以不等式觀點重新探討 Question 3

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則我們可以得到下列結果：

1 0



C

k +

C

₁^k1 +

C

₂^k1 + { + }

我們根據巴斯卡遞迴性質(Pascal Formula) 詳見[3]

C

_k^n1

 C

_kⁿ_^₁¹

 C

_kⁿ

可以得到

C

₁^k1

 C

₀^k1

 C

₁^k

C

₂^k1

 C

₁^k1

 C

₂^k 最後我們們得到

C

₀^k

 C

₁^k

 C

₂^k

由此可知，n=k 時成立!由數學歸納法知道，定裡 3.2 得證。

3.3 以不等式觀點重新探討 Question 3

由上二節中我們從另一個角度重新推導 Question 1、Question 2，於是我們想也可以 用這樣的觀念來推導平面切割問題，並了解相異 k 個平面在三維度空間中將平面切割出 最多幾塊區域的公式。

Question 3：假設有 k 個平面在一個三維度空間中，則這 k 個平面可將此空間最多切 割出幾塊區域?

【定義 3.5】空間中有 n 個平面，這邊我們定義 ，n=1、2、...、

k，其中任一個平面

P

_k

 0

皆可將空間分為兩塊區域，分別標記為

P

_k

 0

、

P

_k

 0

，k=1、

2…，將

 ^{( , , ) 0} 

1













n n n n k

n

n

d cz by ax z y

 x

^{的區域標記為 。}

k=1 時：

一個三維度空間中有一個平面

ax

₁

 by

₁

 cz

₁

 d

₁



0，明顯的可將此空間切割成兩塊

n n n n

n

a x b y cz d

P    



1 0

k 

C C ₁ ^{k  1}

、 …

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區域，一塊在平面的上方，一塊在平面的下方，我們可以根據定義 3.5，並且只用”大於”

的觀點來標記這兩塊區域，這邊我們定義

P

_n

 a

_n

x  b

_n

y  cz

_n

 d

_n，n=1、2、...、k，

所以此平面為

P

₁



0，則我們一樣可以將這兩塊區域標記為

P

₁



0、



_{，表示如下：}

k=2 時：

在空間中多插入一個平面

ax

₂

 by

₂

 cz

₂

 d

₂



0，為

P

₂

 0

我們發現原本的兩塊區 域皆被切割，而多出了兩塊區域，所以空間中有四塊區域，為了讓這些區域有規律而不 混淆，所以我們跟上述的 Question 1、Question 2 一樣將空間分成原本的區域和多出來的 區域，並多出來的區域加以定義。

【定義 3.6】在一個三維度空間中，有(k-1)個相異平面，插入第 k 個平面

P

_k

 0

後，

原有的區域則被切割，多出來的區域為

P 的上方，也就是

_k

P

_k

 0

的區域。

則我們根據定義 3.6，將在

P

₂



0上方的兩塊區域定為多出來的區域，在其下方則 定為原本的區域，我們一樣不改變原本區域的標記方式，並利用不等式觀念標記多出來 的兩塊區域，分別標記為

 





 0 0

2 1

P

P

、

P

₂



0，如下圖示：

和 的交線

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平面 下方為原本的區域： 、 、 、

多出來的四塊區域 平面

由上述 k=3 可以知道，我們發現到在三維度空間中，因為要將空間切割出最多區域，

所以最後插入的

P

₃

 0

一定與其他兩平面各相交於一條新的直線，如果

P

₃

 0

通過原本區 域的



，且與其他兩個平面分別交於兩條直線，再根據定義 3.3，這樣多出來的區域標 記方式則非常清楚有規律。

而且根據 Question 2 的結果知道，我們知道在二維度平面中有兩條直線，可將此平 面最多切割出

C

₀²

 C

₁²

 C

₂²塊區域，所以在平面

P

₃

 0

上的兩條直線則形成 4 塊區域，每 一塊區域在三維度空間中可延伸為一塊空間區域，所以由此可知，如果依序插入的

P

₄



0、

5

 0

P

…我們可以快速算出會讓空間多切割出幾塊區域並標記。

更重要的是我們也發現到三個平面在三維度空間中所切割出來的最多區域，根據不 等式觀念，每一塊可用最多三個平面大於 0 的不等式來表示，其中最下面那一塊區域無 法用任何平面大於 0 表示的，則永遠用



來標記。

我們在討論 k=4 時會不會也如同上述 k=3 所發現的結果一樣：

k=4 時，在空間中再插入平面

P

₄



0，我們將平面

P

₄



0通過



區域，

P

₄



0上則有 與其他三個平面所相交出的三條直線：

‧

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證明：利用數學歸納法(Induction)證明

n=2，空間中有兩個平面相交於一直線，必定成立!

假設 n=k-1 時成立，則 n=k 時：空間中有 k 個平面，我們先移開其中一個平面，只 剩(k-1)個平面在空間中，根據假設，任意(k-2)個平面所切割出來標記為



的區域，一定 有一個平面通過此



，令此平面為

P

_k1

 0

。

接著我們再將移開的平面放回，如果此平面已通過此



，則令為

P

_k

 0

，則 n=k

成立!如果此平面不通過此



，則我們將剛才平面

P

_k1

 0

再令為

P

_k

 0

，則 n=k 成立。

則此引理由數學歸納法得證!

【定理 3.3】假設有 k 個二維度直線在一個三維度平面上，則這 k 個平面可將此空間 最多切割出

C

₀^k

 C

₁^k

 C

₂^k

 C

₃^k塊區域。

證明:

我們想要證明證明每一塊區域可用最多三個平面大於 0 的不等式來標記，其中最下 面那一塊區域則用



表示，利用數學歸納法(Induction)來證明。

首先我們知道，因為要將空間切割出最多塊區域，所以這 k 個平面皆兩兩相交於一 直線，所以第 k 個平面上必有(k-1)條相交直線，這邊我們定義

P

_n

 ax

_n

 by

_n

 cz

_n

 d

_n， n=1、2、…、k。

則 n=1 時，一個平面

P

₁



0可將空間最多切割出兩塊區域，分別標記為

P

₁



0、



， 所以成立。

接著我們假設(k-1)平面時也成立；空間中有(k-1)個平面可將此空間切割最多 (

C

₀^k1

 C

₁^k1

 C

₂^k1

 C

₃^k1 )塊區域，且每一塊可用最多三個平面大於 0 來標記，其中最 下方的區域無法用任何平面大於 0 表示，則標記為



。

則 n=k 時，空間中有 k 個平面，

P

₁



0、

P

₂



0…

P

_k



0，且兩兩相交於一條直線，

先任意移開一個平面，使得空間中剩下(k-1)個平面，則根據假設，這(k-1)個平面所切割 出的區域每一塊區域可用最多三個平面大 0 的不等式來標記，其中最下面那一塊區域則

‧

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我們由巴斯卡遞迴性質(Pascal Formula) 詳見[3]

C

_k^n1

 C

_kⁿ_^₁¹

 C

_kⁿ

可以得到：

C

₁^k1

 C

₀^k1

 C

₁^k，

C

₂^k1

 C

₁^k1

 C

₂^k，

C

₃^k1

 C

₂^k1

 C

₃^k 最後我們得到

C

₀^k

 C

₁^k

 C

₂^k

 C

₃^k

所以 n=k 時成立。

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在文檔中 一個點線面的切割問題 - 政大學術集成 (頁 20-29)