人類面部表情之有限元素分析

基於參數設定，改變參數值而產生的臉部模型，以有限單元法為 基礎的臉部模型比較偏重在分析這方面。從解剖學的觀點，瞭解臉部 肌肉的組成，相關的連結點、肌肉的運作模式；由力學的探討--受力與 變形的關係，在肌肉與骨骼連結的地方，沿著肌肉紋理的方向，施加 多大的力，會產生什麼樣的表現效果。

有限單元法的計算，在處理彈性物體的變形上，有不錯的功效，

不論它的形狀如何、有多複雜。由每一個 element 的區域勁度矩陣，組 合成整個系統的彈性勁度矩陣；給予適當的邊界條件，整個物體的變 形就有下列的關係：

[K]{D}＝{R} (1) 其中，K 是整個系統的彈性勁度矩陣；D 是變形量；R 是施力。

在這裡，整個系統選擇薄殼單元結構，它結合薄膜單元以及薄板 單元的特性。其中，薄膜單元僅能承受沿著面方向的力，而薄板單元 也僅能承受垂直於板面上的力和沿著面方向上的力矩。藉由兩者的結 合，處理空間相關的問題。

另外，所必須提出的是，材料的所有特性，和真正的生理結構並 不相同。皮膚、肌肉、其它的生理組織都不相干，只是做簡單的物理 性的設定，如網格的剛度及 Poisson's ratio。

有別於電腦繪圖參數化臉部模型的參數設定，這些不同的臉部表 情，從不同的節點施力，施力的方向、施力的大小，作用在有限單元 模型上，做出各種不同程度的情緒表達；在經驗傳承上，可以比較有 系統地延續下去。

觀察人類大部分的喜怒哀樂等情緒，大多都可以從臉部的表情變 化看出端倪；例如，微笑的時候嘴角會上揚，盛怒的時候眉毛會上揚 而眼睛會睜大，想哭的時候嘴角會下拉，大笑的時候嘴巴會張大而嘴 角微微上揚，而眼睛容易瞇成細細的下弦月，做鬼臉的時候表情更是 千奇百怪。

接下來，以幾個操作的例子，表現臉部的表情變化，特別是在嘴 巴動作的部分[3]。

（a）變形前 （b）變形後

圖 2-10 微笑

（a）變形前 （b）變形後 圖 2-11 大笑

（a）變形前 （b）變形後

圖 2-12 吼叫

（a）變形前 （b）變形後 圖 2-13 驚訝

2.4 變形量的控制

一般而言，在有限單元法的求解上，K（系統的彈性勁度矩陣）依 據邊界條件來決定，R（施力）是已知條件，D（變形量）是未知條件。

只要給定 F 的大小和方向，即可求得 D。如下：

{D}＝[K]^-1{R} (2) 若只是單純地想得到所有節點的變形量，上式(2)是非常便利的計 算方式；不同的施力，將有不同的結果。相反地，只要有所有節點的 變形量，當然也可以求得 R。但是，當情況是只知道部分節點的變形 量，亦即，上式(2)中，只有部分的變形量已知，又該如何求解？其關 係式如下：

{D_g}＝[P]{R} (3) 其中，D_g是已知變形量；P是自[K]^-1中，依據D_g在系統中的相對位 置，整列取出。

在數學上，解方程式時，在已知條件少於未知數的數量時，會產 生無限多組解的結果。而在這些結果之中，是否有合適的解，符合系 統所需？文獻[4]當中，提出一個方法，以網格結構的最小應變能法

（minimum strain energy solution）求得唯一的解，如下：

R'＝P^T（PP^T）^-1D_g (4) 雖然，以這個方式所得到的 R'，施加於原系統所得到的變形量，

在其他地方會有些許的誤差存在，可以保證的是，預定要達成的變形 量是一致的。

三、達成預定的變形

經由前一個章節關於有限單元法的簡單介紹，在系統的節點上施 力，可以做相關的變形量分析；如果，只是期望某些節點在變形之後，

移動到特定的位置，我們可藉由嘗試的方式，經由輸入施力，計算輸 出的結果，再判定是否是所期待的目標值。雖然，這個方式可以達到 要求，但只能說是大略；首先，當目標不只一個，可能顧慮了這個，

卻違背另一個，甚至更多，很難全面達到所有的要求。此外，當系統 稍微複雜、稍大一些，可嘗試的方法也就更多，要歸納整理出一套可 使人依循、重複操作的方式，就不是那麼容易了。基於上述的經驗，

特別是難以找到一套有系統的操作方式的緣故，捨棄這樣的作法；尋 求以控制變形量的方式，操作整個系統的變形。

在這一章節裡，介紹怎樣經由訓練的方式，得到我們所期望的模 型變形；問題就在於如何更有系統、有規則性地得到一組施加於該系 統的施力，使結果可以完全符合所要求的目標。相關的方法，在 2.4 變形量的控制中，已經大略地提出；運用最小應變能量的方法，藉著 部分節點的變形量作為限制條件，計算出相對應的施力；不管限定條 件的多少，其餘未經限定的節點變形量，也可一併得到。接下來，將 一一說明整個流程。

3.1 有限單元基礎

有限單元法在使用上，運用的非常廣泛，資料非常充足且龐大。

這裡只是提出一部份，針對我們要處理的力與變形的問題，做相關的 介紹，如何在空間問題上，處理應力與應變之間的關係。

3.1.1 薄膜結構－平面應力問題

在本論文中這個部分所使用的是 CST (Constant-Strain Triangle)，參 考圖 3-1，其負載與位移的關係為：

Sym x 陣（Local Stiffness Matrix），{d}_i為第i個單元的位移向量。

式中，u_n、v_n是第i個單元中，各點在單元座標x向及y向的位移量，

Poisson’s ratio，E代表材料楊氏係數，t代表薄膜厚。

圖 3-1 CST 示意圖

3.1.2 薄板結構－平面彎矩問題

薄板結構僅能承受垂直於板面上的力及沿著面方向上的力矩，並 因厚度遠小於長寬，所以不處理有關沿著面方向上的力；假設所處理 的薄板面被設定為ＸＹ面，那受力的方向就僅能考慮Ｚ方向上的施 力，再考慮彎曲力矩對薄板的影響，則需加上對Ｘ軸及Ｙ軸的彎曲力 矩 ； 這 將 把 三 度 空 間 中 每 個 點 的 六 個 自 由 度 縮 減 成 三 個 自 由 度

) , ,

(w θ_x θ_y ，因此可以知道變形將發生在Ｚ方向上的位移與對Ｘ、Ｙ軸 的旋轉量。

在本論文中，這個部分使用 DKT (Discrete Kirchhoff Triangle)，參 考圖 3-2，其負載與位移的關係可參考(5)式，其中：

{ }

d _i =

[

^w₁ θ^x₁ θ^y₁ ^w₂ θ^x₂ θ^y₂ ^w₃ θ^x₃ θ^y₃

]

^T (9)

{ }

^r _i ⁼

[

^fz₁ ^mx₁ ^my₁ ^fz₂ ^mx₂ ^my₂ ^fz₃ ^mx₃ ^my₃

]

^T (10) 在這部分，區域勁度矩陣的產生方法比較複雜，在文獻[3]的附錄

一當中附上計算區域勁度矩陣的程式碼，從那裡可以了解整個矩陣產 生的流程。而在上兩式中，wn是第i個單元中，各點在單元座標z向的位 移量；fz 為第i個單元中，各點在單元座標z向上的負載；θ 、θ 是第

i個單元中，各點對單元座標x及y軸的旋轉量；mxn、myn為第i個單元中， EtA

mz

{ }

d _i =

[

u1 v1 w1 θx1 θy1 θz1 u2 v2 w2 θx2 θy2 θz2

^u₃ ^v₃ ^w₃ ^θx₃ ^θy₃ ^θz₃

]

^T (12)

{ }

r _i =

[

fx1 fy1 fz1 mx1 my1 mz1 fx2 fy2 fz2 mx2 my2 mz2 (13)

]

^T

mz my mx fz fy

fx_{3 3 3 3 3 3}

[k]i擴充為 18x18 的對稱矩陣。

3.1.4 勁度矩陣的組合

在 3.1.1 到 3.1.3 節所提到的勁度矩陣都是屬於區域性的，其使用 的點資料也都是在區域性座標系統的點資料，而真正在結構上的點資 料，則必須經過一個旋轉矩陣[A]，其中{d}=[A]{D}，{d}代表區域座 標點資料，{D}代表系統實際的點資料。座標旋轉的目的在於配合區域 性勁度矩陣的計算，我們必須先將空間中任意位置與任意方向的三角 單元旋轉與平移，在計算勁度矩陣之前，必須讓三角單元三個頂點的 座標依次為(0,0,0)、(a,0,0)、(b,c,0)，其中a>0, c>0。之後才將旋轉後的 點資料帶入來計算區域性勁度矩陣，而區域性勁度矩陣[k]i和全域勁度 矩陣[K]有著以下的關係：

[ ] ∑ [ ] [ ] [ ]

=

= n

i

A A^T _i 1

k

K (14)

而關於勁度矩陣的組合，我們可以先參考圖 3-3，圖中顯示每個單 元(Element)的頂點都有各自的編號 i,j,k，其相當於前幾章所提到的三角 單元的頂點 1,2,3，現在我們用這個簡單的例子來說明勁度矩陣的組合。

圖 3-3 三角單元組合示意圖

的，即使組合的並非純粹的三角單元，只要找出對應的節點，就可以 做類似的運算，就像圖 3-4 所顯示的一樣。

圖 3-4 不同單元組合示意圖

3.1.5 ID Array

在介紹完勁度矩陣之後，我們要開始對計算方法加以討論。

首先，在處理{R}=[K]{D}這個問題中，我們必須知道，如果我們 不給予結構體邊界條件的限制，則當我們施予外力的時候，結構體將 會產生剛體運動而不是變形，而在本篇論文中，我們是考慮施予外力 來產生所期盼的變形，因此我們必須限制結構體若干的自由度，而限 制的方法通常就是指定某些節點的變形量（通常是將變形量指定為 零）。

當我們利用 來求得所期望的變形量時，由於{D}的某 些成員是已知的，所以我們不應該將這些已知的成員放入

這個計算式中，假設原來有 n 個自由度，則{D}與{R}的大小是 }

{ ] [ }

{D = K ⁻¹ R

} { ] [ }

{D = K ⁻¹ R

×1

n ，[K]

的大小則是n×n，如果我們限制了 m 個自由度，則新的{D}與{R}的大

小將會是(n− m)×1，[K]的大小則會是(n−m)×(n−m)，也就是我們必須

input ID

converted ID

⎪⎪

Sym K

3.2.1 邊界條件

在圖 3-5 中，(a)所選取的點代表鼻樑、眼球及下頷骨以上的臉皮 底部，是設定為完全不動的部分，固定所有的自由度；(b)所選取的點 代表下頷骨以上，眼皮和(a)所選取的點以外的部分，以及下頷骨以下 的臉皮底部，設定為不做深度方面的變形，也就是固定 Z 向的自由度；

(c)在眼角部位固定 X、Y、Z 向的自由度。（本論文中以右手邊為 X 軸 正向，上面為 Y 軸正向，出紙面為 Z 軸正向，採右手座標系）

(a)限制所有自由度的點 (b)限制 Z 向自由度的點

(c)限制 X、Y、Z 向自由度的點 圖 3-5 邊界限制

在邊界條件的上，大多是按照原先的設定，只有少部分變動。要 特別說明的是，整個有限單元模型被分為上半部與下半部。在上半部，

本應有頭骨做為支撐，限制部分方向的運動；雖然，在實際上，臉的 上半部皮膚也是可以有向外隆起的能力，但為了維持臉部的外觀、輪 廓，選擇限制上半部的 Z 向自由度。至於下半部，因有下頷骨的運動，

並不做特別的限制。

3.2.2 網格特性

在網格特性上，大多仍是依循原先的設定，不去變動；有部分區 域為配合使用上的需要，則做了一些變更。原先的設定中，蒲松比定 為 0.3，這方面不做變動；關於楊氏係數，大致上分為眼睛、嘴巴及其 他部位等三部分，絕大部分的區域都定為 100 psi。

而在使用的過程中，考量到嘴唇開合的問題，臉部上，皮膚能移 動的範圍各有不同，遂分成三部分--臉頰、腮及下巴。臉頰和下巴部位 因皮膚附著於頭骨之上，和骨頭間比較少相對運動，但特別的是，下

而在使用的過程中，考量到嘴唇開合的問題，臉部上，皮膚能移 動的範圍各有不同，遂分成三部分--臉頰、腮及下巴。臉頰和下巴部位 因皮膚附著於頭骨之上，和骨頭間比較少相對運動，但特別的是，下

在文檔中 以模型為基礎語言合成系統之研究及應用 (頁 15-0)