國
立 政 治 大 學
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N a tio na
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2. 典型的點線面切割最多區域問題 2.1 描述三個典型點線面的切割問題
我們將三個典型點線面的切割問題描述如下:
Question 1:一維度直線上有 k 個點，則這相異 k 點可將此直線最多切割出幾段區域?
Question 2:二維度平面上有 k 條一維度直線，則這 k 條一維度直線可將此平面最多 切割出幾塊區域?
Question 3:三維度空間中有 k 個二維度平面，則這 k 個二維度平面可將此空間最多 切割出幾塊區域?
2.2 用遞迴關係解 Question 1
假設在一維度直線 L 中有 k 個點，則這相異 k 點可將此直線最多切割出幾段相異區 域?
直線 L
我們用遞迴關係的觀念找到此題解法:
假設此 k 個點，
p
1，p ，…
2p
k，在一維度直線 L 中，可將此直線最多切割出a 段
k 不同的區域，首先先在直線 L 線標上(k-1)個相異點，則此(k-1)個相異點可將此直線 L 最 多切割出a
k1段區域，當標上第 k 個點在直線 L 上，此點必將直線 L 上的某段區域分割 為兩段相異區域，比之前(k-1)個相異點再多切割出一段，這樣 k 個相異點使得直線 L 切 割出最多段區域，由此可知，我們便可得到一個遞迴的關係式
1
1
1 0
k
k a
a a
重複這樣的算式往前推至
a
k1、a
k2…可得到下列結果：p
1p
2p
3p
4p
5p
k‧ 國
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k=1，
a
1 a
0
1 k=2，a
2 a
1
1 . . . . . . . . k=k，a
k a
k1
1
a
k a
0 ( 1 1 ... 1 )
a
0 k =C
`k0 C
1k由此可知
a
k C
0k C
1k2.3 用遞迴關係解 Question 2
假設有 k 條直線在一個二維度平面上，則這 k 條直線可將此平面最多切割出幾塊區 域?
我們一樣用遞迴關係的觀念找到此題解法:
假設有 k 條直線
L ，
1L ，…
2L
k，在一個二維度平面 P 上，可將此平面最多切割b
k塊 相異區域，首先先在平面 P 上，標出其中(k-1)直線，則此(k-1)條直線可將此平面最多切 割出b
k1塊相異區域，接著再插入第 k 條直線，為了使這 k 條直線切割出最多塊相異區 域，所以第 k 條直線必須和其他(k-1)條直線皆兩兩相交於新的一點，於是第 k 條直線上 共有(k-1)個相異交點。
第 k 條直線 +)
… 平面 p
1 k-2 k-1
第 k 條線
1 2 3 4 … …. k-2 k-1 共有 k 個 1
‧
而第 k 條直線上這(k-1)個相異交點，由前面 Question１可知，一直線上有相異(k-1)點可 將此直線切割出最多
a
k1段相異區域，這a
k1段在平面上可延展出a
k1塊相異區域，結合‧ 國
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2 1 k-1
… .
2.4 用遞迴關係解 Question 3
假設有 k 個平面在一個三維度空間中，則這 k 個平面可將此空間最多切割出幾塊區 域?
我們一樣用遞迴關係的關係找到此題解法
假設有 k 個平面
P ，
1P ，…
2P
k，在一個三維度空間中，則最多可將此空間最多切 割出c
k塊相異區域，首先我們先在此空間中標上其中(k-1)個平面，則這此(k-1)塊平面可 將空間最多切割出c
k1塊相異區域，接著再插入第 k 個平面，為了使這 k 個平面切割出 最多塊相異區域，如同前面 Question2 一樣，則第 k 個平面必須和前面(k-1)個平面皆兩 兩相交於一條新的直線，於是第 k 個平面上共有(k-1)條相異直線。第 k 個平面上(k-1)條線
我們觀察第ｋ個平面上這（ｋ－１）條相異直線，原本由相異（ｋ－１）個平面所 切割的最多區域並不因此不見，每一塊區域因為第ｋ個平面的插入而分為兩塊，所以這
（ｋ－１）條相異直線可將平面切割出幾塊區域，就表示會多出幾塊區域，由前面 Question 2 知道，（ｋ－１）條直線在一平面上，可將此平面最多切割出
b
k1塊相異區域，綜合上述觀念，我們可以得到一個遞迴關係式為下：