微分方程（一）

微分方程 （一）

一、全微分方程及积分因子 2

二、常系数非齐次线性方程的算子解法 9

三、欧拉方程 18

四、利用常数变易法求二阶线性微分方程的解 20

五、微分方程的幂级数解法 27

1

一、全微分方程及积分因子

一、全微分方程及积分因子

定义 1 一个一阶微分方程写成

P .x; y/dx C Q.x; y/dy D 0 (1) 形式后，如果存在某个函数 u D u.x; y/ 使得：

du.x; y/ D P .x; y/dx C Q.x; y/dy ; 那么方程 (1) 就叫做全微分方程.

一、全微分方程及积分因子

定义 1 一个一阶微分方程写成

P .x; y/dx C Q.x; y/dy D 0 (1) 形式后，如果存在某个函数 u D u.x; y/ 使得：

du.x; y/ D P .x; y/dx C Q.x; y/dy ; 那么方程 (1) 就叫做全微分方程.

方程通解：u.x; y/ D C .

全微分方程的判定：当 P .x; y/、Q.x; y/ 在单连通 区域 D 内具有一阶连续偏导数。则方程 (1) 为全微分方 程的充分必要条件为

@P

@y D @Q

@x :

全微分方程的判定：当 P .x; y/、Q.x; y/ 在单连通 区域 D 内具有一阶连续偏导数。则方程 (1) 为全微分方 程的充分必要条件为

@P

@y D @Q

@x :

例 1 求解 .3x² C y cos x/dx C .sin x 4y³/dy D 0.

全微分方程的判定：当 P .x; y/、Q.x; y/ 在单连通 区域 D 内具有一阶连续偏导数。则方程 (1) 为全微分方 程的充分必要条件为

@P

@y D @Q

@x :

例 1 求解 .3x² C y cos x/dx C .sin x 4y³/dy D 0.

解 方程通解为 x³ C y sin x y⁴ D C .

全微分方程的判定：当 P .x; y/、Q.x; y/ 在单连通 区域 D 内具有一阶连续偏导数。则方程 (1) 为全微分方 程的充分必要条件为

@P

@y D @Q

@x :

例 1 求解 .3x² C y cos x/dx C .sin x 4y³/dy D 0.

解 方程通解为 x³ C y sin x y⁴ D C . 例 2 求解 .1 C e^2/d C 2e^2d D 0.

全微分方程的判定：当 P .x; y/、Q.x; y/ 在单连通 区域 D 内具有一阶连续偏导数。则方程 (1) 为全微分方 程的充分必要条件为

@P

@y D @Q

@x :

例 1 求解 .3x² C y cos x/dx C .sin x 4y³/dy D 0.

解 方程通解为 x³ C y sin x y⁴ D C . 例 2 求解 .1 C e^2/d C 2e^2d D 0.

解 方程通解为 .1 C e^2/ D C .

给定微分方程

P .x; y/dx C Q.x; y/dy D 0 ;

给定微分方程

P .x; y/dx C Q.x; y/dy D 0 ; (2) 当 @P

@y ¤ @Q

@x 时，方程 (2) 不是全微分方程。

给定微分方程

P .x; y/dx C Q.x; y/dy D 0 ; (2) 当 @P

@y ¤ @Q

@x 时，方程 (2) 不是全微分方程。此时若有非 零函数 .x; y/ 使得

P dx C Qdy D 0

为全微分方程，则称  为方程 (2) 的积分因子。

找积分因子的几个思路：

找积分因子的几个思路：

(1) 若方程含有 ydx xdy，则可考虑积分因子 1

x²; 1

y²; 1

xy; 1

x² y²; 1

x² C y² :

找积分因子的几个思路：

(1) 若方程含有 ydx xdy，则可考虑积分因子 1

x²; 1

y²; 1

xy; 1

x² y²; 1

x² C y² : ydx xdy

x² D dy x

;

找积分因子的几个思路：

(1) 若方程含有 ydx xdy，则可考虑积分因子 1

x²; 1

y²; 1

xy; 1

x² y²; 1

x² C y² : ydx xdy

x² D dy x

; ydx xdy

y² D dx y

;

找积分因子的几个思路：

(1) 若方程含有 ydx xdy，则可考虑积分因子 1

x²; 1

y²; 1

xy; 1

x² y²; 1

x² C y² : ydx xdy

x² D dy x

; ydx xdy

y² D dx y

; ydx xdy

xy D d lnjxj lnjyj
;

找积分因子的几个思路：

(1) 若方程含有 ydx xdy，则可考虑积分因子 1

x²; 1

y²; 1

xy; 1

x² y²; 1

x² C y² : ydx xdy

x² D dy x

; ydx xdy

y² D dx y

; ydx xdy

xy D d lnjxj lnjyj
;

ydx xdy

x² y² D 1 2d ln

ˇ ˇ ˇ

x y x C y

ˇ ˇ ˇ;

找积分因子的几个思路：

(1) 若方程含有 ydx xdy，则可考虑积分因子 1

x²; 1

y²; 1

xy; 1

x² y²; 1

x² C y² : ydx xdy

x² D dy x

; ydx xdy

y² D dx y

; ydx xdy

xy D d lnjxj lnjyj
;

ydx xdy

x² y² D 1 2d ln

ˇ ˇ ˇ

x y x C y

ˇ ˇ

ˇ; ydx xdy

x² C y² D d arctan x y:

(2) 若 方 程 含 有 xdx C ydy， 则 可 考 虑 积 分 因 子 1

.x² C y²/ⁿ，

(2) 若 方 程 含 有 xdx C ydy， 则 可 考 虑 积 分 因 子 1

.x² C y²/ⁿ，

xdx C ydy .x² C y²/ⁿ D

8

<

:

1

2d ln.x² C y²/ n D 1;

1

2.1 n/d.x² C y²/^{1 n} n > 1:

(2) 若 方 程 含 有 xdx C ydy， 则 可 考 虑 积 分 因 子 1

.x² C y²/ⁿ，

xdx C ydy .x² C y²/ⁿ D

8

<

:

1

2d ln.x² C y²/ n D 1;

1

2.1 n/d.x² C y²/^{1 n} n > 1:

(3) 若 方 程 含 有 xdy C ydx， 则 可 考 虑 积 分 因 子 1

.xy/ⁿ，

(2) 若 方 程 含 有 xdx C ydy， 则 可 考 虑 积 分 因 子 1

.x² C y²/ⁿ，

xdx C ydy .x² C y²/ⁿ D

8

<

:

1

2d ln.x² C y²/ n D 1;

1

2.1 n/d.x² C y²/^{1 n} n > 1:

(3) 若 方 程 含 有 xdy C ydx， 则 可 考 虑 积 分 因 子 1

.xy/ⁿ，

xdy C ydx .xy/ⁿ D

8

<

:

d lnjxyj n D 1;

1

1 nd.xy/^{1 n} n > 1:

例 3 求微分方程

y.y C 1/ dx C x.y C 1/ C x²y²
dy D 0 的通解。

例 3 求微分方程

y.y C 1/ dx C x.y C 1/ C x²y²
dy D 0 的通解。

解 此微分方程的通解为：y C 1 D C e^xy1 .

例 3 求微分方程

y.y C 1/ dx C x.y C 1/ C x²y²
dy D 0 的通解。

解 此微分方程的通解为：y C 1 D C e^xy1 . 例 4 求微分方程

.x² y² 2y/ dx C .x² C 2x y²/ dy D 0 的通解。

例 3 求微分方程

y.y C 1/ dx C x.y C 1/ C x²y²
dy D 0 的通解。

解 此微分方程的通解为：y C 1 D C e^xy1 . 例 4 求微分方程

.x² y² 2y/ dx C .x² C 2x y²/ dy D 0 的通解。

解 所求方程的通解为 x y

x C y D C e^xCy .

例 5 求微分方程

.5xy 3y³/ dx C .3x² 7xy²/ dy D 0 的通解。

例 5 求微分方程

.5xy 3y³/ dx C .3x² 7xy²/ dy D 0 的通解。

解 所求方程的通解为 px⁵y³ px³y⁷ D C .

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

（1）算子多项式

对于函数 y D y.x/，

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

（1）算子多项式

对于函数 y D y.x/，定义 D⁰ D 1;

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

（1）算子多项式

对于函数 y D y.x/，定义

D⁰ D 1; D⁰y D y^.0/ D yI

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

（1）算子多项式

对于函数 y D y.x/，定义

D⁰ D 1; D⁰y D y^.0/ D yI D¹ D D D d

dx;

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

（1）算子多项式

对于函数 y D y.x/，定义

D⁰ D 1; D⁰y D y^.0/ D yI D¹ D D D d

dx; Dy D dy

dx D y⁰I

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

（1）算子多项式

对于函数 y D y.x/，定义

D⁰ D 1; D⁰y D y^.0/ D yI D¹ D D D d

dx; Dy D dy

dx D y⁰I D² D DD D d²

dx²;

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

（1）算子多项式

对于函数 y D y.x/，定义

D⁰ D 1; D⁰y D y^.0/ D yI D¹ D D D d

dx; Dy D dy

dx D y⁰I D² D DD D d²

dx²; D²y D d²y

dx² D y⁰⁰I

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

（1）算子多项式

对于函数 y D y.x/，定义

D⁰ D 1; D⁰y D y^.0/ D yI D¹ D D D d

dx; Dy D dy

dx D y⁰I D² D DD D d²

dx²; D²y D d²y

dx² D y⁰⁰I : : : . . . : : : . . . . Dⁿ D D^{n 1}D D dⁿ

dxⁿ;

二、常系数非齐次线性方程的算子解法

（1）算子多项式

对于函数 y D y.x/，定义

D⁰ D 1; D⁰y D y^.0/ D yI D¹ D D D d

dx; Dy D dy

dx D y⁰I D² D DD D d²

dx²; D²y D d²y

dx² D y⁰⁰I : : : . . . : : : . . . . Dⁿ D D^{n 1}D D dⁿ

dxⁿ; Dⁿy D dⁿy

dxⁿ D y^.n/:

记 f .D/ D a0Dⁿ C a¹D^{n 1} C


C a^{n 1}D C aⁿ，称 为形
式

算

子

多

项

式

。

记 f .D/ D a0Dⁿ C a¹D^{n 1} C


C a^{n 1}D C aⁿ，称 为形
式

算

子

多

项

式

。对于函数 y D y.x/，规定

f .D/y D a⁰Dⁿy C a¹D^{n 1}y C


C a^{n 1}Dy C aⁿy

记 f .D/ D a0Dⁿ C a¹D^{n 1} C


C a^{n 1}D C aⁿ，称 为形
式

算

子

多

项

式

。对于函数 y D y.x/，规定

f .D/y D a⁰Dⁿy C a¹D^{n 1}y C


C a^{n 1}Dy C aⁿy D a⁰y^.n/ C a¹y^{.n 1/} C


C a^{n 1}y⁰ C aⁿy:

记 f .D/ D a0Dⁿ C a¹D^{n 1} C


C a^{n 1}D C aⁿ，称 为形
式

算

子

多

项

式

。对于函数 y D y.x/，规定

f .D/y D a⁰Dⁿy C a¹D^{n 1}y C


C a^{n 1}Dy C aⁿy D a⁰y^.n/ C a¹y^{.n 1/} C


C a^{n 1}y⁰ C aⁿy:

利用算子多项式，可以简化常系数线性微分方程的写

法。

记 f .D/ D a0Dⁿ C a¹D^{n 1} C


C a^{n 1}D C aⁿ，称 为形
式

算

子

多

项

式

。对于函数 y D y.x/，规定

f .D/y D a⁰Dⁿy C a¹D^{n 1}y C


C a^{n 1}Dy C aⁿy D a⁰y^.n/ C a¹y^{.n 1/} C


C a^{n 1}y⁰ C aⁿy:

利用算子多项式，可以简化常系数线性微分方程的写

法。如方程 y⁰⁰ 2y⁰ 3y D x²e^x 可写成

记 f .D/ D a0Dⁿ C a¹D^{n 1} C


C a^{n 1}D C aⁿ，称 为形
式

算

子

多

项

式

。对于函数 y D y.x/，规定

f .D/y D a⁰Dⁿy C a¹D^{n 1}y C


C a^{n 1}Dy C aⁿy D a⁰y^.n/ C a¹y^{.n 1/} C


C a^{n 1}y⁰ C aⁿy:

利用算子多项式，可以简化常系数线性微分方程的写

法。如方程 y⁰⁰ 2y⁰ 3y D x²e^x 可写成 .D² 2D 3/y D x²e^x；

记 f .D/ D a0Dⁿ C a¹D^{n 1} C


C a^{n 1}D C aⁿ，称 为形
式

算

子

多

项

式

。对于函数 y D y.x/，规定

f .D/y D a⁰Dⁿy C a¹D^{n 1}y C


C a^{n 1}Dy C aⁿy D a⁰y^.n/ C a¹y^{.n 1/} C


C a^{n 1}y⁰ C aⁿy:

利用算子多项式，可以简化常系数线性微分方程的写

法。如方程 y⁰⁰ 2y⁰ 3y D x²e^x 可写成 .D² 2D 3/y D x²e^x；又如方程 y⁰⁰ C y D e^x sin x 可写成 .D² C 1/y D e^x sin x.

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

的加法和乘法定义如下

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

的加法和乘法定义如下

f .D/ ˙ g.D/
y D f .D/y ˙ g.D/y ;

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

的加法和乘法定义如下

f .D/ ˙ g.D/
y D f .D/y ˙ g.D/y ; f .D/g.D/
y D f .D/ g.D/y
:

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

的加法和乘法定义如下

f .D/ ˙ g.D/
y D f .D/y ˙ g.D/y ; f .D/g.D/
y D f .D/ g.D/y
: 算子多项式也可以做因式分解，如

f .D/ D D² 2D 3 D .D 3/.D C 1/ :

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

的加法和乘法定义如下

f .D/ ˙ g.D/
y D f .D/y ˙ g.D/y ; f .D/g.D/
y D f .D/ g.D/y
: 算子多项式也可以做因式分解，如

f .D/ D D² 2D 3 D .D 3/.D C 1/ : 则对任意函数 y D y.x/，f .D/y D y⁰⁰ 2y⁰ 3y，

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

的加法和乘法定义如下

f .D/ ˙ g.D/
y D f .D/y ˙ g.D/y ; f .D/g.D/
y D f .D/ g.D/y
: 算子多项式也可以做因式分解，如

f .D/ D D² 2D 3 D .D 3/.D C 1/ :

则对任意函数 y D y.x/，f .D/y D y⁰⁰ 2y⁰ 3y，亦有 .D 3/.D C 1/y

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

的加法和乘法定义如下

f .D/ ˙ g.D/
y D f .D/y ˙ g.D/y ; f .D/g.D/
y D f .D/ g.D/y
: 算子多项式也可以做因式分解，如

f .D/ D D² 2D 3 D .D 3/.D C 1/ :

则对任意函数 y D y.x/，f .D/y D y⁰⁰ 2y⁰ 3y，亦有 .D 3/.D C 1/y D .D 3/ .D C 1/y

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

的加法和乘法定义如下

f .D/ ˙ g.D/
y D f .D/y ˙ g.D/y ; f .D/g.D/
y D f .D/ g.D/y
: 算子多项式也可以做因式分解，如

f .D/ D D² 2D 3 D .D 3/.D C 1/ :

则对任意函数 y D y.x/，f .D/y D y⁰⁰ 2y⁰ 3y，亦有 .D 3/.D C 1/y D .D 3/ .D C 1/y

D .D 3/.y⁰ C y/

（2）算子多项式的运算 两个算子多项式 f .D/、g.D/

的加法和乘法定义如下

f .D/ ˙ g.D/
y D f .D/y ˙ g.D/y ; f .D/g.D/
y D f .D/ g.D/y
: 算子多项式也可以做因式分解，如

f .D/ D D² 2D 3 D .D 3/.D C 1/ :

则对任意函数 y D y.x/，f .D/y D y⁰⁰ 2y⁰ 3y，亦有 .D 3/.D C 1/y D .D 3/ .D C 1/y

D .D 3/.y⁰ C y/

D y⁰⁰ 2y⁰ 3y:

（3）逆算子 如果 f .D/ 是算子多项式，如果 f .D/'.x/ D .x/，则记 1

f .D/ .x/ D '.x/；

（3）逆算子 如果 f .D/ 是算子多项式，如果 f .D/'.x/ D .x/，则记 1

f .D/ .x/ D '.x/；称算子 1

f .D/ 为 f .D/

的逆算子。

（3）逆算子 如果 f .D/ 是算子多项式，如果 f .D/'.x/ D .x/，则记 1

f .D/ .x/ D '.x/；称算子 1

f .D/ 为 f .D/

的逆算子。可以将它看成解方程 f .D/'.x/ D .x/ 中的 形式“除法”。

（3）逆算子 如果 f .D/ 是算子多项式，如果 f .D/'.x/ D .x/，则记 1

f .D/ .x/ D '.x/；称算子 1

f .D/ 为 f .D/

的逆算子。可以将它看成解方程 f .D/'.x/ D .x/ 中的 形式“除法”。

我们有 1

D .x/ D Z

.x/ dx，

（3）逆算子 如果 f .D/ 是算子多项式，如果 f .D/'.x/ D .x/，则记 1

f .D/ .x/ D '.x/；称算子 1

f .D/ 为 f .D/

的逆算子。可以将它看成解方程 f .D/'.x/ D .x/ 中的 形式“除法”。

我们有 1

D .x/ D Z

.x/ dx，

1

Dⁿ .x/ D Z

Z

.x/ dx


dx（n 次积分）。

为了计算逆算子，有时需要放在复值函数中考虑。

为了计算逆算子，有时需要放在复值函数中考虑。

设 E 是一个实系数算子多项式或者它的逆算子，

为了计算逆算子，有时需要放在复值函数中考虑。

设 E 是一个实系数算子多项式或者它的逆算子，u.x/、v.x/

是实函数，

为了计算逆算子，有时需要放在复值函数中考虑。

设 E 是一个实系数算子多项式或者它的逆算子，u.x/、v.x/

是实函数，分别用 Re z、Im z 表示复数 z 的实部和虚 部，

为了计算逆算子，有时需要放在复值函数中考虑。

设 E 是一个实系数算子多项式或者它的逆算子，u.x/、v.x/

是实函数，分别用 Re z、Im z 表示复数 z 的实部和虚 部，则

E Re u.x/ C iv.x/
D Re

E u.x/ C iv.x/


;

为了计算逆算子，有时需要放在复值函数中考虑。

设 E 是一个实系数算子多项式或者它的逆算子，u.x/、v.x/

是实函数，分别用 Re z、Im z 表示复数 z 的实部和虚 部，则

E Re u.x/ C iv.x/
D Re

E u.x/ C iv.x/


; E Im u.x/ C iv.x/
D Im

E u.x/ C iv.x/
 :

设 f .D/ 是一个算子多项式，记 f .D/ D D^kg.D/，

其中 g.D/ 的常数项不为零。

设 f .D/ 是一个算子多项式，记 f .D/ D D^kg.D/，

其中 g.D/ 的常数项不为零。则对函数 y D y.x/，我们 有

1

f .D/y D 1 D^k

 1

g.D/y

D 1 g.D/

 1

D^ky :

设 f .D/ 是一个算子多项式，记 f .D/ D D^kg.D/，

其中 g.D/ 的常数项不为零。则对函数 y D y.x/，我们 有

1

f .D/y D 1 D^k

 1

g.D/y

D 1 g.D/

 1

D^ky : 而逆算子 1

g.D/ 可用形式幂级数来计算。

设 f .D/ 是常数项不为零的算子多项式，

设 f .D/ 是常数项不为零的算子多项式，则 1 f .D/

可以（唯一地）展开为形式幂级数 1

f .D/ D b⁰ C b¹D C b²D² C


C bⁿDⁿ C


:

设 f .D/ 是常数项不为零的算子多项式，则 1 f .D/

可以（唯一地）展开为形式幂级数 1

f .D/ D b⁰ C b¹D C b²D² C


C bⁿDⁿ C


: 设 P_m.x/ 是 m 次多项式，则

1

f .D/P_m.x/ D .b⁰ C b¹D C


C b^mD^m/P_m.x/ :

设 f .D/ 是常数项不为零的算子多项式，则 1 f .D/

可以（唯一地）展开为形式幂级数 1

f .D/ D b⁰ C b¹D C b²D² C


C bⁿDⁿ C


: 设 P_m.x/ 是 m 次多项式，则

1

f .D/P_m.x/ D .b⁰ C b¹D C


C b^mD^m/P_m.x/ : 性质 设  为一复常数，v.x/ 是复值函数。

设 f .D/ 是常数项不为零的算子多项式，则 1 f .D/

可以（唯一地）展开为形式幂级数 1

f .D/ D b⁰ C b¹D C b²D² C


C bⁿDⁿ C


: 设 P_m.x/ 是 m 次多项式，则

1

f .D/P_m.x/ D .b⁰ C b¹D C


C b^mD^m/P_m.x/ :

性质 设  为一复常数，v.x/ 是复值函数。则有公 式

1

f .D/ e^xv.x/
D e^x 1

f .D C /v.x/ :

例 6 求下列微分方程的通解：

① y⁰⁰ 3y⁰ C 2y D x² C x C 1；

② y⁰⁰ C 2y⁰ D 3x² C 1.

例 6 求下列微分方程的通解：

① y⁰⁰ 3y⁰ C 2y D x² C x C 1；

② y⁰⁰ C 2y⁰ D 3x² C 1.

解 ① y D C¹e^x C C²e^2x C ¹₂x² C 2x C 3.

例 6 求下列微分方程的通解：

① y⁰⁰ 3y⁰ C 2y D x² C x C 1；

② y⁰⁰ C 2y⁰ D 3x² C 1.

解 ① y D C¹e^x C C²e^2x C ¹₂x² C 2x C 3.

② y D C¹e^2x C ¹₂x³ ₄³x² C ⁵₄x C C².

例 6 求下列微分方程的通解：

① y⁰⁰ 3y⁰ C 2y D x² C x C 1；

② y⁰⁰ C 2y⁰ D 3x² C 1.

解 ① y D C¹e^x C C²e^2x C ¹₂x² C 2x C 3.

② y D C¹e^2x C ¹₂x³ ₄³x² C ⁵₄x C C².

例 7 求微分方程 y⁰⁰ 2y⁰ C 2y D x²e^x cos x 的通 解。

例 6 求下列微分方程的通解：

① y⁰⁰ 3y⁰ C 2y D x² C x C 1；

② y⁰⁰ C 2y⁰ D 3x² C 1.

解 ① y D C¹e^x C C²e^2x C ¹₂x² C 2x C 3.

② y D C¹e^2x C ¹₂x³ ₄³x² C ⁵₄x C C².

例 7 求微分方程 y⁰⁰ 2y⁰ C 2y D x²e^x cos x 的通 解。

解 原方程的通解为：

y D e^x

1

4x² C C¹/ cos x C ¹₆x^{3 1}₄x C C²
sin x :

例 8 求微分方程 y⁰⁰ 4y⁰ C 4y D xe^2x

1 C x² 的通解。

例 8 求微分方程 y⁰⁰ 4y⁰ C 4y D xe^2x

1 C x² 的通解。

解 原方程的通解为 y D e^2x.^x₂ ln.1Cx²/Carctan xC C₁x C C²
.

三、欧拉方程

三、欧拉方程

定义 形如

xⁿy^.n/ C p¹x^{n 1}y^{.n 1/} C


C p^{n 1}xy⁰ C pⁿy D f .x/

的线性方程称为欧拉方程， 其 中 p₁; p₂; : : : ; p_n 都是常 数。

三、欧拉方程

定义 形如

xⁿy^.n/ C p¹x^{n 1}y^{.n 1/} C


C p^{n 1}xy⁰ C pⁿy D f .x/

的线性方程称为欧拉方程， 其 中 p₁; p₂; : : : ; p_n 都是常 数。

解法：做代换 x D e^t，记 D_t D D D d dt，

三、欧拉方程

定义 形如

xⁿy^.n/ C p¹x^{n 1}y^{.n 1/} C


C p^{n 1}xy⁰ C pⁿy D f .x/

的线性方程称为欧拉方程， 其 中 p₁; p₂; : : : ; p_n 都是常 数。

解法：做代换 x D e^t，记 D_t D D D d

dt，则有

x^ky^.k/ D D^t.D_t 1/


.D^t k C 1/y; k D 1; 2; : : : ; n:

于是欧拉方程可化为常系数线性微分方程。

例 9 求微分方程 x³y⁰⁰⁰C2x²y⁰⁰Cxy⁰ y D x² xC2 的通解。

例 9 求微分方程 x³y⁰⁰⁰C2x²y⁰⁰Cxy⁰ y D x² xC2 的通解。

解 原方程的通解为：

y D C¹ cos ln x C C² sin ln x C C³x C 1

5x² 1

2x ln x 2 :

四、利用常数变易法求二阶线性微分方程

的解

四、利用常数变易法求二阶线性微分方程 的解

设 p.x/、q.x/、f .x/ 均为连续函数。给定二阶线性 非齐次微分方程

y⁰⁰ C p.x/y⁰ C q.x/y D f .x/ : (3)

四、利用常数变易法求二阶线性微分方程 的解

设 p.x/、q.x/、f .x/ 均为连续函数。给定二阶线性 非齐次微分方程

y⁰⁰ C p.x/y⁰ C q.x/y D f .x/ : (3) 对应的齐次方程为

y⁰⁰ C p.x/y⁰ C q.x/y D 0 : (4)

① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y¹.x/.

① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y¹.x/. 则 可作代换 y D y1.x/u，

① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y¹.x/. 则 可作代换 y D y1.x/u，代入非齐次方程 (3) 并化简

① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y¹.x/. 则 可作代换 y D y1.x/u，代入非齐次方程 (3) 并化简得：

y₁u⁰⁰ C 2y₁⁰ C p.x/y¹
u⁰ D f .x/ :

① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y¹.x/. 则 可作代换 y D y1.x/u，代入非齐次方程 (3) 并化简得：

y₁u⁰⁰ C 2y₁⁰ C p.x/y¹
u⁰ D f .x/ : 这是可降阶的高阶微分方程，

① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y¹.x/. 则 可作代换 y D y1.x/u，代入非齐次方程 (3) 并化简得：

y₁u⁰⁰ C 2y₁⁰ C p.x/y¹
u⁰ D f .x/ :

这是可降阶的高阶微分方程，令 v D u⁰，则方程变为一 阶线性微分方程

y₁v⁰ C 2y₁⁰ C p.x/y¹
v D f .x/ :

① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y¹.x/. 则 可作代换 y D y1.x/u，代入非齐次方程 (3) 并化简得：

y₁u⁰⁰ C 2y₁⁰ C p.x/y¹
u⁰ D f .x/ :

这是可降阶的高阶微分方程，令 v D u⁰，则方程变为一 阶线性微分方程

y₁v⁰ C 2y₁⁰ C p.x/y¹
v D f .x/ :

② 若未能猜出齐次方程 (4) 的解，可考虑令 y D uv，

① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y¹.x/. 则 可作代换 y D y1.x/u，代入非齐次方程 (3) 并化简得：

y₁u⁰⁰ C 2y₁⁰ C p.x/y¹
u⁰ D f .x/ :

这是可降阶的高阶微分方程，令 v D u⁰，则方程变为一 阶线性微分方程

y₁v⁰ C 2y₁⁰ C p.x/y¹
v D f .x/ :

② 若未能猜出齐次方程 (4) 的解，可考虑令 y D uv，代入非齐次方程 (3) 得：

vu⁰⁰ C 2v⁰ C p.x/v/u⁰ C v⁰⁰ C p.x/v⁰ C q.x/v
u D f .x/ :

① 若可以猜出齐次方程 (4) 的一个解 y D y¹.x/. 则 可作代换 y D y1.x/u，代入非齐次方程 (3) 并化简得：

y₁u⁰⁰ C 2y₁⁰ C p.x/y¹
u⁰ D f .x/ :

这是可降阶的高阶微分方程，令 v D u⁰，则方程变为一 阶线性微分方程

y₁v⁰ C 2y₁⁰ C p.x/y¹
v D f .x/ :

② 若未能猜出齐次方程 (4) 的解，可考虑令 y D uv，代入非齐次方程 (3) 得：

vu⁰⁰ C 2v⁰ C p.x/v/u⁰ C v⁰⁰ C p.x/v⁰ C q.x/v
u D f .x/ : 然后考虑令 2v⁰ C p.x/v D 0.

例 10 求微分方程 .2x 1/y⁰⁰ .2x C 1/y⁰ C 2y D .4x² 2x 1/e^2x 的通解。

例 10 求微分方程 .2x 1/y⁰⁰ .2x C 1/y⁰ C 2y D .4x² 2x 1/e^2x 的通解。

解 此方程的通解为：y D C¹.2xC 1/ C C²e^xC .x 1/e^2x.

例 10 求微分方程 .2x 1/y⁰⁰ .2x C 1/y⁰ C 2y D .4x² 2x 1/e^2x 的通解。

解 此方程的通解为：y D C¹.2xC 1/ C C²e^xC .x 1/e^2x.

例 11 求微分方程 y⁰⁰ C 2

xy⁰ C y D 2x 1 的通解。

例 10 求微分方程 .2x 1/y⁰⁰ .2x C 1/y⁰ C 2y D .4x² 2x 1/e^2x 的通解。

解 此方程的通解为：y D C¹.2xC 1/ C C²e^xC .x 1/e^2x.

例 11 求微分方程 y⁰⁰ C 2

xy⁰ C y D 2x 1 的通解。 解 此方程的通解为：y D C₁ cos x C C²sin x 4

x C

2x 1.

二阶非齐次线性方程的通解公式：

设 p.x/、q.x/、f .x/ 均为连续函数。给定二阶非齐 次线性微分方程

y⁰⁰ C p.x/y⁰ C q.x/y D f .x/ : (5)

二阶非齐次线性方程的通解公式：

设 p.x/、q.x/、f .x/ 均为连续函数。给定二阶非齐 次线性微分方程

y⁰⁰ C p.x/y⁰ C q.x/y D f .x/ : (5) 若已知对应的齐次方程

y⁰⁰ C p.x/y⁰ C q.x/y D 0 (6) 的两个线性无关的特解 y₁.x/、y².x/.

二阶非齐次线性方程的通解公式：

设 p.x/、q.x/、f .x/ 均为连续函数。给定二阶非齐 次线性微分方程

y⁰⁰ C p.x/y⁰ C q.x/y D f .x/ : (5) 若已知对应的齐次方程

y⁰⁰ C p.x/y⁰ C q.x/y D 0 (6) 的两个线性无关的特解 y₁.x/、y².x/. 则可令 y D

y₁.x/u₁.x/ C y².x/u₂.x/.

二阶非齐次线性方程的通解公式：

设 p.x/、q.x/、f .x/ 均为连续函数。给定二阶非齐 次线性微分方程

y⁰⁰ C p.x/y⁰ C q.x/y D f .x/ : (5) 若已知对应的齐次方程

y⁰⁰ C p.x/y⁰ C q.x/y D 0 (6) 的两个线性无关的特解 y₁.x/、y².x/. 则可令 y D

y₁.x/u₁.x/ C y².x/u₂.x/. 代入方程 (5) 中，

二阶非齐次线性方程的通解公式：

设 p.x/、q.x/、f .x/ 均为连续函数。给定二阶非齐 次线性微分方程

y⁰⁰ C p.x/y⁰ C q.x/y D f .x/ : (5) 若已知对应的齐次方程

y⁰⁰ C p.x/y⁰ C q.x/y D 0 (6) 的两个线性无关的特解 y₁.x/、y².x/. 则可令 y D

y₁.x/u₁.x/ C y².x/u₂.x/. 代入方程 (5) 中，可令 (y₁u⁰₁ C y²u⁰₂ D 0;

y₁⁰u⁰₁ C y₂⁰u⁰₂ D f .x/: (7)

记

W .x/ B ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

y₁ y₂ y₁⁰ y₂⁰ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

记

W .x/ B ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

y₁ y₂ y₁⁰ y₂⁰ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

D y¹y₂⁰ y₁⁰y₂ ¤ 0:

记

W .x/ B ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

y₁ y₂ y₁⁰ y₂⁰ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

D y¹y₂⁰ y₁⁰y₂ ¤ 0:

则方程组 (7) 的解为

u⁰₁ D y₂f

W ; u⁰₂ D y₁f W :

记

W .x/ B ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

y₁ y₂ y₁⁰ y₂⁰ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

D y¹y₂⁰ y₁⁰y₂ ¤ 0:

则方程组 (7) 的解为

u⁰₁ D y₂f

W ; u⁰₂ D y₁f W : 于是非齐次线性方程 (5) 的一个特解为

y^ D y¹

Z y₂f

W dx C y²

Z y₁f

W dx :

记

W .x/ B ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

y₁ y₂ y₁⁰ y₂⁰ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

D y¹y₂⁰ y₁⁰y₂ ¤ 0:

则方程组 (7) 的解为

u⁰₁ D y₂f

W ; u⁰₂ D y₁f W : 于是非齐次线性方程 (5) 的一个特解为

y^ D y¹

Z y₂f

W dx C y²

Z y₁f

W dx : 非齐次线性方程 (5) 的通解为

y D C¹y₁.x/ C C²y₂.x/ C y^.x/ :

若 x0 为 定 义 区 间 内 的 一 点 ，

若 x0 为 定 义 区 间 内 的 一 点 ，则 方 程 (5) 在 初 始 条 件 y.x₀/ D 0、y⁰.x₀/ D 0 下的特解为

y^ D y¹.x/

Z x x₀

y₂.t /f .t /

W .t / dt C y².x/

Z x x₀

y₁.t /f .t / W .t / dt

若 x0 为 定 义 区 间 内 的 一 点 ，则 方 程 (5) 在 初 始 条 件 y.x₀/ D 0、y⁰.x₀/ D 0 下的特解为

y^ D y¹.x/

Z x x₀

y₂.t /f .t /

W .t / dt C y².x/

Z x x₀

y₁.t /f .t / W .t / dt D

Z x x₀

W .x; t /f .t / W .t / dt ;

若 x0 为 定 义 区 间 内 的 一 点 ，则 方 程 (5) 在 初 始 条 件 y.x₀/ D 0、y⁰.x₀/ D 0 下的特解为

y^ D y¹.x/

Z x x₀

y₂.t /f .t /

W .t / dt C y².x/

Z x x₀

y₁.t /f .t / W .t / dt D

Z x x₀

W .x; t /f .t / W .t / dt ; 其中

W .x; t / B ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

y₁.t / y₂.t / y₁.x/ y₂.x/

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

若 x0 为 定 义 区 间 内 的 一 点 ，则 方 程 (5) 在 初 始 条 件 y.x₀/ D 0、y⁰.x₀/ D 0 下的特解为

y^ D y¹.x/

Z x x₀

y₂.t /f .t /

W .t / dt C y².x/

Z x x₀

y₁.t /f .t / W .t / dt D

Z x x₀

W .x; t /f .t / W .t / dt ; 其中

W .x; t / B ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

y₁.t / y₂.t / y₁.x/ y₂.x/

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

D y¹.t /y₂.x/ y₂.t /y₁.x/ :

例 12 求微分方程 y⁰⁰ C y D sec x 的通解。

例 12 求微分方程 y⁰⁰ C y D sec x 的通解。

解 此 方 程 的 通 解 为 ：y D C¹cos x C C² sin x C x sin x C cos x lnjcos xj .

例 12 求微分方程 y⁰⁰ C y D sec x 的通解。

解 此 方 程 的 通 解 为 ：y D C¹cos x C C² sin x C x sin x C cos x lnjcos xj .

例 13 求微分方程 y⁰⁰ 4y⁰C 4y D xe^2x

1 C x² 的通解。

例 12 求微分方程 y⁰⁰ C y D sec x 的通解。

解 此 方 程 的 通 解 为 ：y D C¹cos x C C² sin x C x sin x C cos x lnjcos xj .

例 13 求微分方程 y⁰⁰ 4y⁰C 4y D xe^2x

1 C x² 的通解。

解 原方程的通解为 y D e^2x.^x₂ ln.1Cx²/Carctan xC C₁x C C²
.

五、微分方程的幂级数解法

五、微分方程的幂级数解法

一阶微分方程的情形：

例 14 求方程 dy

dx D y² C x³ 满足 yj^xD0 D ¹₂ 的特 解。

五、微分方程的幂级数解法

一阶微分方程的情形：

例 14 求方程 dy

dx D y² C x³ 满足 yj^xD0 D ¹₂ 的特 解。

解 此方程的解为 y D P¹

nD0

a_nxⁿ，

五、微分方程的幂级数解法

一阶微分方程的情形：

例 14 求方程 dy

dx D y² C x³ 满足 yj^xD0 D ¹₂ 的特 解。

解 此方程的解为 y D P¹

nD0

a_nxⁿ，其中a₀ D ¹₂、a¹ D

1

4、a² D ¹₈、a³ D ₁₆¹ 、a⁴ D ₃₂⁹ ，

五、微分方程的幂级数解法

一阶微分方程的情形：

例 14 求方程 dy

dx D y² C x³ 满足 yj^xD0 D ¹₂ 的特 解。

解 此方程的解为 y D P¹

nD0

a_nxⁿ，其中a₀ D ¹₂、a¹ D

1

4、a² D ¹₈、a³ D ₁₆¹ 、a⁴ D ₃₂⁹ ，且当 n > 4 时，a_nC1 D 1

n C 1

n

P

kD0

a_ka_{n k} .

二阶微分方程的情形：

定理 设二阶齐次线性方程

y⁰⁰ C P .x/y⁰ C Q.x/y D 0 :

其系数 P .x/ 与 Q.x/ 可在 . R; R/ 内展开成 x 的幂级 数，则在 . R; R/ 内此方程必有形如 y D P¹

nD0

a_nxⁿ 的 解。

例 15 求微分方程 y⁰⁰ D xy 在初始条件 yj^xD0 D 0、y⁰j^xD0 D 1 下的特解。

例 15 求微分方程 y⁰⁰ D xy 在初始条件 yj^xD0 D 0、y⁰j^xD0 D 1 下的特解。

解 此 方 程 的 解 为 y D P¹

mD0

c_mx^3mC1，

例 15 求微分方程 y⁰⁰ D xy 在初始条件 yj^xD0 D 0、y⁰j^xD0 D 1 下的特解。

解 此 方 程 的 解 为 y D P¹

mD0

c_mx^3mC1，其 中 c₀ D 1、c¹ D 1

3
4、c² D 1

.3
4/.6
7/、


、

c_m D 1

.3
4/.6
7/


3m
.3m C 1/
、


.

例 16 求解 Legendre 方程

.1 x²/y⁰⁰ 2xy⁰ C n.n C 1/y D 0 ; 其中 n 为常数。

例 16 求解 Legendre 方程

.1 x²/y⁰⁰ 2xy⁰ C n.n C 1/y D 0 ; 其中 n 为常数。

解 此方程的通解为

y D C¹

1 n.n C 1/

2Š x² C .n 2/n.n C 1/.n C 3/

4Š x⁴


 CC²

x .n 1/.n C 2/

3Š x³ C .n 3/.n 1/.n C 2/.n C 4/

5Š x⁵

 :