四、利用常数变易法求二阶线性微分方程 的解
设 p.x/、q.x/、f .x/ 均为连续函数。给定二阶线性 非齐次微分方程
y00 C p.x/y0 C q.x/y D f .x/ : (3)
四、利用常数变易法求二阶线性微分方程 的解
设 p.x/、q.x/、f .x/ 均为连续函数。给定二阶线性 非齐次微分方程
y00 C p.x/y0 C q.x/y D f .x/ : (3) 对应的齐次方程为
y00 C p.x/y0 C q.x/y D 0 : (4)
① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y1.x/.
① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y1.x/. 则 可作代换 y D y1.x/u，
① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y1.x/. 则 可作代换 y D y1.x/u，代入非齐次方程 (3) 并化简
① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y1.x/. 则 可作代换 y D y1.x/u，代入非齐次方程 (3) 并化简得：
y1u00 C 2y10 C p.x/y1u0 D f .x/ :
① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y1.x/. 则 可作代换 y D y1.x/u，代入非齐次方程 (3) 并化简得：
y1u00 C 2y10 C p.x/y1u0 D f .x/ : 这是可降阶的高阶微分方程，
① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y1.x/. 则 可作代换 y D y1.x/u，代入非齐次方程 (3) 并化简得：
y1u00 C 2y10 C p.x/y1u0 D f .x/ :
这是可降阶的高阶微分方程，令 v D u0，则方程变为一 阶线性微分方程
y1v0 C 2y10 C p.x/y1v D f .x/ :
① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y1.x/. 则 可作代换 y D y1.x/u，代入非齐次方程 (3) 并化简得：
y1u00 C 2y10 C p.x/y1u0 D f .x/ :
这是可降阶的高阶微分方程，令 v D u0，则方程变为一 阶线性微分方程
y1v0 C 2y10 C p.x/y1v D f .x/ :
② 若未能猜出齐次方程 (4) 的解，可考虑令 y D uv，
① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y1.x/. 则 可作代换 y D y1.x/u，代入非齐次方程 (3) 并化简得：
y1u00 C 2y10 C p.x/y1u0 D f .x/ :
这是可降阶的高阶微分方程，令 v D u0，则方程变为一 阶线性微分方程
y1v0 C 2y10 C p.x/y1v D f .x/ :
② 若未能猜出齐次方程 (4) 的解，可考虑令 y D uv，代入非齐次方程 (3) 得：
vu00 C 2v0 C p.x/v/u0 C v00 C p.x/v0 C q.x/vu D f .x/ :
① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y1.x/. 则
例 10 求微分方程 .2x 1/y00 .2x C 1/y0 C 2y D .4x2 2x 1/e2x 的通解。
例 10 求微分方程 .2x 1/y00 .2x C 1/y0 C 2y D .4x2 2x 1/e2x 的通解。
解 此方程的通解为：y D C1.2xC 1/ C C2exC .x 1/e2x.
例 10 求微分方程 .2x 1/y00 .2x C 1/y0 C 2y D .4x2 2x 1/e2x 的通解。
解 此方程的通解为：y D C1.2xC 1/ C C2exC .x 1/e2x.
例 11 求微分方程 y00 C 2
xy0 C y D 2x 1 的通解。
例 10 求微分方程 .2x 1/y00 .2x C 1/y0 C 2y D .4x2 2x 1/e2x 的通解。
解 此方程的通解为：y D C1.2xC 1/ C C2exC .x 1/e2x.
例 11 求微分方程 y00 C 2
xy0 C y D 2x 1 的通解。 解 此方程的通解为：y D C1 cos x C C2sin x 4
x C
2x 1.
二阶非齐次线性方程的通解公式：
设 p.x/、q.x/、f .x/ 均为连续函数。给定二阶非齐 次线性微分方程
y00 C p.x/y0 C q.x/y D f .x/ : (5)
二阶非齐次线性方程的通解公式：
设 p.x/、q.x/、f .x/ 均为连续函数。给定二阶非齐 次线性微分方程
y00 C p.x/y0 C q.x/y D f .x/ : (5) 若已知对应的齐次方程
y00 C p.x/y0 C q.x/y D 0 (6) 的两个线性无关的特解 y1.x/、y2.x/.
二阶非齐次线性方程的通解公式：
设 p.x/、q.x/、f .x/ 均为连续函数。给定二阶非齐 次线性微分方程
y00 C p.x/y0 C q.x/y D f .x/ : (5) 若已知对应的齐次方程
y00 C p.x/y0 C q.x/y D 0 (6) 的两个线性无关的特解 y1.x/、y2.x/. 则可令 y D
y1.x/u1.x/ C y2.x/u2.x/.
二阶非齐次线性方程的通解公式：
设 p.x/、q.x/、f .x/ 均为连续函数。给定二阶非齐 次线性微分方程
y00 C p.x/y0 C q.x/y D f .x/ : (5) 若已知对应的齐次方程
y00 C p.x/y0 C q.x/y D 0 (6) 的两个线性无关的特解 y1.x/、y2.x/. 则可令 y D
y1.x/u1.x/ C y2.x/u2.x/. 代入方程 (5) 中，
二阶非齐次线性方程的通解公式：
记
记
记
记
记
若 x0 为 定 义 区 间 内 的 一 点 ，
若 x0 为 定 义 区 间 内 的 一 点 ，则 方 程 (5) 在 初 始 条 件
若 x0 为 定 义 区 间 内 的 一 点 ，则 方 程 (5) 在 初 始 条 件
若 x0 为 定 义 区 间 内 的 一 点 ，则 方 程 (5) 在 初 始 条 件
若 x0 为 定 义 区 间 内 的 一 点 ，则 方 程 (5) 在 初 始 条 件
例 12 求微分方程 y00 C y D sec x 的通解。
例 12 求微分方程 y00 C y D sec x 的通解。
解 此 方 程 的 通 解 为 ：y D C1cos x C C2 sin x C x sin x C cos x lnjcos xj .
例 12 求微分方程 y00 C y D sec x 的通解。
解 此 方 程 的 通 解 为 ：y D C1cos x C C2 sin x C x sin x C cos x lnjcos xj .
例 13 求微分方程 y00 4y0C 4y D xe2x
1 C x2 的通解。
例 12 求微分方程 y00 C y D sec x 的通解。
解 此 方 程 的 通 解 为 ：y D C1cos x C C2 sin x C x sin x C cos x lnjcos xj .
例 13 求微分方程 y00 4y0C 4y D xe2x
1 C x2 的通解。
解 原方程的通解为 y D e2x.x2 ln.1Cx2/Carctan xC C1x C C2 .