題 ..................................................................... 124 圖 69 平方零約術第七題 ..................................................................... 126 圖 70 平方零約術 ................................................................................... 129 VII.

(9) 圖 71 平方零約術 ................................................................................... 130 圖 72 平方零約術 ................................................................................... 131 圖 73 平方零約術附錄五條之四 ......................................................... 132 圖 74 平方零約術附錄五條之五 ......................................................... 133. VIII.

(10) 表目錄表 1 久留島極數不同版本的比較 ............................................................. 8 表 2 平方零約術不同版本的比較 ............................................................. 8 表 3 幕府將軍在位年代 ........................................................................... 11 表 4 模仿建部賢弘《綴術算經》適盡方級法求解 ............................... 30 表 5 用現代短除法去表現適盡方級法 ................................................... 31 表表表表. 6 7 8 9. 《久留島極數》十五個問題之分類 ............................................... 78 關孝和與建部賢明不同的 π 的漸近分數算法 .............................. 91 久留島義太三種自然數型平方根之最佳漸近分數算法 ............. 135 《平分零約術》前三題之分析 ..................................................... 139. IX.

(11) 第 1 章緒論 1.1 研究動機和算在自關孝和以來，逐漸走出自己的特色。建部賢弘承其緒豐富了和算的內容。無論中國與日本學者大多討論關孝和與建部賢弘的文本。但關孝和與建部賢弘後，和算數學家不僅繼承前人的成就，並且將所承緒的數學資產更深入的探討。和算的深奧讓筆者驚奇。然而，江戶時代的漢字對日本數學家而言已是不易閱讀，大多數學者也僅止於關孝和與建部賢弘的著作，未能再深入和算中期的著作。久留島義太與大多數和算家不同，憑藉一本《新篇塵劫記》自學而成。後與中根元圭、山路主住、松永良弼來往，開創出和算另一個輝煌的時期。《久留島極數》承襲建部賢弘的「求直堡極積」問題，更深入地去探討各種代數函數的極值問題。有別於西方微積分發展模式，走出東方獨特的極值算法，抑或應稱為日本和算獨有的極細膩計算模式。經由曆法的研究，由中國傳入的曆法對於日本天文曆法有極大的影響。研究曆法所產生的數學更吸引著和算家。源於中國曆法所產生的實數有理逼近方法，《平方零約術》吸取中算《大衍求一術》與關孝和《零約術》，對於相當於西方數學的二次不定方程，有極傑出的發展與創見。筆者選擇《平方零約術》與《久留島先生極數十五問》兩本予以探討，乃著眼於這兩本是久留島義太晚期比較成熟的著作。筆者欲盡棉薄之力，試圖還原久留島義太這兩本著作，藉此一探久留島不同於前人獨特的貢獻. 1.

(12) 1.2 文獻探討筆者本來參考徐澤林的《和算選粹補篇》，但是，該書部份解讀有所缺漏，其中也可能是抄寫錯誤，以致於重新驗證時，籌式計算錯誤頗多。西元 2012 年初，筆者亦曾寫信至日本國會圖書館，希望能借出文本電子檔，期盼能看到一手文獻，以資對照兩方不同之處。慶幸於西元 2013 年找到東北大學文庫，參考許多珍貴的文本電子檔，得以一窺全貌。 (1) 在《久留島先生極數十五問》中，以十五個有理函數為例，用今天所謂的費馬方法，求有理函數的極值。此方法為建部賢弘在《綴術算經》中所首創，但僅有一個多項式函數的算例。久留島這一工作，使極值問題成為和算中一類典型問題。有關這方面的研究，筆者所參考的文本有：徐澤林，《和算選粹補篇》中有關《久留島極數》所參考文本為東北大學圖書館林文庫所藏之抄本。書前有平山諦附加的說明，如下：本書乃 1 昭和五年林鶴一求於大阪市者也。河內峽山林氏藏書者，林白弘也，本書係林白弘之筆也。昭和二十六年七月十八日平山諦。2 依筆者所見，《和算選粹補篇》內的《久留島極數》皆為抄寫林文庫所藏之抄本。但內容多有疏漏錯誤，亟需加以驗證。而且此書僅在提要部份簡單提及與現代數學的關係。對於代數函數 y = f ( x) ，首先利用關孝和的『適盡方級法』3求出導函數 y = f '( x) 的根 x0 ，然後求極值. ∂f = 0， ∂x 4 = f ( x0 ) 聯列，求出 x0 ， y0 ，即求出極值 y0 。卻缺乏以當時和. ymax = f ( x0 ) 或 ymin = f ( x0 )。如果求隱函數 f ( x, y ) = 0 的極值，則求. 再與 ymax. 算基礎出發，去探討和算發展。並且常有先入為主地認為中算為和算的本源，輕忽和算本身獨有的細膩算法。《久留島先生極数十五問岡本写 433 画像あり》（參見圖 1）此書未載明哪個年代。內文只有題目與答案。（參見圖 2）. 1 2 3. 昭和五年相當於西元 1930 年昭和二十六年相當於西元 1951 年所謂的『適盡方級法』為關孝和所創，等價於 V ′ ( x ) = 0 ，從而形式上與現代微分學中求極值. 的 Fermat 方法一致。 4 徐澤林，《和算選粹補篇》，北京：科學技術出版社，2009 年，頁 298。 2.

(13) 圖 1 久留島先生極数十五問封面。此圖出自《久留島先生極数十五問岡本写. 圖 2 久留島先生極数十五問內文。出自《久留島先生極数十五問岡本写. 433. 433. 画像あり》. 画像あり》. 《久氏極数十五問之解文化6年写岡本写 434 画像あり》（參見圖 3）文化6年（西元1809年）。內文有題目、答案、術與解義。內文字跡清晰，筆者引為本研究之底本。. 圖 3 久氏極数十五問之解此圖出自《久氏極数十五問之解. 文化 6 年写. 3. 岡本写. 434. 画像あり》.

(14) (2) 在《平方零約術》中久留島義太是對關孝和等人的零約術的進一步發展，他所處理的是二次無理數（有理數域上二次不可約多項式的根）的連分數展開問題。所參考的文本有： ① 徐澤林，《和算選粹補篇》中有關《平方零約術》為安島直圓《不朽算法》所收。成書年代應該是享保十一年，亦即西元 1726 年。徐澤林《和算選粹》所參考的底本為平山諦、松岡元九編集之《安島直圓全集》（富士短期大學出版部，1966）。筆者本欲尋找徐澤林所用之底本，遍尋不至，殊為可惜。 ② 《不朽算法安島直円遺稿・日下誠嗣編 2 岡本写 981 画像あり》，此書書末寫寬政十二年（1800 年）庚申年正月長谷川寬撰（參見圖 4）。而且此書字體工整，內文與例題與前書相仿，亦列於《不朽算法》之後，引以為本研究底本。. 圖 4 不朽算法成書年代此圖出自《久留島先生極数十五問岡本写 433 画像あり》（參見圖 5）， ③ 《平方零約之解蓮茂子(久留島義太)岡本写 290 画像あり》但書名上寫的是平方零約諺解，可惜解義皆為日文書寫，內文說明為建部賢弘門人堀江城真題字寬延元歲戊辰中秋，應當是西元 1748 年成書。內文有說明此書乃是堀江城真門人蓮茂子在書市買得，師徒兩人合力解之（參見圖 6）。. 4.

(15) 圖 5 平方零約諺解此圖出自《平方零約之解蓮茂子(久留島義太)岡本写 290 画像あり》. 圖 6 平方零約諺解成書年代. ④ 《平方零約解安島直円編岡本写 277 画像あり》（參見圖 7），安島直圓所著，內文說明成書於天明二年壬寅初冬，相當於西元 1782 年。此書內文有說明安島直圓為之作解。附錄用法五條當為安島直圓所撰（參見圖 8）。. 5.

(16) 圖 7 《平方零約術解》此圖出自《平方零約術解安島直円編岡本写 285 画像あり》. 圖 8《平方零約術解》成書年代與附錄用法五條之來由. ⑤ 《平方零約術久留島義太岡本写 300 画像あり》（參見圖 9），但書名上為平方零約術並附錄完。內文說明成書於享保十一年丙午六月，應當為西元 1726 年（參見圖 10）。但對照武田保勝（寛政 9 年～嘉永 6 年，相當於 1797 年～1853 年）的生卒年，筆者認為享保十一年當是《平方零約術》成書年代，而非武田保勝此書年代。附錄當為武田保勝5所述（參見圖 11）。武田保勝為仙台藩天文方，他也著作有幾本有關於平方零約術的書籍--i. 《平方零約術付録》 (写本 / 武田保勝 / 1 冊 / 岡本写-0279) ii. 《平方零約術付録》 (写本 / 明治 30 年写 / 源保勝 / 1 冊 / 林文庫-1423) iii. 《平方零約術付録》 (写本 / 文政 13 年 / 武田保勝述 / 1 冊 / 林集書-0550)。應當與武田保勝所擔任之天文方掌管曆法有相當關係。. 5. 武田保勝（たけだやすかつ）寛政９年(1797)－嘉永６年(1853)）仙台藩天文学者。 6.

(17) 圖 9 平方零約術岡本写 300 此圖出自《平方零約術久留島義太岡本写 300 画像あり》. 圖 10 平方零約術岡本写 300 成書年代. 圖 11 平方零約術附錄為武田保勝所述此圖出自《平方零約術久留島義太岡本写 300 画像あり》. 7.

(18) 筆者廣收集各版本久留島義太於《極數術》與《平方零約術》不同版本，還原久留島著述原意，並與現代數學相對照，藉此凸顯久留島這兩種數學方法的獨特性。筆者在收集資料時，盡可能採用古籍，並且以圖表呈現出文本真實面貌。表 1 久留島極數不同版本的比較. 文本. 成書年代. 特色. 《和算選粹補篇》中有關昭和五年. 近代中國研究和算的書. 《久留島極數》所參考文相當於西元 1930 年本為東北大學圖書館林文庫所藏之抄本. 籍。可惜多為翻譯，少有深入探討，且頗多錯誤缺漏。. 《久留島先生極数十五問岡本写 433. 此書未載明哪個年代. 內文只有題目與答案. 《久氏極数十五問之解. 文化 6 年，. 內文有題目、答案、術與. 文化 6 年写岡本写 434 画像あり》. 相當於西元 1809 年。. 解義。內文字跡清晰，筆者引為本研究之底本。. 画像あり》. 表 2 平方零約術不同版本的比較. 文本. 成書年代. 《和算選粹補篇》中有關享保十一年，. 特色同上述《和算選粹補篇》. 《平方零約術》為安島直亦即西元 1726 年。圓《不朽算法》所收。《不朽算法安島直円遺. 寬政十二年. 此書字體工整，內文與例. 稿・日下誠嗣編 2 岡本写 981 画像あり》. 相當於西元 1800 年. 題與前書相仿，亦列於《不朽算法》之後，引以為本研究底本。. 《平方零約之解蓮茂子 (久留島義太)岡本写 290 画像あり》. 寬延元歲戊辰中秋，應當是西元 1748 年. 解義皆為日文書寫，內文有說明此書乃是堀江城真門人蓮茂子在書市買得，師徒兩人合力解之。. 《平方零約解安島直円天明二年壬寅初冬，編岡本写 277 画像あり》相當於西元 1782 年. 內文有說明安島直圓為之作解。附錄用法五條當為安島直圓所撰。. 《平方零約術久留島義享保十一年丙午六月，太岡本写 300 画像あり》應當為西元 1726 年. 8. 附錄為武田保勝所述。武田保勝為仙台藩天文方.

(19) 1.3 研究方法（一）研究問題關流以來，大多數學者皆是研究關孝和與建部賢弘。然而關孝和與建部賢弘後，和算進入算法更成熟，更細膩的境界。久留島義太與同期和算家共同開拓出和算獨特的數學思路。筆者試圖以當代時空背景來看待久留島義太的著述，並且以現代數學的角度處理久留島義太著述中的問題。筆者想要探討的問題是： 1. 《久留島極數》與關孝和、建部賢弘的適盡方級法的差異為何？ 2. 久留島義太的《平方零約術》裡的連分數展開是否有周期性？ 3. 《久留島極數》與《平方零約術》跟中算的關連為何？ 4. 《久留島極數》與《平方零約術》是否有受到西方數學的影響？並與其同時西方數學相關的研究？（二）研究方法：研究方法：文本內容分析文本內容分析和算雖起源於中國的算學書，但是多有發見，算法精微之處頗有可觀之處。筆者從兩方面著手，一方面由文獻裡理出久留島義太著述中的脈絡，一方面由現在數學出發，藉以刻劃和算的獨特思維。（三）研究限制關於久留島義太的生平以日文居多。，由於筆者不擅長日文，不易搜查日文的相關資料，解讀文獻上也有所限制，因此，有部分日文文獻的引用，筆者選擇保留原文不做翻譯，避免錯誤的詮釋。另外，有些二次不定方程理論，筆者遍查書籍，久留島義太的算法無法確實證明，僅能以實際操作驗證。. 9.

(20) 第 2 章久留島義太生平與背景介紹久留島義太生平與背景介紹 2.1 江戶時代的歷史背景 2.1.1 江戶時代政治江戶時代政治與經濟的政治與經濟的演變與經濟的演變江戶時代（西元 1603 年---西元 1867 年），又稱德川時代，是指由江戶幕府（德川幕府）所統治日本時代。也是指慶長八年二月十二（西元 1603 年 3 月 24 日）德川家康被委任為征夷大將軍在江戶（現在的東京）開設幕府時開始，到慶應三年十月十四（西元 1867 年 11 月 15 日）大政奉還的 264 年間。江戶幕府是德川家康建立的軍事政權，6以強大軍事力為後盾，建立起壓制諸大名的政治體制，並持續家康、秀忠、家光三代，對於認為可能威脅到幕府的大名家族，便以微不足道的理由毫不寬容地將之擊潰。為了防範大名反抗或日益強大，德川家光於寬永十二年（西元 1635 年）要求諸大名必須前往安土城和大阪城拜謁，於是德川家掌權後，大名在府（居留江戶）一年、在國（在領地生活）一年。這種參勤交替制度使得大名7們往來於江戶與封地之間，藉此消耗大名的鉅額錢財，削弱其財力，使之無法反抗幕府。以至於使江戶人口有七成是不事生產的武士，形成一個消費城市。江戶時代政治經濟的基本制度是幕藩體制。幕藩體制是以「兵農分離」作為統治人民的方式；以「石高制」作為土地所有的原則，以「鎖國制」鞏固國家和民族的基本結構。8 1651 至 1716 年間，德川第四代到第七代幕府，展開禮教文化政治，諸任將軍好學篤信忠孝倫理之道。禮教文化政治緩和幕府初期的武力殺伐，促進社會的和平和安定，卻促使武士怠惰而增加經濟困難。當時經濟情況發生轉變，自然. 6. 在江戶幕府時期，征夷大將軍是實際上政權的控制者，號稱日本國大君。天皇不過是象徵性元首。將軍領地在江戶初期大致佔有七百萬石。 7 俸祿高達一萬石以上的軍人稱為大名，大名的種類可分三種： (1)屬於德川宗派一族的稱作親藩大名，在江戶初年大致佔有二百六十萬石。 (2)關原之戰之前臣服德川家的門閥稱作譜代大名，在江戶初年大致佔有六百七十萬石 (3)關原之戰之後臣服德川家的門閥稱作外樣大名，在江戶初年大致佔有九百八十萬石 8 左學德、王曉燕，《日本江戶時代的幕藩體制與商品經濟》，《北方論叢》 2007 年 05 期，頁 104 10.

(21) 經濟轉變成商品經濟，9進而提高了商人的實力與地位。10 在 17 世紀中葉至 18 世紀初期間，德川的幕藩體制穩定下來，社會生產力和經濟有很大的發展，除江戶、大阪、京都等大城市外，稱作「城下町」的封建城鎮遍及全國。城下町聚集許多從事手工業和從事商業的市民階層「町人」，此時經濟繁榮，庶民化的町人文化成為江戶文化主流，過去貴族或上層階級所能享受的知識、藝能等，當時滲透到普通民眾中，經濟的繁榮為和算提供便利條件。 11. 表 3 幕府將軍在位年代. 幕府將軍. 在任期間. 1. 德川家康. 1603 年～1605 年. 2. 德川秀忠. 1605 年～1623 年. 3. 德川家光. 1623 年～1651 年. 4. 德川家綱. 1651 年～1680 年. 5. 德川綱吉. 1680 年～1709 年. 6. 德川家宣. 1709 年～1712 年. 7. 德川家繼. 1713 年～1716 年. 8. 德川吉宗. 1716 年～1745 年. 9. 德川家重. 1745 年～1760 年. 10. 德川家治. 1760 年～1786 年. 11. 德川家齊. 1787 年～1837 年. 12. 德川家慶. 1837 年～1853 年. 13. 德川家定. 1853 年～1858 年. 14. 德川家茂. 1858 年～1866 年. 15. 德川慶喜. 1866 年～1867 年. 9. 自然經濟較像自給自足的模式；商品經濟則是從勞動中分離出手工業，即專業分工的情形，生產了許多產品，進一步會產生商人這個角色作為交易的媒介。 10 參考(日)坂本太郎著；汪向榮、武寅、韓鐵英譯，《日本史槪說》，頁 292~296；參考徐澤林，《和算選粹》，頁 21；參考烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 73；林明德、陳慈玉、許慶雄合著，《日本歷史與文化》，頁 107。 11 參考(日)坂本太郎著；汪向榮、武寅、韓鐵英譯，《日本史槪說》，頁 292~296；參考徐澤林，《和算選粹》，頁 21；參考烏云齊齊格，《和算的發生—東方學術的藝道化發展模式》，頁 73；林明德、陳慈玉、許慶雄合著，《日本歷史與文化》，頁 107。 11.

(22) 2.1.2 江戶時代文化與社會的變遷旅日文化評論家李長聲曾說：「中國人自大起來就要說漢唐，而日本歷史最值得一說的大概是江戶時代，那年間創造的浮世繪對梵谷、馬奈的繪畫以及德布西的作曲都有所影響。」元祿文化的中堅份子是京都、大阪一帶的町人，12這是日本有史以來首次由被統治的階級主導文化的發展。此時武士因米價貶值與支出增加而愈來愈貧窮，農村則受到貨幣經濟的衝擊而瓦解，在這樣的局勢中，唯有町人集聚了天下的財富，且毫不惋惜地揮霍龐大的財富來歌頌自己的人生。德川幕府帶來穩定的社會，武士不再征戰。江戶，據說一半以上的人是武士身份，以將軍為頂點，直屬將軍的武士就有大名、旗本和御家人。武士從主君那裡得到的薪金稱為「祿」，按照身份的不同記有三種——「知行」13、「扶持米」 14 、「給金」15，這些都是年薪。有些上層武士將精力和財力轉向研究學問並以此為消遣，視數學為智力性的求道遊戲，當時社會興起「遺題承繼」之風。下等階層武士生活困窘，必須靠一技之長來維持生計。當時財稅、稅收、軍事、經濟等方面都需要數學，幕府需要懂數學的人才處理執行主帳、稅收、工程等方面的事務。因此，和算家可以憑著計算能力在幕府得到職位，或為各藩工作領取俸祿。幕府有需要數學能力的工作，即戡定奉行。關流始祖關孝和就曾擔任過江戶幕府的戡定吟味，類似今日會計的審計工作。16. 12. 町人是日本江戶時代一種人民的稱呼，他們主要是商人，部份人是工匠以及從事工業的工作。雖然他們在江戶幕府的士農工商的身份制度下是最低的兩級，但是他們的憑著商業買賣以及獨有工作技能，所以部份町人的財力還要較武士階層的大名為高，町人在江戶時代的中期，開始形成獨特的文化，例如是元祿文化以及是化政文化。此外他們可以在町內（一般是城堡的城下町），擁有自治的權力。此一階級除了包含不僅包括了富有的金融家與批發商，亦也包含了窮困的工匠、商販、以及零工。武士十分歧視商人，戴季陶的日本論中有一字眼形容商人，叫町人根性，是武士罵商人時說的，町人好計算、短視、貪心、性格下三流，是給奴才做奴才的奴才。 13 「知行」就是指分封的領地，比如說有「百萬石的知行」，那麼就是說所擁有的領地的米的產量總和為百萬石。 14 「扶持米」基本上是中低層武士的薪金支給方式，就是直接給米，給予的數額大約在 30 俵到 400 俵之間，100 俵合 35 石，也就是說相當於價值 10 兩到 140 兩之間。「扶持米」的發放不是一次性的，而是一年有三次相對固定的發放時間。以 100 俵的來做例子。春天（2 月）發 25 俵，夏天（五月）發 25 俵，冬天（10 月）發最後剩下的 50 俵。這種分期發放的方式稱為「切米」。 15 「給金」是指現金發放了。既然 30 俵以上稱為「扶持米」，那麼「給金」自然就是指 30 俵以下的薪金額度了。據說身份最低的武士只有 3 兩一分。 16 參考劉雅茵，《關孝和括要算法內容分析》，頁 22。 12.

(23) 2.1.3 江戶時代前的數學發展日本人把受西方數學影響以前，按自己的特點發展起來的數學叫和算，也算日本傳統數學。十七世紀後期至十九世紀中葉是和算的興盛時期。和算在中國古代數學的影響下發展起來。西元六世紀始，中國的曆法和數學就直接或間接地（通過朝鮮）傳入日本，日本政府亦多次派留學生到中國唐朝學習數學。到八世紀初，日本已倣照隋唐時期的數學教育制度設立算學博士並採用《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《綴術》等中國古算書作為教材，這是中國數學輸入日本的第一個時期。十三至十七世紀，是中國數學傳入日本的第二個時期，《楊輝算法》、《算學啟蒙》、《算法統宗》等陸續傳入日本，對日本數學的發展有重要的影響。吉田光由的《塵劫記》（西元 1627）（參見圖 12）珠算術在日本迅速得到普及，其內容與《算法統宗》極為相似，只是其中許多例題是根據日本的實際情況編寫的。這時期還有幾本著作是專門介紹和解釋《算學啟蒙》的。. 《新編塵劫記. 圖 12 新編塵劫記吉田光由編享保 2 年 3 林文庫. 562. 画像あり》. 十七世紀初，日本數學家開始寫出自己的著作，如毛利重能的《割算書》（西元 1622）、今村知商的《豎亥錄》（西元 1639）等。到十七世紀末期，通過關孝和等人的工作，逐漸形成了日本數學體系──和算。. 13.

(24) 2.2 久留島義太之久留島義太之前日本數學前日本數學發展數學發展與籌算的演進發展與籌算的演進由於久留島義太的算學研究與關流關係密切，並且與同時代的和算家皆互有往來，也相互影響。因此，此處先介紹久留島之前的關流與相關流派代表人物及其成就。並且探討此一時期，從中算到和算，運算方式由籌算到筆算的演進。關孝和（Seki Kowa，約 1642～1708 年）：. 圖 13 關孝和與西元 1992 為關孝和發行的紀念郵票17 字子豹，日本數學家。1642 年生于江戶小石川（一說西元 1637 年生于上野國藤岡），1708 年 10 月 24 日卒于江戶。出身于武士家庭，據載曾隨數學名家高原吉種學過數學，人稱數學神童。後長期在江戶任貴族家府家臣，掌管財賦，直到西元 1706 年退職。他是日本古典數學（和算）的奠基人，也是關氏學派（或稱關流）的創始人，在日本被尊稱爲算聖。生前僅有一部《發微算法》（西元 1674 年）出版，逝世後又由學生荒木村英（西元 1640～1718 年）整理出版了一部遺稿《括要算法》（西元 1712 年）。另有多種學派內部秘傳的抄本著作，如《三部抄》（《解見題之法》、《解隱題之法》（西元 1685 年）、《解伏題之法》（西元 1683 年））、《七部書》（《開方翻變》、《病題明致》、《題術辯議》等）。關孝和的主要成就有：改進了朱世傑《算學啓蒙》（西元 1299 年）中的天元術算法，開創了和算獨有的筆算代數；完善了中國傳入的數字方程的近似解法；發現方程正負根存在的條件；對勾股定理、橢圓面積公式、阿基米德螺線、圓周率的研究；開創「圓理」（徑、弧、矢間關系的無窮級數表達式）研究；幻方理論；連分數理論等等。他還寫過數種天文曆法方面的著作，如《授時曆經立成》 17. 此圖出自關孝和日本維基百科 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E5%AD%9D%E5%92%8C 14.

(25) 四卷、《授時曆經立成立法》（西元 1681 年）、《授時發明》、《四余算法》（西元 1697 年）以及《星曜算法》等。關孝和去世以後，他所有的書稿應為其養子關新七以及兩高徒荒木村英與建部賢弘所繼承。所不幸的是新七不成器，未來繼承父業。至於建部賢弘任職於幕府，深受將軍吉宗重用，大概無暇顧及關流日常事物。不難想像，這可能是荒木 18 村英成為關流宗統傳人的重要原因之一。關孝和數學成就由弟子建部賢弘繼承和應用，對日本數學的發展産生重要影響。建部賢弘（Katahiro Takebe，西元 1664～1739 年），號不休，通稱彥次郎。十三歲起入關流門下學習數學，二十二歲時對關孝和《發微算法》作注，著有《發微算法演段諺解》四冊，頗具數學才能。關流人物以外有井關知辰（Izeki Tomotoki）通稱十兵衛，生卒年及平生均不詳。隨島田尚政學算學，元祿三年(西元 1690 年)著《算法發揮》，這是世界數學史第一本關於行列式展開研究的出版物，而且首次採用 Vandermonde 展開法。在西方，關於行列式的最初出版物是西元 1750 年的 Cramer 的 Introductiona l’analyse des Ligues courbes algebrique(Geneve, 西元 1750 年)。 Vandermonde 創制的 Vandermonde 展開法是西元 1772 年，他們均比《算法發揮》晚。19（參見圖 14）. 圖 14 《算法發揮》《算法発揮 / 井関知辰 / 元禄 3 年 / 3 / 狩野 / 7.20306.1 / 画像あり》. 18. 烏云其其格，《和算的發生─東方學術的藝道化發展模式》，上海：上海辭書出版社，2009 年，頁 174。 19 徐澤林，《和算選粹》，北京：科學出版社，2008 年，頁 297。 15.

(26) 另外，在幕府八代將軍吉宗（1716 年～1745 年）發佈緩禁令之後，與西方算學有關的中國書籍《曆算全書》、《割圓八線之表》、《曆象考成》、《御制數理精蘊》等傳在日本，三角法、對數、圓錐曲線等知識傳入日本，但是歐幾里得幾何邏輯演繹的證明法，並沒有引起和算家的注意。和算家對這些漢譯著作也有研究，其中《數理精蘊》和《曆象考成》的影響比較明顯。由於吉宗鼓勵學習荷蘭語，造成「蘭學」興盛。「蘭學」注重實利實用，所以在純粹數學方面非常微弱，僅引入了三角法和測量學，其中包括三角函數表、對數表、航海表、彈道表、各類曲線等內容。在這裡，筆者還想談一談籌算的演進，由於久留島義太的算式頗為複雜。中國的籌算已不足應付如此龐大的運算。由籌算到筆算的進步是可以想見。. 圖 15 陝西省旬陽縣出土的象牙算籌（漢）20 中國的數碼由籌算擺法而來。把擺出的數目用筆照樣記錄下來的就是籌碼。中國在宋元以後，流行於印度、阿拉伯、歐洲的筆算（格子算）傳入中國。吳敬把它稱為「寫算」以便於籌算和珠算相區別。在明末《算法統宗》中記載有寫算，又叫鋪地錦，初見於吳敬《九章算法比類大全》，是一種在預先畫好的格子中用筆算進行乘、除運算的方法。21李迪在《對中國傳統筆算之探討》認為在明代時期，珠算非常普及，而籌算已完全退出歷史舞台。22 由圖 16 中，筆者認為在《算法統宗》中，籌算與筆算是交互運用的。. 20. 張沛，《再論籌算向珠算的演變—從唐長安西市遺址出土的釉陶算珠說起》，咸陽師範學院學報，第 25 卷第 6 期，2010 年 11 月，頁 79 21 陳威男，《明代算書《算法統宗》內容分析》，台北：國立台灣師範大學數學系所碩士論文， 2002 年，頁 110。 22 李迪，《對中國傳統筆算之探討》，數學傳播 26 卷 3 期民 91 年 9 月，頁 65 16.

(27) 圖 16 程大位，《新編直指算法統宗》，北京大學圖書館中國第一部自著的筆算數學是明末的孫元化（？～西元 1632）寫的《太西算要》23，運算方式是受西法影響的中國式筆算，以中國漢文數字代替西方的印度-阿拉伯數碼。他比較了中國的珠算與西方的筆算之便與不便，結果是「算愈難而西法愈顯」。24由圖 17，可以看出到了當時筆算的雛形。. 圖 17 孫元化的筆算乘法算式25 傳至關孝和以後，由建部賢弘《發微算法諺解》（參見圖 18）的計算可見，若用算籌幾乎不可能排出那麼複雜的籌式，除非帶著大量的算籌，那會是很累人的事。所以筆者認為，若是如此繁雜的算式中使用籌算，將非常困難排出那麼多的代數符號，也難以進行數十個符號的代數運算。. 23 24 25. 此書只有寫本，影印入《徐光啟著譯集》，上海，上海古籍出版社，1983，第 10 冊。李迪，《對中國傳統筆算之探討》，數學傳播 26 卷 3 期民 91 年 9 月，頁 65 此圖出自李迪，《對中國傳統筆算之探討》，數學傳播 26 卷 3 期民 91 年 9 月 17.

(28) 圖 18《発微算法演段諺解》26. 26. 此圖出自建部賢弘，《発微算法演段諺解 / 建部賢弘 / 貞享 2 年 / 4 / 林文庫 / 38 / 画像あり》，貞享 2 年（西元 1685 年）。 18.

(29) 2.3 久留島義太同時代久留島義太同時代的時代的和算家和算家久留島義太乃是自學出身，但是受到同時代的和算家相互影響，與中根元圭、山路主住、松永良弼來往密切。筆者以為這也是不同於關孝和與建部賢弘的地方，他們四人彼此啟發，研究所得彼此分享，至此激盪出輝煌燦爛的火花，將承繼於關孝和與建部賢弘以來的和算更加地深化其算法技能。故在此節內介紹與久留島同時代的和算家。 18 世紀 30 年代至 18 世紀末，和算繼續蓬勃發展，流派林立，名家輩出。優秀的和算家大都是各籓的役人，從事與數學相關的工作，精力主要放在數學研究與教授弟子上，他們的創造能力雖不及關孝和、建部賢弘等人，但在藝道盛行的文化環境中，很好地繼承並充實了關孝和、建部賢弘等人所開拓的算學知識，並有意識地將這些算學知識系統化，把數學知識的承傳加以制度化。而久留島義太在此時期與各個和算家的關係匪淺，烏雲其其格《和算的發生 ─東方學術的藝道化發展模式》裡更充分說明久留島義太在此一時間的重要性。荒木村英因年邁未及整理關氏遺稿便傳給松永良弼。松永良弼繼承並發展了關孝和的數學思想，被視為關流的第二代宗統傳人；而另一方面，建部賢弘及其高徒中根元圭、彥循父子則在繼承關氏思想的基礎上逐漸形成建部中根派，但是建部中根派被視為關流旁系。目前和算史普遍認同的關流歷代宗統傳承示意圖如下：. 圖 19 關流歷代宗統傳人示意圖27 在荒木派與建部派之間有一個非常重要的人物---久留島義太。久留島生性放浪不羈，且嗜酒如命，嘗在內藤政數面前酒醉而酣睡，深得內藤賞識。久留島並非荒木派中算家也非建部一派算家，或者說他根本就不是關流中人，然而他卻是聯繫兩派之間的代表人物。久留島的卓越的數學才能為中根元圭發現，因而盡得建部一派家學，而另一方面，久留島又與松永良弼是親密的朋友，他們經常共 27. 烏云其其格，《和算的發生─東方學術的藝道化發展模式》，上海：上海辭書出版社，2009 年，頁 174。 19.

(30) 同探討問題，交換彼此的想法。. 28. 由上面烏雲其其格所言之中，我們可以想見久留島義太與各個和算家交好，至此和算進入百家爭鳴的時期。久留島義太在中根元圭與松永良弼這兩派關流影響下，充分吸收關流和算資產，也基於自己本身的數學才能，由此激發出更成熟的和算運算與技能。. 圖 20 關流承傳關係29 與此時期主要代表人物有：. 圖 21 久留島義太同時代的和算家以下依序介紹其生平傳略。中根元圭中根元圭（Nakane Genkei, 西元 1662 年～1733 年），名璋，通稱丈右衛門，字元圭或元珪，號律襲，近江國淺井郡（今滋賀縣淺井町）人，因住京都白山町，人稱白山先生，為京都銀座役人，還曾師從澀川春海學習曆法，且以『精天文』而出名。30，精通律學、音韻學、文字學，博學強記。他的算學原學於田中由真，曾於京都白川町開塾。享保六年（西元 1721 年）在建部賢弘的舉薦下，受招於 28. 烏云其其格，《和算的發生─東方學術的藝道化發展模式》，上海：上海辭書出版社，2009 年，頁 175。 29 徐澤林，《和算選粹》，北京：科學出版社，2008 年，頁 32。 30 烏云其其格，《和算的發生─東方學術的藝道化發展模式》，上海：上海辭書出版社，2009 年，頁 176。 20.

(31) 幕府，為幕府曆學顧問。此人漢學功底深厚，名聲很大。八代將軍德川吉宗（西元 1684 年～1751 年）執政時期，十分重視天文和數學的發展，並且親自進行天文觀測，中根元圭與新井白石等人為改曆需要，在享保年間（西元 1728 年）他曾向德川吉宗建議頒佈緩禁令，允許西洋曆算學書籍輸入日本，並受幕府之命，翻譯訓點剛傳入的梅文鼎《曆算全書》及《西洋新法曆書》。天文曆學著述較多，計 40 餘解，對江戶時代天文曆學的發展具有重要意義。但數學著述不多，有《七乘冪演式》二卷（西元 1691 年刊）、《累約拾遺》（西元 1728 年）、《索術》（西元 1728 年）、《三斜無不盡問題之解》（西元 1725 年）及《八線表算法解義》。中根元圭之子中根彥循（Nakane Genjun, 西元 1701 年～1761 年）也是和算家，秉承家學，後赴江戶就學於建部賢弘與久留島義太。曾著有《竿頭算法》（西元 1738 年）、《拾玉勘者御伽雙紙》（西元 1743 年）、《累約補》、《開方盈朒術》（西元 1729 年）、《祇園神社算題三問》、《見題解》。中根彥循弟子木村內匠、村井中漸、安井佑之等。中根父子及其弟子們常被稱做中根派，可視為關流支流，在寶曆至明和年間（西元 1760 年前後）盛極一時。松永良弼松永良弼（Matsunaga Yoshisuke, ？～西元 1744 年），原姓寺內，名平八郎良弼，後改姓松永，生年不詳，延享元年卒於江戶。松永良弼本是九留米籓浪人，享保十七年（西元 1732 年）受聘於也嗜好算學的內藤正樹（1703 年～1766 年），成為內藤家的武士。他曾師事關孝和的弟子荒木村英，但從學術成果上分析，他更像是建部賢弘的弟子。建部賢弘開創的圓理主要由松永良弼繼承和發展的。松永、久留島義太、中根元圭三人學術交往緊密，相互影響。松永致力於對當時算學知識的整理，著述豐富，但都以抄本傳世，這些著作都是對關孝和、建部賢弘研究成果的推廣，他去世後。這些算書傳與弟子山路主住（西元 1704 年～1772 年）。松永良弼的數學業績比較突出者有以下幾個方面：（1）擴展了建部賢弘的原理，獲得了一系列三角函數的冪級數展開式，原理成果主要收入《方圓算經》和《圓理乾坤之卷》中。（2）在《立圓率》中，為改進關孝和的球體積公式，建立了一般化的幾何求積類似於今日的積分法。（3）將關孝和所創的「旁書法」延拓為使用範圍更廣的「點竄術」，使和算的代數化程度進一步提高。（4）在垛積術研究中，給出了與關孝和推導方法不同的導出伯努利數列的新方法，並以此推演六個三角函數的冪級數展開式。 21.

(32) 此外，松永良弼作為關流學派的主要建設者，功不可沒。關流免許狀制度是自松永開始制定的，31由其弟子山路主住予以完善。他對關孝和、建部賢弘以來的數學知識加以系統化、組織化，並確定了關流傳書。這些傳書經山路主住、戶板保祐的謄寫整理，達五百餘卷之巨，被後世稱之為《關算四傳書》，成為關流算學知識承傳的重要學術資源，成為和算的普及發展起到了十分重要的作用。山路主住山路主住（Yamaji Nushiumi, 西元 1704 年～1773 年），又名久次郎，後易名彌左衛門，號均樹、連貝軒、聽雨。享保九年（西元 1724 年）受聘於松前籓，十八年（西元 1733 年）為該籓支配勘定，元文四年（西元 1739 年）任職小普請，寬延元年（西元 1748 年）任天文方治川六藏、西川中次郎的治曆助手，一同赴京都從事天文測量工作。他作為治川、西川兩人的助手，而經常奔波於京都與江戶之間，明和元年（西元 1764 年）晉升為幕府的天文方，參與幕府改曆工程。曆算學初學於中根元圭，後學於松永良弼與久留島義太，是關流算學的集大成者，接受了松永良弼的所有傳書，著述豐富，約有 64 種之多。32但獨創性成果不多，主要表現在循環小數循環節研究以及角數研究方面。山路主住對關流最大貢獻在於制定了完整的五段免許制度，以「見題免許」、「隱題免許」、「伏題免許」、「別傳免許」、「印可免許」五段，這一免許制度後來被固定下來，成完關流算學教學的最基本制度，也是江戶時代各算學流派免許制度最為完備者。這樣的五段免許狀制度也勾畫出關流初傳荒木村英、二傳松永良弼、三傳山路主住的宗統譜系。由於山路主住位居天文方之顯職，以及關流宗統地位，當時隨之學算者甚眾。山路主住之子山路之徽（Yamaji Yukiyoshi, 西元 1729 年～1778 年）也是著名算家，通稱久次郎，又稱為主徵，寶曆十年，任天文方助手。但終未成功成為天文方。其父主住歿後，他與戶板保祐一道致力於算學研究，於關流數學的普及用力較多。. 31 32. 免許狀，即資格證書、許可證、執照等意思。日本學士院，《明治前日本數學史》第三卷，岩波書店，1979，163-166。 22.

(33) 2.4 久留島義太生平介紹久留島義太（くるしまよしひろ）（Kurushima Yoshihiro,33 ?～1757 年34）字喜內，號扇數或沾數，備中松山（今岡山縣高梁市）人，生年不詳，寶曆 7 年（西元 1757 年）11 月 29 日卒。父村上佐助義寄也是數學家，並供職於備中松山城主水谷左京亮，後與水谷家斷絕關係而成為浪人，改姓久留島，住大阪，後移居江戶後又易名岡野散木，入中西正好之門受算學，授弟子大島喜侍。日本的將棋遊戲也吸引久留島義太的興趣，並且成為當時的將棋高手之一。有關將棋，他留下了七種"puzzle ring" gambits "類似於國際象棋開局時自願讓出小子（通常為兵）以交換較有利的形勢的棄子策略。35包含有名的"silver puzzle ring."。36在數學上，他也很有興趣在魔方陣的問題（參見圖 22）。37. 圖 22 鳴海風『美しき魔方陣-久留島義太見参！』. 後世或有人稱關孝和、建部賢弘與久留島義太為三大和算家。38筆者認為關孝和與建部賢弘當是和算最有影響力的人，也是關流的第一代與第二代。久留島義太流傳的文本甚少，其對後世影響力實無法與之並論。徐澤林亦認為：久留島義太是繼關孝和、建部賢弘以後數學水平最高的和算家。在和算算法創造方面業. 33. Kurushima Yoshihiro 應該翻譯成久留島義弘，Kurushima Yoshita 才是久留島義太，這兩者都有被使用，因為大多數都使用 Kurushima Yoshihiro 稱呼久留島義太，筆者因而沿用。在另一個領域如將棋，久留島也被稱為久留島喜內 Kurushima Kinai。 34 久留島義太之生年依筆者推測為西元 1711 年前，目前有關於久留島義太的著作最早推至西元 1726 年，且他人為之抄本，是以向前推算至少 15 年。 35 Kurushima Kinai http://en.wikipedia.org/wiki/Kurushima_Kinai 36 silver puzzle ring http://www.youtube.com/watch?v=WGJ8KRT6-uA 37 鳴海風，《美しき魔方陣-久留島義太見参！》，小学館，2007 年。 38 久留島喜内 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%85%E7%95%99%E5%B3%B6%E5%96%9C%E5%86%85 23.

(34) 績最為突出。他靠自學而成為數學名家，不屬於任何和算流派，其業績可與關孝 39. 和、建部賢弘等人相提並論。不過因久留島義太是自學而成，或可稱為極有才華的和算家。《山路君樹先生茶談》（參見圖 23）是幕末關流數學家藤田貞資記錄整理山路主住言論的抄本。這份筆記形式的資料，因記憶模糊或記敘誇張，其中有關久留島義太的趣事也不少，所以摘錄幾則如下： (1) 久留島扇數，始居江戶，某日往游于柳原，於舊書店花 50 文購得一本封面破損之《新篇塵劫記》，閱後無所不知，於是認為算術者自然而然、自己是可知曉的，於是在堺町間打出『算術指南』之招牌，自立門戶授徒，其實他只是據此一本《塵劫記》而隨意解答數學問題。某時，中根元圭路過見其招牌，晤久留島義太而與之論算法，令久留島驚訝得無言以對，從而摘下『算術指南』招牌，棄其塾業。中根元圭非常賞識久留島之數學才華，他對久留島說：『於算法，關先生以來，如久先生之才能者未見，故當為師範』。相約，今後合志共論算法。晤後，久留島義太驚恐地對弟子們言：『今日有中根上衛門來訪論算法，非人間者，可謂俗稱之魔法』。中根元圭回家則對弟子曰：『今日遇見名久留島喜內者，與他言關夫子算法大意時，他竟吃驚得無言以對，但他的算學能力極強，不意有如此之人』。某日兩人又相遇，久留島已頗能解上次中根所談之算題。因而中根所送關流算題，無所不解者。故久留島說：『算法者設題難，施術次之』。. 圖 23 《山路君樹先生茶話. 39. 林文庫. 2916. 徐澤林，《和算中源》，上海交通大學出版社，頁 67～頁 68 24. 画像あり》.

(35) (2) 久留島衣食朝不保夕，冬不儲夏，他將米櫃、錢箱置於門口，弟子來時見於其空則放些米前，他不言謝而食用之。錢米有餘時，他則全然拿去換酒，故弟子就視其多少酌量施捨錢米。 (3) 某日先生給門人授課結束，說去近處有事，請託看門等其歸，等很久至天晚他方歸，原來他出去辦事時路過劇場，聽說狂言40很有趣，就去觀看竟忘卻回家。 (4) 因久留島之數學才華及中根元奎之推薦，他曾有過做官的機會。好幾日早晨，他們相約同行去見上官，至相約時間，中根先生去他家，他竟還關著門，曰還沒有到中根先生約的時間，其實他還在睡著，如此強言。等終於起了床，頭髮亦蓬亂不整、無精打采，衣服亦不穿，其日約見不便，當然未能做官了。 (5) 以 150 石41俸祿供職於延岡藩。42先生一喝酒就精神盎然，不喝酒在藩主面前都睡覺，所以在講課時總拿著酒。 (6) 元旦之晨，久留島先生刀也不插，穿著薄衣，腰間繫著繩子，急匆匆去弟子銀座役人家。問其何故這般？曰：昨除夕，對町人說給他的錢放在架子上。町人來時可自己拿去。可昨夜架子上的錢全沒了，町人強乞，道歉也不聽，故把自己的衣服押給他了。弟子讓其進火籠暖暖，他竟呼嚕大睡。在銀座的役人弟子們互相商議，去取回衣服送與先生，他一句謝言也沒有，也不覺可憐。 (7) 先生居延岡六年受命任職算學師範，先生云，居他地九年希望離開，每每至書稱想回江戶，最終得到允許。先生自東歸府，山路主住、之徽（父子）在江戶宅中宴請久留島先生時，寒暄中，山路主住問曰：『久先生六年間於算法有相當的研究吧』。久留島曰：『閑居外也無事，僅研究算法而已。唯近年算法研究與起初所思未必不一樣』。山路主住又問：『可有很多書？』久先生答曰：『六年內下功夫著作的書不少，都謄抄放置之。然回江戶歸途準備時，無糊燈籠之紙，故全部裁剪糊燈籠用了，一張也沒留』。 (8) 有人拿『求製作斗笠所需線之長度』這樣的問題去請教松永（良弼）先生，松永先生說，能解答此問題的人有中根與久留島兩人，如果去請教中根，他會馬上給予回答，而若請教於久留島，他會對你說，這個問題沒有正確的解法。當分別去問這兩位先生時，結果正如松永所說。43 40. 狂言是室町時代(1392～1568 年)產生的一種喜劇性的戲劇，深受下層武士與庶民的喜愛。它以念白為主，根據不同曲目而出現一些歌舞場面。表演上注重形式感，極為簡約、洗練，以諷刺譏誚為手段，針砭時弊，反映現實生活。其劇情十分簡單，具中人物大致為二至四人，時間約在二十至四十分鐘左右。大體可分為：侯爺戲、管家戲、婦女戲、女婿戲、鬼怪戲、僧侶戲及盲人戲等類型。江戶時代十分流行。 41 由於一石米相當於一個成年人一年的食米量，因此在軍事上一石也就相當於能夠屯養一個士兵的能力。 42 延岡市是位於日本宮崎縣北部的城市，人口約 13 萬人，為宮崎縣內人口數量第三多的城市（次於宮崎市和都城市），也是宮崎縣北部的主要城市。1587 年豐臣秀吉在九州征伐後，成為日向國下的縣藩（後改名為延岡藩），並築縣城（後來的延岡城），因而開始以城下町的形式發展。在幕府末期，屬於內藤家的封地，石高為七萬石。 43 徐澤林，《和算選粹》，北京：科學出版社，2008 年，頁 341～頁 343。 25.

(36) 由上述可知，久留島僅由《新篇塵劫記》一書即可自學算法，或因其父也是數學家之故，但是久留島的數學才能應受當時和算家所肯定。久留島說：『算法者設題難，施術次之』，亦可見久留島不僅是精於解題，更能深入題意，進而掌握算法精髓。久留島義太好酒、不拘小節的性格，在江戶時代是相當有魅力的個性，加上卓越的數學才能。筆者認為這都使得同時代的和算家樂於與之交往。也因為如此散漫，致使和算成就多以稿本流傳，甚至由後人抄本才得以流傳後世。《山路君樹先生茶談》是反映中根、松永、久留島、山路等人關係的重要文獻。而中根元圭於享保十八年（西元 1733 年）72 歲時歿，其友松永於延享元年（西元 1744 年）50 餘歲時歿，而久留島所供職之內藤備後守，是延享四年（西元 1747 年）從平藩移封到岡藩的，考慮這些，可以推斷久留島在 1760 年的 60 年代應仍健在。由於久留島是個散漫的人，而且也沒有形成自己的門派，所以，他沒有系統性的著作，更沒有一本書刊刻出版，大都以稿本形式流傳。目前可知者如：《關算四傳書》所收：. ①《久氏遺稿》 ②《算學粹沙》 ③《算梯草木》 ④《島師無有奇》 ⑤《背矢極限法》 ⑥《平方零約術》此外，殘稿遺編著收有： (1) (2) (3) (4). 《久氏遺稿》天地二卷《久氏弧背草》《執中法》（《久氏弧背草》也收）《廣益算梯》. (5) 《廉術》（宮內廳書陵部藏） (6) 《久留島先生極數十五問》（岡本文庫藏） (7) 《方陣之法》 (8) 《久氏三百解》（學士院藏）（岡本文庫藏） 26.

(37) (9) 《久留島氏算法雜集》（學士院藏） (10) (11) (12) (13). 《久留島先生答術之論》（學士院藏）《久留島先生六斜術》（山路主住《算法集成》所收）《開方和術》（學士院藏）《久留島義太傳秘傳集》（學士院藏）. 久留島義太的數學成果由安島直圓（Ajima Naonobu, 西元 1739 年～1798 年）所繼承，後於關流數學家中傳播，安島直圓、日下誠（Kusaka Makoto, 1764 年～ 1839 年）及其弟子們的著作中都有相關的內容。. 27.

(38) 第 3 章《久留島極數》久留島極數》發展背景與內容分析發展背景與內容分析 3.1 《久留島極數》久留島極數》發展背景極值計算與《授時曆》有關乃是由於「白道交周」問題。徐澤林認為：曆算中常常需要確定月亮在赤道座標系中的位置，或由觀測的月亮赤道座標位置推算月亮在白道上的運動狀態，必須確定白道在赤道中的位置。而白道具有不確定性，黃白交點沿黃道由東向西不斷移動，同樣與赤道交點也是游離不定的。於是白赤道交點與固定黃赤道交點（冬至點、夏至點）的距離就是一變量（限數）。當黃白交點處於冬至夏至點時，這種距離達到極限值，郭守敬稱之為「白赤道正交距黃赤道正交極數」，簡稱「極數」。利用極數與限數便可以求出白道與赤道的夾角。求出該交角就可以進行白道座標與赤道座標的變換，從而確定白道在赤道座標系下的位置。44 然而關孝和在《授時發明》中，採用《天文大成管窺輯要》的記載裡求正交極數的方法。根據這一情況，有理由認為，關孝和的極數概念可能來源於《授時 45 曆》白道交周中的極數概念。和算家把求代數函數的極大值極小值的方法稱做「極數術」，這方面的研究最初出現於《綴術算經》（建部賢弘，1722）中的「求直堡極積』問題，其解法同於歐洲的費馬方法。46建部賢弘只給出一個算例，並沒有系統討論。建部賢弘在《綴術算經》中第六「探直堡極積術」中，47首次利用適盡方級法求多項式函數極值，開和算極數術研究之先河。這一個開拓性研究，為後來的久留島義太所繼承，從而建立了一個新的和算知識領域---極數術。. 44. 徐澤林，《和算中源》，上海交通大學出版社，2012 年，頁 265 徐澤林，《和算中源》，上海交通大學出版社，2012 年，頁 267 46 徐澤林所說得費馬方法，筆者遍尋不到這個定義，僅在網路上找到下面這個連結 http://www.geocities.ws/goodprimes/FESqudiff.html，但是不符合。筆者以為是費馬引理 http://zh.wikipedia.org/zh-hant/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%BC%95%E7%90%86 應該比較恰當。 47 所謂的『術』，即算法程序，一般指計算公式。和算選粹，頁 258 45. 28.

(39) 3.2 建部賢弘的「建部賢弘的「求直堡極積」求直堡極積」問題與《問題與《久留島極數》久留島極數》著述提要建部賢弘的「求直堡極積」問題乃出自於《綴術算經》，《綴術算經》共有三個版本：內閣本、東大本、狩野本。而只有內閣本內有「求直堡極積」問題。關於這三個抄本成書時間順序，目前日本數學史界存在不同意見，但可以肯定內閣本成書最早。48 49. 探直堡求極數術第六假如有直堡，長闊差七尺，闊高和八尺，欲使積至多，問長、闊、高及極積各幾何？三分尺三分尺二十七分尺答曰：闊四尺三分尺之二、長一十一尺之一、高三尺之一、積一百八十一尺之一十三。不以據數探，50以立元之法直據理探者。51 立天元一為闊，加差為長，亦以闊減和為高，長闊高相乘為積，以之為元式，探其術意，若題中云積數時，則以積數與元式相消，止於積數即實. 級，其實級極多者，以開盡方級為限，故即以所立闊為商，用元式依開出商數之 52 法，以求方級極限，以得相消之度也。. 圖 24 綴術算經，第六，探直堡極積術 48. 出自徐澤林，《和算選粹》，北京：科學出版社，2008 年，頁 258。直堡，即長方體，此概念來源於中算。極積，即體積極大(或極小)值。所謂的『術』，即算法程序，一般指計算計算公式。在和算中，「極數」概念有三種含義：方程式論中的極數，指方程等根；增約術與無窮級數中的極數，指級數和，即極限值；極數術中的極數，指函數最大值與最小值。 50 『據數探術』是根據一系列數值試算來進行探索，從而歸納出一般性的算法公式。 51 『據理探術』是根據算理進行探索，歸納出一般性質的算法公式。 52 建部賢弘，綴術算經，第六，探直堡極積術，內閣文庫藏抄本，23581 號 49. 29.

(40) 根據題意，本題即設直堡（長方體）闊為 x ，長為 m + x ，高為 n − x ，體積為 V ( x ) = x( x + m)( n − x) ，求體積最大值（ m = 7, n = 8 ）（其中差＝ m ，和＝ n ）筆者亦嘗試利用建部賢弘《綴術算經》的術文，改寫成下列形式表 4 模仿建部賢弘《綴術算經》適盡方級法求解. 術文以闊為商，置元隅級負一，乘商，加. 商隅 x －1. 元廉級，為開廉級一變數得負，又乘商，應為方級一遍數負，亦置元隅級，乘商，加開廉級一. 廉. 方. ( n − m) －x. x. －1. 變數，為開廉級二變數負，又乘商，應為方級二遍數負，應加方級. 實 mn. ( n − m) x − x2. ( n − m) －. mn + ( n − m ) x − x 2. x. ( n − m ) x − 2 x2. －x. 0. mn + ( n − m ) x 2 − x3. mnx + ( n − m ) x 2 − x3. 一遍數，為方級極限負數，寄左，置元方級正數，與寄左相消開出商之法，. －1. ( n − m) − 2x. mn + 2 ( n − m ) x − 3 x 2. 至實級迄，皆用同加異. 減，而相並之也. ，得度. 另外，日本學者小川束的方法近似於短除法，以求得多項式除以商兩次的餘式。 f ( x) = − x 3 + x 2 + 56 x. 除以 x − a 得到商式 − x 2 + (1 − a ) x + (56 + a − a 2 ) ，餘式 −56a + a 2 − a 3 。 − x 2 + (1 − a ) x + (56 + a − a 2 ) 再除以 x − a ，得到商式 − x + (1 − 2a) ，餘式. 56 + 2a − 3a 2 。. 30.