論文架構

第一章緒論

1.2 論文架構

在第二章中，我們介紹非線性系統的可變結構控制，以及 LQR 控制律的設 計方法，然後介紹利用 Dobson 和 Chiang[21]所提出的電力系統模型，在原始系統模型中加入一個變壓器[8]之後，得到的系統模型，接下來針對單輸入的二次多項式系統，系統相對階數為一階，以可變結構控制理論設計控制律方法，達到輸出追蹤的目的。第三章將可變結構控制應用於變壓器調節的電力系統，以電力系統的變壓器為控制輸入點，調整變壓器的匝數比來達到電壓調節的功能，並且比較以可變結構控制設計的控制律與 LQR 設計的控制律兩者的效能，然後對於系統的系統平衡點做分析。第四章針對此電力系統，提出改良型可變結構控制律，並且估計出使系統能夠達成電壓調節目的的初始狀態區域。最後，第五章提出本論文之結論及未來研究方向。

第二章預備知識

2.1 可變結構控制

可變結構控制(variable structure control,簡稱 VSC)是一種不連續的狀態回授控制，在 1960 年代初期由前蘇聯科學家們所發展出的一種非線性控制法則，由俄國人 Filippov 所律先提出。可變結構控制的優點是響應快速、良好的暫態性能以及對於系統不確定因素(uncertainties)與外在干擾(disturbances)具有良好抑制程度的穩健特性，再加上設計方法較容易，已成為最廣為人使用的控制方法之一。

可變結構控制的特色是利用不連續的控制輸入，使系統在設定的轉換平面 (Switching Plane)或稱之超平面(Hyperplane)或順滑平面(Sliding surface)上改變結構，而獲得所謂之滑動控制模式(Sliding Mode Control)。

VCS 是一種高速切換的回授控制(feedback control)，其回授方式可以是狀態

系統穩健性(Robustness)，對於一些有不確定因素的系統而言，VSC 的高抗雜訊能力是一種不錯的控制方法。

設計可變結構控制器有兩個主要步驟：

步驟一：根據狀態選取適當的順滑平面，使得系統軌跡在順滑模態時能滑向控制目標點。

步驟二：設計適當的控制器，使得系統軌跡在有限時間內接觸到順滑平面產生順滑模態並且使得系統軌跡在順滑模態時能滑向控制目標點。

對於一般線性系統而言，順滑函數可以選取如下：

s(x)= (2.1) 其中，表示系統的狀態變數。當系統在順滑平面x s(x)=0之外時，應確保所有的軌跡在有限的持間內接觸到此順滑平面，這個過程稱為迫近模態，當系統進入此順滑平面後，應保證不再離開並且朝著平衡點x = 逼近，在這個順滑平面中0 的系統行為稱為順滑模態(Sliding mode)，圖 2.1 概略描繪出這兩個程序：系統狀態在有限的時間t_h內到達順滑平面，然後在往後的t > t_h時段，系統不再脫離此順滑平面，並且朝著平衡點x =0移動，最後達到x(∞)→0的目標。

圖 2.1 順滑模態之產生

順滑平面的選取在 VSC 的設計上相當重要，而讓系統上順滑平面的條件就是使設計的控制器滿足迫近條件(reaching condition)：

0 的最終狀態(steady state)，重則會激發出一些系統潛在的未模式高頻部份(high frequency unmodeled parts)，將影響到系統整個控制的結果，導致系統的不穩定現象發生，在可變結構控制系統中，切跳現象是無法避免的。視控制輸入之不連 0 s(x)= 0

s(x)=

滑層的想法[4]，示意圖如圖 2.2 所示，將原來的符號函數(Sign Function)用飽和函數 (Saturation Function) 、磁滯函數 (Hysteresis Function) 或磁滯 - 飽和函數 (Hysteresis Saturation Function)等方式取代，這些方法可應用於實際的系統中，對系統的切跳行為可獲得明顯有效的改善。

圖 2.2 ：順滑層

2.2 線性二次調節器 (Linear Quadratic Regulator)

最佳化控制理論(optima control theorem)[27-28]是以損耗最少”成本”的情況下，達到控制目標的一種控制方法，而線性最佳化控制(linear optima control)是最佳化控制的其中一種，若系統的狀態是以線性微分方程式表示，且成本是以二次函數表示，以二次的成本函數為依據所設計出來的線性最佳化控制律的方法稱為線性二次方法(Linear Quadratic method)，LQR 便是其中的一種。

考慮以下動態系統：其中為回授增益矩陣(feedback gain matrix)使得如下的成本指標(cost function)達到最小值其中為半正定(positive semi-definite)之反應加權矩陣(response weighting

matrix) ，為正定 (positive definite) 之控制力加權矩陣 (control force weighting matrix)。矩陣 Q 、

n×n

P 用 Dobson 和 Chiang 的模型，並且在原始模型中加入一個變壓器(tap changer)[8]，

以變壓器的匝數比作為控制器輸入，達到電壓調節的目的。機的動態方程式可利用搖擺方程式(swing equation)獲得，表示如下：

計算其網路中所消耗功率，在網路中無效功率損耗與有效功率損耗可以表示全部的參數以標么值(per unit value)為單位，其角度以度數表示。

我們令x₁ =δ_m，x₂ =ω，x₃ =δ，x₄ = ，由(2.18)-(2.21)，我們可將動態V 方程式表示為

2.4 二次多項式系統之穩健輸出追蹤

近年來，高次多項式系統的穩定性研究及應用已受到廣泛的注意與討論，例 如文獻[1-3]。上述針對多項式系統的文獻，其控制目標都是使系統穩定，因此都假設非控系統（uncontrolled system）具有平衡點。此外，文獻[2]及[3]都不考慮模型誤差(model uncertainty)及外界干擾(external disturbance)。在本節中，我們將針對單輸入具有不確定因素之二次多項式系統在非控系統不存在平衡點的情況下，以 VSC 的控制理論設計出適合的控制律，達到輸出追蹤(output tracking)的目的。 (nonlinear affine system)。在本章中，我們將利用可變結構控制設計出一個控制器 u，使得系統輸出即使在有不確定因素與外部雜訊干擾的情況下，依然可以達到

為了保持系統狀態位於順滑平面，選擇u^eq滿足s&(t)=0，根據等效控制原理

擾的上限值ρ(x,t)，也就是不會因∆ d 的大小變動導致∆≤0。由(2.37)及(2.38)

第三章

應用於變壓器控制之電力系統的電壓調節研究

在本章中我們將應用第 2.4 節中設計的 VSC 控制律於 Dobson 和 Chiang [21]

的電力系統模型，在原始模型中加入一個變壓器[8]，如 2.3 節所介紹的電力系統模型，並且以變壓器為控制輸入點，藉由調整變壓器的匝數比，使系統的負載電壓能夠穩定地保持在我們希望的電壓值，以達到電壓調節的功能。在 3.1 節中，

我們將 2.4 節中針對單輸入的二次多項式系統設計控制律的方法應用於電力系統中，設計出適合的控制律，應用於電力系統達到電壓調節的目的。在 3.2 節中，

針對系統負載無效功率的情況，討論系統可能達到電壓調節的狀態範圍，並分析模擬結果與系統應用可變結構控制時是否存在穩定的平衡點。在 3.3 節中，我們把應用可變結構控制的系統線性化，並應用 LQR 設計出另一個控制律來與可變結構設計的控制律做一些效能上的比較。

3.1 控制律設計

在 2.3 節中，將 Dobson 和 Chiang [21] 的電力系統模型加入一個變壓器[8]，

經過參數的選取與整理得到(2.22)-(2.25)式，我們將負載以來表

示，其中為選取的標稱值(nominal value)，

Q1 Q₁ =Q₁⁰ +∆Q₁

其中

d₄ = -5.2288∆Q₁

3.2 模擬結果

[

^-^7.0327 ^14.5229x ^-^53.0961x ^104.5752x ^cos(0.0873^-^x ⁾

104.8608 + ₄ ²₄ + ₄ ₃

到，當Q₁⁰值愈大時，狀態滿足^Ω

( )

^x^,^t 的區域愈小，也就是系統狀態滿足的

電壓值都能收斂到我們希望的電壓值，也就是電壓調節的目的都能順利達成。在時存在穩定的平衡點，我們將系統零點動態(zero dynamics)進行線性化

分析。為了方便說明，我們選定、

⎥⎥ (saddle node bifurcation)。一般認為電壓崩潰的發生是由於系統平衡點產生鞍點分歧，也就是負載超過電力系統所能提供的範圍而不再存在有平衡解，以

sat s(t) 都是不連續的函數，”AUTO”無法適

用，為了能夠分析系統的平衡點軌跡，我們將控制律(3.14)式中的 ⎟

跡，圖中實線代表的是穩定的平衡點，虛線代表的是不穩定的平衡點，”x”代表分別如圖 3.12(a)、3.12(b)及 3.12(c)所示，由圖中可以看出狀態的軌跡都是連續的。

3.3 LQR 與 VSC 兩種控制律的比較

由 3.2 節的模擬結果，我們可以知道以 VSC 設計的控制律具有反應快速以及優異的穩健性等優點，但是在能量損耗方面的表現如何呢?是否在電壓調節的

過程中會損耗很多的能量?因此在本節中，我們在為某個固定值時，找出應用

VSC 控制的電力系統的平衡點，將系統線性化，利用 LQR 設計控制律來與 VSC 設計的控制律做一些比較，以更加了解 VSC 的控制律優異與不足的地方。

3.3.1 LQR 控制律設計

將系統(3.6)式以如下形式來表示

d x

x& = ( ,u ,Q₁⁰)+ (3.17) 其中

f₁(x,u,Q₁⁰) = x₂

f₂(x,u,Q₁⁰) = 1.8807-0.1667x₂ +16.6667x₄sin(0.0873-x₁+x₃)u

f₃(x,u,Q₁⁰) = 43.3333-93.3333x₄ +334.1297x²₄ -666.6667x₄cos

(

0.0873-x₃

)

-166.6667x₄cos(0.0873+x₁-x₃)u+166.0325x²₄u² +33.3333Q₁⁰

f₄(x,u,Q₁⁰) = -7.0327+14.5229x₄ -53.0961x²₄ +104.5752x₄cos(0.0873-x₃) +^7.8431x4^sin(0.0873^-^x3⁾+

[

^26.1438x4^cos(0.0873+^x1^-^x3⁾

]

1⁰ 2

2 4 3

4sin(0.0873 x -x )u-26.2152x u -5.2288Q

1.9608x +

+ d₁ = 0

d₃ = 33.3333∆Q₁ 矩陣，response weighting matrix)與 (控制力加權矩陣，control force weighting matrix)值如下，

回授增益矩陣(feedback gain matrix)為

K R^-¹B^TP

3.3.2 LQR 與 VSC 控制律性能比較

的控制力，為花費的能量總和，為負載電壓與 1 的誤差

3.23 是系統應用 LQR 設計的控制律，由圖中我們可以發現受到的影響，系統無法將電壓收斂到我們所希望的電壓範圍。比較我們所設計的兩種控制律，由以上的模擬結果觀察，可以知道若只考慮電壓調節的功能時，VSC 所設計的控制律能夠有較快的響應速度，損耗的能量較少，而且對於系統的不確定因素較不敏感。

∆

表 3.1：VSC 與 LQR 控制律的性能比較

u(t) 125.3537 10.7463

(a)

(b)

圖 3.1：∆Q₁ =0時，狀態x₁、x₃、x₄滿足Ω(x,t)的區域，

(a) ，(b) Q₁⁰ =9 Q₁⁰ =11。

(a)

(b)

圖 3.2：Q₁⁰ =10時，狀態x₁、x₃、x₄滿足Ω(x,t)的區域，

圖 3.3：Q₁⁰ =11，∆Q₁ =0，初始電壓誤差為正值，(a) 值，(b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

Q1 x₁

x2 x₃ x₄

圖 3.4：Q₁⁰ =11，∆Q₁ =0，初始電壓誤差為正值。(a) 值，(b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

Q1 x₁

x2 x₃ x₄

圖 3.5：Q₁⁰ =11+0.2sin(t)，∆Q₁ =0，(a) 值，(b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

Q1 x₁ x₂

x3 x₄

圖 3.6：Q₁⁰在 11~11.5 變化，∆Q₁ =0，(a) 值，(b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

Q1 x₁ x₂

x x

圖 3.7：，時系統的模擬結果。(a) 值，(b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0.3 Q₁ x₁

x2 x₃ x₄

圖 3.8：，時系統的模擬結果。(a) 值，(b) 狀態，

Q₁⁰ = ∆Q₁ =-0.2~0.2 Q₁ x₁

x2 x₃ x₄

圖 3.9：ε =0.001，∆Q₁ =0，Q₁ =Q₁⁰變動時系統平衡點對應的軌跡，(a) 狀態x₁，

圖 3.10：ε =0.001，Q₁⁰ =9，∆ 變動時系統平衡點對應的軌跡，(a) 狀態，Q₁ (b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 變壓器調節值。

x2 x₃ x₄

圖 3.11：ε =0.001，Q₁⁰ =11，∆ 變動時系統平衡點對應的軌跡，(a) 狀態，Q₁ (b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 變壓器調節值。

x x x

圖 3.12：狀態平衡點軌跡的局部放大圖，(a)圖 3.9(d)的局部放大圖，(b)圖 3.10(d) 的局部放大圖，(c)圖 3.11(d)的局部放大圖。

圖 3.13：，時系統的模擬結果。(a) 值，(b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0.2 Q₁ x₁

x2 x₃ x₄

(a)

(b)

圖 3.14：Q₁⁰ =9、∆Q₁ =0、初始狀態x₀ =[0.17386 0 0.00175 0.53]。(a) 以 VSC 設計的控制律系統狀態圖，(b) 以 LQR 設計的控制律系統狀態圖。

(a)

(b)

圖 3.15：Q₁⁰ =9、∆Q₁ =0、初始狀態x₀ =[0.7 0 0.00175 1]。(a) 以 VSC 設計

(a)

(b)

圖 3.16：Q₁⁰ =9、∆Q₁ =0、初始狀態x₀ =[0.17386 2 0.00175 1]。(a) 以 VSC 設計的控制律系統狀態圖，(b) 以 LQR 設計的控制律系統狀態圖。

(a)

(b)

圖 3.17：Q₁⁰ =9、∆Q₁ =0、初始狀態x₀ =[0.17386 0 0.7 1]。(a) 以 VSC 設計的控制律系統狀態圖，(b) 以 LQR 設計的控制律系統狀態圖

圖 3.18：定義收斂時間為^tf ⁼^min

{

^t^∗ ^x4^(t)^-¹ ^<^0.0001,^∀^t^≥^t^∗

}

，、時，應用 VSC 設計的控制律下，系統的表現，

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0 0.121

t_f = 。(a) 狀態x₁， (b) 狀態x₂，(c) 狀態x₃，(d) 狀態x₄，(e) u值。

圖 3.19：定義收斂時間為^tf ⁼^min

{

^t^∗ ^x4^(t)^-¹ ^<^0.0001,^∀^t^≥^t^∗

}

，、時，應用 LQR 設計的控制律下，系統的表現，

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0 4.798

t_f = 。(a) 狀態x₁， (b) 狀態x₂，(c) 狀態x₃，(d) 狀態x₄，(e) u值。

圖 3.20：定義收斂時間為^tf ⁼^min

{

^t^∗ ^e(t)^<^0.0001,^∀^t^≥^t^∗

}

，Q₁⁰ =9、∆Q₁ =0時，

應用 VSC 設計的控制律下，系統的表現，t_f =70.742。(a) 狀態 ₁，(b) 狀態， (c) 狀態，(d) 狀態，(e) 值。

x x₂

x3 x₄ u

圖 3.21：定義收斂時間為^tf ⁼^min

{

^t^∗ ^e(t)^<^0.0001,^∀^t^≥^t^∗

}

，、時，

應用 LQR 設計的控制律下，系統的表現，

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0 5.859

t_f = 。(a) 狀態x₁，(b) 狀態x₂，

圖 3.22：定義收斂時間^tf ⁼^min

{

^t^∗ ^x4^(t)^-¹ ^<^0.0001,^∀^t^≥^t^∗

}

，、時，應用 VSC 設計的控制律下，系統的表現，

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0.3 0.135

t_f = 。(a) 狀態，(b) 狀態，(c) 狀態，(d) 狀態，(e) 值。

x2 x₃ x₄ u

圖 3.23：定義收斂時間為^tf ⁼^min

{

^t^∗ ^x4^(t)^-¹ ^<^0.0001,^∀^t^≥^t^∗

}

，、

時，應用 LQR 設計的控制律下，系統的表現，。

9 Q₁⁰ = 0.3

Q₁ =

∆ t_f =4.798

(a) 狀態x₁，(b) 狀態x₂，(c) 狀態x₃，(d) 狀態x₄，(e) u值。

第四章

統的狀態x₁-x₄，圖 4.1(e)是對應的W(x)值。但是選擇x₀ =[0.7 6 0.1 0.7]的例

4.3 所示，當系統具有不確定因素且s(t)<0時，必須讓控制律選取在使

在文檔中二次多項式系統之穩健輸出追蹤之研究 (頁 16-0)

第一章 緒論

1.2 論文架構

第二章 預備知識

2.1 可變結構控制

2.2 線性二次調節器 (Linear Quadratic Regulator)

2.4 二次多項式系統之穩健輸出追蹤

第三章

應用於變壓器控制之電力系統的電 壓調節研究

3.1 控制律設計

3.2 模擬結果

[

( )

3.3 LQR 與 VSC 兩種控制律的比較

3.3.1 LQR 控制律設計

(

)

[

]

3.3.2 LQR 與 VSC 控制律性能比較

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

第四章

第一章緒論

第二章預備知識

應用於變壓器控制之電力系統的電壓調節研究