4-1 收斂性測試
本研究推導具內部源二維多物種溶質傳輸解析解過程中，依序使用 finite Fourier cosine 積分轉換與廣義型積分轉換移除控制方程式中的空間二階微分項，
使偏微分方程式先轉換成常微分方程式再轉換成代數方程式，進而利用代數方程 式求解。進行 finite Fourier cosine 積分逆轉換及廣義型積分逆轉換所求得的解析解，
會使用無窮級數來進行累加，理論上無窮級數在計算上需累加至無窮項數以求得 精確濃度，但在實務應用上累加項數只要所得之解不再隨累加項數增加而改變即 可，如此在計算機運算上可更有效率計算結果，因此本研究對於解析解級數項數累 加之收斂性探討是必須的。
本研究包含 x 方向與 y 方向之無窮級數，x 方向的累加項數為 l，而 y 方向的 累加項數為 n。為了測試發展模式之收斂性，本研究發展內部源注入概念化模型，
如圖 4-1 所示。假設流場內有一個污染源長期定濃度釋放，x 方向出流邊界為 0 m
≤ x ≤ 20 m，y 方向出流邊界為 140 m ≤ y ≤ 160 m，分別計算 t=40 years 時序列降解 之 PCE、TCE、DCE 及 VC 在流場長度 L=120 m(Pe=10)、L=300 m(Pe=25)及 L=600 m(Pe=50)之數值收斂所需的累加項數 l 及 n。
本研究進行內部源數值收斂所使用之參數參考 Clement et al. (2000) 之 Dover 含氯有機污染場址，如表 4-1 所示，討論序列降解下四物種在不同 Peclet number 的 級數收斂所需累加項數，Peclet number 的定義為
DL
e vL
P ，其物理定義為移流與
延散之比值，Pe 越大代表此流場由移流傳輸主導，Pe 越小則代表此流場由延散主
由表 4-2 至 4-7 可知，若要求計算精確度到科學記號小數點以下第四位，當 Pe 越大時流場由移流主導，收斂所需的累加項數 l 及 n 越多；反之當 Pe 越小時溶質 傳輸由延散主導，所需的累加項數 l 及 n 越少。且邊界處所需的累加項數較多，隨 著 Pe 越大，x 越接近邊界處時不容易達到收斂。觀察結果亦發現相同 Pe 下，降解 鏈越後面的物種，所需的累加項數 l 及 n 較前一個物種少。
圖 4-1 內部源收斂性測試概念化模型
表 4-1 數值收斂性測試所輸入之參數設定
參數 數值
長度, L [m] 120 300 600
寬度, W [m] 300
滲流速度, v [m year−1] 66.75
縱向延散係數, DL [m2 year−1] 813.83 徑向延散係數, DT [m2 year−1] 162.77
PCE 遲滯因子, R1[−] 0.1314
TCE 遲滯因子, R2 [−] 0.1261
DCE 遲滯因子, R3 [−] 0.2728
VC 遲滯因子, R4 [−] 0.2373
PCE 一階降解常數, k1 [year−1] 0.0007 TCE 一階降解常數, k2 [year−1] 0.0005 DCE 一階降解常數, k3 [year−1] 0.00045 VC 一階降解常數, k4 [year−1] 0.00038 PCE 質量釋出率, ṁ PCE [kg year−1] 10 TCE 質量釋出率, ṁ TCE [kg year−1] 0 DCE 質量釋出率, ṁ DCE [kg year−1] 0 VC 質量釋出率, ṁ VC [kg year−1] 0
表 4-2 四物種在 Pe=10 時，不同累加項數 l 的收斂情況 PCE
x (m) l=1000 l=2000 l=3000 l=4000 l=5000 0 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 30 1.7274E-01 1.7274E-01 1.7274E-01 1.7274E-01 1.7274E-01 60 1.2017E-01 1.2017E-01 1.2017E-01 1.2017E-01 1.2017E-01 90 9.2089E-02 9.2068E-02 9.2068E-02 9.2068E-02 9.2068E-02 120 7.4302E-02 7.4284E-02 7.4270E-02 7.4268E-02 7.4268E-02
TCE
x (m) l=200 l=400 l=600 l=800 l=1000 0 3.9172E-03 3.9172E-03 3.9172E-03 3.9172E-03 3.9172E-03 30 1.3185E-02 1.3185E-02 1.3185E-02 1.3185E-02 1.3185E-02 60 1.8666E-02 1.8666E-02 1.8666E-02 1.8666E-02 1.8666E-02 90 2.2346E-02 2.2346E-02 2.2346E-02 2.2346E-02 2.2346E-02 120 2.5071E-02 2.5067E-02 2.5066E-02 2.5065E-02 2.5065E-02
DCE
x (m) l=40 l=80 l=120 l=160 l=200
0 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 30 5.1159E-04 5.1159E-04 5.1159E-04 5.1159E-04 5.1159E-04 60 1.0233E-03 1.0233E-03 1.0233E-03 1.0233E-03 1.0233E-03 90 1.5869E-03 1.5869E-03 1.5869E-03 1.5869E-03 1.5869E-03 120 2.1714E-03 2.1706E-03 2.1695E-03 2.1693E-03 2.1693E-03
VC
x (m) l=16 l=32 l=48 l=64 l=80
0 1.9206E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 30 1.0326E-05 1.0326E-05 1.0326E-05 1.0326E-05 1.0326E-05 60 2.7041E-05 2.7041E-05 2.7041E-05 2.7041E-05 2.7041E-05 90 5.2690E-05 5.2690E-05 5.2690E-05 5.2690E-05 5.2690E-05 120 8.7253E-05 8.7247E-05 8.7246E-05 8.7246E-05 8.7246E-05
表 4-3 四物種在 Pe=10 時，不同累加項數 n 的收斂情況 PCE
x (m) n=200 n=400 n=600 n=800 n=1000 0 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 30 1.7274E-01 1.7274E-01 1.7274E-01 1.7274E-01 1.7274E-01 60 1.2017E-01 1.2017E-01 1.2017E-01 1.2017E-01 1.2017E-01 90 9.2089E-02 9.2073E-02 9.2068E-02 9.2068E-02 9.2068E-02 120 7.4298E-02 7.4284E-02 7.4269E-02 7.4268E-02 7.4268E-02
TCE
x (m) n=100 n=200 n=300 n=400 n=500 0 3.9172E-03 3.9172E-03 3.9172E-03 3.9172E-03 3.9172E-03 30 1.3185E-02 1.3185E-02 1.3185E-02 1.3185E-02 1.3185E-02 60 1.8666E-02 1.8666E-02 1.8666E-02 1.8666E-02 1.8666E-02 90 2.2346E-02 2.2346E-02 2.2346E-02 2.2346E-02 2.2346E-02 120 2.5073E-02 2.5067E-02 2.5065E-02 2.5065E-02 2.5065E-02
DCE
x (m) n=30 n=60 n=90 n=120 n=150
0 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 30 5.1159E-04 5.1159E-04 5.1159E-04 5.1159E-04 5.1159E-04 60 1.0233E-03 1.0233E-03 1.0233E-03 1.0233E-03 1.0233E-03 90 1.5869E-03 1.5869E-03 1.5869E-03 1.5869E-03 1.5869E-03 120 2.1698E-03 2.1693E-03 2.1693E-03 2.1693E-03 2.1693E-03
VC
x (m) n=10 n=20 n=30 n=40 n=50
0 1.9206E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 30 1.0326E-05 1.0326E-05 1.0326E-05 1.0326E-05 1.0326E-05 60 2.7041E-05 2.7041E-05 2.7041E-05 2.7041E-05 2.7041E-05 90 5.2690E-05 5.2690E-05 5.2690E-05 5.2690E-05 5.2690E-05 120 8.7248E-05 8.7246E-05 8.7246E-05 8.7246E-05 8.7246E-05
表 4-4 四物種在 Pe=25 時，不同累加項數 l 的收斂情況 PCE
x (m) l=2000 l=4000 l=6000 l=8000 l=10000 0 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 75 1.0429E-01 1.0429E-01 1.0429E-01 1.0429E-01 1.0429E-01 150 6.1751E-02 6.1750E-02 6.1750E-02 6.1750E-02 6.1750E-02 225 4.1909E-02 4.1907E-02 4.1908E-02 4.1908E-02 4.1908E-02 300 3.1603E-02 3.1564E-02 3.1569E-02 3.1569E-02 3.1569E-02
TCE
x (m) l=600 l=1200 l=1800 l=2400 l=3000 0 3.9162E-03 3.9162E-03 3.9162E-03 3.9162E-03 3.9162E-03 75 2.0659E-02 2.0659E-02 2.0659E-02 2.0659E-02 2.0659E-02 150 2.7170E-02 2.7170E-02 2.7170E-02 2.7170E-02 2.7170E-02 225 3.0705E-02 3.0703E-02 3.0703E-02 3.0703E-02 3.0703E-02 300 3.2530E-02 3.2500E-02 3.2497E-02 3.2497E-02 3.2497E-02
DCE
x (m) l=100 l=200 l=300 l=400 l=500 0 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 75 1.3012E-03 1.3012E-03 1.3012E-03 1.3012E-03 1.3012E-03 150 2.7506E-03 2.7506E-03 2.7506E-03 2.7506E-03 2.7506E-03 225 4.1184E-03 4.1184E-03 4.1184E-03 4.1184E-03 4.1184E-03 300 5.1254E-03 5.1252E-03 5.1252E-03 5.1252E-03 5.1252E-03
VC
x (m) l=40 l=80 l=120 l=160 l=200
0 1.9206E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 75 3.8740E-05 3.8740E-05 3.8740E-05 3.8740E-05 3.8740E-05 150 1.3069E-04 1.3069E-04 1.3069E-04 1.3069E-04 1.3069E-04 225 2.7112E-04 2.7112E-04 2.7112E-04 2.7112E-04 2.7112E-04 300 4.1679E-04 4.1676E-04 4.1676E-04 4.1676E-04 4.1676E-04
表 4-5 四物種在 Pe=25 時，不同累加項數 n 的收斂情況 PCE
x (m) n=400 n=800 n=1200 n=1600 n=2000 0 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 75 1.0429E-01 1.0429E-01 1.0429E-01 1.0429E-01 1.0429E-01 150 6.1753E-02 6.1751E-02 6.1751E-02 6.1751E-02 6.1751E-02 225 4.1909E-02 4.1909E-02 4.1909E-02 4.1909E-02 4.1909E-02 300 3.1606E-02 3.1604E-02 3.1603E-02 3.1603E-02 3.1603E-02
TCE
x (m) n=200 n=400 n=600 n=800 n=1000 0 3.9162E-03 3.9162E-03 3.9162E-03 3.9162E-03 3.9162E-03 75 2.0659E-02 2.0659E-02 2.0659E-02 2.0659E-02 2.0659E-02 150 2.7170E-02 2.7170E-02 2.7170E-02 2.7170E-02 2.7170E-02 225 3.0704E-02 3.0703E-02 3.0703E-02 3.0703E-02 3.0703E-02 300 3.2516E-02 3.2514E-02 3.2496E-02 3.2496E-02 3.2496E-02
DCE
x (m) n=50 n=100 n=150 n=200 n=250
0 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 75 1.3011E-03 1.3011E-03 1.3011E-03 1.3011E-03 1.3011E-03 150 2.7501E-03 2.7501E-03 2.7501E-03 2.7501E-03 2.7501E-03 225 4.1189E-03 4.1172E-03 4.1172E-03 4.1172E-03 4.1172E-03 300 5.1226E-03 5.1226E-03 5.1226E-03 5.1226E-03 5.1226E-03
VC
x (m) n=20 n=40 n=60 n=80 n=100
0 1.9211E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 75 3.8740E-05 3.8740E-05 3.8740E-05 3.8740E-05 3.8740E-05 150 1.3031E-04 1.3031E-04 1.3031E-04 1.3031E-04 1.3031E-04 225 2.7069E-04 2.7069E-04 2.7069E-04 2.7069E-04 2.7069E-04 300 4.1628E-04 4.1628E-04 4.1628E-04 4.1628E-04 4.1628E-04
表 4-6 四物種在 Pe=50 時，不同累加項數 l 的收斂情況 PCE
x (m) l=20000 l=40000 l=60000 l=80000 l=100000 0 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 150 6.1750E-02 6.1750E-02 6.1750E-02 6.1750E-02 6.1750E-02 300 3.0139E-02 3.0139E-02 3.0139E-02 3.0139E-02 3.0139E-02 450 1.6894E-02 1.6976E-02 1.6967E-02 1.6966E-02 1.6968E-02 600 -2.3536E-02 1.4664E-02 1.0730E-02 1.0123E-02 1.0913E-02
TCE
x (m) l=4000 l=8000 l=12000 l=16000 l=20000 0 3.9162E-03 3.9162E-03 3.9162E-03 3.9162E-03 3.9162E-03 150 1.2248E-02 1.2248E-02 1.2248E-02 1.2248E-02 1.2248E-02 300 1.3261E-02 1.3261E-02 1.3261E-02 1.3261E-02 1.3261E-02 450 1.2436E-02 1.2432E-02 1.2432E-02 1.2432E-02 1.2432E-02 600 4.4354E-02 4.1203E-02 2.5531E-02 1.1534E-02 1.1571E-02
DCE
x (m) l=2000 l=4000 l=6000 l=8000 l=10000 0 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 150 2.7501E-03 2.7501E-03 2.7501E-03 2.7501E-03 2.7501E-03 300 5.1007E-03 5.1007E-03 5.1007E-03 5.1007E-03 5.1007E-03 450 5.7581E-03 5.7573E-03 5.7573E-03 5.7573E-03 5.7573E-03 600 5.9954E-03 5.9898E-03 5.9843E-03 5.9836E-03 5.9836E-03
VC
x (m) l=400 l=800 l=1200 l=1600 l=2000 0 1.9206E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 150 1.3031E-04 1.3031E-04 1.3031E-04 1.3031E-04 1.3031E-04 300 4.1516E-04 4.1516E-04 4.1516E-04 4.1516E-04 4.1516E-04 450 4.6274E-04 4.6268E-04 4.6268E-04 4.6268E-04 4.6268E-04 600 4.9005E-04 4.8992E-04 4.8984E-04 4.8983E-04 4.8983E-04
表 4-7 四物種在 Pe=50 時，不同累加項數 n 的收斂情況 PCE
x (m) n=5000 n=10000 n=15000 n=20000 n=25000 0 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 1.1214E-01 150 6.1750E-02 6.1750E-02 6.1750E-02 6.1750E-02 6.1750E-02 300 3.0139E-02 3.0139E-02 3.0139E-02 3.0139E-02 3.0139E-02 450 1.7382E-02 1.7071E-02 1.6969E-02 1.6969E-02 1.6969E-02 600 4.3548E-02 3.5618E-02 2.1543E-02 1.1242E-02 1.1241E-02
TCE
x (m) n=1000 n=2000 n=3000 n=4000 n=5000 0 3.9162E-03 3.9162E-03 3.9162E-03 3.9162E-03 3.9162E-03 150 1.2248E-02 1.2248E-02 1.2248E-02 1.2248E-02 1.2248E-02 300 1.3289E-02 1.3255E-02 1.3261E-02 1.3261E-02 1.3261E-02 450 1. 3655E-02 1. 2454E-02 1. 2438E-02 1.2434E-02 1.2434E-02 600 1.1854E-02 1.1670E-02 1.1589E-02 1.1563E-02 1.1559E-02
DCE
x (m) n=400 n=800 n=1200 n=1600 n=2000 0 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 1.1763E-04 150 2.7501E-03 2.7501E-03 2.7501E-03 2.7501E-03 2.7501E-03 300 5.1004E-03 5.0989E-03 5.0989E-03 5.0989E-03 5.0989E-03 450 5.7573E-03 5.7568E-03 5.7568E-03 5.7568E-03 5.7568E-03 600 5.9896E-03 5.9841E-03 5.9829E-03 5.9824E-03 5.9824E-03
VC
x (m) n=200 n=400 n=600 n=800 n=1000 0 1.9206E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 1.9206E-06 150 1.3031E-04 1.3031E-04 1.3031E-04 1.3031E-04 1.3031E-04 300 4.1512E-04 4.1512E-04 4.1512E-04 4.1512E-04 4.1512E-04 450 4.6282E-04 4.6267E-04 4.6256E-04 4.6256E-04 4.6256E-04 600 4.9048E-04 4.9007E-04 4.8986E-04 4.8979E-04 4.8979E-04
4-2 模式驗証
為了驗證所發展的解析解模式之正確性，本研究利用 Laplace 轉換有限差分 (LTFD)數值模式與解析解模式進行驗證。在現地應用上常見情況為場址某處有一 污染源長期排放，在模式驗證上可以用兩個空間方向之 Heaviside step 函數組合來 表示源/匯項。
本研究發展一個二維概念模型並假設其污染源長期定濃度釋放，而釋放濃度 為矩形區間 1 kg day−1，其內部源之概念模型如圖 4-2 所示，模式驗證不考慮邊界 條件溶質注入且假設初始濃度為零濃度分布，所使用的參數如表 4-8 所示。
圖 4-3 至圖 4-6 表示物種一、物種二、物種三及物種四之解析解與數值解在模 擬內部源條件下、不同時間之溶質分布情形。結果顯示兩者相當吻合，故證實本研 究發展的數學模式在模擬內部源條件下溶質濃度分布之正確性。
為了測試本研究發展的模式模擬 Dover 空軍基地污染場址的正確性，本研究 配套 Dover 空軍基地污染場址現地數據，如表 4-1 所示，分別模擬 PCE、TCE、
DCE 及 VC 解析解與數值解在內部源條件下之溶質分布情形，概念化模型如圖 4-1 所示。圖 4-7 至圖 4-4-10 表示定濃度持續注入下，序列降解的四物種在 Pe=25，
t=40 years 時溶質分布情形。結果顯示兩者相當吻合，故證實本研究發展模式在模 擬 Dover 空軍基地污染場址內部源釋出情形之正確性。
表 4-8 不同時間下四物種模式驗正所輸入之參數設定
參數 數值
長度, L [m] 10
寬度, W [m] 10
滲流速度, v [m day−1] 1
縱向延散係數, DL [m2 day −1] 1 徑向延散係數, DT [m2 day −1] 0.1
PCE 遲滯因子, R1[−] 1
TCE 遲滯因子, R2 [−] 1
DCE 遲滯因子, R3 [−] 1
VC 遲滯因子, R4 [−] 1
PCE 一階降解常數, k1 [day −1] 0.1 TCE 一階降解常數, k2 [day −1] 0.08 DCE 一階降解常數, k3 [day −1] 0.06 VC 一階降解常數, k4 [day −1] 0.04 PCE 質量釋出率, ṁ PCE [kg day −1] 1 TCE 質量釋出率, ṁ TCE [kg day −1] 0 DCE 質量釋出率, ṁ DCE[kg day −1] 0 VC 質量釋出率, ṁ VC [kg day −1] 0
圖 4-2 內部源模式驗證之概念模型
圖 4-4 物種二解析解與數值解在不同時間下濃度分布情形
圖 4-5 物種三解析解與數值解在不同時間下濃度分布情形
圖 4-6 物種四解析解與數值解在不同時間下濃度分布情形
圖 4-8 TCE 之解析解與數值解濃度分布情形
圖 4-9 DCE 之解析解與數值解濃度分布情形
圖 4-10 VC 之解析解與數值解濃度分布情形