二次多項式系統之穩健輸出追蹤

第二章預備知識

2.4 二次多項式系統之穩健輸出追蹤

近年來，高次多項式系統的穩定性研究及應用已受到廣泛的注意與討論，例 如文獻[1-3]。上述針對多項式系統的文獻，其控制目標都是使系統穩定，因此都假設非控系統（uncontrolled system）具有平衡點。此外，文獻[2]及[3]都不考慮模型誤差(model uncertainty)及外界干擾(external disturbance)。在本節中，我們將針對單輸入具有不確定因素之二次多項式系統在非控系統不存在平衡點的情況下，以 VSC 的控制理論設計出適合的控制律，達到輸出追蹤(output tracking)的目的。 (nonlinear affine system)。在本章中，我們將利用可變結構控制設計出一個控制器 u，使得系統輸出即使在有不確定因素與外部雜訊干擾的情況下，依然可以達到

為了保持系統狀態位於順滑平面，選擇u^eq滿足s&(t)=0，根據等效控制原理

擾的上限值ρ(x,t)，也就是不會因∆ d 的大小變動導致∆≤0。由(2.37)及(2.38)

第三章

應用於變壓器控制之電力系統的電壓調節研究

在本章中我們將應用第 2.4 節中設計的 VSC 控制律於 Dobson 和 Chiang [21]

的電力系統模型，在原始模型中加入一個變壓器[8]，如 2.3 節所介紹的電力系統模型，並且以變壓器為控制輸入點，藉由調整變壓器的匝數比，使系統的負載電壓能夠穩定地保持在我們希望的電壓值，以達到電壓調節的功能。在 3.1 節中，

我們將 2.4 節中針對單輸入的二次多項式系統設計控制律的方法應用於電力系統中，設計出適合的控制律，應用於電力系統達到電壓調節的目的。在 3.2 節中，

針對系統負載無效功率的情況，討論系統可能達到電壓調節的狀態範圍，並分析模擬結果與系統應用可變結構控制時是否存在穩定的平衡點。在 3.3 節中，我們把應用可變結構控制的系統線性化，並應用 LQR 設計出另一個控制律來與可變結構設計的控制律做一些效能上的比較。

3.1 控制律設計

在 2.3 節中，將 Dobson 和 Chiang [21] 的電力系統模型加入一個變壓器[8]，

經過參數的選取與整理得到(2.22)-(2.25)式，我們將負載以來表

示，其中為選取的標稱值(nominal value)，

Q1 Q₁ =Q₁⁰ +∆Q₁

其中

d₄ = -5.2288∆Q₁

3.2 模擬結果

[

^-^7.0327 ^14.5229x ^-^53.0961x ^104.5752x ^cos(0.0873^-^x ⁾

104.8608 + ₄ ²₄ + ₄ ₃

到，當Q₁⁰值愈大時，狀態滿足^Ω

( )

^x^,^t 的區域愈小，也就是系統狀態滿足的

電壓值都能收斂到我們希望的電壓值，也就是電壓調節的目的都能順利達成。在時存在穩定的平衡點，我們將系統零點動態(zero dynamics)進行線性化

分析。為了方便說明，我們選定、

⎥⎥ (saddle node bifurcation)。一般認為電壓崩潰的發生是由於系統平衡點產生鞍點分歧，也就是負載超過電力系統所能提供的範圍而不再存在有平衡解，以

sat s(t) 都是不連續的函數，”AUTO”無法適

用，為了能夠分析系統的平衡點軌跡，我們將控制律(3.14)式中的 ⎟

跡，圖中實線代表的是穩定的平衡點，虛線代表的是不穩定的平衡點，”x”代表分別如圖 3.12(a)、3.12(b)及 3.12(c)所示，由圖中可以看出狀態的軌跡都是連續的。

3.3 LQR 與 VSC 兩種控制律的比較

由 3.2 節的模擬結果，我們可以知道以 VSC 設計的控制律具有反應快速以及優異的穩健性等優點，但是在能量損耗方面的表現如何呢?是否在電壓調節的

過程中會損耗很多的能量?因此在本節中，我們在為某個固定值時，找出應用

VSC 控制的電力系統的平衡點，將系統線性化，利用 LQR 設計控制律來與 VSC 設計的控制律做一些比較，以更加了解 VSC 的控制律優異與不足的地方。

3.3.1 LQR 控制律設計

將系統(3.6)式以如下形式來表示

d x

x& = ( ,u ,Q₁⁰)+ (3.17) 其中

f₁(x,u,Q₁⁰) = x₂

f₂(x,u,Q₁⁰) = 1.8807-0.1667x₂ +16.6667x₄sin(0.0873-x₁+x₃)u

f₃(x,u,Q₁⁰) = 43.3333-93.3333x₄ +334.1297x²₄ -666.6667x₄cos

(

0.0873-x₃

)

-166.6667x₄cos(0.0873+x₁-x₃)u+166.0325x²₄u² +33.3333Q₁⁰

f₄(x,u,Q₁⁰) = -7.0327+14.5229x₄ -53.0961x²₄ +104.5752x₄cos(0.0873-x₃) +^7.8431x4^sin(0.0873^-^x3⁾+

[

^26.1438x4^cos(0.0873+^x1^-^x3⁾

]

1⁰ 2

2 4 3

4sin(0.0873 x -x )u-26.2152x u -5.2288Q

1.9608x +

+ d₁ = 0

d₃ = 33.3333∆Q₁ 矩陣，response weighting matrix)與 (控制力加權矩陣，control force weighting matrix)值如下，

回授增益矩陣(feedback gain matrix)為

K R^-¹B^TP

3.3.2 LQR 與 VSC 控制律性能比較

的控制力，為花費的能量總和，為負載電壓與 1 的誤差

3.23 是系統應用 LQR 設計的控制律，由圖中我們可以發現受到的影響，系統無法將電壓收斂到我們所希望的電壓範圍。比較我們所設計的兩種控制律，由以上的模擬結果觀察，可以知道若只考慮電壓調節的功能時，VSC 所設計的控制律能夠有較快的響應速度，損耗的能量較少，而且對於系統的不確定因素較不敏感。

∆

表 3.1：VSC 與 LQR 控制律的性能比較

u(t) 125.3537 10.7463

(a)

(b)

圖 3.1：∆Q₁ =0時，狀態x₁、x₃、x₄滿足Ω(x,t)的區域，

(a) ，(b) Q₁⁰ =9 Q₁⁰ =11。

(a)

(b)

圖 3.2：Q₁⁰ =10時，狀態x₁、x₃、x₄滿足Ω(x,t)的區域，

圖 3.3：Q₁⁰ =11，∆Q₁ =0，初始電壓誤差為正值，(a) 值，(b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

Q1 x₁

x2 x₃ x₄

圖 3.4：Q₁⁰ =11，∆Q₁ =0，初始電壓誤差為正值。(a) 值，(b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

Q1 x₁

x2 x₃ x₄

圖 3.5：Q₁⁰ =11+0.2sin(t)，∆Q₁ =0，(a) 值，(b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

Q1 x₁ x₂

x3 x₄

圖 3.6：Q₁⁰在 11~11.5 變化，∆Q₁ =0，(a) 值，(b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

Q1 x₁ x₂

x x

圖 3.7：，時系統的模擬結果。(a) 值，(b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0.3 Q₁ x₁

x2 x₃ x₄

圖 3.8：，時系統的模擬結果。(a) 值，(b) 狀態，

Q₁⁰ = ∆Q₁ =-0.2~0.2 Q₁ x₁

x2 x₃ x₄

圖 3.9：ε =0.001，∆Q₁ =0，Q₁ =Q₁⁰變動時系統平衡點對應的軌跡，(a) 狀態x₁，

圖 3.10：ε =0.001，Q₁⁰ =9，∆ 變動時系統平衡點對應的軌跡，(a) 狀態，Q₁ (b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 變壓器調節值。

x2 x₃ x₄

圖 3.11：ε =0.001，Q₁⁰ =11，∆ 變動時系統平衡點對應的軌跡，(a) 狀態，Q₁ (b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 變壓器調節值。

x x x

圖 3.12：狀態平衡點軌跡的局部放大圖，(a)圖 3.9(d)的局部放大圖，(b)圖 3.10(d) 的局部放大圖，(c)圖 3.11(d)的局部放大圖。

圖 3.13：，時系統的模擬結果。(a) 值，(b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0.2 Q₁ x₁

x2 x₃ x₄

(a)

(b)

圖 3.14：Q₁⁰ =9、∆Q₁ =0、初始狀態x₀ =[0.17386 0 0.00175 0.53]。(a) 以 VSC 設計的控制律系統狀態圖，(b) 以 LQR 設計的控制律系統狀態圖。

(a)

(b)

圖 3.15：Q₁⁰ =9、∆Q₁ =0、初始狀態x₀ =[0.7 0 0.00175 1]。(a) 以 VSC 設計

(a)

(b)

圖 3.16：Q₁⁰ =9、∆Q₁ =0、初始狀態x₀ =[0.17386 2 0.00175 1]。(a) 以 VSC 設計的控制律系統狀態圖，(b) 以 LQR 設計的控制律系統狀態圖。

(a)

(b)

圖 3.17：Q₁⁰ =9、∆Q₁ =0、初始狀態x₀ =[0.17386 0 0.7 1]。(a) 以 VSC 設計的控制律系統狀態圖，(b) 以 LQR 設計的控制律系統狀態圖

圖 3.18：定義收斂時間為^tf ⁼^min

{

^t^∗ ^x4^(t)^-¹ ^<^0.0001,^∀^t^≥^t^∗

}

，、時，應用 VSC 設計的控制律下，系統的表現，

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0 0.121

t_f = 。(a) 狀態x₁， (b) 狀態x₂，(c) 狀態x₃，(d) 狀態x₄，(e) u值。

圖 3.19：定義收斂時間為^tf ⁼^min

{

^t^∗ ^x4^(t)^-¹ ^<^0.0001,^∀^t^≥^t^∗

}

，、時，應用 LQR 設計的控制律下，系統的表現，

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0 4.798

t_f = 。(a) 狀態x₁， (b) 狀態x₂，(c) 狀態x₃，(d) 狀態x₄，(e) u值。

圖 3.20：定義收斂時間為^tf ⁼^min

{

^t^∗ ^e(t)^<^0.0001,^∀^t^≥^t^∗

}

，Q₁⁰ =9、∆Q₁ =0時，

應用 VSC 設計的控制律下，系統的表現，t_f =70.742。(a) 狀態 ₁，(b) 狀態， (c) 狀態，(d) 狀態，(e) 值。

x x₂

x3 x₄ u

圖 3.21：定義收斂時間為^tf ⁼^min

{

^t^∗ ^e(t)^<^0.0001,^∀^t^≥^t^∗

}

，、時，

應用 LQR 設計的控制律下，系統的表現，

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0 5.859

t_f = 。(a) 狀態x₁，(b) 狀態x₂，

圖 3.22：定義收斂時間^tf ⁼^min

{

^t^∗ ^x4^(t)^-¹ ^<^0.0001,^∀^t^≥^t^∗

}

，、時，應用 VSC 設計的控制律下，系統的表現，

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0.3 0.135

t_f = 。(a) 狀態，(b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 值。

x2 x₃ x₄ u

圖 3.23：定義收斂時間為^tf ⁼^min

{

^t^∗ ^x4^(t)^-¹ ^<^0.0001,^∀^t^≥^t^∗

}

，、

時，應用 LQR 設計的控制律下，系統的表現，。

9 Q₁⁰ = 0.3

Q₁ =

∆ t_f =4.798

(a) 狀態x₁，(b) 狀態x₂，(c) 狀態x₃，(d) 狀態x₄，(e) u值。

第四章

統的狀態x₁-x₄，圖 4.1(e)是對應的W(x)值。但是選擇x₀ =[0.7 6 0.1 0.7]的例

4.3 所示，當系統具有不確定因素且s(t)<0時，必須讓控制律選取在使

會滿足(4.5)式，並且在此區域中W^∗(x,t)=0的地方，其微分值 W ( ,t)

⎟⎠

衡點，我們將系統的零點動態線性化分析。為了方便說明，選定、

如圖 4.14(a)及圖 4.14(b)所示，由圖中可以看出狀態的軌跡都是連續的。由於我們使用 sigmoid 函數取代 sgn 函數，因此由圖 4.13(d)可以發現隨著增加，

狀態的平衡點會由 1 往下略為遞減，和第三章中所討論的情況相同。

∆ x4

比較本章中設計的控制律與第三章中設計的控制律，可以知道兩者都能夠達成電壓調節的功能，而且反應速度都很快，對系統的不確定因素較不敏感。但是在第三章中設計的控制律無法使假設 2.3 包含狀態，因此在滿足不等式(3.13)

的區域中，我們還必須對每個點計算出狀態的範圍，才能找出使系統可以達

成電壓調節的區域，而本章中所設計的控制律，假設條件經過修改後得到假設 4.1，可以包含所有狀態的資訊，因此我們可以估算出使系統達成電壓調節的區域。

圖 4.1：Q₁ =10，∆Q₁ =0.192，初始狀態x₀ =[0.7 7 0.1 0.7]在滿足的區域內無法達成電壓調節的例子，(a) 狀態，(b) 狀態，(c) 狀態，

(

^x^,^t

Ω

)

x1 x₂ x₃

(d) 狀態x₄，(e) 函數W(x,t)值。

圖 4.2：Q₁ =10，∆Q₁ =0.192，初始狀態x₀ =[0.7 7 0.1 0.7]在滿足的區域內達成電壓調節的例子，(a) 狀態，(b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，

(

^x^,^t

Ω

)

x1 x₂ x₃ x₄

(e) 函數W(x,t)值。

圖 4.3：(4.2)式示意圖。

圖 4.4：藍色曲面是W^∗(x,t)=0的等高曲面，黃色曲面是 W ( ,t) 0 dt

d ^∗ x = 的等高曲

面，兩個黃色曲面間的區域是 W ( ,t) 0 dt

d ^∗ x < 的區域，兩個藍色曲面間的區域是

的區域，在，

0 t) , (

W^∗ x > Q⁰=8 ∆Q =0.1，k =0.1，T=0.0001，x =0.9時。

圖 4.5：藍色曲面是W^∗(x,t)=0的等高曲面，黃色曲面是 W ( ,t) 0 dt

d ^∗ x = 的等高曲

面，兩個黃色曲面間的區域是 W ( ,t) 0 dt

d ^∗ x < 的區域，兩個藍色曲面間的區域是

的區域，在，

0 t) , (

W^∗ x > Q₁⁰ =8 ∆Q₁=0.1，k₁ =0.1，T=0.0001，x₄ =0.95時。

圖 4.6：藍色曲面是W^∗(x,t)=0的等高曲面，黃色曲面是 W ( ,t) 0 dt

d ^∗ x = 的等高曲

面，兩個藍色曲面間的區域是的區域，在，，

，

0 t) , (

W^∗ x > Q₁⁰ =8 ∆Q₁=0.1 0.1

k₁ = T=0.0001，x₄ = 時。 1

圖 4.7：Q₁⁰ =10，∆Q₁ =0，T=0.0001，初始電壓誤差為正值，(a) 值，(b) 狀態，(c)狀態，(d)狀態，(e)狀態 (負載電壓值)，(f)變壓器調節值。

x1 x₂ x₃ x₄

圖 4.8：Q₁⁰ =10，∆Q₁ =0，T=0.0001，初始電壓誤差為負值，(a) 值，(b) 狀態，(c)狀態，(d)狀態，(e)狀態 (負載電壓值)，(f)變壓器調節值。

x x x x

圖 4.9：，，在 9.5~10.5 之間變化，(a) 值，(b)狀態， (c)狀態，(d)狀態，(e)狀態 (負載電壓值)，(f)變壓器調節值。

0 Q₁ =

∆ T=0.0001 Q₁⁰ Q₁ x₁

x2 x₃ x₄

圖 4.10：Q₁⁰ =8，∆Q₁ =0.2，T=0.0001，(a) 值，(b)狀態，(c)狀態，(d) 狀態，(e)狀態 (負載電壓值)，(f)變壓器調節值。

Q1 x₁ x₂

x3 x₄

圖 4.11：Q₁⁰ =9，T=0.0001，∆Q₁在-0.1~0.1之間隨機變動，(a) 值，(b)狀態，(c)狀態，(d)狀態，(e)狀態 (負載電壓值)，(f)變壓器調節值。

x1 x₂ x₃ x₄

圖 4.12：ε =0.001，T=0.0001，∆Q₁ =0，變動時系統平衡點對應的軌跡，(a)狀態，(b)狀態，(c)狀態，(d)狀態，(e)變壓器調節值。

0 1

1 Q

Q =

x1 x₂ x₃ x₄

圖 4.13：ε =0.001，T=0.0001，Q₁⁰ =10，∆ 變動時系統平衡點對應的軌跡，Q₁

圖 4.14：狀態平衡點軌跡的局部放大圖，(a)圖 4.12(d)的局部放大圖，(b)圖 4.13(d)的局部放大圖。

第五章

結論與未來研究方向

5.1 結論

在本論文中，我們對具有二次輸入的非線性系統，系統相對階數為一階時，

以可變結構控制理論設計出適合的控制律，達到輸出追蹤的目的，應用在電力系統的電壓調節，以提升電力供給的品質。我們利用 Dobson 和 Chiang[21]所提出的電力系統模型，在原始系統模型中加入一個變壓器[8]，利用變壓器的匝數比作為控制器輸入，以達到電壓調節的目的。利用可變結構控制的方法，具有高準確度、反應迅速、對於系統的不確定因素或外界干擾較不敏感以及設計方法較容易等優點。

在第三章中，我們針對單輸入的二次多項式非線性系統，系統相對階數為一階，以可變結構控制理論提出控制律的設計方法，達到輸出追蹤的目的，應用在電力系統中，使系統即使存有不確定性與干擾的時候，仍然可以達到電壓調節的

在電壓調節的功能上有優異的表現，能夠在非常短的時間內達成電壓調節的目的，能量的損耗也很少，並且對於系統的不確定因素與干擾較不敏感，具有良好的穩健性。電力系統應用可變結構設計的控制律，對應負載無效功率變化的系統平衡點軌跡分析，可以知道系統能夠達成電壓調節的範圍，避免負載過大造成電壓崩潰的情形發生，並且在系統為最小相位系統且負載無效功率為固定值的時候，所有的狀態最終會收斂到穩定的平衡點。

在第四章中，我們針對電力系統設計出改良型可變結構控制律，使系統存有不確定性與干擾時，仍然可以達到電壓調節的功能，並且藉由滿足假設條件的狀態區域估計出使系統能夠達成電壓調節目的的初始狀態區域，避免系統的初始狀態選取在無法達成電壓調節的區域，造成不穩定的結果。

5.2 未來研究方向

1. 在本論文中，對於系統控制器存在輸入二次項時，所設計的控制器利用於系統相對階數為一階，當用於相對階數為高階時，是否可以設計出適當的控制律。

2. 以更有效的方法估測出使系統能達成輸出追蹤的初始狀態區域。

3. 對於電力系統的電壓調節，是否可以應用二階順滑模式控制來達成電壓調節的目的

4. 一個有效且可靠的電力系統應使得電壓與頻率維持一定，本論文中只完成

在文檔中二次多項式系統之穩健輸出追蹤之研究 (頁 26-0)

第二章 預備知識

2.4 二次多項式系統之穩健輸出追蹤

第三章

應用於變壓器控制之電力系統的電 壓調節研究

3.1 控制律設計

3.2 模擬結果

[

( )

3.3 LQR 與 VSC 兩種控制律的比較

3.3.1 LQR 控制律設計

(

)

[

]

3.3.2 LQR 與 VSC 控制律性能比較

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

第四章

(

)

(

)

第五章

結論與未來研究方向

5.1 結論

5.2 未來研究方向

第二章預備知識

應用於變壓器控制之電力系統的電壓調節研究