3. 以淺顯的觀點探討點線面切割最多區域問題
3.2 以不等式觀點重新探討 Question 2
國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
10
發現第一段都是用
表示，而有 k 段區域的標記方式，我們根據不等式的觀念，皆標記 為x p
n 0
，n=1、2、...、k。【定理 3.1】在直線 L 上有 k 個點，將直線 L 切割出最多
C
0k C
1k段區域。證明：
我們想要證明第一段為
，其他區域則可標記為x p
n 0
，n=1、2、...、k。由上述 定義 3.1 及圖示可清楚得知。所以我們可以得到下列結果：
此段
0
1
n k
n
n
p x
x
，n=1、2、、k 表示，標記成
。k
k
C
C
0
1
任取一點
p
k，必有一段區域可標記為x p
n 0
，n=1、2、...所以此 k 段區去可標記為
x p
1 0
，x p
2
0…，x p
k 0
我們由這個最基本的點切割問題，搭配不等式的觀念，發現了這個更簡單容易的方 式，可以推導出公式，而且讓我們更了解公式C
0k C
1k所代表的意義，那麼其他兩個基 本的切割問題是不是一樣也可以用同樣的觀念來推導出公式呢?3.2 以不等式觀點重新探討 Question 2
由上一節中我們從另一個角度重新推導相異 k 點，可將一維度直線切割出最多幾段
區域的公式，於是我們想也可以用這樣的觀念來推導直線切割的問題，並了解 k 條直線 可將此平面切割出最多幾塊區域的公式。
Question 2：假設有 k 條一維度直線在一個二維度平面上，則這 k 條直線可將此平 面最多切割出幾塊區域?
【定義 3.3】平面上有 n 條直線，這邊我們定義 ，n=1、2、...、k，其 中任一條直線
L
k 0
皆可將平面分為兩塊區域，分別標記為L
k 0
、L
k 0
，k=1、2…，n n n
n
ax by c
L
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
11
將
( , ) 0
1
n n n k
n
n
c y b x a y
x
的區域標記為 。k=1 時：
一個二維度平面上有一條直線
ax
1 by
1 c
1 0
，明顯的可將此平面切割兩塊區域，我們可以根據定義 3.3 並只用”大於”的觀點來標記這兩塊區域。
這邊我們定義
L
n ax
n by
n c
n，n=1、2、...、k，所以此直線為L
1 0
，將直線 上方標記表L
1
0，直線下方則標記為
，表示如下：
k=2 時：
在平面上多插入一條
ax
2 by
2 c
2 0
，即為L
2 0
，我們發現原本的兩塊區域皆 被切割，而多出了兩塊區域，所以平面上有四塊區域，為了讓這些區域有規律而不混淆，所以我們將平面分成原本的區域和多出來的區域，這邊我們對多出來的區域加以定義。
【定義 3.4】在一個二維度平面上，有(k-1)條相異直線，插入第 k 條直線
L
k 0
後，則原有的區域被切割，多出來的區域在
L
k 0
的上方也就是L
k 0
的區域。我們不改變原本的區域的標記方式，而根據定義 3.4 將多出來的區域加以標記，一
塊多出來的區域為切割 ，標記為
0 0
2 1
L
L
，而另一塊多出來的區域切割
，因為我 們只用大於的觀點在標記，所以直接標記L
2 0
，表示如下：
0 L
k原本的區域 多出來的區域
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
13
們再插入
L
4 0
、L
5 0
…我們皆可以方便算出平面上多切割出來的區域並且標記。更重要的的是我們也發現到三條相異直線在二維度平面上所切割出來的區域，根據 二元一次不等式觀念，可用最多兩條直線大於 0 的不等式來表示，其中最下面那一塊區 域則永遠用
表示。由上述的發現，如果我們再插入
L
4
0、L
5
0…L
k1
0，到平面上有相異 k 條 直線是否也可以跟上述一樣?我們用數學歸納法來證明。這邊我們先證明一個引理。
【引理 3.1】平面上有 n 條直線(n>1)切割出最多塊區域，一定能找到一條直線通過其 中任意(n-1)條直線所切割出來標記為
的區域。證明：利用數學歸納法(Induction)證明 n=2 時，必定成立!
假設 n=k-1 時成立，則 n=k 時：平面上有 k 條直線，我們先移開其中一條直線，
只剩(k-1)條直線在平面上，根據假設，一定有一條直線通過其中任意(k-2)條直線所切割 出標記為
的區域，令此直線為L
k1 0
。接著我們再將移開的直線放回，如果此直線已通過此
，則令為L
k 0
，則 n=k成立!如果此直線不通過此
，則我們將剛才直線L
k1 0
令為L
k 0
，則 n=k 成成立! 則 此引理由數學歸納法得證。【定理 3.2】假設有 k 條一維度直線在一個二維度平面上，則這 k 條直線可將此平面 最多切割出
C
0k C
1k C
2k塊區域。證明：
我們想要證明每一塊區域可用最多兩條直線大於 0 的不等式來標記，其中最下面那 一塊區域則永遠用
表示，利用數學歸納法(Induction)來證明。首先我們知道，因為要將平面切割成最多塊，所以這 k 條直線皆兩兩相交於一點，
所以第 k 條直線上必有(k-1)個相交交點，這邊我們定義
L
n ax
n by
n c
n，n=1、2、…、k。
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
14
n=1 時，可知一條直線
L
1 0
可將平面最多切割成二塊區域，根據定義標記為L
1
0、
，所以成立。接著我們假設 n=(k-1)成立；有(k-1)條相異直線將平面最多切割出
C
0k1 C
1k1 C
2k1 塊區域，且每一塊區域可用最多兩條直線大於 0 的不等式來標記，則根據定義最下面那 一塊區域則用
表示。則 n=k 時，平面有 k 條直線時，因為要切割出最多塊區域所以兩兩直線相交於一點，
我們先任意移開一直線，使得平面上剩(k-1)條直線，則根據假設，這(k-1)條線所切割出 的區域每一塊區域最多可用兩條直線大於 0 的不等式來標記，其中最下面那一塊區域則 用
表示。我們再把移開的直線放回，則根據引理 3.1，則平面上 k 條直線中，上述(k-1)直線 所形成的區域
，我們一定會找到一條直線通過此
，為我們將此直線令為L
k 0
，且 0
L
k 和其他(k-1)條直線各交於新的一點，則L
k 0
上有(k-1)個相異交點，那麼我們根 據定義 3.4 清楚知道多出來的區域在哪裡，如圖所示。
我們根據前面 Question 1 的結果可以知道，一維度直線上相異 k 個點可將此直線最 多切割為(k+1)段區域，那麼在二維度平面上直線
L
k 0
上，有相異(k-1)個交點切割出 k 段區域，每一段可延展成一塊區域，所以會多出 k 塊區域。且為了標記方便好記，我們將
L
k 0
由下往上的上第一交點令為L
k 0
和L
1 0
的交．
上有(k-1)個相異交點
多出來的區域
． ． ． …
‧
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
16
則我們可以得到下列結果：
1 0
C
k +C
1k1 +C
2k1 + { + }我們根據巴斯卡遞迴性質(Pascal Formula) 詳見[3]
C
kn1 C
kn11 C
kn可以得到
C
1k1 C
0k1 C
1kC
2k1 C
1k1 C
2k 最後我們們得到C
0k C
1k C
2k由此可知，n=k 時成立!由數學歸納法知道，定裡 3.2 得證。