學 校 名 稱: 東 華 三 院 吳 祥 川 紀 念 中 學 學 生 姓 名: 林 萬 維
級 別: 中 五 顧 問 老 師: 劉 漢 昌
引 言
每 逢 考 試 完 畢 後 ， 老 師 總 會 把 同 學 的 考 試 成 績 與 上 一 次 作 比 較 ， 看 看 每 位 學 生 的 進 步 情 況 。 但 是 ， 以 什 麼 方 法 進 行 比 較 才 合 適 呢 ？ 本 文 透 過 一 個 故 事 來 探 討 這 個 問 題 。
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今 天 是 家 長 日 ， 中 文 科 的 陳 老 師 拿 著 學 生 的 成 績 單 ， 在 課 室 內 沉 思 ， 樣 子 十 分 苦 惱 。 路 過 的 張 老 師 及 李 老 師 看 見 後 ， 一 起 上 前 慰 問 ： 「 你 為 什 麼 拿 著 成 績 單 發 呆 ？ 」 陳 老 師 苦 笑 道 ： 「 我 想 比 較 學 生 在 兩 次 考 試 的 進 步 情 況 ， 但 我 不 知 道 怎 樣 比 較 才 合 適 。 」 張 老 師 自 小 對 解 難 有 濃 厚 興 趣 ， 所 以 他 說 ： 「 不 如 你 讓 我 們 看 看 成 績 單 吧 ！ 」
學 生 第 一 次 考 試 分 數 第 二 次 考 試 分 數
陳 俊 宏 63 78
李 怡 君 35 45
張 佳 玲 67 68
張 宜 婷 30 43
林 玉 儀 83 90
區 韻 如 31 38
周 志 強 58 35
楊 志 強 56 47
陳 志 建 60 48
梁 雅 琪 75 69
吳 美 玲 55 70
羅 立 偉 74 77
鄭 惠 樺 32 49
劉 志 明 65 71
謝 俊 豪 10 24
原 來 李 老 師 以 前 的 數 學 成 績 也 不 差 ， 看 見 其 他
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老 師 在 沉 思 ， 於 是 沾 沾 自 喜 地 說 ： 「 不 如 用 百 分 數 變 化 吧 ！ 」
學 生 第 一 次 考 試 分 數
第 二 次 考 試 分 數
百 分 數 變 化 (%)
陳 俊 宏 63 78 +23.8
李 怡 君 35 45 +28.6
張 佳 玲 67 68 +1.5
張 宜 婷 30 43 +43.3
林 玉 儀 83 90 +8.4
區 韻 如 31 38 +22.6
周 志 強 58 35 39.7
楊 志 強 56 47 16.1
陳 志 建 60 48 20.0
梁 雅 琪 75 69 8.0
吳 美 玲 55 70 +27.3
羅 立 偉 74 77 +4.1
鄭 惠 樺 32 49 +53.1
劉 志 明 65 71 +9.2
謝 俊 豪 10 24 +140.0
李 老 師 說 ： 「 原 來 謝 俊 豪 同 學 進 步 最 大 。 」 他 不 禁 為 自 己 的 聰 明 而 高 興 。
陳 老 師 反 駁 道 ： 「 且 慢 ， 用 百 分 數 改 變 不 可 行 ， 因 為 如 果 你 的 基 數 愈 小 ， 你 的 百 分 數 變 化 會
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較 大 。 即 是 說 ， 如 果 你 在 第 一 次 考 試 得 一 分 ， 第 二 次 考 試 考 獲 四 分 ， 那 你 的 得 分 已 増 加 了300% ， 但 實 際 上 你 只 增 加 了 三 分 。 」 李 老 師 滿 面 通 紅 ， 默 默 不 語 。 陳 老 師 續 說 ： 「 不 如 計 算 分 數 的 直 接 増 減 吧 ！ 」
學 生 第 一 次 考 試 分 數
第 二 次 考 試 分 數
分 數 的 增 減
陳 俊 宏 63 78 15
李 怡 君 35 45 10
張 佳 玲 67 68 1
張 宜 婷 30 43 13
林 玉 儀 83 90 7
區 韻 如 31 38 7
周 志 強 58 35 23
楊 志 強 56 47 9
陳 志 建 60 48 12
梁 雅 琪 75 69 6
吳 美 玲 55 70 15
羅 立 偉 74 77 3
鄭 惠 樺 32 49 17
劉 志 明 65 71 6
謝 俊 豪 10 24 14
陳 老 師 ︰ 「 我 想 ， 鄭 惠 樺 同 學 進 步 最 大 。 」 張 老 師 看 了 後 ， 便 立 刻 說 ： 「 這 個 方 法 有 些 問
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題 ， 你 看 看 成 績 單 ， 陳 俊 宏 同 學 和 吳 美 玲 同 學 都 進 步 了15分 ， 而 林 玉 儀 和 區 韻 如 亦 同 樣 進 步 7分 。 你 怎 樣 比 較 他 們 之 間 的 進 步 呢 ？ 」 「 這 個 … 這… 」 ， 陳 老 師 支 吾 以 對 。 看 見 他 束 手 無 策 ， 張 老 師 終 於 緩 緩 地 說 ︰ 「 不 如 用 排 名 進 步 來 比 較 吧 。 」
學 生 第 一 次 考 試 排 名
第 二 次 考 試 排 名
名 次 改 變
陳 俊 宏 6 2 4
李 怡 君 11 11 0
張 佳 玲 4 7 3
張 宜 婷 14 12 2
林 玉 儀 1 1 0
區 韻 如 13 13 0
周 志 強 8 14 6
楊 志 強 9 10 1
陳 志 建 7 9 2
梁 雅 琪 2 6 4
吳 美 玲 10 5 5
羅 立 偉 3 3 0
鄭 惠 樺 12 8 4
劉 志 明 5 4 1
謝 俊 豪 15 15 0
張 老 師: 「 從 名 次 的 變 幅 來 說 ， 我 認 為 吳 美 玲
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同 學 的 進 步 最 大 。 」
陳 老 師 和 李 老 師 齊 反 對 說 ： 「 這 方 法 怎 可 行 ， 林 玉 儀 同 學 在 第 一 次 和 第 二 次 考 試 都 是 第 一 名 。 雖 然 她 的 名 次 沒 有 上 升 ， 但 實 際 上 她 的 分 數 是 有 増 加 的 。 試 想 一 想 ， 如 果 有 位 同 學 第 一 次 考 試 是 第 一 名 ， 那 麼 他 便 永 遠 無 法 進 步 。 」 張 老 師 無 奈 地 道:「 這 也 是 。 」
如 果 以 百 分 數 改 變 計 算 ， 謝 俊 豪 同 學 的 進 步 最 大 ； 如 果 以 直 接 分 數 増 加 計 算 ， 鄭 惠 樺 同 學 的 進 步 最 大 ； 如 果 以 名 次 改 變 計 算 ， 吳 美 玲 同 學 的 進 步 最 大 ； 那 麼 誰 的 進 步 才 是 最 大 呢 ？
這 時 校 長 走 過 ， 知 道 他 們 正 為 計 算 成 績 進 步 而 苦 惱 。 校 長 了 解 情 況 後 ， 問 他 們: 「 一 個 學 生 若 第 一 次 考 試65 分 ， 第 二 次 60 分 。 是 否 一 定 代 表 他 退 步 了 ？ 」 李 老 師 回 答: 「 不 一 定 。 兩 次 考 試 的 內 容 及 難 度 都 不 同 ， 兩 個 分 數 無 法 直 接 比 較 。 」 校 長 ： 「 對 的 。 其 實 學 生 們 所 獲 得 的 分 數 稱 為 原 始 分 。 當 我 們 用 學 生 的 原 始 分 進 行 比 較 時 ， 除 了 要 與 他 們 上 一 次 的 成 績 作 比 較 外 ， 也 要 跟 其 他 同 學 的 成 績 作 比 較 ， 看 看 相 對 於 其 他 同 學 ， 成 績 進 步 了 或 退 步 了 。 要 客 觀 地 比 較 ， 可 以 用 標 準 分 。 」 他 們 驚 訝 得 大 叫 ： 「 什 麼 是 標 準 分 ？ 」
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學 生 第 一 次 考 試 的 標 準 分
第 二 次 考 試 的 標 準 分
標 準 分 改 變
陳 俊 宏 0.504 1.152 +0.648 李 怡 君 0.898 0.641 +0.257 張 佳 玲 0.705 0.609 0.096 張 宜 婷 1.149 0.750 +0.399 林 玉 儀 1.506 1.804 +0.298 區 韻 如 1.099 1.022 +0.077 周 志 強 0.254 1.185 1.439 楊 志 強 0.154 0.533 0.686 陳 志 建 0.354 0.478 0.832 梁 雅 琪 1.105 0.663 0.442 吳 美 玲 0.104 0.717 +0.614 羅 立 偉 1.055 1.098 +0.043 鄭 惠 樺 1.049 0.424 +0.625 劉 志 明 0.604 0.772 +0.167 謝 俊 豪 2.150 1.783 +0.368
經 過 一 番 計 算 後 ， 校 長 發 現 原 來 陳 俊 宏 同 學 的 標 準 分 改 變 最 大 ， 因 此 他 的 中 文 科 成 績 進 步 最 大 。
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校 長 續 說:「 除 了 比 較 某 一 科 的 進 步 ， 你 們 還 可 用 標 準 分 來 比 較 在 幾 科 不 同 學 科 中 ， 哪 一 個 學 生 的 進 步 最 大 。 例 如 ， 若 想 知 道 哪 一 個 學 生 在 中 、 英 、 數 三 科 獲 得 最 大 進 步 ， 你 們 只 需 把 第 二 次 考 試 三 科 的 標 準 分 總 和 ， 減 去 第 一 次 考 試 三 科 的 標 準 分 總 和 。 增 加 愈 大 ， 則 代 表 進 步 愈 大 。 」
陳 老 師 、 張 老 師 和 李 老 師 茅 塞 頓 開 。 陳 老 師 決 定 送 一 份 禮 物 給 陳 俊 宏 同 學 ， 以 表 揚 他 在 中 文 科 獲 得 最 大 的 進 步 。
(字 數 : 2440)
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季軍作品:
只差一點點學 校 名 稱 ： 粉 嶺 禮 賢 會 中 學 學 生 姓 名 ： 葉 芷 欣 、 陳 穎 芯
級 別 ： 中 五 顧 問 老 師 ： 朱 吉 樑
引 言
你 曾 否 嘗 試 過 右 圖 這 個 遊 戲？ 如 果 圖 中 的 一 些 「 點 」 消 失 或 改 變 位 置 ， 會 不 會 影 響 整 個 路 線 呢 ？其 實 這 個 問 題 與 統 計 學 上 的 概 率 有 密 切 的 關 係 。 就 讓 我 們 以 牛 郎 織 女 的 故 事 作 為 藍 本 ， 來 探 討 這 個 問 題 。
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織 女 因 為 每 年 只 可 在 七 夕 與 牛 郎 相 見 一 次 ， 所 以 患 上 了 相 思 病 。 從 此 以 後 ， 再 沒 有 人 為 天 庭 編 織 。 因 此 ， 玉 帝 便 找 了 一 個 新 織 女– 小 織 女 來 代 替 她 。
小 織 女 很 想 到 凡 間 走 一 趟 ， 便 悄 悄 地 偷 了 皇 母 娘 娘 的 仙 衣 下 凡 。 下 凡 後 ， 小 織 女 與 織 女 的 兒 子 小 牛 郎 結 下 情 意 ， 於 是 便 與 小 牛 郎 結 婚 。 本 來 ， 他 們 男 耕 女 織 ， 相 親 相 愛， 過 著 幸 福 的 生 活 。 但 不 幸 的 事 情 總 會 發 生 ， 當 玉 皇 大 帝( 玉 帝 ) 知 道小織 女 私 自 下 凡 並 與 凡 人 相 愛 後 ， 非 常 憤 怒 。 於 是 便 命 令 天 兵 捉 拿 小 織 女 回 到 天 庭 。玉 帝 決 定 把 小 織 女 和 小 牛 郎 分 開 ， 令 他 們 永 遠 不 能 相 見 。
眾 臣 聽到 這 消 息 後 ， 由 於 他 們 很 同 情 小 牛 郎 和 小 織 女 的 遭 遇 ， 不 想 玉 帝 棒 打 鴛 鴦 ， 於 是 一 同 請 求 玉 帝 放 過 這 一 對 苦 情 人 。 玉 帝 為 了 平 息 事 件 ， 便 想 了 一 個 辦 法 。 他 設 計 了 一 個 路 線 圖(見 下 圖)。
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圖 上 有 一 個 入 口 ， 小 織 女 只 可 以 向 前 走 ， 不 可 向 後 走 。 而 每 個 交 點 都 有 兩 個 均 等 的 選 擇 ， 即 二 分 之 一 的 機 會 。 如 果 小 織 女 能 成 功 到 達 「 生 」 門 的 話 就 允 許 他 們 在 每 年 的 七 夕 相 見 一 次 ， 否 則 小 織 女 便 永 遠 不 能 與 小 牛 郎 相 見 。
眾 臣 都 認 為 玉 帝 十 分 仁 慈 ， 因 為 他 們 看 到 圖 上 有 四 個 「 生 」 門 ， 而 「 死 」 門 則 只 有 兩 個 ， 所 以 他 們 覺 得 小 織 女 應 該 會 有 很 大 的 機 會 會 到 達
「 生 」 門 。 於 是 ， 他 們 一 致 認 同 玉 帝 這 個 決 定 。 眾 人 心 想 ：「 一 切 就 要 看 小 織 女 自 己 的 造 化 了 。 」
太 上 老 君 知 道 玉 帝 是 一 個 很 愛 面 子 的 人 ， 又 怎 會 那 麼 輕 易 放 過 小 織 女 呢?太 上 老 君 看 到路 線 圖 上 雖 然 「 生 」 門 比 「 死 」 門 的 數 目 多 ， 但 這 又
生 生 死 死 生 生
入口
每交點的 前進方向
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是 否 代 表 小 織 女 有 很 大 的 機 會 到 達 「 生 」 門 呢 ？ 經 過 他 的 神 機 妙 算 ， 得 出 以 下 結 論(見 圖 一 )：
到 達 每 個 出 口 都 必 會 經 過 五 個 交 點 ， 需 要 作 出 五 次 選 擇 。 雖 然 有 四 個 「 生 」 門 和 兩 個 「 死 」 門 ， 但 其 中 會 有20條 路 線 到 達 「 死 」 門 ， 即 是 有 20/32(62.5%)的 機 會 。
這 意 味 著 小 織 女 有 高 於 一 半 的 機 會 不 可 與 小 牛 郎 相 聚 。 原 來 ， 眾 臣 也 被 玉 帝 蒙 騙 了 。
太 上 老 君 雖 然 認 為 小 織 女 私 自 拿 取 仙 衣 理 應 受 到 應 有 的 懲 罰 ， 但 他 也 被 小 牛 郎 和 小 織 女 打 動 了 ， 便 決 定 幫 小 織 女 一 次 ， 嘗 試 盡 量 降 低 小 織 女
生 生 死 死 生 生
圖一 入口
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1 1
2
3 3
4
4 6
1 15 10 10 5
圖中交點上的數字，代表走向該交點的路線總數。
「生」即代表「生」門，「死」即代表「死」門
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到 達 「 死 」 門 的 機 會 。
太 上 老 君 想 到 用 掩 眼 法 來 暪 過 玉 帝 那 雙 法 眼 ， 以 降 低 到 達 「 死 」 門 的 概 率 。 第 二 天 ， 他 便 向 玉 帝 展 示 了 一 張 經 過 改 動 的 路 線 圖(見 圖 二 )。
太 上 老 君 便 對 玉 帝 說 ：「 微 臣 認 為 之 前 的 路 線 圖 太 少 「 死 」 門 了 ， 臣 認 為 應 設 定 多 兩 個 「 死 」 門 ， 即 一 共 四 個 「 死 」 門 ， 兩 個 「 生 」 門 。 另 外 ， 臣 亦 認 為 把 路 線 圖 上 的 其 中 一 點 刪 去 ， 以 減 少 路 線 數 目 ， 節 省 時 間 。 未 知 玉 帝 的 意 見 如 何 ？ 」
玉 帝 心 感 不 妥 ， 便 說 ：「 這 個 改 動 會 否 對 整 體 的 概 率 造 成 影 響 ？ 」
太 上 老 君 說 ：「 經 過 微 臣 一 算 後 ， 臣 發 現 雖 然
死 生 死 死 生 死
入口 口 圖二
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2
2 2
1 13 4 4 3
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到 達 出 口 的 總 路 線 數 目 會 減16條 ， 但 小 織 女 亦 同 樣 地 需 要 作 四 次 選 擇 ， 所 以 她 到 達 「 死 」 門 的 機 會 同 是10/16(62.5%) ， 這 與 玉 帝 原 先 所 設 的 概 率 相 同 。 」
玉 帝 說 ：「 噢! 原 來 是 這 樣 ， 路 線 的 數 目 雖 然 減 少 ， 但 概 率 並 沒 有 因 此 而 改 變 ， 那 麼 便 照 你 的 意 思 去 做 吧!」
得 到 玉 帝 的 信 任 後 ， 太 上 老 君 說 ：「 其 實 微 臣 還 有 一 個 想 法···」
玉 帝 說 ：「 請 說 。 」
太 上 老 君 說 ：「 臣 認 為 ， 不 如 把 需 要 消 失 的 交 點 向 下 移( 見 圖 三 ) ， 整 個 設 計 就 像 我 們 天 宮 的 座 席 ， 豈 不 更 加 美 觀 ， 更 貼 合 玉 帝 你 的 身 份!」
死 生 死 死 生 死
圖三 入口
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玉 帝 原 來 就 是 只 差 這 「 一 點 」， 使 分 開 他 們 的 概 率 大 幅 減 少 ， 不 過 小 織 女 能 走 到 「 生 」 門 ， 其 實 機 會 亦 只 是 一 半(50%) ， 所 以 ， 可 能 是 他 們 的 愛 真 的 感 動 了 上 天!
(字 數 : 1755)
參 考 資 料 ：
1. 帕 斯 卡 三 角 形
http://www.mathsisfun.com/pascals-triangle.html
2. 牛 郎 織 女 的 故 事
http://www.youtube.com/watch?v=2pW5OSeQK80
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