3-1 數學模式建立
溶質在土壤與地下水系統中的濃度與分布，會受到溶質種類、地表下物理、化 學特性及生物種類間的交互作用影響。一般而言，會造成溶質分散的機制由延散和 擴散控制，但在地下水問題中由於擴散係數遠小於延散係數 （擴散係數介於 1~2×10−9m2/sec遠小於延散係數），因此在計算時分子擴散常被忽略。故討論污染 傳輸問題時須考慮以下機制：
(1)移流：溶質在孔隙介質中隨水流移動地行為，其中孔隙水流速度遵循達西定律 (Darcy’s law)。
(2)延散：由於孔隙介質在微觀尺度下的異質性，造成溶質在孔隙水流中的流徑及 流速不同，因此採用延散的觀念來描述達西定律的不足，並假設延散作用遵守 Fick’s law 的型式。
(3)吸附：溶質和孔隙介質表面結合的現象稱之為吸附。
(4)生物降解：土壤與地下水系統中的微生物會對特定污染物進行自然分解，將污 染物傳化成毒害較小的物質。
根據上述機制及假設，發展具內部源二維多物種溶質傳輸解析解。假設溶質傳 輸在二維等向、均質流場，且地下水流為平行 x 軸之穩態均勻(steady uniform)流場，
建立一個序列降解之聯立控制方程組，方程式加入源/匯項以模擬流場內部源注入 情形，並設定初始與邊界條件。其二維有限域溶質傳輸概念模型見圖 3-1。
為求出聯立控制方程組之解析解，首先將控制方程式及初始與邊界條件無因 次化，接著依序進行 Laplace 轉換、有限 Fourier cosine 轉換及廣義型積分轉換移除 時間及空間之偏微分項，最後透過一系列逆轉換求得原域之解析解，二維多物種溶 質傳輸解析解流程見圖 3-2，考慮線性平衡吸附及一階降解反應之序列降解二維控 制方程式及初始與邊界條件如下：
控制方程式：
圖 3-1 二維有限域溶質傳輸概念模型
圖 3-2 具多內部源二維多物種溶質傳輸解析解推導流程 STEP 1.設定控制方程式與初始、邊界條件
STEP 2.將控制方程式與初始、邊界條件無因次化
STEP 3.進行 Laplace 轉換，移除時間之微分項
STEP 4.進行 finite Fourier cosine 轉換，移除空間方向 y 之微分項
STEP 5.控制方程式變數變換與邊界條件齊次化
STEP 6.進行廣義型積分轉換，移除空間方向 x 之微分項
STEP 7.進行一系列逆轉換求得原域之解析解
3-2 解析解推導
W
針對(3-8)-(3-14)之控制方程式與初始及邊界條件，本研究連續使用 Laplace 轉換、有限 Fourier cosine 轉換及廣義型積分轉換將偏微分方程式轉化成代數方程 式求解，推導過程如下所示：
STEP 3. 進行 Laplace 轉換，移除時間之微分項 對方程式(3-8)-(3-14)進行 Laplace 轉換後可得
STEP 4. 進行 finite Fourier cosine 轉換，移除空間方向 y 之微分項 數。有限 Fourier cosine 逆轉換的公式如下：
)
方程式(3-18)-(3-23)經有限 Fourier cosine 轉換後可得
有限 Fourier 轉換後之函數。
STEP 5. 控制方程式變數變換與邊界條件齊次化
進行廣義型積分轉換前，Pé rez Guerrero et al. (2009)建立先將邊界條件齊性化，
再利用變數變換消除 x 方向空間一階微分項之方法，本研究根據 Chen et al. (2011)
方程式(3-27)-(3-30)經由齊性化及變數變換後可得
STEP 6. 進行廣義型積分轉換，移除空間方向 x 之微分項
本研究利用廣義型積分轉換移除 x 方向二階微分項(Cotta, R.M., 1993; Pérez Guerrero et al., 2009)，其求解過程包含以下步驟：
(1) 選 擇 合 適 的 特 徵 值 問 題 並 根 據 問 題 求 解 特 徵 值 (eigenvalue) 、 特 徵 方 程 式 (eigenfunctions)、範數(norm)及正交化特性(orthogonalization property)。
(2)發展廣義型積分轉換及廣義型積分逆轉換。
此處Zi(l,n,s)、(l)與Px,i(l)為廣義型積分轉換後之函數。
利用廣義型積分轉換將方程式(3-32)-(3-34)轉化成代數方程式如下：
檢視方程式(3-34)-(3-46)，可推適用於任意數目物種之通式為
N
方程式(3-50)為經由 Laplace 轉換、有限 Fourier cosine 轉換及廣義型積分轉換 後之代數方程式，本研究藉由一系列逆轉換結合變數變換求得原域之解析解。
將方程式(3-50)代入廣義型積分逆轉換之公式(3-41)後可得
( , , ) ( , , )
將上式代入有限 Fourier cosine 逆轉換之公式(3-26)後可得
方程式(3-57)與(3-58)中qim()與qim-k-1()之函數如表 3-1 所示為 Heaviside 函數，