二、常系数非齐次线性方程的算子解法

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

（1）算子多项式

对于函数 y D y.x/，

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

（1）算子多项式

对于函数 y D y.x/，定义 D⁰ D 1;

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

（1）算子多项式

对于函数 y D y.x/，定义

D⁰ D 1; D⁰y D y^.0/ D yI

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

（1）算子多项式

对于函数 y D y.x/，定义

D⁰ D 1; D⁰y D y^.0/ D yI D¹ D D D d

dx;

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

（1）算子多项式

对于函数 y D y.x/，定义

D⁰ D 1; D⁰y D y^.0/ D yI D¹ D D D d

dx; Dy D dy

dx D y⁰I

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

（1）算子多项式

对于函数 y D y.x/，定义

D⁰ D 1; D⁰y D y^.0/ D yI D¹ D D D d

dx; Dy D dy

dx D y⁰I D² D DD D d²

dx²;

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

记 f .D/ D a0Dⁿ C a¹D^{n 1} C


C a^{n 1}D C aⁿ，称 为形
式

算

子

多

项

式

。

记 f .D/ D a0Dⁿ C a¹D^{n 1} C


C a^{n 1}D C aⁿ，称 为形
式

算

子

多

项

式

。对于函数 y D y.x/，规定

f .D/y D a⁰Dⁿy C a¹D^{n 1}y C


C a^{n 1}Dy C aⁿy

记 f .D/ D a0Dⁿ C a¹D^{n 1} C


C a^{n 1}D C aⁿ，称

记 f .D/ D a0Dⁿ C a¹D^{n 1} C


C a^{n 1}D C aⁿ，称

记 f .D/ D a0Dⁿ C a¹D^{n 1} C


C a^{n 1}D C aⁿ，称

记 f .D/ D a0Dⁿ C a¹D^{n 1} C


C a^{n 1}D C aⁿ，称

记 f .D/ D a0Dⁿ C a¹D^{n 1} C


C a^{n 1}D C aⁿ，称

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

的加法和乘法定义如下

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

的加法和乘法定义如下

f .D/ ˙ g.D/
y D f .D/y ˙ g.D/y ;

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

的加法和乘法定义如下

f .D/ ˙ g.D/
y D f .D/y ˙ g.D/y ; f .D/g.D/
y D f .D/ g.D/y
:

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

的加法和乘法定义如下

f .D/ ˙ g.D/
y D f .D/y ˙ g.D/y ; f .D/g.D/
y D f .D/ g.D/y
: 算子多项式也可以做因式分解，如

f .D/ D D² 2D 3 D .D 3/.D C 1/ :

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

的加法和乘法定义如下

f .D/ ˙ g.D/
y D f .D/y ˙ g.D/y ; f .D/g.D/
y D f .D/ g.D/y
: 算子多项式也可以做因式分解，如

f .D/ D D² 2D 3 D .D 3/.D C 1/ : 则对任意函数 y D y.x/，f .D/y D y⁰⁰ 2y⁰ 3y，

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

的加法和乘法定义如下

f .D/ ˙ g.D/
y D f .D/y ˙ g.D/y ; f .D/g.D/
y D f .D/ g.D/y
: 算子多项式也可以做因式分解，如

f .D/ D D² 2D 3 D .D 3/.D C 1/ :

则对任意函数 y D y.x/，f .D/y D y⁰⁰ 2y⁰ 3y，亦有 .D 3/.D C 1/y

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

的加法和乘法定义如下

f .D/ ˙ g.D/
y D f .D/y ˙ g.D/y ; f .D/g.D/
y D f .D/ g.D/y
: 算子多项式也可以做因式分解，如

f .D/ D D² 2D 3 D .D 3/.D C 1/ :

则对任意函数 y D y.x/，f .D/y D y⁰⁰ 2y⁰ 3y，亦有 .D 3/.D C 1/y D .D 3/ .D C 1/y

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

的加法和乘法定义如下

f .D/ ˙ g.D/
y D f .D/y ˙ g.D/y ; f .D/g.D/
y D f .D/ g.D/y
: 算子多项式也可以做因式分解，如

f .D/ D D² 2D 3 D .D 3/.D C 1/ :

则对任意函数 y D y.x/，f .D/y D y⁰⁰ 2y⁰ 3y，亦有 .D 3/.D C 1/y D .D 3/ .D C 1/y

D .D 3/.y⁰ C y/

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

（3）逆算子 如果 f .D/ 是算子多项式，如果 f .D/'.x/ D .x/，则记 1

f .D/ .x/ D '.x/；

（3）逆算子 如果 f .D/ 是算子多项式，如果 f .D/'.x/ D .x/，则记 1

f .D/ .x/ D '.x/；称算子 1

f .D/ 为 f .D/

的逆算子。

（3）逆算子 如果 f .D/ 是算子多项式，如果 f .D/'.x/ D .x/，则记 1

f .D/ .x/ D '.x/；称算子 1

f .D/ 为 f .D/

的逆算子。可以将它看成解方程 f .D/'.x/ D .x/ 中的 形式“除法”。

（3）逆算子 如果 f .D/ 是算子多项式，如果 f .D/'.x/ D

（3）逆算子 如果 f .D/ 是算子多项式，如果 f .D/'.x/ D

为了计算逆算子，有时需要放在复值函数中考虑。

为了计算逆算子，有时需要放在复值函数中考虑。

设 E 是一个实系数算子多项式或者它的逆算子，

为了计算逆算子，有时需要放在复值函数中考虑。

设 E 是一个实系数算子多项式或者它的逆算子，u.x/、v.x/

是实函数，

为了计算逆算子，有时需要放在复值函数中考虑。

设 E 是一个实系数算子多项式或者它的逆算子，u.x/、v.x/

是实函数，分别用 Re z、Im z 表示复数 z 的实部和虚 部，

为了计算逆算子，有时需要放在复值函数中考虑。

设 E 是一个实系数算子多项式或者它的逆算子，u.x/、v.x/

是实函数，分别用 Re z、Im z 表示复数 z 的实部和虚 部，则

E Re u.x/ C iv.x/
D Re

E u.x/ C iv.x/


;

为了计算逆算子，有时需要放在复值函数中考虑。

设 f .D/ 是一个算子多项式，记 f .D/ D D^kg.D/，

其中 g.D/ 的常数项不为零。

设 f .D/ 是一个算子多项式，记 f .D/ D D^kg.D/，

设 f .D/ 是一个算子多项式，记 f .D/ D D^kg.D/，

设 f .D/ 是常数项不为零的算子多项式，

设 f .D/ 是常数项不为零的算子多项式，则 1 f .D/

可以（唯一地）展开为形式幂级数 1

f .D/ D b⁰ C b¹D C b²D² C


C bⁿDⁿ C


:

设 f .D/ 是常数项不为零的算子多项式，则 1 f .D/

可以（唯一地）展开为形式幂级数 1

f .D/ D b⁰ C b¹D C b²D² C


C bⁿDⁿ C


: 设 P_m.x/ 是 m 次多项式，则

1

f .D/P_m.x/ D .b⁰ C b¹D C


C b^mD^m/P_m.x/ :

设 f .D/ 是常数项不为零的算子多项式，则 1 f .D/

可以（唯一地）展开为形式幂级数 1

f .D/ D b⁰ C b¹D C b²D² C


C bⁿDⁿ C


: 设 P_m.x/ 是 m 次多项式，则

1

f .D/P_m.x/ D .b⁰ C b¹D C


C b^mD^m/P_m.x/ : 性质 设  为一复常数，v.x/ 是复值函数。

设 f .D/ 是常数项不为零的算子多项式，则 1

例 6 求下列微分方程的通解：

① y⁰⁰ 3y⁰ C 2y D x² C x C 1；

② y⁰⁰ C 2y⁰ D 3x² C 1.

例 6 求下列微分方程的通解：

① y⁰⁰ 3y⁰ C 2y D x² C x C 1；

② y⁰⁰ C 2y⁰ D 3x² C 1.

解 ① y D C¹e^x C C²e^2x C ¹₂x² C 2x C 3.

例 6 求下列微分方程的通解：

① y⁰⁰ 3y⁰ C 2y D x² C x C 1；

② y⁰⁰ C 2y⁰ D 3x² C 1.

解 ① y D C¹e^x C C²e^2x C ¹₂x² C 2x C 3.

② y D C¹e^2x C ¹₂x^{3 3}₄x² C ⁵₄x C C².

例 6 求下列微分方程的通解：

① y⁰⁰ 3y⁰ C 2y D x² C x C 1；

② y⁰⁰ C 2y⁰ D 3x² C 1.

解 ① y D C¹e^x C C²e^2x C ¹₂x² C 2x C 3.

② y D C¹e^2x C ¹₂x^{3 3}₄x² C ⁵₄x C C².

例 7 求微分方程 y⁰⁰ 2y⁰ C 2y D x²e^x cos x 的通 解。

例 6 求下列微分方程的通解：

例 8 求微分方程 y⁰⁰ 4y⁰ C 4y D xe^2x

1 C x² 的通解。

例 8 求微分方程 y⁰⁰ 4y⁰ C 4y D xe^2x

1 C x² 的通解。

解 原方程的通解为 y D e^2x.^x₂ ln.1Cx²/Carctan xC C₁x C C²
.

在文檔中 微分方程（一） (頁 30-82)