學 校 名 稱 ： 香 港 神 託 會 培 基 書 院 學 生 姓 名 ： 江 佳 維 、 李 庭 芳 及 余 仲 聆
級 別: 中 五 顧 問老 師： 黃 智 君
引 言
近 年 ， 纖 體 瘦 身 的 風 氣 盛 行 ， 不 少 愛 美 一 族 更 為 此 而 一 擲 千 金 。 透 過 主 角 秀 娜 的 故 事 ， 筆 者 將 為 大 家 揭 開 纖 體 廣 告 背 後 所 隱 藏 的 統 計 謎 團 ！
31
「 這 是 我 一 舉 成 名 的 機 會 ！ 」 秀 娜 在 旺 角 街 頭 興 奮 地 大 叫 ， 並 指 向 「 星 光 大 道 由 你 創─少 女 模 特 兒 大 賽 ！ 」 的 宣 傳 海 報 。 秀 娜 為 圓 明 星 夢 ， 毫 不 猶 豫 地 報 名 參 賽 ， 並 繳 付 近 萬 元 的 報 名 費 用 。 雖 然 有 這 麼 難 得 的 成 名 機 會 ， 但 秀 娜 卻 擔 心 自 己 身 型 過 胖 ， 選 美 時 穿 上 泳 裝 後 會 醜 態 百 出 。 為 了 讓 自 己 成 為 嬌 艷 多 姿 的 少 女 模 特 兒 ， 所 以 她 決 定 到 纖 體 公 司 參 加 修 身 療 程 。
秀 娜 發 現 修 身 療 程 種 類 繁 多 ， 而 且 不 同 計 劃 的 費 用 及 成 功 率 也 大 相 逕 庭 。 在 纖 體 公 司 的 宣 傳 刊 物 中 ， 「 極 速 修 身 療 程 」 的 成 功 率 高 逾75% ， 而
「 健 康 修 身 療 程 」 的 成 功 率 則 只 有 約45%。 秀 娜 自 知 體 重 高 達150磅 ， 所 以 不 惜 一 擲 千 金 ， 參 加 成 功 率 較 高 的 「 極 速 修 身 療 程 」 。 其 後 ， 秀 娜 每 天 都 到 纖 體 公 司 接 受 療 程 ， 馬 不 停 蹄 地 瘦 身 ， 希 望 可
32
以 趕 在 模 特 兒 大 賽 之 前 ， 讓 自 己 看 起 來 更 苗 條 。
在 完 成 兩 個 星 期 的 修 身 療 程 後 ， 其 他 參 加 者 的 身 型 日 見 苗 條 ， 而 秀 娜 卻 沒 有 明 顯 的 改 善 。 一 氣 之 下 ， 秀 娜 跑 到 纖 體 公 司 去 討 個 公 道 。 怎 料 公 司 卻 說 是 她 體 質 不 配 合 ， 與 修 身 療 程 的 成 效 無 關 ， 並 拒 絕 退 款 及 賠 償 給 她 。 秀 娜 氣 得 七 竅 生 煙 ， 她 心 想 「 極 速 修 身 療 程 」 的 廣 告 標 榜 成 功 率 超 過 75%， 但 為 何 自 己 卻 不 成 功 呢 ？ 反 之 ， 「 健 康 修 身 療 程 」 明 明 寫 著 成 功 率 只 有 約45%， 何 以 其 他 參 加 者 的 成 效 會 如 此 顯 著 呢 ？ 秀 娜 認 為 纖 體 公 司 以 不 良 的 宣 傳 手 法 誤 導 消 費 者 ， 所 以 決 定 自 己 搜 集 證 據 以 便 向 纖 體 公 司 提 出 指 控 。 在 仔 細 研 究 公 司 的 宣 傳 單 張 及 刊 物 後 ， 秀 娜 終 於 找 到 了 有 關 成 功 率 計 算 的 數 據 。 有 關 資 料 以 一 百 磅 的 體 重 為 界 ， 將
33
顧 客 分 為 兩 個 群 組 ， 並 分 別 計 算 兩 個 修 身 療 程 的 成 功 率 (見 圖 表 一 及 二 )。
圖表一：纖體療程的成功率 (原本體重在一百磅以下的顧客)
纖體療程 成功
人數 失敗
人數 總數 成功率
「極速修身療程」 30 70 100 30.0%
「健康修身療程」 400 600 1000 40.0%
總數 430 670 1100
圖表二：纖體療程的成功率 (原本體重在一百磅或以上的顧客)
纖體療程 成功
人數 失敗
人數 總數 成功率
「極速修身療程」 800 200 1000 80.0%
「健康修身療程」 90 10 100 90.0%
總數 890 210 1100
在 仔 細 研 究 數 據 後 ， 秀 娜 更 是 勃 然 大 怒 。 在 兩 個 顧 客 群 組 中 ，「 極 速 修 身 療 程 」 的 成 功 率 都 低 於 另 一 個 纖 體 療 程 。 這 跟 廣 告 標 榜 的 情 況 完 全 相 反 ， 費 用 較 高 的 療 程 成 效 反 而 較 低 。 在 原 本 體 重 在 一 百 磅 或 以 上 的 顧 客 群 組 中 ， 其 成 功 率 雖 然 有 80% ， 但 仍 然 遠 低 於 「 健 康 修 身 療 程 」 的 90% 。 在 原 本 體 重 在 一 百 磅 以 下 的 顧 客 群 組 中 ，
34
其 成 功 率 更 只 有30% ， 但 宣 傳 單 張 上 標 榜 的 75%
是 怎 樣 計 算 出 來 呢 ？ 意 氣 用 事 的 秀 娜 一 口 咬 定 纖 體 公 司 以 不 當 手 法 作 宣 傳 ， 利 用 較 高 的 成 功 率 欺 騙 顧 客 ， 所 以 決 定 到 消 費 者 委 員 會( 消 委 會 ) 投 訴 。 怎 料 消 委 會 的 職 員 卻 告 訴 她 ， 有 許 多 人 曾 經 投 訴 過 這 間 纖 體 公 司 ， 但 所 有 指 控 最 後 都 不 成 立 。 秀 娜 聽 後 怒 火 更 盛 ， 直 斥 職 員 欺 負 自 己 年 幼 無 知 。 消 委 會 職 員 力 勸 秀 娜 冷 靜 下 來 ， 然 後 向 她 詳 述 箇 中 玄 機 。
在 了 解 過 秀 娜 所 搜 集 的 數 據 後 ， 消 委 會 職 員 坦 誠 地 表 示 自 己 明 白 秀 娜 的 不 滿 ， 但 同 時 指 出 宣 傳 單 張 上 標 榜 的 成 功 率 並 無 不 妥 。 但 怒 氣 沖 沖 的 秀 娜 不 斷 重 申 「 極 速 修 身 療 程 」 的 成 功 率 都 低 於 另 一 個 纖 體 療 程 ， 這 跟 廣 告 標 榜 的 情 況 完 全 相 反 。 職 員 指 出 玄 機 在 於 成 功 率 的 計 算 方 法 ， 秀 娜 的 計
35
36
眼 見 秀 娜 怒 火 已 熄 及 對 問 題 有 尋 根 究 底 的 精 神 ， 消 委 會 職 員 決 定 繼 續 向 她 解 釋 這 個 令 人 困 惑 的 統 計 現 象 「 辛 普 森 悖 論 」 (Simpson’s Paradox) ， 意 指 「 在 分 組 比 較 中 都 失 勢 的 一 方 ， 在 總 合 比 較 時 反 而 是 佔 優 勢 的 一 方 」 ！ 消 委 會 職 員 明 確 地 指 出 以 上 所 謂 的 成 功 率 只 能 說 明 「 成 功 人 數 與 顧 客 總 數 的 比 例 」， 若 果 顧 客 人 數 不 多 ， 其 成 功 率 便 沒 有 太 大 的 代 表 性 。 因 此 ， 統 計 數 據 的 數 量 及 其 分 佈 更 有 助 我 們 深 入 了 解 實 況 。 消 委 會 職 員 指 出 若 將 兩 個 纖 體 療 程 的 成 功 率 及 成 功 個 案 人 數 分 別 繪 畫 在 圖 表 上 ， 便 能 領 會 到 「 辛 普 森 悖 論 」 的 奧 妙 所 在 。 在 圖 表 上( 見 圖 表 五 ) ， 消 委 會 職 員 先 以 黃 色 螢 光 筆 加 上 一 百 磅 或 以 上 的 顧 客 在 兩 個 纖 體 療 程 的 成 功 率 及 成 功 個 案 人 數 ， 然 後 再 以 藍 色 螢 光 筆 加 上 另 一 個 顧 客 群 組 的 情 況 。 從 圖 中 的 黃 色 棒 及 藍 色 棒 可 見 ，「 健 康 修 身 療 程 」
37
在 兩 個 顧 客 群 組 的 成 功 率 都 高 於 「 極 速 修 身 療 程 」。 最 後 ， 消 委 會 職 員 以 「 黃 加 藍 變 綠 」 的 原 理 在 圖 中 加 上 兩 個 綠 色 三 角 形 標 示 ， 以 顯 示 「 極 速 修 身 療 程 」 的 整 體 成 功 率 反 而 佔 優 ， 遠 高 於
「 健 康 修 身 療 程 」。 在 細 閱 圖 表 後 ， 秀 娜 點 頭 表 示 明 白 圖 中 的 成 功 率 ， 但 直 言 仍 對 「 辛 普 森 悖 論 」 感 到 困 惑 ！
在 完 成 統 計 圖 表 後 ， 消 委 會 職 員 重 申 「 辛 普 森 悖 論 」 的 奧 妙 在 於 成 功 纖 體 個 案 的 數 量 及 其 分 佈 。 其 實 ， 兩 個 顧 客 群 組 的 成 功 率 相 差 很 大 ， 就
38
是 說 一 百 磅 以 下 的 顧 客 的 成 功 率 很 低 ， 而 一 百 磅 或 以 上 的 顧 客 的 成 功 率 很 高 。 大 部 分 原 本 體 重 較 高 的 顧 客 都 選 擇 參 加 標 榜 成 功 率 較 高 的 「 極 速 修 身 療 程 」 ， 而 大 部 分 較 苗 條 的 顧 客 則 惠 顧 價 錢 相 宜 的 「 健 康 修 身 療 程 」 。 在 數 量 上 作 考 慮 ， 大 部 分 的 成 功 個 案 集 中 在 「 極 速 修 身 療 程 」 。 雖 然
「 健 康 修 身 療 程 」 的 分 組 成 功 率 較 高 ， 但 成 功 個 案 的 數 目 相 對 地 並 不 算 多 。 其 實 ， 這 情 況 跟 加 權 平 均 數(weighted mean)的 計 算 相 似 ， 「 極 速 修 身 療 程 」 中 的 原 本 體 型 較 胖 的 成 功 個 案 比 較 多 ， 在 成 功 率 的 計 算 中 ， 其 加 權(weight) 便 會 遠 高 於 其 他 顧 客 組 別 。 因 此 ， 若 將 所 有 顧 客 組 別 作 合 併 考 慮 ，
「 極 速 修 身 療 程 」 的 整 體 成 功 率 反 而 佔 優 。 聽 過 詳 盡 的 解 說 後 ， 秀 娜 終 於 了 解 「 辛 普 森 悖 論 」 的 原 理 ， 亦 明 白 宣 傳 單 張 上 標 榜 的 「 成 功 率 逾75% 」 並 無 誤 導 成 份 。 消 委 會 職 員 語 重 心 長 地 向 秀 娜 指 出 統 計 學 其 實 很 有 趣 ， 統 計 數 字 可 以 用 來 呈 現 真 實 情 況 ， 也 可 用 來 迷 惑 消 費 者 ， 在 還 沒 有 瞭 解 數 據 背 後 所 隱 藏 的 資 訊 前 ， 不 要 胡 亂 相 信 統 計 數 字 ！ 數 天 後 ， 秀 娜 在 報 章 頭 版 看 到 「 少 女 明 星 夢─ 世 紀 大 騙 案 」 的 報 導 ， 方 知 騙 人 的 不 是 纖 體 公 司 的 宣 傳 ， 而 是 少 女 模 特 兒 大 賽 的 廣 告 ！
(字 數 : 2198)
39
40