LQR 與 VSC 控制律性能比較

的控制力， 為花費的能量總和， 為負載電壓與 1 的誤差

3.23 是系統應用 LQR 設計的控制律，由圖中我們可以發現受到 的影響，系 統無法將電壓收斂到我們所希望的電壓範圍。比較我們所設計的兩種控制律，由 以上的模擬結果觀察，可以知道若只考慮電壓調節的功能時，VSC 所設計的控 制律能夠有較快的響應速度，損耗的能量較少，而且對於系統的不確定因素較不 敏感。

Q1

∆

表 3.1：VSC 與 LQR 控制律的性能比較

u(t) 125.3537 10.7463

dt

(a)

(b)

圖 3.1：∆Q₁ =0時，狀態x₁、x₃、x₄滿足Ω(x,t)的區域，

(a) ，(b) Q₁⁰ =9 Q₁⁰ =11。

(a)

(b)

圖 3.2：Q₁⁰ =10時，狀態x₁、x₃、x₄滿足Ω(x,t)的區域，

圖 3.3：Q₁⁰ =11，∆Q₁ =0，初始電壓誤差為正值，(a) 值，(b) 狀態 ，(c) 狀 態 ，(d) 狀態 ，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

Q1 x₁

x2 x₃ x₄

圖 3.4：Q₁⁰ =11，∆Q₁ =0，初始電壓誤差為正值。(a) 值，(b) 狀態 ，(c) 狀 態 ，(d) 狀態 ，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

Q1 x₁

x2 x₃ x₄

圖 3.5：Q₁⁰ =11+0.2sin(t)，∆Q₁ =0，(a) 值，(b) 狀態 ，(c) 狀態 ，(d) 狀態 ，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

Q1 x₁ x₂

x3 x₄

圖 3.6：Q₁⁰在 11~11.5 變化，∆Q₁ =0，(a) 值，(b) 狀態 ，(c) 狀態 ，(d) 狀態 ，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

Q1 x₁ x₂

x x

圖 3.7： ， 時系統的模擬結果。(a) 值，(b) 狀態 ，(c) 狀 態 ，(d) 狀態 ，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

9

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0.3 Q₁ x₁

x2 x₃ x₄

圖 3.8： ， 時系統的模擬結果。(a) 值，(b) 狀態 ，

(c) 狀態 ，(d) 狀態 ，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

10

Q₁⁰ = ∆Q₁ =-0.2~0.2 Q₁ x₁

x2 x₃ x₄

圖 3.9：ε =0.001，∆Q₁ =0，Q₁ =Q₁⁰變動時系統平衡點對應的軌跡，(a) 狀態x₁，

圖 3.10：ε =0.001，Q₁⁰ =9，∆ 變動時系統平衡點對應的軌跡，(a) 狀態 ，Q₁ (b) 狀態 ，(c) 狀態 ，(d) 狀態 ，(e) 變壓器調節值。

x1

x2 x₃ x₄

圖 3.11：ε =0.001，Q₁⁰ =11，∆ 變動時系統平衡點對應的軌跡，(a) 狀態 ，Q₁ (b) 狀態 ，(c) 狀態 ，(d) 狀態 ，(e) 變壓器調節值。

x1

x x x

圖 3.12：狀態 平衡點軌跡的局部放大圖，(a)圖 3.9(d)的局部放大圖，(b)圖 3.10(d) 的局部放大圖，(c)圖 3.11(d)的局部放大圖。

x4

圖 3.13： ， 時系統的模擬結果。(a) 值，(b) 狀態 ，(c) 狀 態 ，(d) 狀態 ，(e) 狀態 (負載電壓值)，(f) 變壓器調節值。

9

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0.2 Q₁ x₁

x2 x₃ x₄

(a)

(b)

圖 3.14：Q₁⁰ =9、∆Q₁ =0、初始狀態x₀ =[0.17386 0 0.00175 0.53]。(a) 以 VSC 設計的控制律系統狀態圖，(b) 以 LQR 設計的控制律系統狀態圖。

(a)

(b)

圖 3.15：Q₁⁰ =9、∆Q₁ =0、初始狀態x₀ =[0.7 0 0.00175 1]。(a) 以 VSC 設計

(a)

(b)

圖 3.16：Q₁⁰ =9、∆Q₁ =0、初始狀態x₀ =[0.17386 2 0.00175 1]。(a) 以 VSC 設計的控制律系統狀態圖，(b) 以 LQR 設計的控制律系統狀態圖。

(a)

(b)

圖 3.17：Q₁⁰ =9、∆Q₁ =0、初始狀態x₀ =[0.17386 0 0.7 1]。(a) 以 VSC 設計 的控制律系統狀態圖，(b) 以 LQR 設計的控制律系統狀態圖

圖 3.18：定義收斂時間為^tf ^=min

{

^{t∗ x}4^{(t)-1 <0.0001,∀t≥t∗}

}

， 、 時，應用 VSC 設計的控制律下，系統的表現，

9

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0 0.121

t_f = 。(a) 狀態x₁， (b) 狀態x₂，(c) 狀態x₃，(d) 狀態x₄，(e) u值。

圖 3.19：定義收斂時間為^tf ^=min

{

^{t∗ x}4^{(t)-1 <0.0001,∀t≥t∗}

}

， 、 時，應用 LQR 設計的控制律下，系統的表現，

9

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0 4.798

t_f = 。(a) 狀態x₁， (b) 狀態x₂，(c) 狀態x₃，(d) 狀態x₄，(e) u值。

圖 3.20：定義收斂時間為^tf ^=min

{

^{t∗ e(t)<0.0001,∀t≥t∗}

}

，Q₁⁰ =9、∆Q₁ =0時，

應用 VSC 設計的控制律下，系統的表現，t_f =70.742。(a) 狀態 ₁，(b) 狀態 ， (c) 狀態 ，(d) 狀態 ，(e) 值。

x x₂

x3 x₄ u

圖 3.21：定義收斂時間為^tf ^=min

{

^{t∗ e(t)<0.0001,∀t≥t∗}

}

， 、 時，

應用 LQR 設計的控制律下，系統的表現，

9

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0 5.859

t_f = 。(a) 狀態x₁，(b) 狀態x₂，

圖 3.22：定義收斂時間^tf ^=min

{

^{t∗ x}4^{(t)-1 <0.0001,∀t≥t∗}

}

， 、 時，應用 VSC 設計的控制律下，系統的表現，

9

Q₁⁰ = ∆Q₁ =0.3 0.135

t_f = 。(a) 狀態 ，(b) 狀 態 ，(c) 狀態 ，(d) 狀態 ，(e) 值。

x1

x2 x₃ x₄ u

圖 3.23：定義收斂時間為^tf ^=min

{

^{t∗ x}4^{(t)-1 <0.0001,∀t≥t∗}

}

， 、

時，應用 LQR 設計的控制律下，系統的表現， 。

9 Q₁⁰ = 0.3

Q₁ =

∆ t_f =4.798

(a) 狀態x₁，(b) 狀態x₂，(c) 狀態x₃，(d) 狀態x₄，(e) u值。

第四章

統的狀態x₁-x₄，圖 4.1(e)是對應的W(x)值。但是選擇x₀ =[0.7 6 0.1 0.7]的例

4.3 所示，當系統具有不確定因素且s(t)<0時， 必須讓控制律 選取在使

會滿足(4.5)式，並且在此區域中W^∗(x,t)=0的地方，其微分值 W ( ,t)

⎟⎠

衡點，我們將系統的零點動態線性化分析。為了方便說明，選定 、

如圖 4.14(a)及圖 4.14(b)所示，由圖中可以看出狀態 的軌跡都是連續的。由於 我們使用 sigmoid 函數取代 sgn 函數，因此由圖 4.13(d)可以發現隨著 增加，

狀態 的平衡點會由 1 往下略為遞減，和第三章中所討論的情況相同。

x4

Q1

∆ x4

比較本章中設計的控制律與第三章中設計的控制律，可以知道兩者都能夠達 成電壓調節的功能，而且反應速度都很快，對系統的不確定因素較不敏感。但是 在第三章中設計的控制律無法使假設 2.3 包含狀態 ，因此在滿足不等式(3.13)

的區域中，我們還必須對每個點計算出狀態 的範圍，才能找出使系統可以達

成電壓調節的區域，而本章中所設計的控制律，假設條件經過修改後得到假設 4.1，可以包含所有狀態的資訊，因此我們可以估算出使系統達成電壓調節的區 域。

x2

x2

圖 4.1：Q₁ =10，∆Q₁ =0.192，初始狀態x₀ =[0.7 7 0.1 0.7]在滿足 的區 域內無法達成電壓調節的例子，(a) 狀態 ，(b) 狀態 ，(c) 狀態 ，

(

^x,t

Ω

)

x1 x₂ x₃

(d) 狀態x₄，(e) 函數W(x,t)值。

圖 4.2：Q₁ =10，∆Q₁ =0.192，初始狀態x₀ =[0.7 7 0.1 0.7]在滿足 的區 域內達成電壓調節的例子，(a) 狀態 ，(b) 狀態 ，(c) 狀態 ，(d) 狀態 ，

(

^x,t

Ω

)

x1 x₂ x₃ x₄

(e) 函數W(x,t)值。

圖 4.3：(4.2)式示意圖。

圖 4.4：藍色曲面是W^∗(x,t)=0的等高曲面，黃色曲面是 W ( ,t) 0 dt

d ^∗ x = 的等高曲

面，兩個黃色曲面間的區域是 W ( ,t) 0 dt

d ^∗ x < 的區域，兩個藍色曲面間的區域是

的區域，在 ，

0 t) , (

W^∗ x > Q⁰=8 ∆Q =0.1，k =0.1，T=0.0001，x =0.9時。

圖 4.5：藍色曲面是W^∗(x,t)=0的等高曲面，黃色曲面是 W ( ,t) 0 dt

d ^∗ x = 的等高曲

面，兩個黃色曲面間的區域是 W ( ,t) 0 dt

d ^∗ x < 的區域，兩個藍色曲面間的區域是

的區域，在 ，

0 t) , (

W^∗ x > Q₁⁰ =8 ∆Q₁=0.1，k₁ =0.1，T=0.0001，x₄ =0.95時。

圖 4.6：藍色曲面是W^∗(x,t)=0的等高曲面，黃色曲面是 W ( ,t) 0 dt

d ^∗ x = 的等高曲

面，兩個藍色曲面間的區域是 的區域，在 ， ，

，

0 t) , (

W^∗ x > Q₁⁰ =8 ∆Q₁=0.1 0.1

k₁ = T=0.0001，x₄ = 時。 1

圖 4.7：Q₁⁰ =10，∆Q₁ =0，T=0.0001，初始電壓誤差為正值，(a) 值，(b) 狀態 ，(c)狀態 ，(d)狀態 ，(e)狀態 (負載電壓值)，(f)變壓器調節值。

Q1

x1 x₂ x₃ x₄

圖 4.8：Q₁⁰ =10，∆Q₁ =0，T=0.0001，初始電壓誤差為負值，(a) 值，(b) 狀態 ，(c)狀態 ，(d)狀態 ，(e)狀態 (負載電壓值)，(f)變壓器調節值。

Q1

x x x x

圖 4.9： ， ， 在 9.5~10.5 之間變化，(a) 值，(b)狀態 ， (c)狀態 ，(d)狀態 ，(e)狀態 (負載電壓值)，(f)變壓器調節值。

0 Q₁ =

∆ T=0.0001 Q₁⁰ Q₁ x₁

x2 x₃ x₄

圖 4.10：Q₁⁰ =8，∆Q₁ =0.2，T=0.0001，(a) 值，(b)狀態 ，(c)狀態 ，(d) 狀態 ，(e)狀態 (負載電壓值)，(f)變壓器調節值。

Q1 x₁ x₂

x3 x₄

圖 4.11：Q₁⁰ =9，T=0.0001，∆Q₁在-0.1~0.1之間隨機變動，(a) 值，(b)狀 態 ，(c)狀態 ，(d)狀態 ，(e)狀態 (負載電壓值)，(f)變壓器調節值。

Q1

x1 x₂ x₃ x₄

圖 4.12：ε =0.001，T=0.0001，∆Q₁ =0， 變動時系統平衡點對應的軌 跡，(a)狀態 ，(b)狀態 ，(c)狀態 ，(d)狀態 ，(e)變壓器調節值。

0 1

1 Q

Q =

x1 x₂ x₃ x₄

圖 4.13：ε =0.001，T=0.0001，Q₁⁰ =10，∆ 變動時系統平衡點對應的軌跡，Q₁

圖 4.14：狀態 平衡點軌跡的局部放大圖，(a)圖 4.12(d)的局部放大圖，(b)圖 4.13(d)的局部放大圖。

x4

第五章

結論與未來研究方向

5.1 結論

在本論文中，我們對具有二次輸入的非線性系統，系統相對階數為一階時，

以可變結構控制理論設計出適合的控制律，達到輸出追蹤的目的，應用在電力系 統的電壓調節，以提升電力供給的品質。我們利用 Dobson 和 Chiang[21]所提出 的電力系統模型，在原始系統模型中加入一個變壓器[8]，利用變壓器的匝數比 作為控制器輸入，以達到電壓調節的目的。利用可變結構控制的方法，具有高準 確度、反應迅速、對於系統的不確定因素或外界干擾較不敏感以及設計方法較容 易等優點。

在第三章中，我們針對單輸入的二次多項式非線性系統，系統相對階數為一 階，以可變結構控制理論提出控制律的設計方法，達到輸出追蹤的目的，應用在 電力系統中，使系統即使存有不確定性與干擾的時候，仍然可以達到電壓調節的

在電壓調節的功能上有優異的表現，能夠在非常短的時間內達成電壓調節的目 的，能量的損耗也很少，並且對於系統的不確定因素與干擾較不敏感，具有良好 的穩健性。電力系統應用可變結構設計的控制律，對應負載無效功率變化的系統 平衡點軌跡分析，可以知道系統能夠達成電壓調節的範圍，避免負載過大造成電 壓崩潰的情形發生，並且在系統為最小相位系統且負載無效功率為固定值的時 候，所有的狀態最終會收斂到穩定的平衡點。

在第四章中，我們針對電力系統設計出改良型可變結構控制律，使系統存有 不確定性與干擾時，仍然可以達到電壓調節的功能，並且藉由滿足假設條件的狀 態區域估計出使系統能夠達成電壓調節目的的初始狀態區域，避免系統的初始狀 態選取在無法達成電壓調節的區域，造成不穩定的結果。

5.2 未來研究方向

1. 在本論文中，對於系統控制器存在輸入二次項時，所設計的控制器利用於 系統相對階數為一階，當用於相對階數為高階時，是否可以設計出適當的 控制律。

2. 以更有效的方法估測出使系統能達成輸出追蹤的初始狀態區域。

3. 對於電力系統的電壓調節，是否可以應用二階順滑模式控制來達成電壓調 節的目的

4. 一個有效且可靠的電力系統應使得電壓與頻率維持一定，本論文中只完成 電壓調節，應該加入頻率的控制。

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