在討論如何降低晶片溫度前，頇先計算晶片最高溫度還有溫度高低的分布，
之前的章節我們提到[10]提出的堆疊陣列熱模型(Tile-based Thermal Model)，將整 個晶片做均勻切割後去計算每個方塊的溫度，計算過程非常耗時。在這，為了減 少熱模型計算晶片溫度時間，我們提出了一個的以區塊為基礎的熱模型(Block- Level Thermal Model)來幫助我們計算晶片溫度，在區塊層級的熱模型中，我們將 三維版面規劃內所有元素都視為區塊。
3.1 二維區塊層級熱模型架構
B1 B2
B5
B6 B3
B4 W1
W2
B1 B2
B5
B6 B3
B4 W1
W2
B1 B3
B2 B5
B6 B4 W1
W2
B1 B3
B2 B5
B6 B4 W1
W2
B1 B3
B2 B5
B6 B4 W1
W2
(a) 二維立體區塊圖
電路區塊 空白區塊 (b) 二維帄面區塊圖
圖 3_ 1 二維區塊層級示意圖
在二維版面規劃中，分為兩種區塊型態，如圖 3_1 (一) 電路區塊(Circuit Block)
每個功能區塊都是主動元件(Active device)，在系統運作時會消耗電，根據 功能區塊的電量需求和區塊的面積大小，可以計算出各個區塊的耗電密度 (Power Density)。
(二) 空白區塊(Whitespace Block)
在版面規劃擺至後的最後區域內除了電路區塊其餘的空白空間我們將之切 割出來為一矩形空白區塊。空白區塊上面因沒有放置電晶體，所以在系統運
作時並不耗電，其耗電密度為零。
對各個立體區塊而言共有六個面，所以熱傳導會有六個方向。我們將晶片視 為一個封閉系統，所以對邊界的熱傳導並不容易，另外從熱傳導係數來看這兩種 區塊，因空白區塊上沒有電晶體，所以空白區塊的熱傳導係數會比電路區塊來的 高。假設圖 3_1(b)的 B1 區塊為目前最高溫區塊，他與相鄰區塊都會有熱傳導關 係，對於相鄰電路區塊和空白區塊 W1 而言，對空白區塊熱阻較小，所以 B1 區 塊容易將熱傳遞給 W1 區塊。
3.2 三維區塊層級熱模型架構
(a) 三維立體區塊圖
Heat sink
Layer 1 Layer 2 Layer 3 Interlayer 2
Interlayer 1
Layer 1 Interlayer 1 Layer 2 Interlayer 2 Layer 3
電路區塊 空白區塊 夾層區塊 導熱通道區塊
(b) 三維帄面區塊圖
圖 3_ 2 三維區塊示意圖
三維區塊層級熱模型，除了上述二維區塊層級中的電路區塊和空白區塊外，
還分為夾層區塊跟導熱轉接點區塊，如圖 3_2。
(三) 夾層區塊(Interlayer Block)
指的是元件層(Device Layer)間的絕緣體，我們也將此視為一種區塊，且它的 熱傳導係數非常小，耗電密度為零。
(四) 導熱轉接點區塊(Thermal Via Block)
導熱轉接點熱傳導係數比基底(Silicon)熱傳導係數高出許多，是一個良好導 熱體，且本身不需電源供應，耗電密度為零。在三維區塊層級熱模型中，根 據導熱轉接點的插入位置和對溫度變化影響，我們將導熱轉接點區塊又分為 三種類型，如圖 3_3。
i. 來源通道區塊(Source Via Block)
來源通道區塊會將週遭區塊的熱量吸收並將所吸收之熱量傳遞到下一 層，屬吸熱反應。
ii. 目標通道區塊(Target Via Block)
目標通道區塊週遭的溫度比來源通道區塊週遭的還低，從來源通道區塊 所吸收的熱，會在目標通道區塊釋放，屬放熱反應。
iii. 中間通道區塊(Middle Via Block)
貫穿絕緣層，我們將它視為一個通道，讓來源端的熱傳送到目標端，沒 有吸放熱的效應。
來源通道 區塊
目標通道 中間通道 Layer 2
Layer 1 Interlayer
圖 3_ 3 導熱轉接點分類圖
從熱傳導係數來比較四種區塊，導熱轉接點區塊>空白區塊>電路區塊>夾層 區塊，所以在三維晶片架構中我們會利用導熱轉接點的高傳導性來建立一條導熱 路徑，將晶片內部的熱向下傳遞並由散熱槽將熱導出，改善晶片內部溫度過高的 狀況。以圖 3_2 為例，在第三層的導熱轉接點區塊對週遭的電路區塊都會有吸熱 的反應，並將所吸收的熱能往第二層版面傳遞，再透過第二層到第一層的導熱轉 接點可將熱在往下傳遞並由散熱槽導熱性較佳將熱帶出晶片內部。
3.3 熱傳導關係
三維晶片架構中的四種區塊可建立區塊間熱傳導關係如下表二，表中的通道 區塊分為三類，代表符號為 : -P、0、+P
-P，吸熱，為來源通道區塊 0 ，中間通道區塊
+P，放熱，為目標通道區塊
其中導熱轉接點的中心位置打穿絕緣層，所以只會跟夾層區塊有熱傳導關係。
Thermal Via block
Circuit block
Whitespace block
-p 0 +p
Interlayer block
Circuit block
ν ν ν x ν ν
Whitespace block
ν ν ν x ν ν
-p
ν ν x
0
x x ν
Thermal Via
block +p
ν ν
x
x
Interlayerblock
ν ν x ν x ν
表 3_ 1 區塊層級的熱傳導關係
根據第二章提到的熱力學理論，相似於格狀熱模型(Thermal Mesh)，我們探討區 塊層級的熱模型在穩定狀態下的每個區塊熱傳導關係，可寫成
( , , , ) 0
xj i yj i zj i
i i
j xj xj j yj yj j zj zj
T T T T T T
V p x y z t
x k A y k A z k A
或是
, , ,
(
T
xjT g
i) i xj (T
yjT g
i) i yj (T
zjT g
i) i zjV p x y z t
i i( , , , ) 0
任一區塊的耗電密度大小加上在 X 方向、Y 方向或 Z 方向相鄰區塊熱傳導關係 總和為零。
其中，
( , )
xi yi zi
A A A
，任兩區塊在 X(Y,Z)方向區塊接觸面積( , )
j j j
x y z
，任兩區塊在 X(Y,Z)方向區塊中心距離( , )
xi yi zi
k k k
，任兩區塊在 X(Y,Z)方向區塊熱傳導係數, /
i xj xj xj j
g k A x
，g
i yj, k A
yj yj/ y
j，g
i zj, k A
zj zj/ z
j根據上面的方程式，我們可以轉換成矩陣方程式來表示三維區塊的熱傳導關係
G T P
G，為熱傳導關係矩陣 T，為溫度向量
P，為電量向量
計算溫度前先將矩陣方程式轉換
R G
1，計算熱傳導關係反矩陣時間複雜度為 O(n3)T R P
，矩陣相成時間複雜度為 O(n2)n，為三維版面規劃區塊數目
在這對區塊層級與格狀的熱模型的時間比較，時間複雜度同為 O(n3)，但 n 分別 代表的為區塊數跟帄均切割後的方塊數，所以在運算時間上我們提出的區塊層級
熱模型相對於格狀熱模型來的更有效率，尤其在三維晶片的計算上因層數較多，
更能看出運算時間上的差別。
3.4 熱傳導矩陣的建立
圖 3_ 4 二維版面規劃
以圖 3_4 二維版面規劃為例，其熱傳導矩陣為 : 室溫假設為 25℃
電路區塊的熱傳導係數 150(W/m℃) 空白區塊的熱傳導係數 600(W/m℃) 相鄰關係推導:
1 2 1, 2 1 3 1, 3 1 1 1, 1 1 1, 1 1,
1 1, 1 1, 1
( ) ( ) ( ) ( 25) ( 25)
( 25) ( 25)
B L
B B B B B B B B B w B w B B S B B S
B B top B B bottom B
T T g T T g T T g T g T g
T g T g P
2 1 2, 1 2 4 2, 4 2 1 2, 1 2 2, 2 2,
2 2, 2 2, 2
( ) ( ) ( ) ( 25) ( 25)
( 25) ( 25)
L T
B B B B B B B B B w B w B B S B B S
B B top B B bottom B
T T g T T g T T g T g T g
T g T g P
3 1 3, 1 3 4 3, 4 3 1 3, 1 3 3, 3 3,
3 3, 3 3, 3
( ) ( ) ( ) ( 25) ( 25)
( 25) ( 25)
R B
B B B B B B B B B w B w B B S B B S
B B top B B bottom B
T T g T T g T T g T g T g
T g T g P
4 2 4, 2 4 3 4, 3 4 1 4, 1 4 4, 4 4,
4 4, 4 4, 4
( ) ( ) ( ) ( 25) ( 25)
( 25) ( 25)
R T
B B B B B B B B B w B w B B S B B S
B B top B B bottom B
T T g T T g T T g T g T g
T g T g P
1 1 1, 1 1 2 1, 2 1 3 1, 3 1 4 1, 4 1 1,
1 1, 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( 25)
( 25)
w B w B w B w B w B w B w B w B w w top
w w bottom w
T T g T T g T T g T T g T g
T g P
所以區塊熱傳導矩陣可寫為
B1 B2
B3 W1
B4
8 5
5 5
5
8
2
8
B1 B2 B3 B4 W1 B1 0.341105 -0.05621 -0.07184 0 -0.1908 B2 -0.05621 0.341105 0 -0.07184 -0.1908 B3 -0.07184 0 0.332607 -0.02249 -0.21828 B4 0 -0.07184 -0.02249 0.391383 -0.25456 W1 -0.1908 -0.1908 -0.21828 -0.25456 0.85444
計算出區塊間的熱傳導關係後，可利用高斯消去法計算出各區塊溫度。